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Exercícios 1) Calcular o número de inteiros positivos menores do que 2100 e relativamente primos com ele? Solução Como , temos que Observação Alguns valores de para pequenos valores de : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 2) Determine o número de permutações simples dos elementos , nas quais está em primeiro lugar ou está em segundo lugar. Solução: Se representa o conjunto das permutações em que está em primeiro lugar e representa o conjunto das permutações em que está em segundo lugar, . 3) Dentre as permutações simples dos elementos , determine o número daquelas em que não está em primeiro lugar, não está em segundo lugar e nem está em terceiro lugar. Solução: Definimos , para , como o conjunto das permutações em que , para , está no i-ésimo lugar. Devemos encontrar o número de elementos no complementar da união de . Temos então que 4) Encontrar o número de soluções, em inteiros positivos de , em que , , e . A1 → conjunto das soluções onde A2 → conjunto das soluções onde A3 → conjunto das soluções onde A4 → conjunto das soluções onde A → conjunto de soluções em inteiros positivos Queremos encontrar o número de soluções em A que não se encontrem em nenhum dos conjuntos Ai. Sabemos que Por exemplo: → número de soluções: Observação: A soma de quaisquer 3 números dentre 6, 7, 8 e 9 é maior ou igual a 21. Por exemplo, Como queremos Da mesma forma, . Portanto, 5) De quantas maneiras podemos permutar 3 a’s, 3 b’s e 3 c’s de tal modo que 3 letras iguais nunca sejam adjacentes? 3a 3b 3c aaa bbb ccc A → conjunto das permutações A1 → conjunto das permutações nas quais 3a são adjacentes A2 → conjunto das permutações nas quais 3b são adjacentes A3 → conjunto das permutações nas quais 3c são adjacentes Exemplo: aaa bbb ccc 7 posições Exemplo: aaa bbb ccc 5 posições , pois nesse caso temos aaa bbb ccc 3 posições 6) Encontrar o número de soluções de , em inteiros entre -3 e 3 inclusive. Com . Devemos somar 4 a cada xi. Temos então que , onde , com a restrição . Queremos então encontrar a solução de (*) com . Definiremos o conjunto A; como o conjunto das soluções de (*) com . Estamos interessados em contar o número de soluções que estão fora da união das Ai’s. ; Assim, Exemplo: Portanto, , onde 7) Quantas permutações das letras a, b, c, d, f, g, h têm exatamente 3 das letras em suas posições originais. Solução: As 3 letras que permanecem nas posições originais podem ser escolhidas de maneiras distintas. Devemos então multiplicar esse número pela permutação caótica das 4 letras restantes. Assim, . 8) Determine o número de permutações caóticas de 5 objetos diferentes. Solução
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