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Exercícios_Euler_Caótica

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Exercícios
1) Calcular o número de inteiros positivos menores do que 2100 e relativamente primos com ele?
 
Solução
	Como , temos que
 			 
Observação
Alguns valores de para pequenos valores de :
	
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	
	1
	1
	2
	2
	4
	2
	6
	4
	6
	4
2) Determine o número de permutações simples dos elementos , nas quais está em primeiro lugar ou está em segundo lugar. 
Solução: Se representa o conjunto das permutações em que está em primeiro lugar e representa o conjunto das permutações em que está em segundo lugar,
 .
 
3) Dentre as permutações simples dos elementos , determine o número daquelas em que não está em primeiro lugar, não está em segundo lugar e nem está em terceiro lugar. 
Solução: Definimos , para , como o conjunto das permutações em que , para , está no i-ésimo lugar. Devemos encontrar o número de elementos no complementar da união de . Temos então que
 
 
4) Encontrar o número de soluções, em inteiros positivos de 
 , em que , , e .
A1 → conjunto das soluções onde 
A2 → conjunto das soluções onde 
A3 → conjunto das soluções onde 
A4 → conjunto das soluções onde 
A → conjunto de soluções em inteiros positivos
Queremos encontrar o número de soluções em A que não se encontrem em nenhum dos conjuntos Ai. Sabemos que
 
Por exemplo: 
 
 → número de soluções: 
 	
 	
 
Observação: A soma de quaisquer 3 números dentre 6, 7, 8 e 9 é maior ou igual a 
 21. Por exemplo,
Como queremos 
Da mesma forma,	.
Portanto, 
 		
 			
 			
 			
 			
5) De quantas maneiras podemos permutar 3 a’s, 3 b’s e 3 c’s de tal modo que 3 letras iguais nunca sejam adjacentes?
 3a 3b 3c
 		 aaa bbb ccc 
A → conjunto das permutações
A1 → conjunto das permutações nas quais 3a são adjacentes
A2 → conjunto das permutações nas quais 3b são adjacentes
A3 → conjunto das permutações nas quais 3c são adjacentes
Exemplo: aaa bbb ccc 7 posições
 Exemplo: aaa bbb ccc 5 posições
 ,
pois nesse caso temos aaa bbb ccc 3 posições
 
 
 
 
6) Encontrar o número de soluções de , em inteiros entre -3 e 3 inclusive.
 		Com .
Devemos somar 4 a cada xi. Temos então que
,
onde , com a restrição .
Queremos então encontrar a solução de 	 (*)
com . Definiremos o conjunto A; como o conjunto das soluções de (*) com . Estamos interessados em contar o número de soluções que estão fora da união das Ai’s.
 ; 
Assim,	
 				
Exemplo: 
Portanto, ,
onde 		
 		 
7) Quantas permutações das letras a, b, c, d, f, g, h têm exatamente 3 das letras em suas posições originais. 
	
Solução: As 3 letras que permanecem nas posições originais podem ser escolhidas de maneiras distintas. Devemos então multiplicar esse número pela permutação caótica das 4 letras restantes. Assim, 
 .
8) Determine o número de permutações caóticas de 5 objetos diferentes. 
Solução

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