lista6_Resolvida_alunos

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UERJ - Universidade do Estado do Rio de Janeiro 
Instituto de Matemática e Estatística 
Departamento de Matemática Aplicada / Disciplina: Matemática Discreta 
Professora: Célia Cortez 
6
a
 lista de exercícios 
1 
 
 
Agrupamentos com Repetição 
 
 
1 – Desenvolver as seguintes potências: 
Lembrando que um binômio pode ser expandido da seguinte forma; n
n i n i
n,i
i 0
(a b) C a b 

 
 
(a) 
5
3 35
5 i
5,i
i 0
x x
1 C 1
2 2


   
     
   

 
 
 3 6 9 12 15
5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5
x x x x x
C C C C C C
2 4 8 16 32
     
 15 12 9 6 3x 5x 5x 5x 5x
1
32 16 4 2 2
     
 
 
 (b) 6 6 6 i
6,i
i 0
1 1
y C ( y)
y y


   
      
   

 
 
2 3
6 5 4 3
6,0 6,1 6,2 6,3
1 1 1
C ( y) C ( y) C ( y) C ( y)
y y y
     
             
     
 
 
 4 5 62 5
6,4 6,5 6,6
1 1 1
C ( y) C ( y) C
y y y
     
         
     
20
y
1
y
6
y
15
15y6yy
642
246 
 
 
 
 
2 – Calcular o sexto termo da expansão de cada uma das potências abaixo: 
 
 Para calcular um determinado termo Tk em uma expansão binomial 



n
0i
ini
n,i
n baCb)(a
, onde 
 k= i+1, considera-se que 
i n i
i 1 n,iT C a b

 
. Assim, 
 
(a) 17
2
a b
b a
 
 
 
 5 12 5 12 7
6 5 1 17,5 2 5 24 19
a b 17! a b 6188 b
T T C
b 5! 12!a b a a

   
       
   
 
 
(b) 12
3
2
3
2x
x
 
 
 
 7 7
3 5 5 15
6 5 1 12,5 2 14
3 12! ( 3)
T T C (2x ) 2 x
5! 7!x x

 
     
 
 
 
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Departamento de Matemática Aplicada / Disciplina: Matemática Discreta 
Professora: Célia Cortez 
6
a
 lista de exercícios 
2 
 
 
712 11 10 9 8 32 ( 3) 55427328x
120
   
      
 
 
3 – Demonstrar a seguinte igualdade: nn
0i
i
n 2 C


 . 
 
Sabemos que n n
n i n 1 n
n.i n,i
i 0 i 0
(a b) C .1 .1 2 C
 
    
 
 
 
4 – Calcule o número de soluções inteiras positivas de: 
(a) 
8xxxx 4321 
 
r 1
1 2 r m 1x x x m n C

     
 
 
4 1 3
8 1 7
7! 7 6 5
n 8, r 4 n C C 35
3!4! 3 2


 
       

 
 
(b) 
1 2 11x x x 11   
 
11 1 10
11 1 10m 11, r 11 n C C 1

     
 
 
 
 
5 – Quantas são as soluções inteiras não negativas de: 
 
(a) 
1 2 3 4x x x x 8   
 
m 1 m
1 2 r m r 1 m r 1x x x m n C C

         
 
 
8 8
8 4 11
11! 11 10 9
m 8, r 4 n C C 165
8! 3! 3 2

 
       

 
 
(b) 
1 2 11x x x 11   
 
11 1 10
11 11 1 21
21!
m 11, r 11 n C C
10! 11!

      
 
 
 
6 – Quantas são as soluções inteiras de 
17xxxxx 54321 
, nas 
 quais 
3x4 
? 
1 1y x
 , 
2 2y x
 , 
33 xy 
 , 
4 4y x 2 
 , 
5 5y x
 
1 2 3 4 5y y y y y 15    
 
 Soluções em inteiros positivos 
5 1 4
15 1 14
14! 14 13 12 11
n C C 1001
10! 4! 4 3 2 1


  
    
  
 
 
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Professora: Célia Cortez 
6
a
 lista de exercícios 
3 
 
 
 
 
 
 
7 – De quantos modos diferentes podemos distribuir 10 bombons idênticos 
em 4 caixas diferentes? 
São 10 bombons idênticos e 4 caixas diferentes, poderemos ter todos os bombons em 1 
caixa e as outras vazias. Assim, a solução é dada pelo número de soluções em inteiros não-
negativos de 
1 2 3 4x x x x 10   
 
 
xi → número de bombons na caixa i, i = 1,2,3,4 
 
10 10 10
4 4 10 1 13
13! 13 12 11
CR C C 286
10! 3! 3 2 1
 
 
    
 
 
 
 
8 – Dispondo de 4 cores diferentes, de quantas maneiras distintas podemos 
pintar 5 objetos idênticos? (cada objeto deve ser pintado com uma única cor) 
São 4 cores diferentes (x1,x2,x3,x4) e 5 objetos iguais, isto significa que teremos uma 
situação em que uma cor será repetida, ou teremos 4 vasos pintados e um sem pintura. Assim, 
a solução será obtida pelo número de soluções em inteiros não-negativos da equação 
 
5 5 5
4 4 5 1 8
8! 8 7 6
CR C C 56
5! 3! 3 2
 
 
    

 
1 2 3 4x x x x 5   
 
 
 
9 – De quantas maneiras diferentes podemos distribuir 30 laranjas para 4 
crianças de modo que cada uma receba pelo menos 2 laranjas? 
 São 30 laranjas iguais e 4 crianças, naturalmente, diferentes (x1,x2,x3,x4), sendo 
 
 x1 + x2 + x3 + x4 = 30 
 
 Mas pelo menos 2 laranjas serão dadas a cada uma. Isto significa que a primeira laranja não 
conta e devemos descontar das 30 as 4 laranjas iniciais. A contagem das possibilidades começa 
com a 2ª laranja, que representará o zero. Ter duas laranjas significa ter zero. Assim, 
 
x1 2  cada criança começa com 1 laranja e nº de laranjas = 30-4 =26. 
 
A solução será obtida pelo número de soluções em inteiros não-negativos da equação 
 
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6
a
 lista de exercícios 
4 
 
4 1 3
1 2 3 4 26 1 25
25! 25 24 23
y y y y 26 n C C
3! 22! 3 2


 
        

 
 
 
 
 
10 – De quantas maneiras uma pessoa pode comprar 5 sorvetes em uma 
sorveteria que vende 8 tipos diferentes de sorvete? 
 
De 8 tipos de sorvete (xi) vamos tirar 5 sorvetes para uma pessoa: 
 
1 2 3 4 5 6 7 8x x x x x x x x 5       
 xi → número de sorvetes do tipo i 
 
Para 
p
1 2 r rx x x p , N CR    
. 
 
Assim, 
p p
r n p 1N CR C   
 
 
5 5
8 5-1 12
12! 12 11 10 9 8
N C C
5! 7! 5 4 3 2

   
   
  
=792 
 
11 – De quantos modos 5 meninos e 5 meninas podem brincar de roda, de 
modo que crianças do mesmo sexo não fiquem juntas? 
 
Considerando apenas os meninos em um círculo, temos a permutação circular entre eles, 
(PC)5, inserindo nesta a permutação das 5 meninas P5. 
 
5 5N (PC) P 4!.5! 2880   
 
 
 
12 – De quantas maneiras diferentes podem ser enfileiradas 9 bolas de bilhar 
das quais 4 são brancas, 2 vermelhas e 3 pretas? 
 Temos 9 bolas coloridas em fila, sendo que temos cores repetidas. Dessa forma, temos 
que descontar a permutação dentro de uma mesma cor, fazendo a permutação com repetição. 
 
9 balas → 4b, 2v, 3p 
4,2,3
9
9! 9 8 7 6 5
P 1260
4! 2! 3! 2 3 2
   
  
 
 
 
13 – Quantos números naturais de 6 algarismos podemos formar, de modo 
que cada número seja formado por 3 pares distintos de algarismos iguais? 
 
Pares distintos de algarismos iguais 00 11 22 33 44 55 66 77 88 99 
 
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6
a
 lista de exercícios 
5 
 
Exemplos: 1 3 3 2 1 2
1 1 3 3 2 2



 
 
Como vamos formar 3 pares distintos de 2 algarismos iguais, podemos fazer a combinação dos 
10 algarismos formando 3 pares, ou seja, 
3
10C
 maneiras diferentes. 
Como estamos diante de grupos do tipo 11 22 33 devemos fazer a permutação 
2,2,2
6P
 . 
 
 
 
O número de 6 algarismos, incluindo os que comecem por zero, nas condições dadas, é dado 
por 
1 2,2,2
10,3 6N C .P
. 
 
 
Como existem 10 algarismos, um décimo dos números formados inicia-se por zero e devemos 
excluí-los por não serem considerados números de 6 algarismos. Assim, 
 
2,2,2 2,2,2
10,3 6 10,3
1
N C P C P 9720
10
  
.