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Cálculo Numérico Primeiro semestre 2012 Marcos Augusto dos Santos Letícia Decker DCC-ICEx-UFMG Avaliação • Três provas de 30 pontos (03/04, 03/05 e 03/07) e 10 pontos de exercícios. • Atenção: não existe avaliação suplementar! • O assunto das avaliações é cumulativo. • As provas são realizadas em salas separadas. Capítulo 1 Sistemas de equações lineares Conceitos e objetivos do curso Tangran • 7 peças e milhares de combinações interessantes Tangran: paradigma para a escolha dos temas a serem abordados no curso Cap. 1: Sistemas de equações lineares Cap. 2 Cap. 3 Cap. 4 Cap. 5 Matlab ou Scilab Criatividade Sistemas de equações lineares • Objetivos – capacitar o aluno a resolver sistemas de equações lineares de grande porte – mostrar como recuperar e classificar informação usando álgebra linear Objetivos específicos • Ao final do curso o aluno deverá: – saber conceituar sistemas de posto incompleto, posto de uma matriz, autovalores, autovetores, matriz definida positiva, mal condicionamento, normas de matrizes, erro relativo na solução de sistemas, determinante e decomposição espectral, pivotação parcial e operações elementares Objetivos específicos • Ao final do curso o aluno deverá: – saber conceituar sistemas de posto incompleto, posto de uma matriz, autovalores, autovetores, matriz definida positiva, mal condicionamento, normas de matrizes, erro relativo na solução de sistemas, determinante, decomposição espectral, pivotação parcial e operações elementares Objetivos específicos (cont.) • Ao final do curso o aluno deverá: – saber usar as decomposições LU e de Cholesky para resolver sistemas e calcular matriz inversa e determinante – saber reduzir o posto de uma matriz usando decomposição por valores singulares – estar apto a resolver sistemas de grande porte usando um ambiente de prototipagem (Matlab ou Scilab) Álgebra Linear • Alice no país das maravilhas, Charles Dodson (Lewis Carrol), 1865 • “math gave Alice a dark side, and make it the kind of puzzle...” , Nytimes, 18/02/2010 • Augustus De Morgan cunhou álgebra, que provém de “al jebr + al mokabala”: restauração e redução Notação Seja o sistemas de equações lineares de ordem 3: 11 9 12 331417 23184 383 321 321 321 xxx xxx xxx Notação Seja o sistemas de equações lineares de ordem 3: Ele pode ser representado por: 11 9 12 331417 23184 383 321 321 321 xxx xxx xxx bAx ou, 11 9 12 331417 23124 383 3 2 1 x x x onde: ,33xRA 3Rx e 3Rb Hiperplanos • Cada linha i do sistema corresponde a um hiperplano que é o lugar geométrico definido por cada uma das igualdades do sistema. }:{)( ,22,11, inniii n i bxaxaxaRxxH Solução do sistema de equações • É o ponto x que satisfaz simultaneamente às n equações do sistema. Caverna de Platão e espaços de dimensão n > 3 Posto (rank) de uma matriz • É o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes. • Exemplos – Matrizes de posto deficiente: 22 11 A Posto (rank) de uma matriz • É o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes. • Exemplos – Matrizes de posto deficiente: 22 11 A 3155 2113 142 B Classificação dos sistemas de equações lineares quanto ao número de soluções • A matriz A tem posto completo: – Diz-se que o sistema é compatível Classificação dos sistemas de equações lineares quanto ao número de soluções • A matriz A tem posto completo: – Diz-se que o sistema é compatível • A matriz A tem posto deficiente: • Compatível indeterrminado quando admite solução • Incompatível, caso contrário Métodos para a solução • Métodos diretos, que obtêm um sistema de equações triangular equivalente ao sistema fornecido • Métodos iterativos, como Gauss-Sidel e Gradientes Conjugados. Sistemas equivalentes • Diz-se que dois sistemas de equações são equivalentes quando um deles pode ser obtido do outro usando operações elementares. Operações elementares • São operações elementares: – trocar a ordem de duas linhas do sistema – multiplicar uma equação por constante não nula – substituir uma linha pela soma dela com outra linha do sistema Normas de matriz Dada uma matriz A, existem tres tipos de normas associadas a A: • Norma 1 (colunas): • Norma infinito: • Norma de Frobenius: n i jinj aA 1 ,11 max n j jini aA 1 ,1max 2 1 1 1 ,2 n i n j jiaA Normas de matriz Dada uma matriz A, existem tres tipos de normas associadas a A: • Norma 1 (colunas): • Norma infinito: • Norma de Frobenius: n i jinj aA 1 ,11 max n j jini aA 1 ,1max 2 1 1 1 ,2 n i n j jiaA Normas de matriz Dada uma matriz A, existem tres tipos de normas associadas a A: • Norma 1 (colunas): • Norma infinito: • Norma de Frobenius: n i jinj aA 1 ,11 max n j jini aA 1 ,1max 2 1 1 1 ,2 n i n j jiaA Método de Gauss Transforma Ax = b em um sistema equivalente Tx = c, onde T é uma matriz triangular. Sistemas triangulares Johan Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Página do diário de Gauss Próxima aula Decomposição LU, determinante, pivotação parcial e matriz inversa
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