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Cálculo Numérico: Sistemas de Equações Lineares

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Cálculo Numérico 
Primeiro semestre 2012 
Marcos Augusto dos Santos 
Letícia Decker 
 
DCC-ICEx-UFMG 
Avaliação 
• Três provas de 30 pontos (03/04, 03/05 e 
03/07) e 10 pontos de exercícios. 
• Atenção: não existe avaliação suplementar! 
• O assunto das avaliações é cumulativo. 
• As provas são realizadas em salas separadas. 
 
Capítulo 1 
Sistemas de equações lineares 
Conceitos e objetivos do curso 
Tangran 
• 7 peças e milhares de 
 combinações interessantes 
 
Tangran: paradigma para a escolha dos temas a 
serem abordados no curso 
 
Cap. 1: Sistemas de 
equações lineares 
Cap. 2 Cap. 3 
Cap. 4 
Cap. 5 
Matlab 
ou Scilab 
Criatividade 
Sistemas de equações lineares 
• Objetivos 
 
– capacitar o aluno a resolver sistemas de equações 
lineares de grande porte 
 
– mostrar como recuperar e classificar informação 
usando álgebra linear 
Objetivos específicos 
• Ao final do curso o aluno deverá: 
 
– saber conceituar sistemas de posto incompleto, 
posto de uma matriz, autovalores, autovetores, 
matriz definida positiva, mal condicionamento, 
normas de matrizes, erro relativo na solução de 
sistemas, determinante e decomposição espectral, 
pivotação parcial e operações elementares 
Objetivos específicos 
• Ao final do curso o aluno deverá: 
 
– saber conceituar sistemas de posto incompleto, 
posto de uma matriz, autovalores, autovetores, 
matriz definida positiva, mal condicionamento, 
normas de matrizes, erro relativo na solução de 
sistemas, determinante, decomposição espectral, 
pivotação parcial e operações elementares 
Objetivos específicos (cont.) 
• Ao final do curso o aluno deverá: 
– saber usar as decomposições LU e de Cholesky 
para resolver sistemas e calcular matriz inversa e 
determinante 
– saber reduzir o posto de uma matriz usando 
decomposição por valores singulares 
– estar apto a resolver sistemas de grande porte 
usando um ambiente de prototipagem (Matlab ou 
Scilab) 
Álgebra Linear 
• Alice no país das maravilhas, Charles Dodson 
(Lewis Carrol), 1865 
• “math gave Alice a dark side, and make it the 
kind of puzzle...” , Nytimes, 18/02/2010 
• Augustus De Morgan cunhou álgebra, que 
provém de 
 “al jebr + al mokabala”: 
 
 restauração e redução 
 
Notação 
Seja o sistemas de equações 
lineares de ordem 3: 
11
9
12
331417
23184
383
321
321
321



xxx
xxx
xxx
 
 
Notação 
Seja o sistemas de equações 
lineares de ordem 3: Ele pode ser representado por: 
11
9
12
331417
23184
383
321
321
321



xxx
xxx
xxx
bAx 
ou, 































11
9
12
331417
23124
383
3
2
1
x
x
x
onde: 
,33xRA
3Rx
e 
3Rb
Hiperplanos 
 
• Cada linha i do sistema corresponde a um hiperplano 
que é o lugar geométrico definido por cada uma das 
igualdades do sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
}:{)( ,22,11, inniii
n
i bxaxaxaRxxH  
Solução do sistema de equações 
• É o ponto x que satisfaz simultaneamente às n 
equações do sistema. 
Caverna de Platão e espaços de 
dimensão n > 3 
 
Posto (rank) de uma matriz 
• É o número de linhas (ou colunas) linearmente 
independentes. 
• Exemplos 
– Matrizes de posto deficiente: 
 
 







22
11
A
Posto (rank) de uma matriz 
• É o número de linhas (ou colunas) linearmente 
independentes. 
• Exemplos 
– Matrizes de posto deficiente: 
 
 







22
11
A











3155
2113
142
B
Classificação dos sistemas de equações 
lineares quanto ao número de 
soluções 
• A matriz A tem posto 
completo: 
– Diz-se que o sistema é 
compatível 
Classificação dos sistemas de equações 
lineares quanto ao número de 
soluções 
• A matriz A tem 
posto completo: 
– Diz-se que o sistema 
é compatível 
• A matriz A tem posto 
deficiente: 
• Compatível 
indeterrminado 
quando admite 
solução 
• Incompatível, 
caso contrário 
 
Métodos para a solução 
• Métodos diretos, que obtêm um sistema de 
equações triangular equivalente ao sistema 
fornecido 
• Métodos iterativos, como Gauss-Sidel e 
Gradientes Conjugados. 
Sistemas equivalentes 
• Diz-se que dois sistemas de equações são 
equivalentes quando um deles pode ser 
obtido do outro usando operações 
elementares. 
 
Operações elementares 
• São operações elementares: 
 
– trocar a ordem de duas linhas do sistema 
– multiplicar uma equação por constante não nula 
– substituir uma linha pela soma dela com outra 
linha do sistema 
Normas de matriz 
Dada uma matriz A, existem tres tipos de 
normas associadas a A: 
• Norma 1 (colunas): 
 
• Norma infinito: 
 
• Norma de Frobenius: 






 


n
i
jinj aA
1
,11
max








 


n
j
jini aA
1
,1max
2
1
1 1
,2 







 
 
n
i
n
j
jiaA
Normas de matriz 
Dada uma matriz A, existem tres tipos de 
normas associadas a A: 
• Norma 1 (colunas): 
 
• Norma infinito: 
 
• Norma de Frobenius: 






 


n
i
jinj aA
1
,11
max








 


n
j
jini aA
1
,1max
2
1
1 1
,2 







 
 
n
i
n
j
jiaA
Normas de matriz 
Dada uma matriz A, existem tres tipos de 
normas associadas a A: 
• Norma 1 (colunas): 
 
• Norma infinito: 
 
• Norma de Frobenius: 






 


n
i
jinj aA
1
,11
max








 


n
j
jini aA
1
,1max
2
1
1 1
,2 







 
 
n
i
n
j
jiaA
Método de Gauss 
 Transforma Ax = b em um sistema equivalente 
Tx = c, onde T é uma matriz triangular. 
Sistemas triangulares 
Johan Carl Friedrich Gauss (1777-1855) 
Página do diário de Gauss 
Próxima aula 
Decomposição LU, determinante, pivotação 
parcial e matriz inversa

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