Álgebra Linear: Conceitos e Aplicações

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Decomposição LU 
Marcos Augusto dos Santos 
Objetivos específicos 
• Ao final do curso o aluno deverá: 
 
– saber conceituar sistemas de posto incompleto, 
posto de uma matriz, autovalores, autovetores, 
matriz definida positiva, mal condicionamento, 
normas de matrizes, erro relativo na solução de 
sistemas, determinante, decomposição espectral, 
pivotação parcial e operações elementares 
Objetivos específicos 
• Ao final do curso o aluno deverá: 
 
– saber conceituar sistemas de posto incompleto, 
posto de uma matriz, autovalores, autovetores, 
matriz definida positiva, mal condicionamento, 
normas de matrizes, erro relativo na solução de 
sistemas, determinante, decomposição espectral, 
pivotação parcial e operações elementares 
Objetivos específicos (cont.) 
• Ao final do curso o aluno deverá: 
– saber usar as decomposições LU e de Cholesky 
para resolver sistemas e calcular matriz inversa e 
determinante 
– saber reduzir o posto de uma matriz usando 
decomposição por valores singulares 
– estar apto a resolver sistemas de grande porte 
usando um ambiente de prototipagem (Matlab ou 
Scilab) 
Objetivos específicos (cont.) 
• Ao final do curso o aluno deverá: 
– saber usar as decomposições LU e de Cholesky 
para resolver sistemas e calcular matriz inversa e 
determinante 
– saber reduzir o posto de uma matriz usando 
decomposição por valores singulares 
– estar apto a resolver sistemas de grande porte 
usando um ambiente de prototipagem (Matlab ou 
Scilab) 
Sistemas equivalentes 
• Diz-se que dois sistemas de equações são 
equivalentes quando um deles pode ser 
obtido do outro usando operações 
elementares. 
 
Operações elementares 
• São operações elementares: 
 
– trocar a ordem de duas linhas do sistema 
– multiplicar uma equação por constante não nula 
– substituir uma linha pela soma dela com outra 
linha do sistema 
Método de Gauss 
 Transforma Ax = b em um sistema equivalente 
Tx = c, onde T é uma matriz triangular. 
Sistemas triangulares 
Johan Carl Friedrich 
Gauss (1777-1855) 
Página do diário de Gauss 
Decomposição LU 
Dado A = LU, como utilizar este 
produto para resolver o sistema? 
Exemplo 
Eliminando a coluna 1 
Eliminação da coluna 1 
Eliminação da coluna 2 
Obtenção da matriz U 
Obtenção da matriz L 
Aplicações da decomposição LU 
• Obtenção da matriz inversa 
• Pergunta pertinente: 
– No Matlab (Scilab, Octave) estão disponíveis duas 
formas para resolver sistemas de equações 
lineares: 
 x = A\b e 
 x = inv(A)*b. 
Qual é a mais eficiente? 
 
Próxima aula: decomposição de 
Cholesky