Decomposição de Cholesky

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Decomposição de Cholesky 
Marcos Augusto dos Santos 
Objetivos específicos 
• Ao final do curso o aluno deverá: 
 
– saber conceituar sistemas de posto incompleto, 
posto de uma matriz, autovalores, autovetores, 
matriz definida positiva, mal condicionamento, 
normas de matrizes, erro relativo na solução de 
sistemas, determinante, decomposição espectral, 
pivotação parcial e operações elementares 
Objetivos específicos 
• Ao final do curso o aluno deverá: 
 
– saber conceituar sistemas de posto incompleto, 
posto de uma matriz, autovalores, autovetores, 
matriz definida positiva, mal condicionamento, 
normas de matrizes, erro relativo na solução de 
sistemas, determinante, decomposição espectral, 
pivotação parcial e operações elementares 
Objetivos específicos (cont.) 
• Ao final do curso o aluno deverá: 
– saber usar as decomposições LU e de Cholesky 
para resolver sistemas e calcular matriz inversa e 
determinante 
– saber reduzir o posto de uma matriz usando 
decomposição por valores singulares 
– estar apto a resolver sistemas de grande porte 
usando um ambiente de prototipagem (Matlab ou 
Scilab) 
Objetivos específicos (cont.) 
• Ao final do curso o aluno deverá: 
– saber usar as decomposições LU e de Cholesky 
para resolver sistemas e calcular matriz inversa e 
determinante 
– saber reduzir o posto de uma matriz usando 
decomposição por valores singulares 
– estar apto a resolver sistemas de grande porte 
usando um ambiente de prototipagem (Matlab ou 
Scilab) 
Sistemas triangulares 
Decomposição LU 
Dado A = LU, como utilizar este 
produto para resolver o sistema? 
Decomposição de Cholesky 
• Aplicável para matrizes definidas positivas 
• Determina L, uma matriz triangular inferior tal 
que A = LLT 
• Se A é definida positiva, é muito vantajoso 
aplicar a decomposição de Cholesky ao invés 
da decomposição LU, porque a obtenção de L 
não envolve pivotagem. 
 
 
 
Matriz semidefinida positiva 
• Uma matriz A de ordem n é dita semidefinida 
positiva, se 
00,  AxxxRx Tn
00,  AxxxRx Tn
Matriz definida positiva 
• Se A = LLT , então A é definida positiva. 
 Demonstração: 
 
Como saber se A é definida? 
• Se existirem os fatores da matriz L, então A é 
definida. 
• Existe uma propriedade à priori, como por 
exemplo A é uma matriz Hessiana de uma 
função convexa 
 
Como obter a decomposição? 
 
 
Como obter a decomposição? 
• Basta expressar a identidade LLT = A, onde li,j 
são os fatores de Cholesky a determinar: 
 
 
Como obter a decomposição? 
• Basta expressar a identidade LLT = A, onde li,j 
são os fatores de Cholesky a determinar: 
 
 
































3,32,31,3
3,22,21,2
3,12,11,1
3,3
2,32,2
1,31,21,1
3,32,31,3
2,21,2
1,1
aaa
aaa
aaa
l
ll
lll
lll
ll
l
Exemplo 
• Determinar a decomposição de Cholesky para 
 











70263
26202
321
A
Exemplo (cont) 
• Resolver, usando a decomposição de Cholesky, 
o sistema Ax = b, onde 
 
 
 











2
4
3
b
Próxima aula: decomposição por 
valores singulares 
Obrigado!