Aplicações da Integral Dupla em Física

Prévia do material em texto

Ede´zio Ca´lculo II 1
Ca´lculo II - Aplicac¸o˜es da Integral Dupla
A´rea de uma regia˜o plana
A a´rea de uma regia˜o plana D fechada e limitada e´:
A =
∫ ∫
D
dA
Aplicac¸o˜es F´ısicas usando as Integrais Duplas
Muitas estruturas e sistemas mecaˆnicos se comportam como se sua massa estivesse concentrada
em um u´nico ponto, chamado centro de massa . E´ importante saber como localizar esse ponto.
Os primeiros momentos (Mx e My) de um corpo nos informam sobre o equil´ıbrio e sobre o
torque que o corpo exerce em torno de diferentes eixos em um campo gravitacional. Se, entretanto,
o corpo for uma haste que gira, estaremos mais interessados na quantidade de energia que estara´
armazenada na haste ou na quantidade de energia que sera´ necessa´ria para acelerar a haste ate´ uma
determinada velocidade angular. E´ aqui que entra o segundo momento ou momento de ine´rcia .
O raio de rotac¸a˜o Rx nos diz a que distaˆncia do eixo x a massa total da placa pode estar
concentrada pra resultar no mesmo Ix.
Quando ρ e´ constante, a localiza’ ao do centro de massa se torna uma caracter´ıstica da forma do
objeto e na˜o mais do material do qual o objeto e´ feito. Em tais casos o centro de massa e´ chamado
de centro´ide.
Considere uma laˆmina na˜o homogeˆnea, com a forma de uma regia˜o D e com densidade de a´rea
em um ponto (x, y) de D dada pela func¸a˜o cont´ınua ρ = ρ(x, y).
• A massa total da laˆmina M e´ dada pela integral
M =
∫ ∫
D
ρ(x, y)dA
• O momento de massa em relac¸a˜o ao eixo x e´ dado por:
Mx =
∫ ∫
D
yρ(x, y)dA
• O momento de massa em relac¸a˜o ao eixo y e´ dado por:
My =
∫ ∫
D
xρ(x, y)dA
• O centro de massa, denotado por (x, y) e´ definido por:
x =
My
M
e y =
Mx
M
• O momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo x
Ix =
∫ ∫
D
y2ρ(x, y)dA
Ede´zio Ca´lculo II 2
• O momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo y
Iy =
∫ ∫
D
x2ρ(x, y)dA
• O momento de ine´rcia polar
Io =
∫ ∫
D
(x2 + y2)ρ(x, y)dA
• O momento de ine´rcia em relac¸a˜o a uma reta L: IL =
∫ ∫
D
r2(x, y)δ(x, y)dA onde r(x, y) =distaˆncia
de (x, y) ate´ L.
• Raios de Rotac¸a˜o:
Em relac¸a˜o ao eixo x: Rx =
√
Ix/M
Em relac¸a˜o ao eixo y: Ry =
√
Iy/M
Em relac¸a˜o a` origem: Ro =
√
Io/M
A´rea por integrac¸a˜o dupla: Esboce a regia˜o limitada pelas retas e curvas dadas. Depois
expresse a a´rea da regia˜o como uma integral dupla iterada e calcule a integral.
(1) a para´bola x = −y2 e a reta y = x+ 2.
(2) a para´bola x = y − y2 e a reta y = −x.
(3) a curva y = ex e as retas y = 0, x = 0 e x = ln 2.
(4) as curvas y = lnx e y = 2 ln x e a reta x = e, no primeiro quadrante.
(5) as para´bolas x = y2 e x = 2y − y2.
(6) as para´bolas x = y2 − 1 e x = 2y2 − 2.
Densidade Constante:
(7) Encontre o centro de massa de uma placa fina de densidade δ = 3 limitada pelas retas x =
0, y = x e pela para´bola y = 2− x2 no primeiro quadrante.
(8) Encontre os momentos de ine´rcia e os raios de rotac¸a˜o em relac¸a˜o aos eixos coordenados de uma
placa retangular fina de densidade constante δ limitada pelas retas x = 3 e y = 3 no primeiro
quadrante.
(9) Encontre o centro´ide da regia˜o no primeiro quadrante limitada pelo eixo x, pela para´bola y2 = 2x
e pela reta x+ y = 4.
(10) Encontre o centro´ide da regia˜o triangular cortada do primeiro quadrante pela reta x+ y = 3.
(11) Encontre o centro´ide da regia˜o semi-circular limitada pelo eixo x e pela curva y =
√
1− x2.
(12) A a´rea da regia˜o no primeiro quadrante limitada pela para´bola y = 6x− x2 e pela reta y = x
e´ 125/6 unidades quadradas. Encontre o centro´ide.
Ede´zio Ca´lculo II 3
(13) Encontre o centro´ide da regia˜o cortada do primeiro quadrante pela circunfereˆncia x2 +y2 = a2.
(14) Encontre o centro´ide da regia˜o entre o eixo x e o arco y = sen x, 0 ≤ x ≤ pi.
Densidade Varia´vel:
(15) Encontre o momento de ine´rcia e o raio de rotac¸a˜o em relac¸a˜o ao eixo x de uma placa fina
limitada pela para´bola x = y − y2 e pela reta x+ y = 0 se delta(x, y) = x+ y.
(16) Encontre a massa de uma placa fina que ocupa a regia˜o menor cortada da elipse x2 + 4y2 = 12
pela para´bola x = 4y2 se δ(x, y) = 5x.
(17) Encontre o centro de massa de uma placa triangular fina limitada pelo eixo y e pelas retas
y = x e y = 2 se δ(x, y) = 6x+ 3y + 3.
(18) Encontre o centro de massa e o momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo x de uma placa fina
limitada pelas curvas x = y2 e x = 2y − y2 se a densidade no ponto (x,y) for δ(x, y) = y + 1.
(19) Encontre o centro de massa, o momento de ine´rcia e o raio de rotac¸a˜o em relac¸a˜o ao eixo y
de uma placa fina retangular cortada do primeiro quadrante pelas retas x = 6 e y = 1 se
δ(x, y) = x+ y + 1.
(20) Encontre o centro de massa, o momento de ine´rcia e o raio de rotac¸a˜o em relac¸a˜o ao eixo y de
uma placa fina limitada pela reta y = 1 e pela para´bola y = x2 se a densidade for δ(x, y) = y+1.
(21) Encontre o centro de massa, o momento de ine´rcia e o raio de rotac¸a˜o em relac¸a˜o ao eixo y de
uma placa fina limitada pelo eixo x, pelas retas x = ±1 e pela para´bola y = x2 se a densidade
for δ(x, y) = 7y + 1.
(22) Determine a massa e o centro de massa da laˆmina que ocupa a regia˜o D e tem func¸a˜o densidade
ρ.
(a) D = {(x, y)/− 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}; ρ(x, y) = x2;
(b) D e´ uma regia˜o triangular com ve´rtices (0, 0), (1, 1), (4, 0) : ρ(x, y) = x;
(c) D e´ uma regia˜o no primeiro quadrante limitada pela para´bola y = x2 e pela reta y =
1; ρ(x, y) = xy;
(d) D e´ limitada pela para´bola x = y2 e pela reta y = x− 2; ρ(x, y) = 3.
(23) Determine os momentos de ine´rcia Ix, Iy, Io para a laˆmina do exerc´ıcio (22)(c);
(24) Determine os momentos de ine´rcia Ix, Iy, Io para a laˆmina do exerc´ıcio (22)(d).
Volume sob uma superf´ıcie z = f(x, y)
(25) Encontre o volume da regia˜o limitada pelo parabolo´ide z = x2+y2 e inferiormente pelo triaˆngulo
delimitado pelas retas y = x, x = 0 e x+ y = 2 no plano xy.
(26) Encontre o volume do so´lido que e´ limitado superiormente pelo cilindro z = x2 e inferiormente
pela regia˜o delimitada pela para´bola y = 2− x2 e pela reta y = x no plano xy.
Ede´zio Ca´lculo II 4
(27) Encontre o volume do so´lido cuja base e´ a regia˜o no plano xy que e´ limitada pela para´bola
y = 4− x2 e pela reta y = 3x, enquanto o topo do so´lido e´ limitado pelo plano z = x+ 4.
(28) Encontre o volume do so´lido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelo plano
x = 3 e pelo cilindro parabo´lico z = 4− y2.
(29) Encontre o volume do so´lido cortado do primeiro octante pela superf´ıcie z = 4− x2 − y.
(30) Encontre o volume da cunha cortada do primeiro octante pelo cilindro z = 12 − 3y2 e pelo
plano x+ y = 2.
Invertendo a Ordem de Integrac¸a˜o:
Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integrac¸a˜o
invertida. Depois calcule ambas as integrais.
(31)
∫ 1
0
∫ 4−2y
2
dydx
(32)
∫ 4
0
∫ (y−4)/2
−√4−y
dxdy
(33)
∫ 1
0
∫ x2
x
√
x dydx
(34)
∫ 3/2
0
∫ √9−y2
−
√
9−y2
y dydx
(35)
∫ 1
0
∫ 4−2y
2
dydx