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Ede´zio Ca´lculo II 1 Ca´lculo II - Aplicac¸o˜es da Integral Dupla A´rea de uma regia˜o plana A a´rea de uma regia˜o plana D fechada e limitada e´: A = ∫ ∫ D dA Aplicac¸o˜es F´ısicas usando as Integrais Duplas Muitas estruturas e sistemas mecaˆnicos se comportam como se sua massa estivesse concentrada em um u´nico ponto, chamado centro de massa . E´ importante saber como localizar esse ponto. Os primeiros momentos (Mx e My) de um corpo nos informam sobre o equil´ıbrio e sobre o torque que o corpo exerce em torno de diferentes eixos em um campo gravitacional. Se, entretanto, o corpo for uma haste que gira, estaremos mais interessados na quantidade de energia que estara´ armazenada na haste ou na quantidade de energia que sera´ necessa´ria para acelerar a haste ate´ uma determinada velocidade angular. E´ aqui que entra o segundo momento ou momento de ine´rcia . O raio de rotac¸a˜o Rx nos diz a que distaˆncia do eixo x a massa total da placa pode estar concentrada pra resultar no mesmo Ix. Quando ρ e´ constante, a localiza’ ao do centro de massa se torna uma caracter´ıstica da forma do objeto e na˜o mais do material do qual o objeto e´ feito. Em tais casos o centro de massa e´ chamado de centro´ide. Considere uma laˆmina na˜o homogeˆnea, com a forma de uma regia˜o D e com densidade de a´rea em um ponto (x, y) de D dada pela func¸a˜o cont´ınua ρ = ρ(x, y). • A massa total da laˆmina M e´ dada pela integral M = ∫ ∫ D ρ(x, y)dA • O momento de massa em relac¸a˜o ao eixo x e´ dado por: Mx = ∫ ∫ D yρ(x, y)dA • O momento de massa em relac¸a˜o ao eixo y e´ dado por: My = ∫ ∫ D xρ(x, y)dA • O centro de massa, denotado por (x, y) e´ definido por: x = My M e y = Mx M • O momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo x Ix = ∫ ∫ D y2ρ(x, y)dA Ede´zio Ca´lculo II 2 • O momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo y Iy = ∫ ∫ D x2ρ(x, y)dA • O momento de ine´rcia polar Io = ∫ ∫ D (x2 + y2)ρ(x, y)dA • O momento de ine´rcia em relac¸a˜o a uma reta L: IL = ∫ ∫ D r2(x, y)δ(x, y)dA onde r(x, y) =distaˆncia de (x, y) ate´ L. • Raios de Rotac¸a˜o: Em relac¸a˜o ao eixo x: Rx = √ Ix/M Em relac¸a˜o ao eixo y: Ry = √ Iy/M Em relac¸a˜o a` origem: Ro = √ Io/M A´rea por integrac¸a˜o dupla: Esboce a regia˜o limitada pelas retas e curvas dadas. Depois expresse a a´rea da regia˜o como uma integral dupla iterada e calcule a integral. (1) a para´bola x = −y2 e a reta y = x+ 2. (2) a para´bola x = y − y2 e a reta y = −x. (3) a curva y = ex e as retas y = 0, x = 0 e x = ln 2. (4) as curvas y = lnx e y = 2 ln x e a reta x = e, no primeiro quadrante. (5) as para´bolas x = y2 e x = 2y − y2. (6) as para´bolas x = y2 − 1 e x = 2y2 − 2. Densidade Constante: (7) Encontre o centro de massa de uma placa fina de densidade δ = 3 limitada pelas retas x = 0, y = x e pela para´bola y = 2− x2 no primeiro quadrante. (8) Encontre os momentos de ine´rcia e os raios de rotac¸a˜o em relac¸a˜o aos eixos coordenados de uma placa retangular fina de densidade constante δ limitada pelas retas x = 3 e y = 3 no primeiro quadrante. (9) Encontre o centro´ide da regia˜o no primeiro quadrante limitada pelo eixo x, pela para´bola y2 = 2x e pela reta x+ y = 4. (10) Encontre o centro´ide da regia˜o triangular cortada do primeiro quadrante pela reta x+ y = 3. (11) Encontre o centro´ide da regia˜o semi-circular limitada pelo eixo x e pela curva y = √ 1− x2. (12) A a´rea da regia˜o no primeiro quadrante limitada pela para´bola y = 6x− x2 e pela reta y = x e´ 125/6 unidades quadradas. Encontre o centro´ide. Ede´zio Ca´lculo II 3 (13) Encontre o centro´ide da regia˜o cortada do primeiro quadrante pela circunfereˆncia x2 +y2 = a2. (14) Encontre o centro´ide da regia˜o entre o eixo x e o arco y = sen x, 0 ≤ x ≤ pi. Densidade Varia´vel: (15) Encontre o momento de ine´rcia e o raio de rotac¸a˜o em relac¸a˜o ao eixo x de uma placa fina limitada pela para´bola x = y − y2 e pela reta x+ y = 0 se delta(x, y) = x+ y. (16) Encontre a massa de uma placa fina que ocupa a regia˜o menor cortada da elipse x2 + 4y2 = 12 pela para´bola x = 4y2 se δ(x, y) = 5x. (17) Encontre o centro de massa de uma placa triangular fina limitada pelo eixo y e pelas retas y = x e y = 2 se δ(x, y) = 6x+ 3y + 3. (18) Encontre o centro de massa e o momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo x de uma placa fina limitada pelas curvas x = y2 e x = 2y − y2 se a densidade no ponto (x,y) for δ(x, y) = y + 1. (19) Encontre o centro de massa, o momento de ine´rcia e o raio de rotac¸a˜o em relac¸a˜o ao eixo y de uma placa fina retangular cortada do primeiro quadrante pelas retas x = 6 e y = 1 se δ(x, y) = x+ y + 1. (20) Encontre o centro de massa, o momento de ine´rcia e o raio de rotac¸a˜o em relac¸a˜o ao eixo y de uma placa fina limitada pela reta y = 1 e pela para´bola y = x2 se a densidade for δ(x, y) = y+1. (21) Encontre o centro de massa, o momento de ine´rcia e o raio de rotac¸a˜o em relac¸a˜o ao eixo y de uma placa fina limitada pelo eixo x, pelas retas x = ±1 e pela para´bola y = x2 se a densidade for δ(x, y) = 7y + 1. (22) Determine a massa e o centro de massa da laˆmina que ocupa a regia˜o D e tem func¸a˜o densidade ρ. (a) D = {(x, y)/− 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}; ρ(x, y) = x2; (b) D e´ uma regia˜o triangular com ve´rtices (0, 0), (1, 1), (4, 0) : ρ(x, y) = x; (c) D e´ uma regia˜o no primeiro quadrante limitada pela para´bola y = x2 e pela reta y = 1; ρ(x, y) = xy; (d) D e´ limitada pela para´bola x = y2 e pela reta y = x− 2; ρ(x, y) = 3. (23) Determine os momentos de ine´rcia Ix, Iy, Io para a laˆmina do exerc´ıcio (22)(c); (24) Determine os momentos de ine´rcia Ix, Iy, Io para a laˆmina do exerc´ıcio (22)(d). Volume sob uma superf´ıcie z = f(x, y) (25) Encontre o volume da regia˜o limitada pelo parabolo´ide z = x2+y2 e inferiormente pelo triaˆngulo delimitado pelas retas y = x, x = 0 e x+ y = 2 no plano xy. (26) Encontre o volume do so´lido que e´ limitado superiormente pelo cilindro z = x2 e inferiormente pela regia˜o delimitada pela para´bola y = 2− x2 e pela reta y = x no plano xy. Ede´zio Ca´lculo II 4 (27) Encontre o volume do so´lido cuja base e´ a regia˜o no plano xy que e´ limitada pela para´bola y = 4− x2 e pela reta y = 3x, enquanto o topo do so´lido e´ limitado pelo plano z = x+ 4. (28) Encontre o volume do so´lido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelo plano x = 3 e pelo cilindro parabo´lico z = 4− y2. (29) Encontre o volume do so´lido cortado do primeiro octante pela superf´ıcie z = 4− x2 − y. (30) Encontre o volume da cunha cortada do primeiro octante pelo cilindro z = 12 − 3y2 e pelo plano x+ y = 2. Invertendo a Ordem de Integrac¸a˜o: Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integrac¸a˜o invertida. Depois calcule ambas as integrais. (31) ∫ 1 0 ∫ 4−2y 2 dydx (32) ∫ 4 0 ∫ (y−4)/2 −√4−y dxdy (33) ∫ 1 0 ∫ x2 x √ x dydx (34) ∫ 3/2 0 ∫ √9−y2 − √ 9−y2 y dydx (35) ∫ 1 0 ∫ 4−2y 2 dydx
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