Resumo I Unidade - Espaços Vetoriais

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Resumo de Álgebra Linear I unidade 
 
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I. Vetores: 
 É comum pensarmos em vetores como „setas‟ no espaço 
 
, mas, na verdade, vetor é um 
elemento de um conjunto vetorial, podendo ser também polinômio, matriz, etc. 
 Falamos em entradas dos vetores como cada valor que usamos para caracterizá-lo, por 
exemplo: Sendo o vetor , os valores são as entradas desse vetor. Outro 
exemplo: Sendo o vetor , os coeficientes são as entradas 
desse vetor. Outro exemplo: Sendo o vetor 
 
 
 , os valores são as entradas 
desse vetor. 
 O Vetor Nulo é o elemento do conjunto onde todas as entradas são nulas. 
 Quando falamos na forma mais geral de um vetor, representamos as entradas dos 
vetores como letras, ou seja, sem especificar nenhum vetor. Exemplo, a forma mais geral de 
um vetor de 
 
 é . A forma mais geral de um vetor de (espaço vetorial dos 
polinômios de grau menor ou igual a 3) é . A forma mais geral de um vetor 
de (espaço vetorial das matrizes 2x3) é 
 
 
 . 
II. Espaços Vetoriais: 
 A definição de Espaço Vetorial é: entidade formada pelo conjunto dos números reais, um 
conjunto de vetores e uma operação entre esses conjuntos. 
 De uma forma mais simples, Espaço Vetorial é uma “coleção” (conjunto) de vetores que 
obedece a 8 axiomas, sendo 4 aditivos e 4 multiplicativos: 
Axiomas: 
 Sendo V um conjunto de vetores e o conjunto dos números reais, dizemos que V é um 
Espaço Vetorial se os 8 axiomas abaixo são obedecidos: 
 Aditivos: 
1) , tem-se que (Comutatividade); 
2) Existe um elemento , chamado de Vetor Nulo, tal que tem-se 
 (Existência de um elemento neutro); 
3) , existe um elemento tal que . Temos daí que (Existência 
de um elemento oposto); 
4) , tem-se (Associatividade). 
Multiplicativos: 
1) , tem-se que , onde é o unitário de ; 
2) e , tem-se que ; 
3) e , tem-se que ; 
4) e , tem-se que . 
Obs.: Na prova não será pedido a prova de que um conjunto é um Espaço Vetorial. Ao invés 
disso, pede-se para verificar se um conjunto é um Subespaço Vetorial de um outro Espaço. 
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III. Subespaços Vetoriais: 
 Subespaços Vetoriais (de algum outro Espaço ou Subespaço Vetorial) são subconjuntos 
vetoriais que obedecem aos 8 axiomas apresentados anteriormente. Mas o fato de serem 
subconjuntos nos permite apenas verificar 4 propriedades para que possamos provar (ou 
negar) que são Subespaços Vetoriais. 
Condições: Sejam Espaço Vetorial e conjunto vetorial, dizemos que é Subespaço 
Vetorial de se: 
1) ; (Vetor nulo de também é o vetor nulo de ); 
2) ; ( é um subconjunto de ); 
3) , ; 
4) e , ; 
Obs.: Quando falamos do conjunto , estamos nos referindo à reta dos números reais, portanto 
representamos um ponto (ou um vetor) por uma única entrada na forma . Para 
 
, estamos 
falando do plano e representamos um ponto (ou um vetor) por duas entradas na forma . 
E assim por diante até chegarmos em 
 
 (a noção geométrica vai apenas até 
 
) quando 
representamos um ponto (ou um vetor) por entradas na forma . 
Ex.: Seja 
 
 espaço vetorial e , diga se é subespaço 
vetorial de . 
Para resolver essa questão, basta conferir se as 4 condições de subespaço vetorial são 
obedecidas: 
1) Para fazer esta verificação, olhamos para a condição imposta , e verificamos 
se o vetor nulo satisfaz a condição. 
Lembrando que o vetor nulo em questão (
 
) é . 
Neste caso satisfaz, pois ; 
 
2) Para esta verificação, é olhar na definição de que ele é formado por vetores que 
pertencem a ; 
 
3) Para esta verificação, temos que pegar dois vetores de na sua forma mais geral, somar 
e ver se o vetor obtido ainda obedece à condição imposta : 
Escolhemos os vetores e . 
Sabemos que e que . Então fazemos: 
 , agora verificamos a condição: 
 . 
Então a condição é respeitada e, por tanto, ; 
 
4) Semelhante à condição anterior, temos que escolher um vetor de em sua forma mas 
geral, multiplicarpor um escalar qualquer e ver se o vetor obtido ainda obedece à condição 
imposta : 
Escolhemos o vetor e . 
Sabemos que . Então Fazemos: 
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 , agora verificamos a condição: 
 . 
Então a condição é respeitada e, por tanto, . 
Como as 4 condições foram respeitadas, então é subespaço vetorial de . 
Obs.: Se repararem, geometricamente temos, 
 
 é o espaço tridimensional e 
 é o plano (que passa pela origem e, por isso, 
contém o vetor nulo). 
Ex².: Seja o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 e 
 
 , diga se é subespaço vetorial de . 
Para resolver essa questão, basta conferir se as 4 condições de subespaço vetorial são 
obedecidas: 
1) Para fazer esta verificação, olhamos para as condições impostas e 
 , e verificamos se o vetor nulo satisfaz estas condições. O vetor nulo em 
questão é o polinômio , daí temos: e . Condição 
satisfeita; 
 
2) Pela definição, percebemos que os vetores de são polinômios de grau menor ou igual a 
3. Condição satisfeita; 
 
3) Para esta verificação, temos que pegar dois vetores de na sua forma mais geral, somar 
e ver se o vetor obtido ainda obedece às condições impostas 
 : 
Escolhemos os vetores e . 
Sabemos que: 
 ; 
 ; 
 ; 
 . 
Então fazemos: 
 , agora verificamos 
as condições: 
 . 
 . 
Então as duas condições são respeitadas e, portanto, ; 
 
4) Novamente vamos escolher um vetor de na sua forma mais geral, multiplicar por um 
escalar qualquer e ver se o vetor obtido respeita as condições: 
Escolhemos o vetor e . 
Sabemos que: 
 ; 
 . 
Então Fazemos: 
 , agora verificamos as condições: 
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4 
 
 . 
 . 
Então as duas condições são respeitadas e, portanto, ; 
Como as 4 condições foram respeitadas, então é subespaço vetorial de . 
Obs.: Você pode escrever o vetor na forma mais geral substituindo as entradas por equivalentes. 
Exemplo: Se 
 , pela condição: 
  . Então podemos escrever: 
 
 , onde 
 é o vetor na forma mais geral. 
IV. Geradores: 
 Um conjunto de geradores é um conjunto de vetores que podem resultar em qualquer vetor 
de um espaço. Porém, os vetores geradores não precisam ser LI (a combinação linear deles 
dando o vetor nulo tem como única solução todos os coeficientes iguais a zero (conhecida 
como solução trivial)). Podemos caracterizar um espaço vetorial pelo seu conjunto de 
geradores. 
Obs.: Os geradores são representados por um conjunto de vetores entre colchetes. (Pelo o 
amor de Deus... NÃO COLOQUEM CHAVES!!). 
V. Bases: 
 Base é um conjunto de vetores (semelhantemente ao conjunto de geradores, a diferença 
é que todos os vetores devem ser LI entre si) que, através de uma combinação linear, 
conseguimos obter qualquer vetor do espaço. 
Obs.: A base é representada por um conjunto de vetores entre chaves.(Pelo o amor de 
Deus... NÃO COLOQUEM COLCHETES!!). 
 Para achar uma base basta seguir um „passo-a-passo‟ bem simples. Após saber o espaço 
em questão: 
1) Olhar (simplificar) a condição de existência (deixar com o menor número possível de 
„letras‟); 
2) Escrever um vetor na forma mais geral (e mais simplificada); 
3) “Separar” em uma combinação linear variáveis independentes; 
4) Colocar as variáveis em evidência (achando os geradores); 
5) Achar um conjunto LI dos vetores obtidos. 
Ex.: Seja 
 
 
 , determine uma base de . 
1) Condição: 
  ; 
  ; 
Ficamos com a condição simplificada: 
 
 
 ; 
 
2) Forma mais geral: 
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Escolhemos um vetor , substituindo a condição simplificada na forma geral 
apresentada, ficamos com 
 
 
 ; 
 
3) “Separando” as variáveis: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; 
 
4) Colocar em evidência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
Achamos os vetores: 
 
 
 e 
 
 
 ; 
 
5) Conjunto LI: 
Fazemos uma combinação linear dos vetores obtidos resultando no vetor nulo, se a única 
solução for a trivial, então eles formam a base do espaço: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo o sistema: 
 
 
 
 
 
 Resolvendo o sistema, a única solução é . 
Portanto, os vetores 
 
 
 e 
 
 
 são LI e temos: 
 
 
 
 , 
 
 
 é uma base de . 
Ex.: Seja 
 
 um espaço vetorial, represente 
pelos seus geradores. 
Um vetor pode ser escrito: 
 . 
Temos daí que os vetores , e são geradores de já que, com uma 
combinação linear deles, podemos obter qualquer outro vetor. 
Representamos . 
(Repare que o conjunto não é uma base, pois seus vetores não são LI). 
Obs.: Muito cuidado para não trocar as formas de representação de uma base e de um 
conjunto gerador. São coisas muito diferentes e a maioria dos professores podem cortar a 
questão inteira por isso. 
Obs².: Tente refazer a questão seguindo até o 4º passo do „passo-a-passo‟ para achar uma 
base. 
 
 
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VI. Dimensão: 
 A dimensão de um espaço vetorial é definido como o número de vetores de uma base 
(lembrando que, embora existam infinitas bases para um mesmo espaço, todas tem o mesmo 
número de vetores). Representamos a dimensão de um espaço como dim . Para espaços 
sem restrições (condições) temos: dim 
 
 ; dim ; dim . 
Ex.: Seja 
 
 
 , determine uma base e diga a dimensão de 
 . 
Esse exemplo já foi feito (V. Bases). A resposta foi 
 
 
 , 
 
 
 é uma base de . A 
dimensão é, por definição, o número de vetores de uma base, portanto dim . 
Obs.: Uma relação importante de dimensão é, sejam e dois subespaços vetoriais de um 
mesmo corpo: 
 dim dim + dim – dim . 
VII. Coordenadas: 
 As coordenadas são um conjunto de valores que, dada uma base, caracterizam um vetor. 
O número de coordenadas de um vetor é o número de entradas do mesmo. Correspondem aos 
coeficientes de cada vetor da base na combinação linear. 
 Para achar as coordenadas de um vetor em relação a uma determinada base, basta você: 
1) Achar a base; 
2) Escrever o vetor que você quer como combinação linear dos vetores da base; 
3) Resolver o sistema e as coordenadas serão os coeficientes. 
 
Obs.: A maneira de representar as coordenadas de um vetor em relação a uma base 
 é: 
 
 
 
 
 
 , onde é a -ésima coordenada para . Onde 
 . 
Ex.: Seja base de 
 
, determine as coordenadas do vetor . 
1) A base já foi dada; 
2) Como os vetores de formam uma base, o vetor pode ser escrito como: 
 , ficamos com o sistema: 
 
 
 
 ; 
3) As coordenadas do vetor em questão são: 
 
 
 , então precisamos apenas achar e 
 : 
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  Podemos resolver escalonando ou de qualquer outro método. Esse 
sistema em particular fica mais rápido de resolver por substituição: 
Da segunda equação temos: 
Na primeira ficamos: e ficamos com 
 
 
, portanto 
 
 
. 
Temos no fim: 
 
 
 
 
 
 . 
VIII. Mudança de base: 
 Imagine agora que você tem duas bases de um mesmo espaço e é pedido que você diga 
as coordenadas de alguns vetores em ambas as bases. Levaria muito tempo para resolver 
fazendo do jeito tradicional para cada vetor em cada uma das bases. Um jeito mais fácil seria 
usando a relação: 
 
 
Onde: 
 Coordenadas do vetor em relação à base ; 
 Coordenadas do vetor em relação à base ; 
 
 Matriz de mudança de base de (de cima) para (de baixo). 
 
 A matriz de mudança de base corresponde a uma matriz onde as colunas são as 
coordenadas dos vetores da base “de cima” em relação à base “de baixo”: 
Imagine que temos e , a matriz mudança de base fica: 
 
 
 
Para achar a matriz mudança de base, fazemos: 
 
1) Achar as bases; 
2) Achar as coordenadas de cada um dos vetores da base “de cima” em relação à base 
“de baixo”; 
3) Montar a matriz; 
4) CASO peça a matriz de mudança de base “inversa” (trocando a ordem das bases), 
você pode refazer o passo-a-passo ou achar a matriz inversa da já achada ( 
 
 
 
 
 
); 
Ex.: Calcule 
 onde é base de 
 
 e é a base canônica de 
 
. Depois calcule 
 . 
1) As bases já foram dadas; 
2) Temos que achar os vetores de com relação à base : 
Para o primeiro vetor de : 
  e , então: 
 
 
 ; 
Para o segundo vetor de : 
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  e , então: 
 
 
 ; 
3) Montando a matriz: 
 
  
 
 
 
 ; 
 
4) Para achar 
 podemos repetir o processo, ou calcular a matriz inversa de 
 . 
Calculando a matriz inversa, coloca a matriz identidade do lado direito e escalona até achar 
a identidade do lado esquerdo: 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; 
 
E a matriz resultante do lado direito é a inversa que procuramos, portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 .