11 Análise Combinatória

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ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
 
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Análise Combinatória 
A análise combinatória é um dos tópicos que a matemática é dividida, responsável pelo estudo de 
critérios para a representação da quantidade de possibilidades de acontecer um agrupamento sem que 
seja preciso desenvolvê-los. 
Veja um exemplo de um problema de análise combinatória e como montamos os seus agrupamentos. 
Dado o conjunto B dos algarismos B = {1,2,3,4}. Qual a quantidade de números naturais de 3 algarismos 
que podemos formar utilizando os elementos do grupo B? 
Esse é um tipo de problema de análise combinatória, pois teremos que formar agrupamentos, nesse 
caso formar números de 3 algarismos, ou seja, formar agrupamentos com os elementos do conjunto B 
tomados de 3 em 3. 
Veja como resolveríamos esse problema sem a utilização de critérios ou fórmulas que o estudo da 
análise combinatória pode nos fornecer. 
 
Esse esquema construído acima representa todos os números naturais de 3 algarismos que podemos 
formar com os algarismos 1,2,3,4, portanto, concluindo que é possível formar 24 agrupamentos. 
 
Para descobrir essa quantidade de agrupamentos possíveis não é necessário montar todo esse es-
quema, basta utilizar do estudo da análise combinatória que divide os agrupamentos em Arranjos sim-
ples, Combinações simples, Permutações simples e Permutações com elementos repetidos. Cada uma 
dessas divisões possui uma fórmula e uma maneira diferente de identificação, que iremos estudar 
nessa seção. 
O estudo da análise combinatória é dividido em: 
Princípio fundamental da contagem 
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Fatorial 
Arranjos Simples 
Permutação Simples 
Combinação Simples 
Permutação com elementos repetidos. 
Análise Combinatória 
A análise combinatória ou combinatória são cálculos que permitem a formação de grupos relacionados 
à contagem. 
Faz análise das possibilidades e das combinações possíveis entre um conjunto de elementos. Por isso, 
é muito utilizada nos estudos sobre probabilidade e lógica. 
Probabilidade 
A Probabilidade é um conceito da matemática que permite analisar ou calcular as chances de obter 
determinado resultado diante de um experimento aleatório. São exemplos um lançamento de dados ou 
a possibilidade de ganhar na loteria. 
A partir disso, a probabilidade determina o resultado entre o número de eventos possíveis e número de 
eventos favoráveis, apresentada pela seguinte expressão: 
 
Donde 
P: probabilidade 
na: número de casos (eventos) favoráveis 
n: número de casos (eventos) possíveis 
Princípio Fundamental da Contagem 
O princípio fundamental da contagem postula que: 
“quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo que as possibi-
lidades da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número total de 
possibilidades de o evento ocorrer, dado pelo produto (x) . (y)”. 
Em resumo, no princípio fundamental da contagem, multiplica-se o número de opções entre as escolhas 
que lhe são apresentadas. 
Como exemplo, podemos pensar na combinação de roupas de uma garota, sendo que ela possui 3 
tipos de calças, 4 tipos de blusas, 2 tipos de sapatos e 3 tipos de bolsas. 
Logo, para saber quais as diferentes possibilidades que a garota possui basta multiplicar o número de 
peças: 3 x 4 x 2 x 3 = 72. 
Portanto, a garota possui 72 possibilidades de configurações diferentes para o uso das peças de roupas 
e dos acessórios apresentados. 
Tipos De Combinatória 
A combinatória utiliza de importantes ferramentas, ou seja, há três tipos básicos de agrupamento dos 
elementos: arranjos, combinações e permutações. Todas utilizam o fatorial: 
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Arranjos 
Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos mesmos. 
Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão: 
 
Como exemplo de arranjo, podemos pensar nas eleições, de modo que 20 deputados concorrem a 2 
vagas no estado de São Paulo. 
Dessa forma, de quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? Observe que nesse caso, a 
ordem é importante, visto que altera o resultado final. 
 
Logo, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes. 
Combinações 
As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é importante, entretanto, são 
caracterizadas pela natureza dos mesmos. 
Assim, para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n), utiliza-se a se-
guinte expressão: 
 
A fim de exemplificar, podemos pensar na escolha de 3 membros para formar a comissão organizadora 
de um evento, dentre as 10 pessoas que se candidataram. 
Para tanto, Maria, João e José são os escolhidos. De quantas maneiras distintas esse grupo pode se 
combinar? 
Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos elementos não é relevante. Isso 
quer dizer que a combinação Maria, João e José é equivalente à João, José e Maria. 
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Logo, há 120 maneiras distintas de combinar os 3 membros da comissão. 
Permutações 
As permutações são agrupamentos ordenados, donde o número de elementos (n) do agrupamento é 
igual ao número de elementos disponíveis, expresso pela fórmula: 
 
Para exemplificar, pensemos de quantas maneiras diferentes poderiam surgir a sequência de resulta-
dos dos 5 números que saíram na loteria: 11, 12, 44, 52, 61. 
Sendo assim, os números que compõem o resultado final é uma sequência de 6 números, logo: 
 
Logo, o resultado final da loteria, podem ser permutados 720 vezes. 
Probabilidade 
Probabilidade é o estudo das chances de ocorrência de um resultado, que são obtidas pela razão entre 
casos favoráveis e casos possíveis. 
Probabilidade é um ramo da Matemática em que as chances de ocorrência de experimentos são cal-
culadas. 
É por meio de uma probabilidade, por exemplo, que podemos saber desde a chance de obter cara ou 
coroa no lançamento de uma moeda até a chance de erro em pesquisas. 
Para compreender esse ramo, é extremamente importante conhecer suas definições mais básicas, 
como a fórmula para o cálculo de probabilidades em espaços amostrais equiprováveis, probabilidade 
da união de dois eventos, probabilidade do evento complementar etc. 
Experimento Aleatório 
É qualquer experiência cujo resultado não seja conhecido. Por exemplo: ao jogar uma moeda e obser-
var a face superior, é impossível saber qual das faces da moeda ficará voltada para cima, exceto no 
caso em que a moeda seja viciada (modificada para ter um resultado mais frequentemente). 
Suponha que uma sacola de supermercado contenha maçãs verdes e vermelhas. Retirar uma maçã 
de dentro da sacola sem olhar também é um experimento aleatório. 
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Ponto Amostral 
Um ponto amostral é qualquer resultado possível em um experimento aleatório. Por exemplo: no lan-
çamento de um dado, o resultado (o número que aparece na face superior) pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. 
Então, cada um desses números é um ponto amostral desse experimento. 
Espaço Amostral 
O espaço amostral é o conjunto formado por todos os pontos amostrais de um experimento aleatório, 
ou seja, por todos os seus resultados possíveis. Dessa maneira, o resultado de um experimento alea-
tório, mesmo que não seja previsível, sempre pode ser encontrado dentro do espaço amostral referente 
a ele. 
Como os espaços amostrais são conjuntos de resultados possíveis, utilizamos as representações de 
conjuntos para esses espaços. Por exemplo: O espaço amostral referente ao experimento “lançamento 
de um dado” é o conjunto Ω, tal que: 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Esse conjunto também pode ser representado pelo diagrama de Venn ou, dependendo do experi-
mento, por alguma lei de formação. 
O número de elementos dos espaços amostrais é representado por n(Ω). No caso do exemplo anterior, 
n(Ω) =6. Lembre-se de que os elementos de um espaço amostral são pontos amostrais, ou seja, re-
sultados possíveis de um experimento aleatório. 
Evento 
Os eventos são subconjuntos de um espaço amostral. Um evento pode conter desde zero a todos os 
resultados possíveis de um experimento aleatório, ou seja, o evento pode ser um conjunto vazio ou o 
próprio espaço amostral. No primeiro caso, ele é chamado de evento impossível. No segundo, é cha-
mado de evento certo. 
Ainda no experimento aleatório do lançamento de um dado, observe os seguintes eventos: 
A = Obter um número par: 
A = {2, 4, 6} e n(A) = 3 
B = Sair um número primo: 
B = {2, 3, 5} e n(B) = 3 
C = Sair um número maior ou igual a 5: 
C = {5, 6} e n(C)= 2 
D = Sair um número natural: 
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(D) = 6 
Espaços Equiprováveis 
Um espaço amostral é chamado equiprovável quando todos os pontos amostrais dentro dele têm a 
mesma chance de ocorrer. É o caso de lançamentos de dados ou de moedas não viciados, escolha de 
bolas numeradas de tamanho e peso idênticos etc. 
Um exemplo de espaço amostral que pode ser considerado não equiprovável é o formado pelo se-
guinte experimento: escolher entre tomar sorvete ou fazer caminhada. 
Cálculo de Probabilidades 
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As probabilidades são calculadas dividindo-se o número de resultados favoráveis pelo número de re-
sultados possíveis, ou seja: 
P = n(E) 
 n(Ω) 
Nesse caso, E é um evento que se quer conhecer a probabilidade, e Ω é o espaço amostral que o 
contém. 
Por exemplo, no lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair o número um? 
Nesse exemplo, sair o número um é o evento E. Assim, n(E) = 1. O espaço amostral desse experimento 
contém seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Logo, n(Ω) = 6. Desse modo: 
P = n(E) 
 n(Ω) 
P = 1 
 6 
P = 0,1666… 
P = 16,6% 
Outro exemplo: qual a probabilidade de obtermos um número par no lançamento de um dado? 
Os números pares possíveis em um dado são 2, 4 e 6. Logo, n(E) = 3. 
P = n(E) 
 n(Ω) 
P = 3 
 6 
P = 0,5 
P = 50% 
Observe que as probabilidades sempre resultarão em um número dentro do intervalo 0 ≤ x ≤ 1. Isso 
acontece porque E é um subconjunto de Ω. Dessa maneira, E pode conter desde zero até, no máximo, 
o mesmo número de elementos que Ω. 
Teorema de Bayes 
Em teoria das probabilidades e estatística, o teorema de Bayes (alternativamente, a lei de Bayes ou a 
regra de Bayes) descreve a probabilidade de um evento, baseado em um conhecimento a priori que 
pode estar relacionado ao evento. O teorema mostra como alterar as probabilidades a priori tendo em 
vista novas evidências para obter probabilidades a posteriori. Por exemplo, o teorema de Bayes pode 
ser aplicado ao jogo das três portas (também conhecido como problema de Monty Hall). 
Uma das muitas aplicações do teorema de Bayes é a inferência bayesiana, uma abordagem particular 
da inferência estatística. Quando aplicado, as probabilidade envolvidas no teorema de Bayes podem 
ter diferentes interpretações de probabilidade. Com a interpretação bayesiana de probabilidade, o teo-
rema expressa como a probabilidade de um evento (ou o grau de crença na ocorrência de um evento) 
deve ser alterada após considerar evidências sobre a ocorrência deste evento. A inferência bayesiana 
é fundamental para a estatística bayesiana. 
O teorema de Bayes recebe este nome devido ao pastor e matemático inglês Thomas Bayes (1701 – 
1761), que foi o primeiro a fornecer uma equação que permitiria que novas evidências atualizassem a 
probabilidade de um evento a partir do conhecimento a priori (ou a crença inicial na ocorrência de um 
evento). 
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O teorema de Bayes foi mais tarde desenvolvido por Pierre-Simon Laplace, que foi o primeiro a publicar 
uma formulação moderna em 1812 em seu livro Teoria Analítica de Probabilidade, na tradução do 
francês. Harold Jeffreys colocou o algoritmo de Bayes e a formulação de Laplace em uma base axio-
mática. Jeffreys escreveu que "o teorema de Bayes é para a teoria da probabilidade o que o teorema 
de Pitágoras é para a geometria". 
Probabilidade Condicional 
Probabilidade condicional é um conceito matemático no qual são estudadas as possibilidades de um 
acontecimento condicionado a outro. 
Probabilidade condicional refere-se à probabilidade de um evento ocorrer com base em um evento an-
terior. Evidentemente, esses dois eventos precisam ser conjuntos não vazios pertencentes a um es-
paço amostral finito. 
Em um lançamento simultâneo de dois dados, por exemplo, obtêm-se números em suas faces superi-
ores. Qual é a probabilidade de que a soma desses números seja 8, desde que ambos os resultados 
sejam ímpares? 
Veja que a probabilidade de a soma desses números ser 8 está condicionada a resultados ímpares nos 
dois dados. Logo, lançamentos que apresentam um ou dois números pares na face superior podem ser 
descartados e, por isso, há uma redução no espaço amostral. 
O novo espaço amostral é composto pelos pares: 
{1,1}; {1,3}; {1,5}; {3,1}; {3,3}; {3,5}; {5,1}; {5,3} e {5,5} 
Desses, apenas {3,5} e {5,3} possuem soma 8. Logo, a probabilidade de que se obtenha soma 8 no 
lançamento de dois dados, dado que os resultados obtidos são ambos ímpares, é de: 
2 
9 
Fórmula da Probabilidade Condicional 
Seja K um espaço amostral que contém os eventos A e B não vazios. 
A probabilidade de A acontecer, dado que B já aconteceu, é representada por P(A|B) e é calculada 
pela seguinte expressão: 
P(A|B) = P(A∩B) 
 P(B) 
Caso seja necessário calcular a probabilidade da intersecção entre dois eventos, pode-se utilizar a se-
guinte expressão: 
P(A∩B) = P(A|B)·P(B) 
Exemplos 
Calcule a probabilidade de obter soma 8 no lançamento de dois dados em que o resultado do lança-
mento foi dois números ímpares. 
Solução: 
Seja A = Obter soma 8 e B = Obter dois números ímpares. 
P(A∩B) é a probabilidade de se obter apenas números ímpares que somam 8 no lançamento de dois 
dados. As únicas combinações das 36 possíveis são: 
{3,5} e {5,3} 
Portanto, 
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P(A∩B) = 2 
 36 
Já P(B) é a probabilidade de obter somente números ímpares no lançamento de dois dados. As únicas 
combinações dentro das 36 possíveis são: 
{1,1}; {1,3}; {1,5}; {3,1}; {3,3}; {3,5}; {5,1}; {5,3} e {5,5} 
Logo, 
P(B) = 9 
 36 
Utilizando a fórmula para probabilidade condicional, teremos: 
P(A|B) = P(A∩B) 
 P(B) 
 2 
P(A|B) = 36 
 9 
 36 
P(A|B) = 2 · 36 
 36 9 
P(A|B) = 2 
 9 
Qual é a probabilidade de extrair uma carta de um baralho comum de 52 cartas e obter um Ás, sabendo 
que ela é uma carta de copas? 
Solução: 
A = Obter um Ás 
B = Obter uma carta de copas 
Como só existe um ás de copas no baralho, 
P(A∩B) = 1 
 52 
A probabilidade de se obter uma carta de copas é: 
P(B) = 13 
 52 
Então, a probabilidade de se obter um às de copas é: 
P(A|B) = P(A∩B) 
 P(B) 
 1 
P(A|B) = 52 
 13 
 52 
P(A|B) = 1 · 52 
 52 13 
P(A|B) = 1 
 13 
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A Estatística é bastante utilizada em diversos ramos da sociedade, no intuito de realizar pesquisas, 
colher dados e processá-los, analisar informações, apresentar situações através de gráficos de fácil 
compreensão. Os meios de comunicação, ao utilizarem gráficos, deixam a leitura mais agradável. 
O IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) é considerado um órgão importante e conceitu-
ado na área. No intuito de conhecer e aprofundar nos estudos estatísticos precisamos conhecer alguns 
conceitos e fundamentos primordiais para o desenvolvimento de uma pesquisa. 
Conceitos e Fundamentos 
População: conjunto deelementos, número de pessoas de uma cidade. 
Amostra: parte representativa de uma população. 
Variável: depende da abordagem da pesquisa, da pergunta que será feita. Exemplo: Qual sua marca 
de carro favorita? Ford, Volks, Fiat, Peugeot, Nissan são alguns exemplos de resposta. 
Frequência absoluta: valor exato, número de vezes que o valor da variável é citado. 
Frequência relativa: valor representado através de porcentagem, divisão entre a frequência absoluta 
de cada variável e o somatório das frequências absolutas. 
Medidas de Tendência Central 
Média aritmética: medida de tendência central. Somatório dos valores dos elementos, dividido pelo 
número de elementos. 
Média aritmética ponderada: Somatório dos valores dos elementos multiplicado pelos seus respectivos 
pesos, dividido pela soma dos pesos atribuídos. 
Moda: valor de maior frequência em uma série de dados, o que mais se repete. 
Mediana: medida central em uma determinada sequência de dados numéricos. 
Medidas de Dispersão 
Amplitude: subtração entre o maior valor e o menor valor dos elementos do conjunto. 
Variância: dispersão dos dados variáveis em relação à média. 
Desvio Padrão: raiz quadrada da variância. Indica a distância média entre a variável e a média aritmé-
tica da amostra. 
População e Amostras 
Toda pesquisa estatística precisa atender a um público alvo, pois é com base nesse conjunto de pes-
soas que os dados são coletados e analisados de acordo com o princípio da pesquisa. Esse público 
alvo recebe o nome de população e constitui um conjunto de pessoas que apresentam características 
próprias, por exemplo: os usuários de um plano de saúde, os membros de uma equipe de futebol, os 
funcionários de uma empresa, os eleitores de um município, estado ou país, os alunos de uma escola, 
os associados de um sindicato, os integrantes de uma casa e várias situações que envolvem um grupo 
geral de elementos. A população também pode ser relacionada a um conjunto de objetos ou informa-
ções. Na estatística, a população é classificada como finita e infinita. 
População Finita: nesses casos o número de elementos de um grupo não é muito grande, a entrevista 
e a análise das informações devem abordar a todos do grupo. Por exemplo: 
As condições das escolas particulares na cidade de Goiânia. Se observarmos o grupo chegaremos à 
conclusão de que o número de escolas particulares em Goiânia é considerado finito. 
População infinita: o número de elementos nesse caso é muito elevado, sendo considerado infinito. Por 
exemplo: 
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A população da cidade de São Paulo. 
Amostra diz respeito a um subconjunto da população, fração ou uma parte do grupo. Em alguns casos 
seria impossível entrevistar todos os elementos de uma população, pois levaria muito tempo para con-
cluir o trabalho ou até mesmo seria financeiramente inviável, dessa forma, o número de entrevistados 
corresponde a uma quantidade determinada de elementos do conjunto, uma amostra. 
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