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Prova II

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Ministe´rio da Educac¸a˜o
Fundac¸a˜o Universidade Federal do Vale do Sa˜o Francisco - UNIVASF
Pro´-Reitoria de Ensino - PROEN
Secretaria de Registro e Controle Acadeˆmico - SRCA
Colegiado de Engenharia da Computac¸a˜o - CECOMP
Geometria Anal´ıtica
2-Prova Semestre: 2011.1 Turmas : C1
Professor: Beto Rober Bautista Saavedra Lugar e Data : Juazeiro, 9/06/2011
Geometria do Espac¸o
1. Seja a equac¸a˜o Cartesiana da para´bola y = x2 no plano. Colocar a para´bola
dada no plano x + y + 2z = 1. Logo, dar uma representac¸a˜o parame´trica dela
no espac¸o.
Soluc¸a˜o . Primeiro procuramos dois vetores unitarios perpendiculares paralelos ao plano.
O vetor normal ao plano e´ (1, 1, 2). Por simples inspec¸a˜o , obtemos um dos vetores :
( 1√
2
.− 1√
2
, 0). Para obter o outro procedemos como segue:
(1, 1, 2)× (1,−1, 0)
|(1, 1, 2)× (1,−1, 0)| = (−
1√
3
,
1√
3
,− 1√
3
)
O ponto (1,0,0) pertence ao plano. Uma representac¸a˜o parame´trica pode ser
(x, y, z) = (1, 0, 0) + t(
1√
2
.− 1√
2
, 0) + t2(− 1√
3
,
1√
3
,− 1√
3
)
1
2. Encontrar o ponto da esfera x2 + y2 + z2 = 1, onde assume o valor ma´ximo a
func¸a˜o f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 2x + y + 4z.
Soluc¸a˜o . f(x, y, z) = (x + 2)2 + (z + 2)2 + (y + 12 )
2 − 1− 4− 14 O problema consiste
em encontrar o ponto onde intersecta tangencialmente a esfera x2 + y2 + z2 = 1 com
esfera de maior raio (x + 2)2 + (z + 2)2 + (y + 12 )
2 = 214 + d. Para isso, intersectamos a
reta t(2, 2, 14 ) com a esfera x
2 + y2 + z2 = 1. O que nos da:
(
129
8
,
129
8
,
129
64
) e (
−129
8
,
−129
8
,
−129
64
)
O ponto que esta mais longe do centro (−2,−2,− 14 ) e´ ( 1298 , 1298 , 12964 ).
2
3. Dar as equac¸o˜es parame´tricas da circunfereˆncia contida no plano x+y+2z = 1
de centro (1, 0, 0) e raio 2.
Soluc¸a˜o . Uma representac¸a˜o parame´trica pode ser
(1, 0, 0) + 2cos(θ)(
1√
2
.− 1√
2
, 0) + 2sen(θ)(− 1√
3
,
1√
3
,− 1√
3
), θ ∈ [0, 2pi].
3
4. Dar treˆs pontos do plano x+ y +2z = 1 que formem um triaˆngulo com aˆngulo
interior igual a pi5
Soluc¸a˜o . Os treˆs pontos sa˜o :
(1, 0, 0), (1+(
1√
2
.− 1√
2
, 0), (1, 0, 0)+ cos(
pi
5
)(
1√
2
.− 1√
2
, 0)+ sen(
pi
5
)(− 1√
3
,
1√
3
,− 1√
3
))
4
5. Existe algum plano que passa pelos pontos (3, 0, 0), (0,−2, 0) (0, 0,−3) e (1, 1, 1) ?
Soluc¸a˜o . A resposta e´ negativa. Mas, assumamos que existe um plano α que passa
pelos pontos (3, 0, 0), (0,−2, 0), (0, 0,−3) e (1, 1, 1). Para determinar a equac¸a˜o
Cartesiana desse plano α precisamos de um ponto no plano e dois vetores paralelos ao
plano, por exemplo,
Po = (3, 0, 0);
−→v = (0,−2, 0)−(3, 0, 0) = (−3,−2, 0); −→u = (0, 0,−3)−(3, 0, 0) = (−3, 0,−3).
O vetor −→u ×−→v = (6,−9,−6) e´ normal ao plano α. Logo, a equac¸a˜o Cartesiana de α
e´
[(x, y, z)− (3, 0, 0)].(6, 9,−6) = 0
Isto e´,
2x + 3y − 2z = 6
Pore´m, o ponto (1, 1, 1) na˜o pertence ao plano α, pois
2(1) + 3(1)− 2(1) 6= 6
Assim, verificamos que na˜o existe tal plano.
5
6. Determine o centro e o comprimento do raio da circunfereˆncia da intersec¸a˜o da esfera
x2 + y2 + z2 = 25 com o plano 2x + y + z = 4.
Soluc¸a˜o . A soluc¸a˜o depende da seguinte observac¸a˜o : o centro da esfera e o interior da
circunfereˆncia podem ser considerados como o ve´rtice e a base de um cone(ver figura).
Ale´m disso, pode-se verificar sem dificuldade que o segmento que liga o centro da cir-
cunfereˆncia, C, e o centro da esfera, O = (0, 0, 0), e´ perpendicular ao interior da
circunfereˆncia, i.e., ao plano 2x + y + z = 4, denotado por α.
A reta Υ que liga os pontos O e C e´ paralelo ao vetor (2, 1, 1), perpendicular ao
plano α. Logo, a equac¸a˜o parame´trica desta e´
x = 2t, y = t, z = t
O ponto C seria a intersec¸a˜o de Υ com o plano α. Isto e´ C = ( 43 ,
2
3 ,
2
3 ). Observemos
que os ponto O, C e um ponto qualquer da circunfereˆncia Q sa˜o o ve´rtices de um
triaˆngulo retaˆngulo. O comprimento do segmento OQ e´ 5 e o segmento OC e´ 2
√
6
3 .
Logo, o comprimento do raio procurado e´
√
67
3 .
6
7. Existe algum ponto comun entre a esfera x2 +y2 +z2 = 4 e o plano x+y+z =
4.
Soluc¸a˜o . A resposta e´ negativa. Pois, a distaˆncia do centro da esfera ao plano e´ maior
que o comprimento do raio que e´ 2.
7
8. Encontre a intersec¸a˜o dos planos 2x + 3y + z = 1 e x− 2y + 3z = 0.
Soluc¸a˜o . Sabemos que a intersec¸a˜o de dois planos e´ uma reta. Assim, procuraremos
as equac¸o˜es parame´tricas desta reta. Um ponto gene´rico da intersec¸a˜o e´ um ponto que
satisfaz simultaneamente as equac¸o˜es dos dois planos, isto e´, e´ uma soluc¸a˜o do sistema
2x + 3y + z = 1
(D)
x− 2y + 3z = 0
Em termos de z, a soluc¸a˜o do sistema (D) e´
x =
2
7
− 11
7
z
y =
1
7
+
5
7
z.
Portanto, os pontos da intersec¸a˜o da forma
(x, y, z) = (
2
7
− 11
7
z,
1
7
+
5
7
z, z)
Logo, as equac¸o˜es parame´tricas sa˜o
x =
2
7
− 11
7
t
y =
1
7
+
5t
7
z = 0 + t
9. Prove que o vetor (1, 1, 1)×(2, 3, 4) e´ paralelo a` intersec¸a˜o dos planos x+y+z =
0 e 2x + 3y + 4z = 5. Soluc¸a˜o . A intersec¸a˜o e´ uma reta que e´ perpendicular aos
vetores (1, 1, 1) e (2, 3, 4), logo e´ paralela ao vetor
(1, 1, 1)× (2, 3, 4).
8
10. Determine o ponto do plano ax + by + cz = d mais pro´ximo da origem.
Soluc¸a˜o . Observar que o vetor (a, b, c) e´ perpendicular ao plano dado. Logo, o ponto
do plano mais pro´ximo da origem e´ a intersec¸a˜o do plano com a reta que passa pela origem
e e´ paralela ao vetor (a, b, c), isto e´,
(x, y, t) = t(a, b, c).
Enta˜o , o ponto procurado e´
d
a2 + b2 + c2
(a, b, c)
9
11. Determine o ponto da esfera x2+y2+z2 = 4 mais pro´ximo do plano x+y+z = 6.
Soluc¸a˜o . Observar que o vetor (1, 1, 1) e´ normal ao plano dado.Logo, o ponto da esfera
mais pro´ximo da origem e´ a intersec¸a˜o da esfera com a semi-reta que passa pela origem
com a mesma direc¸a˜o e sentido do vetor (1, 1, 1), isto e´,
(x, y, t) = t(1, 1, 1), t > 0.
Enta˜o , o ponto procurado e´
2
√
3
3
(1, 1, 1)
10
12. Prove que o vetor (a, b, c)× (a1, b1, c1) e´ paralelo a` intersec¸a˜o dos planos ax +
by + cz = d e a1x + b1y + c1z = d1.
Soluc¸a˜o . Sem considerar os casos singulares, plano ou vazio, a intersec¸a˜o e´ uma reta
que e´ perpendicular aos vetores (a, b, c) e (a1, b1, c1), logo e´ paralela ao vetor
(a, b, c)× (a1, b1, c1).
11
13. Encontre a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto (2, 1, 0), e e´ perpendicular
aos planos 2x + 2y − 3z + 4 = 0 e 8x− 4y + 16z − 1 = 0.
Soluc¸a˜o . A normal −→n do plano procurado e´ perpendicular a`s normais dos planos
dados, (2, 2,−3) e (8,−4, 16). Logo, podemos assumir
−→n = (2, 2,−3)× (8,−4, 16) = (20,−56,−24)
A equac¸a˜o Cartesiana do plano procurado e´
20(x− 2)− 56(y − 1)− 24z = 0.
12
14. Deˆ uma equac¸a˜o do plano que passa pelos pontos P = (1, 1,−1) e Q = (2, 1, 1)
e que dista 1 da reta
r : (1, 0, 2) + t(1, 0, 2).
Soluc¸a˜o . Observar que o vetor
−−→
PQ = (1, 0, 2). Logo, todo plano que passa por P e Q
e´ paralelo a` reta r. Assim, outra forma de formular o problema e´ encontrar o plano
tangente a` esfera (x − 1)2 + y2 + (z − 2)2 = 1, que passa pelos pontos P e Q. Para
isso, e´ suficiente encontrar um ponto R = (a, b, c) da esfera dada tal que
(a− 1)2 + b2 + (c− 2)2 = 1
(a− 1, b, c− 2) ⊥ (a− 1, b− 1, c + 1)
(a− 1, b, c− 2) ⊥ (a− 2, b− 1, c− 1)
(a− 1, b, c− 2) ⊥ (1, 0, 2)
Na realidade, existem dois planos que satisfazem as condic¸o˜es . Mas, pedimos somente
um plano. Logo, basta considerar quando (a, b, c) = (1, 1, 2). Assim, o vetor normal do
plano procurado e´ −→n = (0, 1, 0) e a equac¸a˜o Cartesiana do plano e´
y − 1 = 0.
13
15. Encontrar o vetor bissetriz dos vetores (1, 2, 3) e (3, 2, 1).
Soluc¸a˜o . Consideremos os vetores unita´rios na direc¸a˜o e no sentido dos vetores dados.
Isto e´,
−→u = 1√
14
(1, 2, 3) e −→v = 1√
14
(3, 2, 1)
Logo, um vetor bissetriz procurado e´
−→u +−→v
14
16. Escreva uma das equac¸o˜es parame´tricas do plano 3x− y + z = 5.
Soluc¸a˜o .Verifica-se que o ponto (0, 0, 5) pertence ao plano. Resta encontrar dois
vetores na˜o paralelos; mas paralelos ao plano,isto e´, perpendicularesa` normal (3,−1, 1).
Uma possibilidade e´ (0.1, 1) e (1, 3, 0). Logo,


x = s
y = t + 3s
z = 5 + t
15
17. Escreva a equac¸a˜o Cartesiana do plano:


x = 2− 2pit + 3√2s
y = 3 + pit−√8s
z = −1 + pi2 t−
√
50s
Soluc¸a˜o . Para a equac¸a˜o Cartesiana, precisarmos de um ponto do plano e um ve-
tor normal ao plano. O ponto pode ser (2, 3,−1). Os vetores tangentes ao plano
(−2pi, pi, pi2 ) e (3
√
2,−√8,−√50) ao vetores (−4, 2, 1) e (3,−2,−5). Logo, o vetor normal
e´ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
−4 2 1
3 −2 −5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (−8,−17, 2)
Assim, a equac¸a˜o Cartesiana e´
(x− 2, y − 3, z + 1)(−8,−17, 2) = 0
Isto e´
−8x− 17y + 2z + 59 = 0
16
18. Verifique que a reta 

x = 2 + 2t
y = 1 + t
z = 5t
esta´ contida no plano 2x + y − z = 0.
Soluc¸a˜o . A reta na˜o esta contida, pois o ponto (2, 1, 0) na˜o pertence ao plano.
17
19. Determine o sime´trico do ponto P (2, 1, 3) em relac¸a˜o ao plano x−2y+3z = 1.
Soluc¸a˜o . Seja a reta que passa pelo ponto (2, 1, 3) e que e´ perpendicular ao plano:


x = 2 + t
y = 1− 2t
z = 3 + 3t
A intersecc¸a˜o dessa reta com o plano e´ Q( 107 ,
15
7 ,
9
7 ). O vetor
−−→
PQ perpendicular ao plano
e´ (−47 ,
8
7 ,
−12
7 ). Assim, o ponto sime´trico e´
S = Q−−−→PQ = (2, 1, 3)
18
20. Sejam −→u = (−1, 1,−2) e −→v = (2,−1, 1).
(a)(1 ponto) Determine um vetor unita´rio simultaneamente perpendicular a
−→u e −→v .
(b)(1 ponto) Determine um vetor −→w perpendicular a −→u e −→v e tal que
‖−→w ‖ = 4
Soluc¸a˜o .
(a) Primeiro encontrarmos um vetor perpendicular aos dois vetores dados:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
−1 1 −2
2 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (−1,−3,−1)
Logo, o vetor unitario e´ ( 1√
11
, 3√
11
, 1√
11
).
(b) O vetor pedido e´ ( 4√
11
, 12√
11
, 4√
11
).
19
21. Seja α o plano gerado pelos vetores unita´rios −→u e −→v , isto e´, α e´ o
conjunto dos pontos P de R3 tais que
−−→
OP = x−→u + y−→v , x, y ∈ R.
Mostre que a projec¸a˜o ortogonal de um vetor −→w de R3 sobre o plano α e´
dada por
Projα
−→w = (−→w ,−→u )−→u + (−→w ,−→v )−→v
Soluc¸a˜o .Observarmos que o vetor −→w − Projα−→w e´ paralelo ao vetor normal −→n do
plano α. Logo,
−→w = Projα−→w + z−→n (1)
Mas, como o vetor Projα
−→w e´ paralelo ao plano α, temos
Projα
−→w = x−→u + y−→v (2)
(1) e (2) implicam
−→w = x−→u + y−→v + z−→n (3)
Multiplicando os vetores −→u e −→v , respetivamente, em (3), obtermos:
x = (−→w ,−→u ) e y = (−→w ,−→v ) (4)
Assim, (2) e (4) implica
Projα
−→w = (−→w ,−→u )−→u + (−→w ,−→v )−→v
20
22. Demonstre que se (a, b, c) e´ unita´rio, enta˜o a distaˆncia do plano ax+by+cz =
d a` origem e´ |d|.
Soluc¸a˜o .Usando a fo´rmula, temos
distaˆncia =
|a.0 + b.0 + c.0− d|√
a2 + b2 + c2
=
|d|
1
= |d|
21
23. Dar 8 pontos que formam um cubo de faces na˜o paralelas aos planos coorde-
nados.
Soluc¸a˜o . Sejam treˆs vetores unita´rios mutuamente perpendiculares na˜o paralelos aos
planos coordenados:
−→v1 = 1√
3
(1, 1, 1), −→v2 = 1√
14
(−1, 3,−2), −→v3 = 1√
42
(−5, 1,−4)
Colocamos estes vetores na origem. Os pontos procurados sa˜o
P1 = (0, 0, 0), P2 =
−→v1 , P3 = −→v2 , P4 = −→v3 , P5 = −→v1 +−→v2 , P6 = −→v1 +−→v3 , P7 = −→v2 +−→v3 ,
P8 =
−→v1 +−→v2 +−→v3
22
24. Seja o plano x+y +2z = 1. Dar treˆs pontos do plano que formem um triangulo
retaˆngulo com aˆngulos interiores iguias a pi6 ,
pi
3 .
Soluc¸a˜o . Verifica-se que os pontos (1, 0, 0) e (0, 1, 0) pertencem ao plano dado.De modo
que obtemos um vetor paralelo ao plano dado (1,−1, 0). Um vetor normal ao plano e´
(1, 1, 2). Outro vetor paralelo ao plano e perpendicular ao vetor (1,−1, 0) e´
(1, 1, 2)× (1,−1, 0) = (2, 2,−2).
Os treˆs pontos requeridos sa˜o :
P1 = (0, 1, 0)
P2 = (0, 1, 0) +
√
3(1, 1,−1)√
3
= (2, 1,−1)
P3 = (0, 1, 0) +
1√
2
(1,−1, 0) = (
√
2
2
, 1−
√
2
2
, 0)
23
25. Determinar a equac¸a˜o Cartesiana do conjunto dos pontos que distam 1 da
reta α que passa pela origem dos eixos coordenados O = (0, 0, 0) e pa ralela
ao vetor (1, 1, 1).
Soluc¸a˜o . Seja o ponto P = (x, y, z) que dista 1 da reta α. Logo, os vetores
−−→
OP e ( 1√
3
, 1√
3
, 1√
3
) formam um paralelogramo de a´rea igual a 1. Ou seja,
1 = |−−→OP × ( 1√
3
,
1√
3
,
1√
3
)|
=
1√
3
√
(y − z)2 + (z − x)2 + (x− y)2
Elevando ao quadrado, temos
3 = 2x2 + 2y2 + 2z2 − 2yz − 2xz − 2xy
24
26. Determinar as equac¸o˜es parame´tricas da circunfereˆncia contida no plano x +
y + 2z = 1 de centro (1, 0, 0) e raio 2.
Soluc¸a˜o . No exercicio 1, temos dois vetores perpendiculares (1,−1, 0) e (1, 1,−1) paralelos
ao plano. O ponto P = (x, y, z) da circunfereˆncia satisfaz
(x, y, z) = (1, 0, 0) +
2cos(t)√
2
(1,−1, 0) + 2sen(t)√
3
(1, 1,−1)
Isto e´, 

x = 1 +
√
2cos(t) + 2sen(t)√
3
y = −√2cos(t) + 2sen(t)√
3
z = −2sen(t)√
3
25
27. Seja o plano x + y + 2z = 1. Dar a equac¸a˜o Cartesiana do plano paralelo ao
dado que passa por (1,1,1).
Soluc¸a˜o . Observar que (1) + (1) + 2(1) = 4. Logo, o ponto (1,1,1) pertence ao plano
x + y + 2z = 4. Ale´m disso, este plano e´ paralelo ao plano dado, pois possuem a mesma
normal.
26

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