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Ministe´rio da Educac¸a˜o Fundac¸a˜o Universidade Federal do Vale do Sa˜o Francisco - UNIVASF Pro´-Reitoria de Ensino - PROEN Secretaria de Registro e Controle Acadeˆmico - SRCA Colegiado de Engenharia da Computac¸a˜o - CECOMP Geometria Anal´ıtica 2-Prova Semestre: 2011.1 Turmas : C1 Professor: Beto Rober Bautista Saavedra Lugar e Data : Juazeiro, 9/06/2011 Geometria do Espac¸o 1. Seja a equac¸a˜o Cartesiana da para´bola y = x2 no plano. Colocar a para´bola dada no plano x + y + 2z = 1. Logo, dar uma representac¸a˜o parame´trica dela no espac¸o. Soluc¸a˜o . Primeiro procuramos dois vetores unitarios perpendiculares paralelos ao plano. O vetor normal ao plano e´ (1, 1, 2). Por simples inspec¸a˜o , obtemos um dos vetores : ( 1√ 2 .− 1√ 2 , 0). Para obter o outro procedemos como segue: (1, 1, 2)× (1,−1, 0) |(1, 1, 2)× (1,−1, 0)| = (− 1√ 3 , 1√ 3 ,− 1√ 3 ) O ponto (1,0,0) pertence ao plano. Uma representac¸a˜o parame´trica pode ser (x, y, z) = (1, 0, 0) + t( 1√ 2 .− 1√ 2 , 0) + t2(− 1√ 3 , 1√ 3 ,− 1√ 3 ) 1 2. Encontrar o ponto da esfera x2 + y2 + z2 = 1, onde assume o valor ma´ximo a func¸a˜o f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 2x + y + 4z. Soluc¸a˜o . f(x, y, z) = (x + 2)2 + (z + 2)2 + (y + 12 ) 2 − 1− 4− 14 O problema consiste em encontrar o ponto onde intersecta tangencialmente a esfera x2 + y2 + z2 = 1 com esfera de maior raio (x + 2)2 + (z + 2)2 + (y + 12 ) 2 = 214 + d. Para isso, intersectamos a reta t(2, 2, 14 ) com a esfera x 2 + y2 + z2 = 1. O que nos da: ( 129 8 , 129 8 , 129 64 ) e ( −129 8 , −129 8 , −129 64 ) O ponto que esta mais longe do centro (−2,−2,− 14 ) e´ ( 1298 , 1298 , 12964 ). 2 3. Dar as equac¸o˜es parame´tricas da circunfereˆncia contida no plano x+y+2z = 1 de centro (1, 0, 0) e raio 2. Soluc¸a˜o . Uma representac¸a˜o parame´trica pode ser (1, 0, 0) + 2cos(θ)( 1√ 2 .− 1√ 2 , 0) + 2sen(θ)(− 1√ 3 , 1√ 3 ,− 1√ 3 ), θ ∈ [0, 2pi]. 3 4. Dar treˆs pontos do plano x+ y +2z = 1 que formem um triaˆngulo com aˆngulo interior igual a pi5 Soluc¸a˜o . Os treˆs pontos sa˜o : (1, 0, 0), (1+( 1√ 2 .− 1√ 2 , 0), (1, 0, 0)+ cos( pi 5 )( 1√ 2 .− 1√ 2 , 0)+ sen( pi 5 )(− 1√ 3 , 1√ 3 ,− 1√ 3 )) 4 5. Existe algum plano que passa pelos pontos (3, 0, 0), (0,−2, 0) (0, 0,−3) e (1, 1, 1) ? Soluc¸a˜o . A resposta e´ negativa. Mas, assumamos que existe um plano α que passa pelos pontos (3, 0, 0), (0,−2, 0), (0, 0,−3) e (1, 1, 1). Para determinar a equac¸a˜o Cartesiana desse plano α precisamos de um ponto no plano e dois vetores paralelos ao plano, por exemplo, Po = (3, 0, 0); −→v = (0,−2, 0)−(3, 0, 0) = (−3,−2, 0); −→u = (0, 0,−3)−(3, 0, 0) = (−3, 0,−3). O vetor −→u ×−→v = (6,−9,−6) e´ normal ao plano α. Logo, a equac¸a˜o Cartesiana de α e´ [(x, y, z)− (3, 0, 0)].(6, 9,−6) = 0 Isto e´, 2x + 3y − 2z = 6 Pore´m, o ponto (1, 1, 1) na˜o pertence ao plano α, pois 2(1) + 3(1)− 2(1) 6= 6 Assim, verificamos que na˜o existe tal plano. 5 6. Determine o centro e o comprimento do raio da circunfereˆncia da intersec¸a˜o da esfera x2 + y2 + z2 = 25 com o plano 2x + y + z = 4. Soluc¸a˜o . A soluc¸a˜o depende da seguinte observac¸a˜o : o centro da esfera e o interior da circunfereˆncia podem ser considerados como o ve´rtice e a base de um cone(ver figura). Ale´m disso, pode-se verificar sem dificuldade que o segmento que liga o centro da cir- cunfereˆncia, C, e o centro da esfera, O = (0, 0, 0), e´ perpendicular ao interior da circunfereˆncia, i.e., ao plano 2x + y + z = 4, denotado por α. A reta Υ que liga os pontos O e C e´ paralelo ao vetor (2, 1, 1), perpendicular ao plano α. Logo, a equac¸a˜o parame´trica desta e´ x = 2t, y = t, z = t O ponto C seria a intersec¸a˜o de Υ com o plano α. Isto e´ C = ( 43 , 2 3 , 2 3 ). Observemos que os ponto O, C e um ponto qualquer da circunfereˆncia Q sa˜o o ve´rtices de um triaˆngulo retaˆngulo. O comprimento do segmento OQ e´ 5 e o segmento OC e´ 2 √ 6 3 . Logo, o comprimento do raio procurado e´ √ 67 3 . 6 7. Existe algum ponto comun entre a esfera x2 +y2 +z2 = 4 e o plano x+y+z = 4. Soluc¸a˜o . A resposta e´ negativa. Pois, a distaˆncia do centro da esfera ao plano e´ maior que o comprimento do raio que e´ 2. 7 8. Encontre a intersec¸a˜o dos planos 2x + 3y + z = 1 e x− 2y + 3z = 0. Soluc¸a˜o . Sabemos que a intersec¸a˜o de dois planos e´ uma reta. Assim, procuraremos as equac¸o˜es parame´tricas desta reta. Um ponto gene´rico da intersec¸a˜o e´ um ponto que satisfaz simultaneamente as equac¸o˜es dos dois planos, isto e´, e´ uma soluc¸a˜o do sistema 2x + 3y + z = 1 (D) x− 2y + 3z = 0 Em termos de z, a soluc¸a˜o do sistema (D) e´ x = 2 7 − 11 7 z y = 1 7 + 5 7 z. Portanto, os pontos da intersec¸a˜o da forma (x, y, z) = ( 2 7 − 11 7 z, 1 7 + 5 7 z, z) Logo, as equac¸o˜es parame´tricas sa˜o x = 2 7 − 11 7 t y = 1 7 + 5t 7 z = 0 + t 9. Prove que o vetor (1, 1, 1)×(2, 3, 4) e´ paralelo a` intersec¸a˜o dos planos x+y+z = 0 e 2x + 3y + 4z = 5. Soluc¸a˜o . A intersec¸a˜o e´ uma reta que e´ perpendicular aos vetores (1, 1, 1) e (2, 3, 4), logo e´ paralela ao vetor (1, 1, 1)× (2, 3, 4). 8 10. Determine o ponto do plano ax + by + cz = d mais pro´ximo da origem. Soluc¸a˜o . Observar que o vetor (a, b, c) e´ perpendicular ao plano dado. Logo, o ponto do plano mais pro´ximo da origem e´ a intersec¸a˜o do plano com a reta que passa pela origem e e´ paralela ao vetor (a, b, c), isto e´, (x, y, t) = t(a, b, c). Enta˜o , o ponto procurado e´ d a2 + b2 + c2 (a, b, c) 9 11. Determine o ponto da esfera x2+y2+z2 = 4 mais pro´ximo do plano x+y+z = 6. Soluc¸a˜o . Observar que o vetor (1, 1, 1) e´ normal ao plano dado.Logo, o ponto da esfera mais pro´ximo da origem e´ a intersec¸a˜o da esfera com a semi-reta que passa pela origem com a mesma direc¸a˜o e sentido do vetor (1, 1, 1), isto e´, (x, y, t) = t(1, 1, 1), t > 0. Enta˜o , o ponto procurado e´ 2 √ 3 3 (1, 1, 1) 10 12. Prove que o vetor (a, b, c)× (a1, b1, c1) e´ paralelo a` intersec¸a˜o dos planos ax + by + cz = d e a1x + b1y + c1z = d1. Soluc¸a˜o . Sem considerar os casos singulares, plano ou vazio, a intersec¸a˜o e´ uma reta que e´ perpendicular aos vetores (a, b, c) e (a1, b1, c1), logo e´ paralela ao vetor (a, b, c)× (a1, b1, c1). 11 13. Encontre a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto (2, 1, 0), e e´ perpendicular aos planos 2x + 2y − 3z + 4 = 0 e 8x− 4y + 16z − 1 = 0. Soluc¸a˜o . A normal −→n do plano procurado e´ perpendicular a`s normais dos planos dados, (2, 2,−3) e (8,−4, 16). Logo, podemos assumir −→n = (2, 2,−3)× (8,−4, 16) = (20,−56,−24) A equac¸a˜o Cartesiana do plano procurado e´ 20(x− 2)− 56(y − 1)− 24z = 0. 12 14. Deˆ uma equac¸a˜o do plano que passa pelos pontos P = (1, 1,−1) e Q = (2, 1, 1) e que dista 1 da reta r : (1, 0, 2) + t(1, 0, 2). Soluc¸a˜o . Observar que o vetor −−→ PQ = (1, 0, 2). Logo, todo plano que passa por P e Q e´ paralelo a` reta r. Assim, outra forma de formular o problema e´ encontrar o plano tangente a` esfera (x − 1)2 + y2 + (z − 2)2 = 1, que passa pelos pontos P e Q. Para isso, e´ suficiente encontrar um ponto R = (a, b, c) da esfera dada tal que (a− 1)2 + b2 + (c− 2)2 = 1 (a− 1, b, c− 2) ⊥ (a− 1, b− 1, c + 1) (a− 1, b, c− 2) ⊥ (a− 2, b− 1, c− 1) (a− 1, b, c− 2) ⊥ (1, 0, 2) Na realidade, existem dois planos que satisfazem as condic¸o˜es . Mas, pedimos somente um plano. Logo, basta considerar quando (a, b, c) = (1, 1, 2). Assim, o vetor normal do plano procurado e´ −→n = (0, 1, 0) e a equac¸a˜o Cartesiana do plano e´ y − 1 = 0. 13 15. Encontrar o vetor bissetriz dos vetores (1, 2, 3) e (3, 2, 1). Soluc¸a˜o . Consideremos os vetores unita´rios na direc¸a˜o e no sentido dos vetores dados. Isto e´, −→u = 1√ 14 (1, 2, 3) e −→v = 1√ 14 (3, 2, 1) Logo, um vetor bissetriz procurado e´ −→u +−→v 14 16. Escreva uma das equac¸o˜es parame´tricas do plano 3x− y + z = 5. Soluc¸a˜o .Verifica-se que o ponto (0, 0, 5) pertence ao plano. Resta encontrar dois vetores na˜o paralelos; mas paralelos ao plano,isto e´, perpendicularesa` normal (3,−1, 1). Uma possibilidade e´ (0.1, 1) e (1, 3, 0). Logo, x = s y = t + 3s z = 5 + t 15 17. Escreva a equac¸a˜o Cartesiana do plano: x = 2− 2pit + 3√2s y = 3 + pit−√8s z = −1 + pi2 t− √ 50s Soluc¸a˜o . Para a equac¸a˜o Cartesiana, precisarmos de um ponto do plano e um ve- tor normal ao plano. O ponto pode ser (2, 3,−1). Os vetores tangentes ao plano (−2pi, pi, pi2 ) e (3 √ 2,−√8,−√50) ao vetores (−4, 2, 1) e (3,−2,−5). Logo, o vetor normal e´ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ i j k −4 2 1 3 −2 −5 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−8,−17, 2) Assim, a equac¸a˜o Cartesiana e´ (x− 2, y − 3, z + 1)(−8,−17, 2) = 0 Isto e´ −8x− 17y + 2z + 59 = 0 16 18. Verifique que a reta x = 2 + 2t y = 1 + t z = 5t esta´ contida no plano 2x + y − z = 0. Soluc¸a˜o . A reta na˜o esta contida, pois o ponto (2, 1, 0) na˜o pertence ao plano. 17 19. Determine o sime´trico do ponto P (2, 1, 3) em relac¸a˜o ao plano x−2y+3z = 1. Soluc¸a˜o . Seja a reta que passa pelo ponto (2, 1, 3) e que e´ perpendicular ao plano: x = 2 + t y = 1− 2t z = 3 + 3t A intersecc¸a˜o dessa reta com o plano e´ Q( 107 , 15 7 , 9 7 ). O vetor −−→ PQ perpendicular ao plano e´ (−47 , 8 7 , −12 7 ). Assim, o ponto sime´trico e´ S = Q−−−→PQ = (2, 1, 3) 18 20. Sejam −→u = (−1, 1,−2) e −→v = (2,−1, 1). (a)(1 ponto) Determine um vetor unita´rio simultaneamente perpendicular a −→u e −→v . (b)(1 ponto) Determine um vetor −→w perpendicular a −→u e −→v e tal que ‖−→w ‖ = 4 Soluc¸a˜o . (a) Primeiro encontrarmos um vetor perpendicular aos dois vetores dados: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ i j k −1 1 −2 2 −1 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1,−3,−1) Logo, o vetor unitario e´ ( 1√ 11 , 3√ 11 , 1√ 11 ). (b) O vetor pedido e´ ( 4√ 11 , 12√ 11 , 4√ 11 ). 19 21. Seja α o plano gerado pelos vetores unita´rios −→u e −→v , isto e´, α e´ o conjunto dos pontos P de R3 tais que −−→ OP = x−→u + y−→v , x, y ∈ R. Mostre que a projec¸a˜o ortogonal de um vetor −→w de R3 sobre o plano α e´ dada por Projα −→w = (−→w ,−→u )−→u + (−→w ,−→v )−→v Soluc¸a˜o .Observarmos que o vetor −→w − Projα−→w e´ paralelo ao vetor normal −→n do plano α. Logo, −→w = Projα−→w + z−→n (1) Mas, como o vetor Projα −→w e´ paralelo ao plano α, temos Projα −→w = x−→u + y−→v (2) (1) e (2) implicam −→w = x−→u + y−→v + z−→n (3) Multiplicando os vetores −→u e −→v , respetivamente, em (3), obtermos: x = (−→w ,−→u ) e y = (−→w ,−→v ) (4) Assim, (2) e (4) implica Projα −→w = (−→w ,−→u )−→u + (−→w ,−→v )−→v 20 22. Demonstre que se (a, b, c) e´ unita´rio, enta˜o a distaˆncia do plano ax+by+cz = d a` origem e´ |d|. Soluc¸a˜o .Usando a fo´rmula, temos distaˆncia = |a.0 + b.0 + c.0− d|√ a2 + b2 + c2 = |d| 1 = |d| 21 23. Dar 8 pontos que formam um cubo de faces na˜o paralelas aos planos coorde- nados. Soluc¸a˜o . Sejam treˆs vetores unita´rios mutuamente perpendiculares na˜o paralelos aos planos coordenados: −→v1 = 1√ 3 (1, 1, 1), −→v2 = 1√ 14 (−1, 3,−2), −→v3 = 1√ 42 (−5, 1,−4) Colocamos estes vetores na origem. Os pontos procurados sa˜o P1 = (0, 0, 0), P2 = −→v1 , P3 = −→v2 , P4 = −→v3 , P5 = −→v1 +−→v2 , P6 = −→v1 +−→v3 , P7 = −→v2 +−→v3 , P8 = −→v1 +−→v2 +−→v3 22 24. Seja o plano x+y +2z = 1. Dar treˆs pontos do plano que formem um triangulo retaˆngulo com aˆngulos interiores iguias a pi6 , pi 3 . Soluc¸a˜o . Verifica-se que os pontos (1, 0, 0) e (0, 1, 0) pertencem ao plano dado.De modo que obtemos um vetor paralelo ao plano dado (1,−1, 0). Um vetor normal ao plano e´ (1, 1, 2). Outro vetor paralelo ao plano e perpendicular ao vetor (1,−1, 0) e´ (1, 1, 2)× (1,−1, 0) = (2, 2,−2). Os treˆs pontos requeridos sa˜o : P1 = (0, 1, 0) P2 = (0, 1, 0) + √ 3(1, 1,−1)√ 3 = (2, 1,−1) P3 = (0, 1, 0) + 1√ 2 (1,−1, 0) = ( √ 2 2 , 1− √ 2 2 , 0) 23 25. Determinar a equac¸a˜o Cartesiana do conjunto dos pontos que distam 1 da reta α que passa pela origem dos eixos coordenados O = (0, 0, 0) e pa ralela ao vetor (1, 1, 1). Soluc¸a˜o . Seja o ponto P = (x, y, z) que dista 1 da reta α. Logo, os vetores −−→ OP e ( 1√ 3 , 1√ 3 , 1√ 3 ) formam um paralelogramo de a´rea igual a 1. Ou seja, 1 = |−−→OP × ( 1√ 3 , 1√ 3 , 1√ 3 )| = 1√ 3 √ (y − z)2 + (z − x)2 + (x− y)2 Elevando ao quadrado, temos 3 = 2x2 + 2y2 + 2z2 − 2yz − 2xz − 2xy 24 26. Determinar as equac¸o˜es parame´tricas da circunfereˆncia contida no plano x + y + 2z = 1 de centro (1, 0, 0) e raio 2. Soluc¸a˜o . No exercicio 1, temos dois vetores perpendiculares (1,−1, 0) e (1, 1,−1) paralelos ao plano. O ponto P = (x, y, z) da circunfereˆncia satisfaz (x, y, z) = (1, 0, 0) + 2cos(t)√ 2 (1,−1, 0) + 2sen(t)√ 3 (1, 1,−1) Isto e´, x = 1 + √ 2cos(t) + 2sen(t)√ 3 y = −√2cos(t) + 2sen(t)√ 3 z = −2sen(t)√ 3 25 27. Seja o plano x + y + 2z = 1. Dar a equac¸a˜o Cartesiana do plano paralelo ao dado que passa por (1,1,1). Soluc¸a˜o . Observar que (1) + (1) + 2(1) = 4. Logo, o ponto (1,1,1) pertence ao plano x + y + 2z = 4. Ale´m disso, este plano e´ paralelo ao plano dado, pois possuem a mesma normal. 26
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