Problemas de Alocação de Recursos

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Pesquisa Operacional Aplicada à Engenharia de Minas 
 
 
1) LIVRO “Programação Linear” CAP. 2 
 
1 – Problema de alocação de recursos: Uma fábrica produz dois tipos de produto: 
Standard e Luxo. Cada modelo Standard requer 4 horas de corte e 2 horas de polimento; 
cada modelo Luxo requer 2 horas de corte e 5 horas de polimento. A fábrica possui 2 
cortadeiras e 3 polidoras. Sabendo-se que a semana de trabalho da fábrica é de 40 horas e 
que cada modelo Standard dá um lucro de R$ 3,00 e cada modelo Luxo R$ 4,00 e que 
não há restrições de demanda, pede-se qual deve ser a produção da fábrica que maximiza 
o lucro. 
 
2 – Problema de alocação de recursos: Uma pequena fábrica de móveis produz dois 
modelos de molduras ornamentais, cujos preços de venda são respectivamente, R$ 110,00 
e R$ 65,00. Ela possui 7 peças de madeira e dispões de 30 horas de trabalho para 
confeccionar os dois modelos, sendo que o modelo A requer 2 peças de madeira e 5 horas 
de trabalho, enquanto o modelo B necessita de 1 peça de madeira e 7 horas de trabalho. 
Quantas molduras de cada modelo a fábrica deve montar se desejar maximizar o 
rendimento obtido com vendas ? 
 
3 – Problema de alocação de recursos: Uma fábrica de computadores produz 2 modelos 
de computador: A e B. O modelo A fornece um lucro de R$ 180,00 e B de R$ 300,00. O 
modelo A requer, na sua produção, um gabinete pequeno e uma unidade de disco. O 
modelo B requer 1 gabinete grande e 2 unidades de disco. Existem no estoque: 60 
unidades do gabinete pequeno, 50 do gabinete grande e 120 unidades de disco. Pergunta-
se qual deve ser o esquema de produção que maximiza o lucro ? 
 
4 – Problema de dosagem em formulação de petróleo: uma refinaria de petróleo deseja 
encontrar a maneira ótima de cumprir um contrato de fornecimento de gasolina de 
aviação e gasolina comum. Segundo este contrato, deve-se fornecer diariamente um 
mínimo de 1000 barris de gasolina de aviação e 2000 barris de gasolina comum. A 
unidade que se responsabilizará pela entrega tem capacidade máxima de produção de 
10000 barris por dia, indistintamente. As gasolinas devem ser transportadas até seus 
depósitos, cujas distâncias são da unidade são 10 milhas e 30 milhas, respectivamente A 
capacidade máxima de transporte da refinaria é de 186000 barris/milha. Sabendo-se que a 
gasolina de aviação dá um lucro de R$ 1,00 e a comum R$ 2,00, pede-se o esquema de 
produção que maximize o lucro da refinaria com relação ao citado contrato. 
 
5 – Problema de alocação de recursos: Um fundo de investimentos tem até 
R$ 300000,00 para aplicar em duas ações. A empresa D é diversificada (tem 40 % do seu 
capital aplicado em cerveja e o restante aplicado em refrigerantes) e espera-se que 
forneça bonificações de 12 %. A empresa N não é diversificada (produz apenas cerveja) e 
espera-se que distribua bonificações de 20 %. Para este investimento, considerando a 
legislação governamental aplicável, o fundo está sujeito às seguintes restrições: 
 
a) O investimento na empresa diversificada pode atingir R$ 270000,00; 
b) O investimento na empresa não-diversificada pode atingir R$ 150000,00; 
c) O investimento em cada produto (cerveja ou refrigerante) pode atingir R$ 180000,00 
 
Pede-se: Qual é o esquema de investimentos que maximiza o lucro ? 
 
6 – Problema de alocação de recursos: uma empresa do ramo de madeiras produz 
madeira tipo compensado e madeira serrada comum e seus recursos são 40 m3 de pinho e 
80 m3 de canela. A madeira serrada dá um lucro de R$ 5,00 por m3 e a madeira 
compensada dá um lucro de R$ 0,70 por m2. Para produzir uma mistura comerciável de 
1 m3 de madeira serrada são requeridos 1 m3 de pinho e 3 m3 de canela. Para produzir 
100 m2 de madeira compensada são requeridos 3 m3 de pinho e 5 m3 de canela. 
Compromissos de venda exigem que sejam produzidos pelo menos 5 m3 de madeira 
serrada e 900 m2 de madeira compensada. Qual é o esquema de produção que maximiza o 
lucro ? 
 
7 – Problema de alocação de recursos: Uma micro-empresa produz dois tipos de jogos 
para adultos e sua capacidade de trabalho é de 50 horas semanais. O jogo A requer 3 
horas para ser confeccionado e proporciona um lucro de R$ 30,00, enquanto o jogo B 
precisa de 5 horas para ser produzido e acarreta um lucro de R$40,00. Quantas unidades 
de cada jogo devem ser produzidas semanalmente a fim de maximizar o lucro ? 
 
8 – Problema do fabricante de rádios: Com relação aos rádios Standards: temos as 
seguintes informações: a linha de produção comporta um máximo de 24 pessoas; cada 
rádio consome 1 homem/dia para ser produzido; cada rádio fornece um lucro de R$30,00; 
Para os rádios Luxo: a linha de produção comporta um máximo de 32 pessoas; cada rádio 
consome 2 homens/dia para ser produzido; cada rádio fornece um lucro de R$40,00. A 
fábrica possui um total de 4o empregados a serem alocados nas duas linhas de produção. 
O objetivo é maximizar o lucro diário. 
 
9 – Efetue as seguintes modificações no modelo do fabricante de rádio: 
 
a) Se, no modelo inicial, a linha Standard comportasse um máximo de 30 pessoas, como 
a solução seria afetada ? 
b) Se, no modelo inicial, o fabricante de rádios possuísse 46 funcionários, como a 
solução seria afetada ? 
c) Se, no modelo inicial, o lucro unitário do modelo de luxo passasse para R$ 80,00, 
como a solução seria afetada ? Demonstre graficamente. 
d) Inclua no modelo inicial uma nova restrição: demanda de mercado pela qual o total de 
rádios (independentemente do modelo) capaz de ser consumido é de 28 rádios/dia. A 
solução seria afetada ? 
 
2) CAP. 3 
 
1 – Problema de formulação de alimento: Sabe-se que uma pessoa necessita, em sua 
alimentação diária, de um mínimo de 15 unidades de proteínas e 20 unidades de 
carboidratos. Suponhamos que, para satisfazer essa necessidade, ela disponha dos 
produtos A e B. um Kg do produto A contém 3 unidade de proteínas, 10 unidades de 
carboidratos e custa R$ 2,00. Um Kg do produto B contém 6 unidades de proteínas, 5 
unidade de carboidratos e custa R$ 3,00. Que quantidades deve-se comprar de cada 
produto de modo que as exigências da alimentação sejam satisfeitas a um custo mínimo ? 
 
2 – Problema de carga de forno em siderurgia: Uma empresa siderúrgica produz um 
tipo de aço a partir de aço puro misturado com adições metálicas e recebeu um pedido de 
uma peça de 400 Kg. Sabe-se que o custo por quilo de aço puro é de R$ 5,00 e o das 
adições, R$ 3,00 e que os estoques são de 400 Kg e 800 Kg, respectivamente. Na carga 
do forno para a produção da liga desejada, a relação de adições para o aço puro deve estar 
entre 25 % e 35%. Qual é o esquema de produção de custo mínimo ? 
 
 
3 – Problema de formulação de petróleo: Uma empresa adquire petróleo para produzir 
gasolina comum, gasolina especial e óleo diesel. Ela necessita manter em seus tanques, 
no início de cada semana, um estoque mínimo dos produtos. A tabela abaixo mostra, para 
uma determinada semana, as composições, disponibilidades e estoques mínimos. Qual é o 
esquema de produção de custo mínimo ? 
 
 Petróleo A Petróleo B Estoque mínimo 
Gasolina Comum 
Gasolina Especial 
Óleo Diesel 
10 % 
20 % 
70 % 
60 % 
30 % 
10 % 
200 Barris 
50 Barris 
100 Barris 
Disponibilidade 200 Barris 300 Barris 
Custos R$ 10,00 R$ 15,00 
 
 
4 – Problema de alocação de recursos: Uma transportadora utiliza burros e jumentos 
para transportar cargas entre duas cidades. A capacidade de cada carga de burro é de até 
100Kg, enquanto a do jumento é de até 50 Kg. Durante a viagem, um burro consome 3 
montes de capim e 100 litros de água. Um jumento consome 2 montes de capim e 30 
litros de água. A empresa possui várias estações de alimentação intermediárias entre as 
cidades. Estas estações dispõem, no momento, de 900 litros de água e 35 montes de 
capim. Os burros e jumentos utilizados pela firma são alugados e o preço do aluguel é de 
R$30,00 por burro e R$ 20,00 por jumento. Existe no momento uma necessidade de 
transporte de 1000 Kg. Quantos burros e jumentos devem ser utilizados de modo a 
minimizar o custo do aluguel pago ? 
 
 
5 – Problema de dosagem em formulação de alimentos: Um açougueiro prepara 
almôndegas misturando carne bovina magra e carne de porco. A carne bovina contém 
80 % de carne e 20 % de gordura e custa R$ 0,80 o Kg; a carne de porco contém 68 % de 
carne e 32 % de gordura e custa R$ 0,60 o Kg. Quanto de carne bovina e quanto de carne 
de porco deve o açougue utilizar por quilograma de almôndega se deseja minimizar seu 
custo e conservar o teor de gordura da almôndega não superior a 25 % ? 
 
 
6 – Suponha que se deseja produzir uma ração a um custo mínimo pela mistura de dois 
produtos A e B, sendo que eles apresentam custos diferenciados: 
 
• Produto A: R$ 0,03 por Kg; 
• Produto B: R$ 0,04 por Kg. 
 
Quanto às aves, sabe-se que uma ave necessita de uma alimentaçÃo de vitaminas, cujas 
quantidades mínimas (em unidades por semana) são mostradas a seguir: 
 
 
Composição 
(unidades de vitamina por Kg do produto) 
Quantidade mínima 
de vitaminas 
requerida por ave Vitamina Produto A Produto B 
1 5 25 50 
2 25 10 100 
3 10 10 60 
4 35 20 180 
Considere o modelo de formulação de ração e introduza as seguintes alterações: 
 
a) Se, no modelo inicial, o custo do produto A passasse para R$ 0,10 a solução seria 
alterada ? 
b) Se, no modelo inicial, o limite mínimo da vitamina 2 aumentasse para 120 unidades a 
solução seria alterada ? 
c) Se, no modelo inicial, o limite mínimo da vitamina 3 aumentasse para 80 unidades a 
solução seria alterada ? 
 
7 – Blending de minério: Uma empresa de mineração deseja cumprir um contrato de 
fornecimento de 4 milhões de toneladas por ano da minério Sinter Feed e, para tanto, 
conta com os seguintes minérios (a tabela abaixo mostra a composição percentual e o 
custo/t de cada minério): 
 
 M1 M2 
Fe 66 % 64 % 
Si 1,6 % 3,7 % 
Custo 5,60 3,30 
 
O minério utilizado para este blending deve conter no mínimo 65 % de Ferro e no 
máximo 3 % de sílica. Qual é o blending a custo mínimo ? 
 
3) LIVRO CAP. 5 
 
1 – Uma fábrica de papel-toalha manufatura 3 tipos de produtos: A, B e C. a fábrica 
recebe o papel em grandes rolos. É cortado, dobrado e empacotado. Dada a pequena 
escala da fábrica, o mercado absorverá qualquer produção a um preço constante. O 
lucro unitário de cada produto é respectivamente R$ 1,00, R$ 1,50 e R$ 2,00. O 
quadro abaixo identifica o tempo requerido para operação (em horas) em cada seção 
da fábrica, bem como a quantidade de máquina disponíveis. 
 
Seção Produto A Produto B Produto C 
Quantidade 
de Máquinas 
Corte 8 5 2 3 
Dobra 5 10 4 10 
Empacotamento 0,7 1 2 2 
 
 Pergunta-se: 
a) Qual é o esquema ótimo de produção semanal (40 horas) ? 
b) Que equipamentos ficarão ociosos e em que nível ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – Na tabela abaixo fornecemos as necessidades alimentares semanais de um certo 
animal. Que mistura destas rações satisfaz os requisitos alimentares a um custo 
mínimo para o proprietário ? 
 
 
Ração 
Proteínas 
(Unidades/Kg) 
Carboidrátos 
(Unidades/Kg) 
Custo 
(R$/Kg) 
A 25 55 3,00 
B 25 20 2,00 
C 45 10 4,00 
D 35 35 3,00 
E 25 20 3,00 
Mínimo (Unidades) 200 250 
 
3 – Um fazendeiro dispõe de 200 Hectares cultiváveis para milho ou soja. Os dados são 
os seguintes: 
 
Atividade Milho Soja Disponível 
Espaço 1 1 200 
Preparo do terreno R$ 500 R$ 700 R$ 200000 
Mão-de-obra (homens/dia) 15 18 20000 
Lucro R$ 900 R$ 1300 
 
 Qual deve ser a alocação da terra para os vários tipos de cultura de maneira a 
maximizar os lucros ? 
 
4 – Carteira de Investimentos Exemplo do Livro: Considere, como exemplo, o caso de 
um fundo de investimentos que tem as seguintes opções de compra de ações: 
 
Empresa Categoria Lucratividade esperada 
E1 A 10 % 
E2 A 15 % 
E3 B 5 % 
E4 C 20 % 
E5 A 12 % 
E6 B 15 % 
E7 A 10 % 
E8 C 5 % 
E9 B 5 % 
E10 C 10 % 
 
 As restrições são governamentais a fundos de investimentos estabelecidos que 
nenhum investimento isolado pode ultrapassar 15 % do capital total do fundo. Além 
disso, o total de investimentos por categoria não pode ultrapassar 40 %. O modelo 
em questão, tal como fornecemos ao lindo, é: 
 
 
 
5 – Altere o modelo do investimento apresentado acima para incluir as seguintes 
restrições: 
 
a) O teto máximo de investimento isolado em ações da categoria A é de 12 %; 
b) O teto máximo de investimento isolado em ações da categoria B é de 13 %; 
c) O teto máximo de investimento isolado em ações da categoria C é de 15 %; 
d) O teto máximo de investimento agrupado em ações da categoria A é de 35 %; 
e) O teto máximo de investimento agrupado em ações da categoria B é de 40 %; 
f) O teto máximo de investimento agrupado em ações da categoria C é de 45 %. 
 
 
4) LISTA DE EXERCÍCIOS DE 1989/1 
 
1 - Uma empresa de mineração possui 2 minas a céu aberto, A e B. A empresa produz e 
comercializa produtos de cobre, zinco e chumbo. A tabela abaixo mostra todas as 
informações pertinentes a cada mina e produto. Suponha que os custos de concentração 
sejam constantes em US$ 4.00 por tonelada e a recuperação da usina de concentração seja 
de 100%. A empresa deseja maximizar seu rendimento líquido no período. Pede-se: 
 
a) Formule este problema como uma programação linear; 
b) Determine a quantidade que deve ser extraída de cada mina durante o período de 
forma a maximizar seu rendimento líquido sujeito às restrições abaixo. 
 
 Teor do Minério (%) Custo de Mineração Minério Disponível 
Mina Cu Pb Zn US$/t Por Período (t) 
A 1,0 0,5 1,0 21,0 300000 
B 1,2 1,0 0,2 3,8 200000 
 
 
 
Produção Mínima Requerida 
t de Metal/Período 
Preço de Venda 
US$/t de Metal 
Cu 2500 1200 
Pb 800 700 
Zn 1500 900 
 
 
 
2 – Quatro produtos A, B, C e D devem ser misturados com a finalidade de se obter 
gasolina de avião. Serão produzidos 3 diferentes tipos desta gasolina. O excesso 
desta produção deverá ser usado para fabricação de gasolina automotora. Suponha 
que este excesso seja muito pequeno se comparado com a produção total da gasolina 
automotora, de forma que a mistura do excesso com a gasolina automotora não tenha 
influência significativa nas propriedades da gasolina fabricada. As propriedades dos 
produtos e suas disponibilidades (BPD) está indicado na tabela abaixo: 
 
PRODUTO RVP ON (0,5) ON (4) BPD 
A 5 94 107,5 3800 
B 8 83 93 2652 
C 4 74 87 4081 
D 20,5 95 108 1300 
 
 Onde, RVP = Pressão de vapor Reid; 
 ON = Número de octanas no nível de nml/gal de TEL (Tetra etil de chumbo). 
 A octanagem de cada componente pode ser aumentada pela adição de TEL. As 
colunas referentes ao número de octanas fornece número de octanas dos diferentes 
componentes se a eles são adicionados diferentes níveis (0,5 e 4) de TEL. A adição 
de TEL não influencia o RVP. 
 
 
As especificações e o lucro dso diferentes tipos de gasolina está discrimonado na 
tabela abaixo: 
 
Produto RVP 
Nível de 
TEL 
ON US$/barril 
Gasolina 1 80 4908 
Gasolina 2 91 5437 
Gasolina 3 100 6042 
Gasolina Automotora 4548 
 
A gasolina automotora não está especificado, pois segundo a suposição inicial, ela 
não tem influência neste caso. Tudo que se precisa saber com respeito a gasolina 
automotora é com referência ao lucro que a mesma pode fornecer. A última coluna 
da tabela indica o lucro por barril ao contrário do rpeço de venda do barril. Isto deve-
se ao fato do componente TEL ser comprado em diferentes fornecedores. 
 
Os números apresentados form obtidos através da subtração do custo do TEL por 
barril e o preço de venda do barril. 
 
Considera-se que o primeiro tipo de gasolina produzido é obtido pela adição do TEL 
ao nível de 0,5 ml/gal e que os outro dois tipos o nível de TEL é de 4 ml/gal. Além 
disso, supões-se quetodo o volume de gasolina automotora fabricado seja 
comercializado. 
 
As propriedades da mistura feita é aproximadamente igual a média volumétrica dos 
seus componentes. Se pj for a propriedade do componente j dentro da mistura (tal 
como RVP ou ON), e xj o volume do componente j, então a seguinte relação será 
satisfeita: 
 
Pb
xj
xjpj
=

 *
, onde Pb é a mesma propriedade da mistura. 
 
Esta relação deve ser satisfeitas para todos os componentes. O problema consiste em 
se determinar como os 4 componentes devem ser misturados para a produção dos 3 
tipos de gasolina de tal forma que a especificação dos mesmos seja satisfeita e que o 
lucro seja maximizado. Faça a formulação como um problema de programação 
linear. 
 
3. Uma empresa de mineração de carvão produz carvão de três minas e os envia a três consumidores . O 
custo por tonelada de produção de carvão, o teor de cinzas e enxofre por tonelada de carvão e a capacidade 
de produção em toneladas de cada mina são apresentados na tabela 1. A quantidade em toneladas 
demandada por cada consumidor se encontra na tabela 2. 
O custo em dólares de transporte por tonelada de cad mina a cada consumidor é dado na tabela 3. A 
quantidade total de carvão transportada deve possuir no mínimo 5% de cinzas e no máximo 4% de 
enxofre. 
Monte um modelo de Programação linear que permita minimizar os custos que atenda à demanda dos 
consumidores. 
 
Tabela 1 
 Custo Prod. (US$/t) Capacidade (t) Teor de cinzas(t) Teor de enxofre (t) 
Mina 1 50 120 0.08 0.05 
Mina 2 55 100 0.06 0.04 
Mina 3 62 140 0.04 0.03 
 
Tabela 2 
Demanda requerida (t) 
Consumidor 1 Consumidor 2 Consumidor 3 
80 70 60 
 
Tabela 3 
Custo de Transporte (US$/t) 
 Consumidor 1 Consumidor 2 Consumidor 3 
 Mina 1 4 6 8 
Mina 2 9 6 7 
Mina 3 8 12 3 
 
 
 
4. Uma empresa de mineração possui três minas. O minério de cada mina é classificado em dois teores antes de 
ir para o embarque. As capacidades diárias de produção das minas, bem como os seus custos operacionais 
diários são: 
 
 Minério de Alto Teor 
(t/dia) 
Minério de Baixo Teor 
(t/dia) 
Custo Operacional 
($1000/dia) 
Mina 1 4 4 20 
Mina 2 6 4 22 
Mina3 1 6 18 
 
Esta empresa assinou um contrato para entregar 54 toneladas de minério de alto teor e 65 toneladas de baixo teor 
no prazo de uma semana. Os empregados recebem um salário diário fixo que é integralmente pago a cada dia 
independentemente se uma ou mais minas operam durante o dia inteiro ou somente durante uma fração do dia. 
Montar um modelo de otimização que forneça o número de dias que cada mina deverá operar para o 
cumprimento do contrato assinado a um custo mínimo. 
 
 
5. Uma refinaria numa determinada época pode processar dois tipos de óleos crus (petróleo): 
 ▪ óleo do tipo A que tem um custo de produção de US$30/barril e com um estoque de 20000 barris e 
 ▪ óleo do tipo B que tem um custo de produção de US$36/barril e com um estoque de 30000 barris. 
 A refinaria produz gasolina e óleo lubrificante a partir destes dois tipos de petróleo. A composição em 
percentagem destes dois produtos para cada tipo de petróleo, os preços de venda e a demanda de mercado para os 
dois produtos se encontram na tabela 1. Quantos barris de cada tipo a refinaria deveria processar a fim de 
maximizar o seu lucro? Monte um modelo de programação linear para resolver este problema e o resolva pelo 
método gráfico. 
 
TABELA 1 
 
 Composição por barril (%) Preço de Venda 
(US$ / barril) 
Demanda de mercado 
(barris) Produto Tipo A Tipo B 
Gasolina 0,6 0,8 US$50 20000 
Óleo lubrificante 0,4 0,2 US$120 8000 
 
 
6. Uma empresa pode produzir vários tipos de gasolina através de três processos diferentes. Cada processo 
envolve a mistura de óleos no craqueador catalítico da empresa. Utilizar o processo 1 por uma hora custa U$5,00 
e requer 2 barris de óleo cru do tipo 1 e 3 barris de óleo cru do tipo 2. A produção horária do processo 1 é de 2 
barris de gasolina do tipo 1 e 1 barril de gasolina do tipo 2. Utilizar o processo 2 por uma hora custa U$4,00 e 
requer 1 barril de óleo cru do tipo 1 e 3 barris de óleo cru do tipo 2. A produção horária do processo 2 é de 3 
barris de gasolina do tipo 2. Utilizar o processo 3 por uma hora custa U$1,00 e requer 2 barris de óleo cru do tipo 
2 e 3 barris gasolina do tipo 2. A produção horária do processo 3 é de 2 barris de gasolina do tipo 3. 
Semanalmente, 200 barris de óleo cru do tipo 1, a U$2,00/barril, e 300 barris de óleo cru do tipo 2, a 
U$3,00/barril podem ser comprados. Toda gasolina produzida pode ser vendida pelos seguintes preços por barril: 
gasolina do tipo 1 a U$9,00; gasolina do tipo 2 a U$10,00 e gasolina do tipo 3 a U$24,00. Montar um modelo de 
PL que maximize o lucro. Assuma que o craqueador catalítico pode trabalhar semanalmente somente por 100 
horas. 
 
7. Monte um modelo de programação linear para resolver o seguinte problema: Uma empresa produz 3 tipos de 
produtos: A, B e C. Até 30 Kg de cada produto podem ser vendidos pelos seguintes preços (por Kg): produto A, 
$10; produto B, $12; produto C, $20. Para fabricar estes produtos compra-se matéria prima ao custo de $5 por 
Kg. Cada Kg de matéria prima pode ser usado para produzir 1Kg do produto A ou 1 Kg do produto B. Por um 
custo de processamento de $3, o produto A pode ser convertido para 0,6 kg do produto B e 0,4 Kg do produto C. 
Por um custo de processamento de $2 por Kg, o produto B pode ser convertido para 0,8 Kg do produto C. Qual é 
o esquema para um lucro máximo? 
 
8. Uma companhia produz dois tipos de sorvete: picolé e copinho. Na companhia, o único ponto crítico é a mão-
de-obra disponível. O copinho consome 50% a mais de mão-de-obra do que o picolé. Sabe-se também que se 
todo sorvete produzido fosse do tipo picolé a companhia poderia produzir 400 toneladas por dia. 
O mercado limita a produção diária de copinho e picolé em 150 e 300 toneladas, respectivamente. O lucro por 
tonelada de copinho e picolé produzidos é de Cr$ 5 000,00 e Cr$ 3 500,00 por tonelada, respectivamente. 
Formular o problema que permite determinar a quantidade a ser produzida de cada tipo de sorvete e resolver pelo 
método gráfico 
 
9. Uma companhia produz dois tipos de máquinas, A e B. Usando os recursos disponíveis até 28 
máquinas do tipo A ou 14 do tipo B podem ser produzidas diariamente. O departamento de vendas 
consegue vender até 14 máquinas do tipo A ou 24 do tipo B. O setor de despacho dos produtos não 
pode trabalhar com mais de 16 máquinas por dia. A companhia obtém um lucro $400 sobre cada 
máquina do tipo A e de $600 sobre cada máquina do tipo B. Quantas máquinas do tipo A e B devem 
ser produzidas diariamente a fim de maximizar o lucro? Monte um modelo de programação 
matemática para este problema e resolva-o pelo método gráfico? 
 
10. Uma firma de transporte está considerando adquirir uma frota de caminhões novos. Ela dispõe de 
$2milhões para gastar. O investimento deve representar uma capacidade máxima em toneladas x 
quilômetros por dia. Três modelos de caminhões disponíveis para aquisição estão na tabela abaixo. 
Outras restrições adicionais devem ser levadas em conta. 
 A companhia emprega 150 motoristas e o mercado de trabalho não admite a contratação de 
motoristas adicionais. O setor de garagem e manutenção tem capacidade conjunta de até 30 
caminhões. 
 Quantos caminhões de cada tipo deveriam ser comprados? Construa um modelo de programação 
linear para resolver este problema. 
 
Tabela 1 
Modelo de caminhão A B C 
Capacidade de carga (toneladas) 10 20 18 
Velocidade média (Km/h ) 55 50 50 
Número de motoristas necessários 1 2 2 
Número de horas de operação por dia (3 turnos ) 18 18 21 
Investimento inicial por caminhão ($ ) 40000 60000 70000 
 
11. Uma empresa fabrica uma máquina constituída por três peças A e quatro peças B. As duas peças 
(A e B) são fabricadas a partir de três matérias-primasdas quais 100 unidades, 200 unidades e 300 
unidades são disponíveis respectivamente. A tabela seguinte fornece os requisitos de matéria-prima e o 
número de peças fabricadas por turno de produção, em cada um dos três departamentos da empresa. 
 
 Entrada (unidades) 
Matéria-prima 
Saída (unidades) 
Peças 
Departamentos 1 2 3 A B 
1 8 6 5 7 5 
2 5 9 10 6 9 
3 3 8 7 8 4 
 
Formular um modelo de programação matemática para determinar o número de turnos de produção 
para cada departamento que maximize o número de máquinas fabricadas. 
 
 
12. Numa determinada região, o problema da poluição atmosférica tornou-se crítico devido à emissão 
do poluente SO2 por um certo número n de fábricas. Este poluente é liberado pela queima de m 
combustíveis para a produção de energia necessária. Cada fábrica j necessita diariamente e j unidades 
de energia. Cada tonelada do combustível i, cujo custo é ci , produz aij unidades de energia e emite pij 
unidades de poluente, quando utilizada na fábrica j. Deseja-se que a emissão diária do poluente não 
exceda α unidades. Formular o problema de forma a minimizar o custo total de energia para as n 
fábricas. Por uma questão de equidade na distribuição dos custos da poluição, é importante assegurar 
que o custo da unidade de energia produzida seja o mesmo para as n fábricas e igual a cp. 
 
13. Um laboratório farmacêutico produz dois tipos de remédios: 1 e 2. Os remédios são fabricados a 
partir da mistura de duas substâncias químicas; A e B. O remédio 1 deve conter em peso, um mínimo 
de 65% da substância A, e o remédio 2 deve conter em peso, um mínimo de 55% da substância A. O 
remédio 1 é vendido ao preço de $240,00/Kg, enquanto o remédio 2 é vendido ao preço de 
$160,00/Kg. As substâncias A e B podem ser produzidas através de dois tipos de processos. Usar o 
processo 1 por uma hora requer 75g de matéria prima, 2 horas de trabalho especializado e produz 75 g 
de cada substância. Usar o processo 2 por uma hora, requer 50g de matéria prima, 3 horas de trabalho 
especializado e produz 75 g de substância A e 25 g de substância B. A disponibilidade para trabalho 
especializado é de no máximo 120 horas e no máximo 400g de matéria prima são disponíveis. Formule 
um modelo de PL para maximizar as receitas obtidas com as vendas dos remédios. 
 
Processo Matéria 
Prima (g) 
Horas de trabalho 
especializado 
Produção da 
substância A (g) 
Produção da 
substância B (g) 
1 75 2 75 75 
2 50 3 75 25 
 
14. Um fazendeiro tem 200 unidades de área de terra, onde planeja cultivar trigo, arroz e milho. A 
produção esperada é de 1800 kg por unidade de área plantada de trigo, 2100 kg por unidade de 
área plantada de arroz e 2900 kg por unidade de área plantada de milho. Para atender ao consumo 
interno de sua fazenda, ele deve plantar pelo menos 12 unidades de área de trigo, 16 unidades de 
área de arroz e 20 unidades de área de milho. Ele tem condições de armazenar no máximo 700000 
kg. Sabendo que o trigo dá um lucro de 1,20 reais por kg, o arroz 60 centavos por kg e o milho 28 
centavos por kg, quantas unidades de área de cada produto ele deve plantar para que o seu lucro 
seja o maior possível? Formular somente o problema. 
 
15. Num laboratório químico, querem produzir um ácido com as seguintes características: 
 o ácido deve conter no mínimo 20% do componente B1, no máximo 20% do componente B2 e no 
mínimo 35% do componente B3; 
a) O peso específico deve ser menor ou igual a 1. 
b) O ácido deverá ser produzido a partir de uma mistura de três matérias-primas R1, R2 e R3. A 
percentagem na qual os componentes B1, B2, B3 e B4 encontram-se nas matérias-primas bem 
como o seu peso específico e o preço por unidade são dados pela tabela apresentada a seguir. 
 
B1 
(%) 
B2 
(%) 
B3 
(%) 
B4 
(%) 
Peso 
específico 
Preço por 
unidade 
R1 15 10 40 35 1,04 140 
R2 20 15 30 35 0,95 120 
R3 25 30 35 15 1,00 130 
Considerando que o peso específico do ácido será dado levando-se em conta a proporção em que 
as matérias-primas se encontram na mistura, formular o problema para determinar esta proporção, 
minimizando o custo de produção do ácido. 
 
16. Uma cidade 1 produz 500 t de lixo por dia, enquanto que uma outra cidade 2 produz diariamente 
400 t de lixo. Os lixos provenientes das duas cidades são incinerados em dois incineradores 1 e 2, que 
podem processar diariamente até 500 t de lixo cada um. O custo para incinerar lixo é de $40,00 por 
tonelada no incinerador 1 e $30,00 por tonelada no incinerador 2. A incineração reduz cada tonelada 
de lixo em 0,2 toneladas de resíduos, que devem ser depositados em até dois aterros. Cada aterro pode 
receber no máximo 200 t de resíduos por dia. $3,00 é o custo de transporte por quilômetro de 
distância, tanto para o lixo quanto para os sresíduos. As distâncias em quilômetros entre as cidades e 
os incineradores e entre os incineradores e os aterros estão na tabela 1. Formule um PPL que possa ser 
usado para descobrir qual o esquema a ser adotado a fim de se minimizar o custo total envolvido neste 
processo de transporte do lixo até os incineradores, incineração e transporte dos incineradores até os 
aterros. 
 Incinerador 1 Incinerador 2 
Cidade 1 30 5 
Cidade 2 36 42 
 Aterro 1 Aterro 2 
Incinerador 1 5 8 
Incinerador 2 9 6 
 
 
17. . Uma empresa produz 3 tipos de produtos: 1, 2 e 3. Cada quilo de matéria prima custa R$25,00. 
Cada quilo de matéria prima é submetida a um processamento e gera 300 gramas do produto 1 e 100 
gramas do produto 2. Este processamento custa R$1,00 e leva 2 horas de trabalho por quilo processado 
de matéria-prima. 
 
 Cada 100 gramas do produto 1 podem ser usadas de 3 maneiras. 
Podem ser vendidas a R$10,00 (cada 100 gramas). 
Podem ser processadas gerando 100 gramas do produto 2. Isto requer 2 horas de trabalho e custa 
R$1,00 (cada 100 gramas). 
Podem ser processadas gerando 100 gramas do produto 3. Isto requer 3 horas de trabalho e custa 
R$2,00 (cada 100 gramas). 
 
 
Cada 100 gramas do produto 2 podem ser usadas de 2 maneiras. 
Podem ser vendidas a R$20,00 (cada 100 gramas). 
Podem ser processadas gerando 100 gramas do produto 3. Isto requer 1 hora de trabalho e custa 
R$6,00 (cada 100 gramas). 
Cada 100 gramas do produto 3 podem ser podem ser vendidas por R$30,00. 
Podem ser vendidos no máximo 500 Kg do produto 1, 500 kg do produto 2 e 300Kg do produto 3. 
Um máximo de 25000 horas de trabalho total (gastos em todos os processos) estão disponíveis. 
Monte um modelo de PPL para encontrar o esquema que maximiza o lucro da empresa. Não admita 
que produto do tipo 2 obtido a partir de processamento de produto 1, possa sofrer um novo 
processamento para gerar produto do tipo 3. 
 
18. Os esgotos de três cidades, A, B e C, depois de sofrerem um tratamento, são descarregados em 
um rio. O esgoto de cada uma das três cidades produz uma certa quantidade diária de poluente 
expressa por PA , PB e PC toneladas. O tratamento do esgoto pode reduzir a quantidade de poluente 
até um máximo de 90%. Esta redução é chamada de eficiência da estação de tratamento, e o custo 
da estação i é diretamente proporcional à sua eficiência (ki x eficiência). 
 
 
 
Por outro lado, devido à ação bioquímica (aeração, etc), no final de cada trecho AB e BC do 
rio, a quantidade de poluentes é reduzida em 10% e 20% respectivamente. 
Qual a eficiência que devem ter as estações de tratamento, de modo que, para qualquer 
ponto do rio, a quantidade de poluentes medida em um dia não ultrapasse P toneladas, e de 
modo a minimizar o custo total das estações de tratamento? Formular um modelo de PPL 
que permita resolver este problema. 
 
 
19. Duas ligas metálicas, A e B, são feitas de quatro metais distintos, I, II, III e IV, de acordo com a 
especificação apresentada na tabela a seguir. 
 
LIGAS ESPECIFICAÇÃO 
A 
No máximo 80% de I 
No máximo 30% de II 
No mínimo 50% de IV 
BEntre 40% e 60% de II 
No mínimo 30% de III 
No máximo 70% de IV 
 
Os quatro metais são extraídos de três minérios diferentes, cujas percentagens em peso destes metais, 
quantidades máximas dos minérios e custos por tonelada são tabeladas a seguir. 
 
Minério Quantidade Máxima 
(tonelada) 
Componentes (%) Preço por tonelada 
em R$ I II III IV outros 
1 1000 20 10 30 30 10 30,00 
2 2000 10 20 30 30 10 40,00 
3 3000 5 5 70 20 0 50,00 
 
Considerando que os preços de venda das ligas A e B sejam R$200,00 e R$300,00 por tonelada, 
respectivamente, formular um modelo de PPL que forneça o melhor esquema de fabricação dessas 
ligas de forma a maximizar o lucro. 
 
20. Uma empresa petrolífera possui uma refinaria no Norte e duas unidades de produção de 
óleos lubrificantes, uma no Norte, junto à refinaria, e outra no Sul, que produzem três tipos de 
óleos lubrificantes, o Normal, o Super e o Hiper, cuja composição é a indicada no quadro 
seguinte: 
Óleo Lubrificante Composição (% de volume) Rendimento (litros/hora) 
Óleo Base Aditivo A Aditivo B Unidade Norte Unidade Sul 
Normal 90% 10% 1800 2000 
Super 80% 15% 5% 1600 1500 
Hiper 60% 10% 30% 1400 1000 
As duas unidades têm uma capacidade de produção de 2000 horas anuais cada uma, que se 
dividem pela produção dos três tipos de óleo lubrificante, com os rendimentos de produção 
representados no quadro anterior. 
Cada hora de produção da unidade Norte tem um encargo de R$3000,00, e na unidade Sul de 
R$2700,00. 
 O óleo base é produzido na refinaria (junto à unidade Norte) com um custo de R$6,00/litro. O 
seu transporte para a unidade Sul acarreta um custo adicional de R$0,60/litro. 
A refinaria tem uma capacidade de produção de 6 milhões de litros de óleo base por ano. 
Quanto aos aditivos, são adquiridos a fornecedores e custam R$45,00/litro e R$60,00/litro 
respectivamente para os aditivos A e B. 
Cada litro é vendido pela empresa a R$18,00/litro, R$21,00/litro e R$30,00/litro 
respectivamente para os óleos Normal, Super e Hiper, e se admite que o mercado tem 
capacidade anual para absorver 3 milhões de litros de óleo Normal, 2,5 milhões de litros de 
óleo Super e 1,5 milhões de litros de óleo Hiper. 
 Formule o problema de programação linear em que se pretende maximizar o lucro. 
 
21. A empresa SIT opera um centro de recuperação que recolhe quatro tipos de sólidos 
resíduos que são tratados para que possam ser transformados em um produto vendável. 
Tratamento e amalgação são processos separados. 
Três tipos diferentes de produtos podem ser obtidos dependendo da mistura de materiais 
(resíduos sólidos) utilizada. Embora haja alguma flexibilidade na mistura dos resíduos, 
padrões de qualidade podem especificar o valor mínimo ou máximo permitido para o teor de 
cada material em cada produto ( Percentagem do peso de um dado resíduo presente no peso 
total de cada produto). 
 Para cada um dos dois produtos de valor mais elevado, uma percentagem fixa é especificada 
para um dos materiais . Estas especificações são dadas na Tabela I juntamente com o custo de 
amalgamação e o preço de venda para cada produto. 
O centro de recuperação coleta seus resíduos sólidos a partir de fontes regulares sendo 
possível manter uma taxa constante de tratamento. A tabela II dá as quantidades disponíveis 
para coleta e tratamento por semana , bem como o custo do tratamento , para cada tipo de 
material . 
A empresa SIT é de propriedade exclusiva da TERRA VERDE , uma organização dedicada a 
lidar com questões ambientais , de modo que os seus lucros são usados para apoiar as 
atividades da TERRA VERDE. A TERRA VERDE tem obtido contribuições no valor de US 
$ 30.000 por semana , para ser usado exclusivamente para cobrir todo o custo do tratamento 
dos resíduos sólidos. O conselho de administração da TERRA VERDE instruiu a direção da 
SIT para dividir esta quantia entre os materiais , de tal maneira que pelo menos metade da 
quantidade disponível de cada resíduo semanalmente seja recolhido e tratado. 
 A administração quer determinar a quantidade de cada tipo de produto a ser produzido e a 
mistura exata a ser utilizada em cada produto. O objetivo é maximizar o lucro líquido semanal 
(renda total de vendas 
menos o custo total de amalgamação), já que o custo de tratamento fixo de US $ 30.000 por 
semana está coberto por doações e subvenções. 
Construir um modelo de programação linear que permita resolver este problema. 
 
Tabela I 
 
Produ
to 
Teores 
Custo de 
amalgamação 
(R$/ kg) 
Preço de Venda 
(R$ / kg) 
A 
Resíduo 1: No máximo 
30% 
Resíduo 2: No mínimo 
40% 
Resíduo 3: No máximo 
50% 
Resíduo 4: Exatamente 
20% 
6,00 17,00 
B 
Resíduo 1: No máximo 
50% 
Resíduo 2: No mínimo 
10% 
Resíduo 4: Exatamente 
10% 
5,00 14,00 
C 
Resíduo 1: No máximo 
70% 
4,00 11,00 
 
 
 
 
 
Tabela II 
Resíduo 
Quantidade disponível por semana 
(kg) 
Custo de tratamento 
(R$/kg) 
1 6000 6,00 
2 4000 12,00 
3 8000 8,00 
4 2000 10,00 
 
22.