Redescobrindo a Física Quântica

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v. 32, n. 5, 2021 ISSN 2448-0606 
 
 
(RE)DESCOBRINDO A TEORIA QUÂNTICA: UM RESGATE 
DOS PRINCIPAIS CONCEITOS APRESENTADOS NOS DISCURSOS 
DO PRÊMIO NOBEL 
 
Nathan Willig Lima 
Yaffa Bruxel Rabeno 
Fernando Shinoske Tagawa de Lemos Pires 
Gabriela Gomes Rosa 
Igor Dalbosco Lovison 
Milena Lauschner Lopes 
Félix Oliveira da Silva Steffens Wood 
 
 
 
 
 
 
 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
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Textos de Apoio ao Professor de Física, v. 32, n. 5, 2021 
Instituto de Física – UFRGS 
Programa de Pós – Graduação em Ensino de Física 
 
 
Editores: Marco Antonio Moreira 
 Eliane Angela Veit 
 
 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
Setor Técnico da Biblioteca Professora Ruth de Souza Schneider 
Instituto de Física/UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R314 (Re)descobrindo a teoria quântica: um resgate dos principais 
 conceitos apresentados nos discursos do prêmio Nobel / 
 Nathan Willig Lima, Yaffa Bruxel Rabeno, Fernando Shinoske 
 Tagawa de Lemos Pires, Gabriela Gomes Rosa, Igor 
 Dalbosco Lovison, Milena Lauschner Lopes, Félix Oliveira da 
 Silva Steffens Wood – Porto Alegre: UFRGS, 2021. 
 
 111 p.; il. (Textos de apoio ao professor de física / 
 Marco Antonio Moreira e Eliane Angela Veit, ISSN 
 2448-0606; v.32, n.5). 
 
 Disponível em: 
 
 
 
1. Ensino de física 2. Teoria quântica 
I. Lima, Nathan Willig II. Rabeno, Yaffa Bruxel III. Pires, 
Fernando Shinoske Tagawa de Lemos IV. Rosa, Gabriela 
Gomes V. Lovison, Igor Dalbosco VI. Lopes, Milena Lauschner 
VII. Wood, Félix Oliveira da Silva VIII. Título IX. Série 
 
 
 PACS: f01.40. 
 
https://www.if.ufrgs.br/public/tapf/tapf_v32n5.pdf
https://www.if.ufrgs.br/public/tapf/tapf_v32n5.pdf
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Sumário 
 
Capítulo 1. Onde está o conhecimento? ................................................................................................. 7 
Capítulo 2. Por que você deveria aprender sobre a Teoria Quântica? ................................................... 9 
Capítulo 3. Seria o átomo um novo sistema solar? O modelo atômico de Bohr .................................. 15 
3.1. Introdução ................................................................................................................................... 15 
3.2. A ideia central de Bohr ............................................................................................................... 15 
3.3. Considerações filosóficas ........................................................................................................... 18 
3.4. Algumas questões para reflexão ................................................................................................ 18 
3.5. O discurso de Niels Bohr: A Estrutura do Átomo ....................................................................... 20 
Capítulo 4: A natureza microscópica é dual: a proposta ondulatória para o elétron de Louis de Broglie
 ............................................................................................................................................................... 51 
4.1. Introdução ................................................................................................................................... 51 
4.2. A ideia central de Louis de Broglie ............................................................................................. 51 
4.3. Considerações Filosóficas ......................................................................................................... 55 
4.4. Questões para reflexão .............................................................................................................. 55 
4.5. O Discurso de Loius de Broglie: A natureza ondulatório do elétron .......................................... 56 
Capítulo 5. Tudo é onda: a Mecânica Ondulatória de Schrödinger ...................................................... 67 
5.2. A ideia central de Schrödinger ................................................................................................... 67 
5.3. Considerações Filosóficas ......................................................................................................... 69 
5.4. Questões para reflexões ............................................................................................................ 69 
5.5. O Discurso de Schrödinger: A ideia fundamental da mecânica ondulatória .............................. 70 
Capítulo 6: Nunca preveremos o futuro pois jamais conheceremos o presente: A Mecânica Quântica 
de Heisenberg ....................................................................................................................................... 81 
6.1. Introdução ................................................................................................................................... 81 
6.2. A ideia central de Heisenberg .................................................................................................... 82 
6.3. Considerações Filosóficas ......................................................................................................... 83 
6.4. Questões para reflexão .............................................................................................................. 84 
6.5. O discurso de Heisenberg: O desenvolvimento da Mecânica Quântica .................................... 84 
Capítulo 7. O mundo virou probabilístico: a interpretação estatística de Max Born ............................. 93 
7.1. Introdução .............................................................................................................................. 93 
7.2. A ideia central de Max Born .................................................................................................. 93 
7.3. Considerações Filosóficas .................................................................................................... 95 
7.4. Questões para reflexão ......................................................................................................... 95 
7.5. O Discurso de Max Born: A intepretação Estatística da Mecânica Quântica ....................... 96 
Capítulo 8. Síntese: Uma Visão Geral da Teoria Quântica ................................................................ 107 
Referências ......................................................................................................................................... 109 
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Apresentação 
 
 
 Em 2021, a pandemia de COVID-19 obrigou-nos todos a ficar em casa, em isolamento social, 
impedindo a realização de atividades presenciais nas universidades brasileiras. Nesse período, houve 
um hiato entre o primeiro e segundo semestre letivo do ano, maior do que as férias usuais, na 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Por iniciativa dos alunos e das alunas do Instituto de Física 
(IF), foi organizado um programa denominado De Férias com o IF. Nesse programa, cada professor 
interessado poderia oferecer uma linha de pesquisa para desenvolver com até cinco alunos. 
Seguindo as pesquisas que já eram desenvolvidas no Programa de Pós-Graduação em Ensino 
de Física, o prof. Nathan Lima ofereceu uma proposta de pesquisa sobre História, Filosofia e Ensino 
da Teoria Quântica. A proposta era partir de textos originais, escritos pelos próprioscomo as que 
acabamos de delinear. 
Figura 3.3. Figura 2 do texto original de Bohr. 
 
Uma conexão mais íntima entre o espectro e o modelo atômico foi revelada, no entanto, por 
uma investigação do movimento naqueles estados estacionários onde o número final é grande, e onde 
as dimensões da órbita do elétron e a frequência de revolução nela variam relativamente pouco quando 
passamos de um estado estacionário para o seguinte. Foi possível mostrar que a frequência da 
radiação enviada durante a transição entre dois estados estacionários, cuja diferença dos números 
iniciais e finais é pequena em comparação com esses próprios números, tende a coincidir em 
frequência com uma das componentes harmônicas na qual o movimento do elétron poderia ser 
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resolvido, e de acordo também com a frequência das ondas na radiação que seria emitida de acordo 
com as leis da eletrodinâmica comum. A condição de que tal coincidência ocorra nesta região onde os 
estados estacionários diferem, mas pouco uns dos outros, prova ser que a constante na fórmula de 
Balmer pode ser expressa por meio da relação 
𝐾 =
2𝜋²𝑒4𝑚
ℎ³
 
onde e e m são respectivamente a carga e a massa do elétron, enquanto h é a constante de Planck. 
Esta relação mostrou manter a precisão considerável com a qual, especialmente por meio das belas 
investigações de Millikan, as quantidades e, m e h são conhecidas. Este resultado mostra que existe 
uma conexão entre o espectro do hidrogênio e o modelo do átomo de hidrogênio que, no geral, é o 
mais próximo que poderíamos esperar considerando o afastamento dos postulados das leis clássicas 
da mecânica e eletrodinâmica. Ao mesmo tempo, fornece alguns indícios de como podemos perceber 
na teoria quântica, apesar do caráter fundamental desse afastamento, uma generalização natural dos 
conceitos fundamentais da teoria eletrodinâmica clássica. Voltaremos a esta questão tão importante 
mais tarde, mas primeiro discutiremos como a interpretação do espectro do hidrogênio com base nos 
postulados têm se mostrado adequada de várias maneiras, para elucidar a relação entre as 
propriedades dos diferentes elementos. 
 
Relações entre os elementos 
 
A discussão acima pode ser aplicada imediatamente ao processo pelo qual um elétron é ligado 
a um núcleo com qualquer carga. Os cálculos mostram que, no estado estacionário correspondente a 
um dado valor do número n, o tamanho da órbita será inversamente proporcional à carga nuclear, 
enquanto o trabalho necessário para remover um elétron será diretamente proporcional ao quadrado 
da carga nuclear. O espectro que é emitido durante a ligação de um elétron por um núcleo com carga 
N vezes a do núcleo de hidrogênio pode, portanto, ser representado pela fórmula: 
𝜈 = 𝑁²𝐾(
𝐼
𝑛"²
−
𝐼
𝑛′²
). 
Se nesta fórmula colocarmos N = 2, obtemos um espectro que contém um conjunto de linhas 
na região visível que foi observado há muitos anos no espectro de certas estrelas. Rydberg atribuiu 
essas linhas ao hidrogênio por causa da analogia próxima com a série de linhas representadas pela 
fórmula de Balmer. Nunca foi possível produzir essas linhas em hidrogênio puro, mas pouco antes da 
teoria do espectro do hidrogênio ser apresentada, Fowler conseguiu observar a série em questão 
enviando uma forte descarga através de uma mistura de hidrogênio e hélio. Este investigador também 
presumiu que as linhas eram linhas de hidrogênio, porque não existia nenhuma evidência experimental 
a partir da qual pudesse ser inferido que duas substâncias diferentes poderiam apresentar propriedades 
semelhantes entre si tanto quanto o espectro em questão e o do hidrogênio. Depois que a teoria foi 
apresentada, ficou claro, no entanto, que as linhas observadas deveriam pertencer a um espectro de 
hélio, mas não eram como o espectro de hélio comum emitido pelo átomo neutro. Eles vieram de um 
átomo de hélio ionizado que consiste em um único elétron movendo-se ao redor de um núcleo com 
carga dupla. Desta forma, foi trazida à luz uma nova característica da relação entre os elementos, que 
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corresponde exatamente às nossas idéias atuais de estrutura atômica, segundo as quais as 
propriedades físicas e químicas de um elemento dependem, em primeira instância, apenas da carga 
elétrica do núcleo atômico. Logo depois que essa questão foi resolvida, a existência de uma relação 
geral semelhante entre as propriedades dos elementos foi trazida à luz pelas conhecidas investigações 
de Moseley sobre os espectros de raios-X característicos dos elementos, o que foi possível pela 
descoberta de Laue da interferência dos raios X em cristais e as investigações de WH e WL Bragg 
sobre o assunto. Parecia, de fato, que os espectros de raios-X dos diferentes elementos possuíam uma 
estrutura muito mais simples e uma semelhança mútua muito maior do que seus espectros ópticos. Em 
particular, parecia que os espectros mudavam de elemento para elemento de uma maneira que 
correspondia intimamente à fórmula dada acima para o espectro emitido durante a ligação de um 
elétron a um núcleo, desde que N fosse igual ao número atômico do elemento preocupado. Essa 
fórmula foi até capaz de expressar, com uma aproximação que não poderia deixar de ser significativa, 
as frequências das linhas de raios-X mais fortes, se pequenos números inteiros fossem substituídos 
por n' e n''. 
Essa descoberta foi de grande importância em vários aspectos. Em primeiro lugar, a relação 
entre os espectros de raios-X de diferentes elementos mostrou-se tão simples que se tornou possível 
fixar sem ambiguidade o número atômico para todas as substâncias conhecidas, e desta forma predizer 
com certeza o número atômico de todos os elementos até então desconhecidos para os quais existe 
um lugar no sistema natural. A Fig. 3 mostra como a raiz quadrada da frequência para duas linhas 
características de raios-X depende do número atômico. Essas linhas pertencem ao grupo das 
chamadas linhas K, que são os mais penetrantes dos raios característicos. Com uma aproximação 
muito próxima, os pontos estão em linhas retas, e o fato de que o fazem é condicionado não apenas 
por levarmos em consideração os elementos conhecidos, mas também por deixarmos um lugar aberto 
entre o molibdênio (42) e o rutênio (44), apenas como no esquema original de Mendeleev do sistema 
natural dos elementos. 
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Figura 3.4. Figura 3 do texto original do Bohr. 
 
Além disso, as leis dos espectros de raios X fornecem uma confirmação das concepções 
teóricas gerais, tanto no que diz respeito à constituição do átomo quanto às ideias que serviram de 
base para a interpretação dos espectros. Desse modo a semelhança entre os espectros de raios-X e 
os espectros emitidos durante a ligação de um único elétron a um núcleo pode ser simplesmente 
interpretada a partir do fato de que as transições entre os estados estacionários com os quais estamos 
preocupados em espectros de raios-X são acompanhadas por mudanças no movimento de um elétron 
na parte interna do átomo, onde a influência da atração do núcleo é muito grande em comparação com 
as forças repulsivas dos outros elétrons. As relações entre outras propriedades dos elementos são de 
um caráter muito mais complicado, que se origina no fato de que temos a ver com processos relativos 
ao movimento dos elétrons na parte externa do átomo, onde as forças que os elétrons exercem sobre 
uns aos outros são da mesma ordem de magnitude que a atração para o núcleo, e onde, portanto, os 
detalhes da interação dos elétrons desempenham um papel importante. Um exemplo característico de 
tal caso é fornecido pela extensão espacial dos átomos dos elementos. O próprio Lothar Meyer chamou 
a atençãopara a mudança periódica característica exibida pela razão entre o peso atômico e a 
densidade, o chamado volume atômico, dos elementos do sistema natural. Uma ideia desses fatos é 
dada pela Fig. 4, na qual o volume atômico é representado em função do número atômico. Uma 
diferença maior entre esta e a figura anterior dificilmente poderia ser imaginada. Enquanto os espectros 
de raios X variam uniformemente com o número atômico, os volumes atômicos mostram uma mudança 
periódica característica que corresponde exatamente a mudança nas propriedades químicas dos 
elementos. 
Figura 3.5. Figura 4 do texto original de Bohr. 
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Os espectros ópticos comuns se comportam de maneira análoga. Apesar da dissimilaridade 
entre esses espectros, Rydberg conseguiu traçar uma certa relação geral entre o espectro do 
hidrogênio e outros espectros. Mesmo que as linhas espectrais dos elementos com maior número 
atômico apareçam como combinações de uma variedade mais complicada de termos espectrais que 
não é tão simplesmente coordenada com uma série de números inteiros, ainda assim os termos 
espectrais podem ser arranjados em série, cada um dos quais mostra uma forte semelhança com a 
série de termos no espectro do hidrogênio. Essa semelhança aparece no fato de que os termos em 
cada série podem, como Rydberg apontou, ser representados com muita precisão pela fórmula 𝐾/(𝑛 +
𝛼)² onde K é a mesma constante que ocorre no espectro do hidrogênio, muitas vezes chamada de 
constante de Rydberg, enquanto n é o número do termo e α uma constante que é diferente para as 
diferentes séries. 
Essa relação com o espectro do hidrogênio nos leva imediatamente a considerar esses 
espectros como a última etapa de um processo pelo qual o átomo neutro é construído pela captura e 
ligação dos elétrons ao núcleo, um por um. Na verdade, é claro que o último elétron capturado, desde 
que esteja naquele estágio do processo de ligação em que sua órbita ainda é grande em comparação 
com as órbitas dos elétrons previamente ligados, será submetido a uma força do núcleo e esses 
elétrons, que pouco difere da força com que o elétron do átomo de hidrogênio é atraído para o núcleo 
enquanto se move em uma órbita de dimensões correspondentes. 
Os espectros até agora considerados, para os quais as leis de Rydberg valem, são excitados 
por meio de descarga elétrica em condições normais e são frequentemente chamados de espectros de 
arco. Os elementos emitem também outro tipo de espectro, os chamados espectros de centelha, 
quando são submetidos a uma descarga extremamente poderosa. Até então, era impossível separar 
os espectros da centelha da mesma forma que os espectros do arco. Logo após a visão acima sobre a 
origem dos espectros de arco ser apresentada, no entanto, Fowler descobriu (1914) que uma 
expressão empírica para as linhas do espectro da centelha poderia ser estabelecida, o que corresponde 
exatamente às leis de Rydberg com a única diferença de que a constante K é substituída por uma 
constante quatro vezes maior. Como vimos, a constante que aparece no espectro enviado durante a 
ligação de um elétron a um núcleo de hélio é exatamente igual a 4K, torna-se evidente que os espectros 
das centelhas são devidos ao átomo ionizado, e sua emissão corresponde a última etapa da formação 
do átomo neutro pela captura e ligação sucessiva de elétrons. 
 
Absorção e excitação de linhas espectrais 
 
A interpretação da origem dos espectros também foi capaz de explicar as leis características 
que governam os espectros de absorção. Como Kirchhoff e Bunsen já haviam mostrado, existe uma 
estreita relação entre a absorção seletiva de radiação por substâncias e seus espectros de emissão, e 
é nisso que se baseia essencialmente a aplicação da análise de espectro aos corpos celestes. Ainda 
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assim, com base na teoria eletromagnética clássica, é impossível entender por que as substâncias na 
forma de vapor mostram absorção para certas linhas em seu espectro de emissão e não para outras. 
Com base nos postulados dados acima, somos, no entanto, levados a supor que a absorção 
de radiação correspondente a uma linha espectral emitida por uma transição de um estado estacionário 
do átomo para um estado de menos energia é provocada pelo retorno de o átomo do último estado 
nomeado para o primeiro. Assim, entendemos imediatamente que, em circunstâncias normais, um gás 
ou vapor só pode mostrar absorção seletiva para linhas espectrais que são produzidas por uma 
transição de um estado correspondente a um estágio anterior no processo de ligação para o estado 
normal. Somente em temperaturas mais altas ou sob a influência de descargas elétricas em que um 
número apreciável de átomos está sendo constantemente rompido do estado normal, podemos esperar 
absorção para outras linhas no espectro de emissão de acordo com os experimentos. 
Uma confirmação mais direta para a interpretação geral dos espectros com base nos 
postulados também foi obtida por investigações sobre a excitação de linhas espectrais e ionização de 
átomos por meio do impacto de elétrons livres com velocidades dadas. Um decidido avanço nessa 
direção foi marcado pelas conhecidas investigações de Franck e Hertz (1914). Pareceu a partir de seus 
resultados que por meio de impactos de elétrons era impossível transmitir a um átomo uma quantidade 
arbitrária de energia, mas apenas as quantidades que correspondessem a uma transferência do átomo 
de seu estado normal para outro estado estacionário, cuja existência os espectros nos asseguram, e a 
energia dos quais pode ser inferida a partir da magnitude do termo espectral. 
Além disso, evidencia-se contundentemente a independência que, segundo os postulados, 
deve ser atribuída aos processos que dão origem à emissão das diferentes linhas espectrais de um 
elemento. Assim, pôde-se mostrar diretamente que átomos que foram transferidos dessa maneira para 
um estado estacionário de maior energia foram capazes de retornar ao estado normal com emissão de 
radiação correspondente a uma única linha espectral. 
Investigações contínuas sobre os impactos de elétrons, nas quais um grande número de físicos 
compartilham, também produziram uma confirmação detalhada da teoria sobre a excitação de 
espectros em série. Em especial, foi possível mostrar que para a ionização de um átomo por impacto 
de elétrons é necessária uma quantidade de energia que seja exatamente igual ao trabalho necessário, 
segundo a teoria, para remover o último elétron capturado do átomo. Este trabalho pode ser 
determinado diretamente como o produto da constante de Planck e o termo espectral correspondente 
ao estado normal, que, como mencionado acima, é igual ao valor limite das frequências da série 
espectral conectada com a absorção seletiva. 
 
A Teoria Quântica de Sistemas Multi-Periódicos 
 
Embora fosse possível por meio dos postulados fundamentais da teoria quântica explicar 
diretamente certas características gerais das propriedades dos elementos, um desenvolvimento mais 
próximo das ideias da teoria quântica era necessário para explicar essas propriedades mais 
detalhadamente. No curso dos últimos anos, uma base teórica mais geral foi alcançada por meio do 
desenvolvimento de métodos formais que permitem a fixação dos estados estacionários para 
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movimentos de elétrons de um tipo mais geral do que aqueles considerados até agora. Para um 
movimento simples e periódico como o que encontramos no oscilador harmônico puro, e pelo menos 
para uma primeira aproximação, no movimento de um elétron em torno de um núcleo positivo, a 
variedade de estados estacionários pode ser simplesmente coordenada a uma série de números 
inteiros.Para os movimentos da classe mais geral mencionada anteriormente, os chamados 
movimentos multiplamente periódicos, entretanto, os estados estacionários compõem uma variedade 
mais complexa, na qual, de acordo com esses métodos formais, cada estado é caracterizado por vários 
números inteiros, os chamados "Números quânticos". 
No desenvolvimento da teoria, um grande número de físicos participou, e a introdução de vários 
números quânticos pode ser rastreada até o trabalho do próprio Planck. Mas o passo definitivo que deu 
o ímpeto a trabalhos posteriores foi dado por Sommerfeld (1915) em sua explicação da estrutura fina 
mostrada pelas linhas de hidrogênio quando o espectro é observado com um espectroscópio de alto 
poder de resolução. A ocorrência dessa estrutura fina deve ser atribuída à circunstância de termos que 
lidar, mesmo no hidrogênio, com um movimento que não é exatamente simplesmente periódico. Na 
verdade, como consequência da mudança na massa do elétron com a velocidade que é reivindicada 
pela teoria da relatividade, a órbita do elétron sofrerá uma precessão muito lenta no plano orbital. O 
movimento será, portanto, duplamente periódico, e além de um número que caracteriza o termo na 
fórmula de Balmer, que nós chamaremos de número quântico principal porque determina 
principalmente a energia do átomo, a fixação dos estados estacionários exige outro número quântico 
que chamaremos de número quântico subordinado. 
Um levantamento do movimento nos estados estacionários assim fixados é dado no diagrama 
(Fig. 5), que reproduz o tamanho relativo e a forma das órbitas eletrônicas. Cada órbita é designada 
por um símbolo 𝒏𝒌 onde n é o número quântico principal e k o número quântico subordinado. Todas as 
órbitas com o mesmo número quântico principal têm, em uma primeira aproximação, o mesmo eixo 
principal, enquanto as órbitas com o mesmo valor de k têm o mesmo parâmetro, ou seja, o mesmo 
valor para a corda mais curta através do foco. Uma vez que os valores de energia para diferentes 
estados com o mesmo valor de n, mas diferentes valores de k diferem um pouco uns dos outros, 
obtemos para cada linha de hidrogênio correspondendo a valores definidos de n’' e n'' na fórmula de 
Balmer um número de diferentes processos de transição, para os quais as frequências da radiação 
emitida, calculadas pelo segundo postulado, não são exatamente as mesmas. Como Sommerfeld foi 
capaz de mostrar, os componentes que isso dá para cada linha de hidrogênio concordam com as 
observações sobre a estrutura fina das linhas de hidrogênio dentro dos limites do erro experimental. 
Na figura as setas designam os processos que dão origem aos componentes das linhas vermelhas e 
verdes no espectro do hidrogênio, cujas frequências são obtidas colocando n'' = 2 e n' = 3 ou 4, 
respectivamente, na fórmula de Balmer. 
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Figura 3.6. Figura 5 do original do texto original de Bohr. 
 
Ao considerar a figura, não se deve esquecer que a descrição da órbita está incompleta, na 
medida em que com a escala usada a precessão lenta não aparece de forma alguma. Na verdade, 
essa precessão é tão lenta que mesmo nas órbitas que giram mais rapidamente, o elétron realiza cerca 
de 40.000 revoluções antes que o periélio dê uma volta completa. No entanto, é somente essa 
precessão a responsável pela multiplicidade dos estados estacionários caracterizados pelo número 
quântico subordinado. Se, por exemplo, o átomo de hidrogênio é submetido a uma pequena força 
perturbadora que perturba a precessão regular, a órbita do elétron nos estados estacionários terá uma 
forma totalmente diferente daquela dada na figura. Isso implica que a estrutura fina mudará 
completamente seu caráter, mas o espectro do hidrogênio continuará a consistir em linhas que são 
dadas em uma aproximação pela fórmula de Balmer, devido ao fato de que o caráter aproximadamente 
periódico do movimento será mantido. Somente quando as forças perturbadoras se tornarem tão 
grandes que mesmo durante uma única revolução do elétron a órbita seja consideravelmente 
perturbada, o espectro sofrerá mudanças essenciais. A afirmação frequentemente avançada de que a 
introdução de dois números quânticos deve ser uma condição necessária para a explicação da fórmula 
de Balmer deve, portanto, ser considerada um equívoco da teoria. 
A teoria de Sommerfeld provou ser capaz de explicar não apenas a estrutura fina das linhas de 
hidrogênio, mas também a das linhas no espectro da centelha de hélio. Devido à maior velocidade do 
elétron, os intervalos entre os componentes nos quais uma linha é dividida são aqui muito maiores e 
podem ser medidos com muito maior precisão. A teoria também foi capaz de dar conta de certas 
características na estrutura fina dos espectros de raios-X, onde encontramos diferenças de frequência 
que podem até atingir um valor mais de um milhão de vezes maior do que as diferenças de frequência 
para os componentes das linhas de hidrogênio. 
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Pouco depois de alcançado esse resultado, Schwarzschild e Epstein (1916) conseguiram 
simultaneamente, por meio de considerações semelhantes, dar conta das mudanças características 
que as linhas de hidrogênio sofrem em um campo elétrico, descobertas por Stark no ano de 1914. Em 
seguida, uma explicação das características essenciais do efeito Zeeman para as linhas de hidrogênio 
foi desenvolvida ao mesmo tempo por Sommerfeld e Debye (1917). Neste caso, a aplicação dos 
postulados envolveu a consequência de que apenas certas orientações do átomo em relação ao campo 
magnético eram permitidas, e esta consequência característica da teoria quântica recebeu 
recentemente uma confirmação mais direta nas belas pesquisas de Stern e Gerlach na deflexão de 
átomos de prata que se movem rapidamente em um campo magnético não homogêneo. 
 
O Princípio da Correspondência 
 
 Embora este desenvolvimento da teoria dos espectros tenha sido baseado na elaboração de 
métodos formais para a fixação de estados estacionários, o presente conferencista teve sucesso logo 
depois em lançar luz sobre a teoria de um novo ponto de vista, perseguindo mais a conexão 
característica entre a teoria quântica e a eletrodinâmica clássica já traçadas no espectro do hidrogênio. 
Em conexão com o importante trabalho de Ehrenfest e Einstein, esses esforços levaram à formulação 
do chamado princípio da correspondência, segundo o qual a ocorrência de transições entre os estados 
estacionários acompanhada pela emissão de radiação é rastreada até os componentes harmônicos 
nos quais o movimento do átomo pode ser resolvido e que, segundo a teoria clássica, determinam as 
propriedades da radiação a que dá origem o movimento das partículas. 
 De acordo com o princípio da correspondência, assume-se que todo processo de transição 
entre dois estados estacionários pode ser coordenado com um componente de vibração harmônica 
correspondente de tal forma que a probabilidade de ocorrência da transição é dependente da amplitude 
da vibração. O estado de polarização da radiação emitida durante a transição depende das demais 
características da vibração, de maneira análoga àquela em que na teoria clássica a intensidade e o 
estado de polarização no sistema de ondas emitido pelo átomo em consequência da presença deste 
componente de vibração seria determinada respectivamente pela amplitude e outras características da 
vibração. 
Com a ajuda do princípio da correspondência foi possível confirmar e ampliar os resultados 
acima mencionados. Assim, foi possível desenvolver uma explicação da teoria quântica completa do 
efeito Zeeman para as linhas de hidrogênio, a qual, apesar do caráter essencialmente diferente das 
suposições que fundamentam as duas teorias, é muito semelhante à explicação original de Lorentz 
baseadana teoria clássica. No caso do efeito Stark, onde, por outro lado, a teoria clássica estava 
completamente perdida, a explicação da teoria quântica poderia ser estendida com a ajuda do princípio 
de correspondência para explicar a polarização dos diferentes componentes em quais as linhas são 
divididas, e também para a distribuição de intensidade característica exibida pelos componentes. Esta 
última questão foi investigada mais de perto por Kramers, e a figura a seguir dará alguma impressão 
de quão completamente é possível explicar o fenômeno em consideração. 
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37 
 
 
Figura 3.7. Figura 6 do texto original de Bohr. 
 
A Fig. 6 reproduz uma das fotografias bem conhecidas de Stark da divisão das linhas de 
hidrogênio. A imagem mostra muito bem a natureza variada do fenômeno e mostra como a intensidade 
varia de um componente para outro de maneira peculiar. Os componentes abaixo são polarizados 
perpendicularmente ao campo, enquanto aqueles acima são polarizados paralelamente ao campo. 
A Fig. 7 dá uma representação esquemática dos resultados experimentais e teóricos para a 
linha 𝐻𝛾, cuja frequência é dada pela fórmula de Balmer com n''= 2 e n'= 5. As linhas verticais denotam 
os componentes em que a linha é dividida acima, da qual a imagem da direita fornece os componentes 
que são polarizados paralelamente ao campo e a da esquerda aqueles que são polarizados 
perpendicularmente a ele. Os resultados experimentais são representados na metade superior do 
diagrama, as distâncias da linha pontilhada representando os deslocamentos medidos dos 
componentes e os comprimentos das linhas sendo proporcionais à intensidade relativa estimada por 
Stark a partir do escurecimento da placa fotográfica. Na metade inferior é dada para comparação uma 
representação dos resultados teóricos de um desenho no papel de Kramers. 
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38 
 
 
Figura 3.8. Figura 7 do texto original de Bohr. 
 
O símbolo (n’s’ - n”s”) anexado às linhas fornece as transições entre os estados estacionários 
do átomo no campo elétrico pelos quais os componentes são emitidos. Além do inteiro quântico 
principal n, os estados estacionários são ainda caracterizados por um inteiro quântico subordinado s, 
que tanto pode ser negativo quanto positivo e tem um significado bastante diferente daquele do número 
quântico k que ocorre na teoria da relatividade da estrutura fina das linhas de hidrogênio, que fixaram 
a forma da órbita do elétron no átomo não perturbado. Sob a influência do campo elétrico, tanto a forma 
da órbita quanto sua posição sofrem grandes mudanças, mas certas propriedades da órbita 
permanecem inalteradas, e o número quântico superordenado s está conectado a elas. Na Fig. 7, a 
posição dos componentes corresponde às frequências calculadas para as diferentes transições, e os 
comprimentos das linhas são proporcionais às probabilidades calculadas com base no princípio de 
correspondência, pelo qual também a polarização da radiação é determinada. Vê-se que a teoria 
reproduz completamente a principal característica dos resultados experimentais, e à luz do princípio da 
correspondência podemos dizer que o efeito Stark reflete nos mínimos detalhes a ação do campo 
elétrico sobre a órbita do elétron no átomo de hidrogênio, embora neste caso a reflexão seja tão 
distorcida que, em contraste com o caso do efeito Zeeman, dificilmente seria possível reconhecer 
diretamente o movimento com base nas ideias clássicas da origem da radiação eletromagnética. 
 Resultados de interesse também foram obtidos para os espectros de elementos de maior 
número atômico, cuja explicação nesse meio tempo havia feito importantes progressos através do 
trabalho de Sommerfeld, que introduziu vários números quânticos para a descrição das órbitas de 
elétrons. Na verdade, foi possível, com a ajuda do princípio da correspondência, explicar 
completamente as regras características que governam a ocorrência aparentemente caprichosa das 
linhas de combinação, e não é demais dizer que a teoria quântica não forneceu apenas uma 
interpretação simples do princípio da combinação, mas contribuiu materialmente para esclarecer o 
mistério que há muito pairava sobre a aplicação desse princípio. 
Os mesmos pontos de vista também se mostraram frutíferos na investigação dos chamados 
espectros de banda. Estes não se originam, como os espectros em série, de átomos individuais, mas 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
39 
 
de moléculas; e o fato de esses espectros serem tão ricos em linhas se deve à complexidade do 
movimento acarretado pelas vibrações dos núcleos atômicos entre si e pelas rotações da molécula 
como um todo. O primeiro a aplicar os postulados a este problema foi Schwarzschild, mas o importante 
trabalho de Heurhnger, especialmente, lançou muita luz sobre a origem e estrutura dos espectros de 
banda. As considerações empregadas aqui podem ser rastreadas diretamente àquelas discutidas no 
início desta palestra em conexão com a teoria de Bjerrum sobre a influência da rotação molecular nas 
linhas de absorção infravermelha de gases. É verdade que não pensamos mais que a rotação se reflete 
nos espectros da maneira reivindicada pela eletrodinâmica clássica, mas sim que os componentes da 
linha são devidos a transições entre estados estacionários que diferem no que diz respeito ao 
movimento rotacional. O fato de o fenômeno manter sua característica essencial, entretanto, é uma 
consequência típica do princípio da correspondência. 
 
O Sistema Natural dos Elementos 
 
As ideias da origem dos espectros delineadas anteriormente forneceram a base para uma 
teoria da estrutura dos átomos dos elementos que se mostrou adequada para uma interpretação geral 
das principais características das propriedades dos elementos, conforme exibido no sistema natural. 
Essa teoria é baseada principalmente em considerações sobre a maneira pela qual se pode imaginar 
que o átomo seja construído pela captura e ligação de elétrons ao núcleo, um por um. Como vimos, os 
espectros ópticos dos elementos nos fornecem evidências sobre o andamento das últimas etapas 
desse processo de construção. 
Uma visão sobre o tipo de informação que a investigação mais detalhada dos espectros 
forneceu a este respeito pode ser obtida na Fig. 8, que dá uma representação diagramática do 
movimento orbital nos estados estacionários correspondentes à emissão do arco-espectro do potássio. 
As curvas mostram a forma das órbitas descritas nos estados estacionários pelo último elétron 
capturado no átomo de potássio, e podem ser consideradas como estágios no processo em que o 19º 
elétron é ligado após os 18 elétrons anteriores já terem sido ligados em suas órbitas normais. Para não 
complicar a figura, nenhuma tentativa de desenhar qualquer uma das órbitas desses elétrons internos 
foi feita, mas a região em que eles se movem é delimitada por um círculo pontilhado. Em um átomo 
com vários elétrons, as órbitas terão, em geral, um caráter complicado. Devido à natureza simétrica do 
campo de força ao redor do núcleo, entretanto, o movimento de cada elétron pode ser 
aproximadamente descrito como um movimento periódico plano no qual é sobreposta uma rotação 
uniforme no plano da órbita. A órbita de cada elétron será, portanto, em uma primeira aproximação, 
duplamente periódica, e será fixada por dois números quânticos, como são os estados estacionários 
em um átomo de hidrogênio quando a precessão da relatividade é levada em consideração. 
 Na Fig. 8, como na Fig. 5, as órbitas do elétron são marcadas com o símbolo 𝑛𝑘, onde 𝑛 é o 
número quântico principal e 𝑘 o número quântico subordinado. Enquanto para os estados iniciais do 
processo de ligação, onde os números quânticos são grandes, a órbita do último elétroncapturado fica 
completamente fora daquelas dos elétrons previamente ligados, este não é o caso para os últimos 
estágios. Assim, no átomo de potássio, as órbitas do elétron com os números quânticos subordinados 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
40 
 
2 e 1 irão, como indicado na figura, penetrar parcialmente na região interna. Devido a esta circunstância, 
as órbitas se desviarão muito de um movimento simples do Kepler, uma vez que consistirão em uma 
série de loops externos sucessivos que têm o mesmo tamanho e forma, mas cada um dos quais é 
virado em um ângulo apreciável em relação ao anterior 1. Destes loops externos, apenas um é 
mostrado na figura. Cada um deles coincide quase com um pedaço de uma elipse Kepler, e eles são 
conectados, como indicado, por uma série de loops internos de um caráter complicado em que o elétron 
se aproxima do núcleo de perto. Isso vale especialmente para a órbita com o número quântico 
subordinado 1, que, como uma investigação mais detalhada mostra, se aproximará mais do núcleo do 
que qualquer um dos elétrons previamente ligados. 
 
Figura 3.9. Figura 9 do texto original de Bohr. 
 
Por conta dessa penetração na região interna, a força com a qual um elétron em tal órbita está 
ligado ao átomo irá - apesar do fato de que na maior parte se move em um campo de força do mesmo 
caráter que aquele em torno do núcleo de hidrogênio - ser muito maior do que para um elétron em um 
átomo de hidrogênio que se move em uma órbita com o mesmo número quântico principal, a distância 
máxima do elétron do núcleo ao mesmo tempo sendo consideravelmente menor do que em uma órbita 
de hidrogênio. Como veremos, esta característica do processo de ligação em átomos com muitos 
elétrons é de importância essencial para entender a maneira periódica característica em que muitas 
propriedades dos elementos conforme exibidos no sistema natural variam com o número atômico. 
Na tabela anexa (Fig. 9) é dado um resumo dos resultados relativos à estrutura dos átomos 
dos elementos aos quais o autor foi conduzido por uma consideração de captura e ligação sucessivas 
de elétrons ao núcleo atômico. Os números antes dos diferentes elementos são os números atômicos, 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
41 
 
que fornecem o número total de elétrons no átomo neutro. Os números nas diferentes colunas fornecem 
o número de elétrons em órbitas correspondentes aos valores dos números quânticos principais e 
subordinados situados no topo. De acordo com o uso comum, iremos, por uma questão de brevidade, 
designar uma órbita com o número quântico principal n como uma órbita quântica n. O primeiro elétron 
ligado em cada átomo se move em uma órbita que corresponde ao estado normal do átomo de 
hidrogênio com símbolo quântico 11. No átomo de hidrogênio, é claro, há apenas um elétron; mas 
devemos supor que nos átomos de outros elementos o próximo elétron também será ligado em uma 
órbita r-quântica do tipo 11. Como mostra a tabela, os elétrons a seguir estão ligados em órbitas 2-
quânticas. Para começar, a ligação resultará em uma órbita de 2𝑖, mas os elétrons posteriores serão 
ligados em órbitas 22, até que, após ligar os primeiros 10 elétrons no átomo, alcancemos uma 
configuração fechada das órbitas a-quânticas em que assumimos a existência de quatro órbitas de 
cada tipo. Essa configuração é encontrada pela primeira vez no átomo de néon neutro, que forma a 
conclusão do segundo período no sistema dos elementos. Quando procedemos neste sistema, os 
seguintes elétrons são ligados em órbitas quânticas 3, até que, após a conclusão do terceiro período 
do sistema, encontramos pela primeira vez, em elementos do quarto período, elétrons em órbitas 4-
quânticas e assim por diante. 
 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
42 
 
 
Figura 3.10. Figura 9 do texto original de Bohr. 
 
Esta imagem da estrutura atômica contém muitos recursos que foram apresentados pelo 
trabalho de pesquisadores anteriores. Assim, a tentativa de interpretar as relações entre os elementos 
no sistema natural pela suposição de uma divisão dos elétrons em grupos remonta ao trabalho de JJ 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
43 
 
Thomson em 1904. Mais tarde, este ponto de vista foi desenvolvido principalmente por Kossel (1916), 
que, além disso, conectou esse agrupamento com as leis que as investigações de espectros de raios-
X trouxeram à luz. 
Também G. R. Lewis e I. Langmuir procuraram explicar as relações entre as propriedades dos 
elementos com base em um agrupamento dentro do átomo. Esses pesquisadores, entretanto, 
presumiram que os elétrons não se movem em relação ao núcleo, mas ocupam posições de equilíbrio. 
Dessa forma, porém, nenhuma relação mais próxima pode ser alcançada entre as propriedades dos 
elementos e os resultados experimentais relativos aos constituintes dos átomos. As posições estáticas 
de equilíbrio para os elétrons não são de fato possíveis nos casos em que as forças entre os elétrons 
e o núcleo obedecem aproximadamente às leis que valem para as atrações e repulsões entre cargas 
elétricas. 
A possibilidade de uma interpretação das propriedades dos elementos com base nessas 
últimas leis é bastante característica para o quadro da estrutura atômica desenvolvida por meio da 
teoria quântica. No que diz respeito a esta imagem, a ideia de conectar o agrupamento com uma 
classificação de órbitas de elétrons de acordo com números quânticos crescentes foi sugerida pela 
descoberta de Moseley das leis dos espectros de raios-X e pelo trabalho de Sommerfeld sobre a 
estrutura fina desses espectros. Isso foi enfatizado principalmente por Vegard, que alguns anos atrás, 
em conexão com as investigações de espectros de raios-X, propôs um agrupamento de elétrons nos 
átomos dos elementos, que em muitos aspectos mostra uma semelhança com o que é dado na tabela 
acima. 
Uma base satisfatória para o desenvolvimento posterior desta imagem da estrutura atômica foi, 
no entanto, apenas recentemente criada pelo estudo dos processos de ligação dos elétrons no átomo, 
dos quais temos evidências experimentais em espectros ópticos, e as características de que foram 
elucidados principalmente pelo princípio da correspondência. É aqui uma circunstância essencial que 
a restrição no curso do processo de ligação, que é expressa pela presença de órbitas de elétrons com 
números quânticos mais elevados no estado normal do átomo, pode estar naturalmente ligada à 
condição geral para a ocorrência de transições entre estados estacionários, formuladas nesse princípio. 
Outra característica essencial da teoria é a influência, na força de ligação e nas dimensões das 
órbitas, da penetração dos elétrons ligados mais tarde na região dos ligados mais cedo, dos quais 
vimos um exemplo na discussão da origem do espectro de potássio. Com efeito, esta circunstância 
pode ser considerada a causa essencial da pronunciada periodicidade nas propriedades dos 
elementos, na medida em que implica que as dimensões atómicas e as propriedades químicas de 
substâncias homólogas nos diferentes períodos, como, por exemplo, os metais alcalinos , mostram 
uma similaridade muito maior do que a que se poderia esperar de uma comparação direta da órbita do 
último cão de caça do elétron com uma órbita de mesmo número quântico no átomo de hidrogênio. 
O aumento do número quântico principal que encontramos quando procedemos na série dos 
elementos, oferece também uma explicação imediata dos desvios característicos da periodicidade 
simples que são exibidos pelo sistema natural e são expressos na Fig. 1 pelo agrupamento de certa 
série de elementos nos períodos posteriores. A primeira vez que esse desvio é encontrado é no 4º 
período, e a razão para isso pode ser simplesmente ilustradapor meio de nossa figura das órbitas do 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
44 
 
último elétron ligado ao átomo de potássio, que é o primeiro elemento neste período. De fato, no 
potássio, consideramos um caso em que o número quântico principal da órbita do último elétron ligado 
é, no estado normal do átomo, maior do que em um dos estágios anteriores do processo de ligação. O 
estado normal corresponde aqui a uma órbita 4𝑖, que, por causa da penetração na região interna, 
corresponde a uma ligação muito mais forte do elétron do que uma órbita 4-quântica no átomo de 
hidrogênio. A ligação em questão é de fato ainda mais forte do que para uma órbita 2-quântica no átomo 
de hidrogênio e é, portanto, mais de duas vezes mais forte do que na órbita circular 33, que está situada 
completamente fora da região interna, e para a qual a força do a ligação difere, mas pouco, daquela de 
uma órbita 3-quântica em hidrogênio. 
Isso não continuará a ser verdade, entretanto, quando considerarmos a ligação do 19º elétron 
em substâncias de maior número atômico, por causa da diferença relativa muito menor entre o campo 
de força fora e dentro da região dos primeiros dezoito elétrons ligados. Como é mostrado pela 
investigação do espectro da centelha de cálcio, a ligação do 19º elétron na órbita 4𝑖 está aqui, mas um 
pouco mais forte do que em órbitas 33, e assim que chegarmos ao escândio, devemos assumir que a 
órbita 33 representará a órbita do 19º elétron no estado normal, já que este tipo de órbita corresponderá 
a uma ligação mais forte do que uma órbita 4𝑖. Embora o grupo de elétrons em órbitas 2-quânticas 
tenha sido inteiramente completado no final do 2º período, o desenvolvimento que o grupo de órbitas 
3-quânticas sofre no curso do 3º período pode, portanto, ser descrito apenas como uma conclusão 
provisória, e, como mostra a tabela, esse grupo de elétrons, nos elementos entre colchetes do 4º 
período, passará por um estágio de desenvolvimento posterior no qual os elétrons são adicionados a 
ele em órbitas 3-quânticas. 
Este desenvolvimento traz novos recursos, em que o desenvolvimento do grupo de elétrons 
com órbitas 4-quânticas chega a uma paralisação, por assim dizer, até que o grupo 3-quântico atinge 
sua forma final fechada. Embora ainda não estejamos em posição de explicar em todos os detalhes as 
etapas do desenvolvimento gradual do grupo de elétrons 3-quânticos, ainda podemos dizer que, com 
a ajuda da teoria quântica, vemos imediatamente porque ela está no 4º período do sistema dos 
elementos em que ocorrem pela primeira vez elementos sucessivos com propriedades que se 
assemelham tanto quanto as propriedades do grupo do ferro; na verdade, podemos até mesmo 
entender por que esses elementos mostram suas propriedades paramagnéticas bem conhecidas. Sem 
mais referências à teoria quântica, Eadenburg já havia sugerido em uma ocasião anterior a ideia de 
relacionar as propriedades químicas e magnéticas desses elementos com o desenvolvimento de um 
grupo de elétrons internos no átomo. 
Não entrarei em muitos detalhes, mas apenas mencionarei que as peculiaridades que 
encontramos no 5º período são explicadas da mesma forma que no 4º período. Assim, as propriedades 
dos elementos entre colchetes no 5º período, conforme aparecem na tabela, dependem de um estágio 
no desenvolvimento do grupo de elétrons 4-quânticos que é iniciado pela entrada no estado normal dos 
elétrons em órbitas 43. No 6º período, porém, encontramos novos recursos. Neste período encontramos 
não apenas um estágio de desenvolvimento dos grupos de elétrons com órbitas 5- e 6-quânticas, mas 
também a conclusão final do desenvolvimento do grupo de elétrons 4-quânticos, que é iniciado pela 
entrada do primeiro tempo de órbitas de elétrons do tipo 44 no estado normal do átomo. Esse 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
45 
 
desenvolvimento encontra sua expressão característica na ocorrência da peculiar família de elementos 
do 6º período, conhecidas como terras-raras. Eles mostram, como sabemos, uma semelhança mútua 
ainda maior em suas propriedades químicas do que os elementos da família do ferro. Isso deve ser 
atribuído ao fato de que temos aqui a ver com o desenvolvimento de um grupo de elétrons que se 
encontra nas profundezas do átomo. É interessante notar que a teoria também pode explicar 
naturalmente o fato de que esses elementos, que se assemelham de tantas maneiras, ainda 
apresentam grandes diferenças em suas propriedades magnéticas. 
A ideia de que a ocorrência das terras-raras depende do desenvolvimento de um grupo de 
elétrons internos foi apresentada de diferentes lados. Assim, ela é encontrada no trabalho de Vegard 
e, ao mesmo tempo em meu próprio trabalho, foi proposto por Bury em conexão com considerações 
sobre a relação sistemática entre as propriedades químicas e o agrupamento dos elétrons dentro do 
átomo a partir do ponto de vista do modelo atômico estático de Langmuir. Embora até agora não tenha 
sido possível fornecer qualquer base teórica para tal desenvolvimento de um grupo interno, vemos que 
nossa extensão da teoria quântica nos fornece uma explicação não forçada. Na verdade, não é exagero 
dizer que se a existência das terras raras não tivesse sido estabelecida por investigação química direta, 
a ocorrência de uma família de elementos deste caráter dentro do 6º período do sistema natural dos 
elementos poderia ter sido teoricamente prevista. 
Quando procedemos ao 7º período do sistema, nos encontramos pela primeira vez com órbitas 
7-quânticas, e devemos esperar encontrar neste período características que são essencialmente 
semelhantes àquelas do 6º período, em que além do primeiro estágio no desenvolvimento das órbitas 
7-quânticas, devemos esperar encontrar outros estágios no desenvolvimento do grupo com órbitas 6 
ou 5-quânticas. Porém, não foi possível confirmar diretamente essa expectativa, pois poucos elementos 
são conhecidos no início do 7º período. A última circunstância pode supostamente estar intimamente 
ligada à instabilidade dos núcleos atômicos com grandes cargas, que se expressa na radioatividade 
prevalente entre os elementos com alto número atômico. 
Na discussão das concepções de estrutura atômica, até agora colocamos a ênfase na 
formação do átomo por captura sucessiva de elétrons. Nossa imagem, entretanto, estaria incompleta 
sem alguma referência à confirmação da teoria fornecida pelo estudo dos espectros de raios-X. Desde 
a interrupção das pesquisas fundamentais de Moseley por sua morte prematura, o estudo desses 
espectros foi continuado de forma admirável pelo Prof. Siegbahn em Lund. Com base na grande 
quantidade de evidências experimentais aduzidas por ele e seus colaboradores, foi possível 
recentemente dar uma classificação dos espectros de raios-X que permite uma interpretação imediata 
sobre a teoria quântica. Em primeiro lugar, foi possível, tal como no caso dos espectros ópticos, 
representar a frequência de cada uma das linhas de raios X como a diferença entre duas de uma 
multiplicidade de termos espectrais característicos do elemento em questão. Em seguida, uma conexão 
direta com a teoria atômica é obtida pela suposição de que cada um desses termos espectrais 
multiplicados pela constante de Planck é igual ao trabalho que deve ser feito no átomo para remover 
um de seus elétrons internos. Na verdade, a remoção de um dos elétrons internos do átomo completo 
pode, de acordo com as considerações acima sobre a formação de átomos por captura de elétrons, 
dar origem a processos de transição pelos quais o lugar do elétron removido é ocupado por um elétron 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
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pertencente a um dos grupos de elétrons mais fracamente ligados do átomo, com o resultado que após 
a transição um elétron faltará neste últimogrupo. 
As linhas de raios X podem, portanto, ser consideradas como evidências de estágios em um 
processo pelo qual o átomo sofre uma reorganização após uma perturbação em seu interior. De acordo 
com nossas visões sobre a estabilidade da configuração eletrônica, tal perturbação deve consistir na 
remoção de elétrons do átomo, ou pelo menos em sua transferência de órbitas normais para órbitas de 
números quânticos mais altos do que aquelas pertencentes a grupos completos; uma circunstância que 
é claramente ilustrada na diferença característica entre a absorção seletiva na região dos raios X e 
aquela exibida na região óptica. 
A classificação dos espectros de raios X, para cuja realização contribuíram materialmente os 
trabalhos de Sommerfeld e Kossel acima mencionados, tornou-se recentemente possível, por meio de 
um exame mais detalhado da maneira como os termos que ocorrem nos espectros de raio X variam 
com o número atômico, para obter um teste muito direto de várias conclusões teóricas no que diz 
respeito à estrutura do átomo. Na Fig. 9, as abscissas são os números atômicos e as ordenadas são 
proporcionais às raízes quadradas dos termos espectrais, enquanto os símbolos K, L, M, N, O, para os 
termos individuais referem-se às descontinuidades características na absorção seletiva dos elementos 
para raios-X; estes foram originalmente encontrados por Barkla antes que a descoberta da interferência 
dos raios-X nos cristais fornecesse um meio para uma investigação mais detalhada dos espectros de 
raios-X. Embora as curvas geralmente funcionem de maneira muito uniforme, elas exibem uma série 
de desvios de uniformidade que foram especialmente trazidos à luz pela recente investigação de 
Coster, que por alguns anos trabalhou no laboratório de Siegbahn. 
 
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47 
 
 
Figura 3.11. Figura 10 do texto original de Bohr. 
 
Esses desvios, cuja existência só foi descoberta após a publicação da teoria da estrutura 
atômica discutida acima, correspondem exatamente ao que se poderia esperar dessa teoria. Ao pé da 
figura, as linhas verticais indicam onde, segundo a teoria, devemos primeiro esperar, no estado normal 
do átomo, a ocorrência de 𝑛𝑘 órbitas do tipo designado. Vemos como foi possível conectar a ocorrência 
de cada termo espectral com a presença de um elétron movendo-se em uma órbita de tipo definido, a 
cuja remoção esse termo supostamente corresponde. Isso em geral corresponde mais de uma curva a 
cada tipo de órbita 𝑛𝑘 e é devido a uma complicação nos espectros que nos levaria muito longe para 
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entrar aqui, e pode ser atribuído ao desvio do tipo simples de movimento descrito anteriormente do 
elétron surgindo da interação dos diferentes elétrons dentro do mesmo grupo. 
Os intervalos no sistema dos elementos, nos quais um desenvolvimento posterior de um grupo 
de elétrons interno ocorre por causa da entrada no átomo normal de órbitas eletrônicas de um certo 
tipo, são designados na figura pelas linhas horizontais, que são traçadas entre as linhas verticais às 
quais os símbolos quânticos são afixados. É claro que esse desenvolvimento de um grupo interno está 
refletido em todas as partes nas curvas. Particularmente, o curso das curvas N e O pode ser 
considerado uma indicação direta daquele estágio no desenvolvimento dos grupos de elétrons com 
órbitas 4-quânticas, de que a ocorrência das terras raras é testemunha. Embora a aparente ausência 
completa de um reflexo nos espectros de raios-X das complicadas relações exibidas pela maioria das 
outras propriedades dos elementos fosse a característica típica e importante da descoberta de Moseley, 
podemos reconhecer, no entanto, à luz do progresso do nos últimos anos, uma conexão íntima entre 
os espectros de raios-X e as relações gerais entre os elementos dentro do sistema natural. 
Antes de concluir esta palestra, gostaria de mencionar mais um ponto em que as investigações 
de raios X foram importantes para o teste da teoria. Isso diz respeito às propriedades do elemento até 
então desconhecido com número atômico 72. Sobre esta questão a opinião foi dividida com respeito 
às conclusões que poderiam ser tiradas das relações dentro da Tabela Periódica, e em muitas 
representações da tabela um lugar é deixado em aberto para este elemento na família das terras raras. 
Na representação de Julius Thomsen do sistema natural, no entanto, esse elemento hipotético recebeu 
uma posição homóloga ao titânio e ao zircônio, da mesma maneira que em nossa representação na 
Fig. 1. Tal relação deve ser considerada como uma consequência necessária da teoria da estrutura 
atômica desenvolvida acima, e é expressa na tabela (Fig. 9) pelo fato de que as configurações de 
elétrons para titânio e zircônio mostram o mesmo tipo de semelhanças e diferenças que as 
configurações de elétrons para zircônio e o elemento com número atômico 72. Uma visão 
correspondente foi proposta por Bury com base em suas considerações sistemáticas acima 
mencionadas da conexão entre o agrupamento dos elétrons no átomo e as propriedades dos 
elementos. 
Recentemente, no entanto, uma comunicação foi publicada por Dauvillier anunciando a 
observação de algumas linhas fracas no espectro de raios-X de uma preparação contendo terras-raras. 
Estes foram atribuídos a um elemento com número atômico 72, considerado idêntico a um elemento 
da família das terras raras, cuja existência na preparação usada havia sido presumida por Urbain muitos 
anos atrás. Essa conclusão, no entanto, se pudesse ser mantida, colocaria dificuldades 
extraordinariamente grandes, senão intransponíveis, no caminho da teoria, uma vez que reivindicaria 
uma mudança na força de ligação dos elétrons com o número atômico que parece incompatível com 
as condições da teoria quântica. Nessas circunstâncias, o Dr. Coster e o Prof. Hevesy, que estão 
trabalhando por algum tempo em Copenhagen, abordaram há pouco tempo o problema de testar uma 
preparação de minerais contendo zircônio por análise espectroscópica de raios-X. Esses 
pesquisadores conseguiram estabelecer a existência nos minerais investigados de quantidades 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
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apreciáveis de um elemento com número atômico 72, cujas propriedades químicas mostram uma 
grande semelhança com as do zircônio e uma nítida diferença com as das terras-raras.6 
Espero ter conseguido fazer um resumo de alguns dos resultados mais importantes que foram 
alcançados nos últimos anos no campo da teoria atômica, e gostaria, para concluir, de acrescentar 
algumas observações gerais sobre o ponto de vista a partir do qual esses resultados podem ser 
julgados, e particularmente no que diz respeito à questão de até que ponto, com esses resultados, é 
possível falar de uma explicação, no sentido comum da palavra. Por uma explicação teórica dos 
fenômenos naturais, entendemos em geral uma classificação das observações de um determinado 
domínio com a ajuda de analogias pertencentes a outros domínios de observação, onde 
presumivelmente se trata de fenômenos mais simples. O máximo que se pode exigir de uma teoria é 
que essa classificação possa ser levada tão longe a ponto de contribuir para o desenvolvimento do 
campo de observação pela previsão de novos fenômenos. 
Quando consideramos a teoria atômica, estamos, no entanto, na posição peculiar de que não 
pode haver uma explicação neste último sentido, já que aqui temos a ver com fenômenos que pela 
própria natureza do caso são mais simples do que em qualquer outro campo de observação, onde os 
fenômenos são sempre condicionados pela ação combinada de um grande número de átomos. Somos, 
portanto, obrigados a ser modestos em nossas demandas e nos contentar com conceitos que são 
formais no sentido de que não fornecemuma imagem visual do tipo que estamos acostumados a exigir 
das explicações de que trata a filosofia natural. Tendo isso em mente, procurei dar a impressão de que 
os resultados, por outro lado, cumprem, pelo menos em algum grau, as expectativas que se alimentam 
de qualquer teoria; na verdade, tentei mostrar como o desenvolvimento da teoria atômica contribuiu 
para a classificação de extensos campos de observação e, por meio de suas previsões, apontou o 
caminho para a conclusão dessa classificação. É desnecessário, entretanto, enfatizar que a teoria ainda 
está em um estágio muito preliminar, e muitas questões fundamentais ainda aguardam solução. 
 
 
 
 
6 [Nota de rodapé original]: Para o resultado do trabalho contínuo de Coster e Hevesy com o novo 
elemento, para o qual eles propuseram o nome de háfnio, o leitor pode consultar suas cartas na 
Nature de 20 de janeiro, 10 e 24 de fevereiro e 7 de abril. 
 
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Capítulo 4: A natureza microscópica é dual: a proposta ondulatória para 
o elétron de Louis de Broglie 
 
4.1. Introdução 
 
Maurice de Broglie (1875-1960) foi um físico francês dedicado aos estudos sobre os raios X. 
Tendo participado das primeiras conferências de Solvay, motivou seu irmão, Louis de Broglie (1892-
1987), que ficou profundamente interessado na discussão sobre os quanta de Einstein, a aprofundar 
seus estudos sobre a nova teoria que vinha se formando. 
Conforme discutimos, Einstein havia proposto uma visão corpuscular para radiação, de forma 
que cada quantum representaria uma porção de energia bem localizada no espaço. Essa visão de 
Einstein não pode ser considerada dualista, visto que ele interpretava a radiação como tendo natureza 
fundamentalmente corpuscular. Para Einstein, somente o conjunto de quanta poderiam ter 
propriedades ondulatórias, assim como a água é feita de moléculas; mas, na escala macroscópica, se 
comporta como um fluido contínuo. Ou seja, a proposta de Einstein fala de partículas e ondas em 
escalas diferentes (MARTINS; ROSA, 2014). 
Nos anos subsequentes, Einstein já havia percebido alguns problemas na visão corpuscular. Em 
1909, ele já propusera uma primeira noção de que os quanta deveriam ser acompanhados de um 
campo contínuo (EINSTEIN, 1909). Einstein, entretanto, não conseguiu desenvolver uma 
representação matemática capaz de descrever tal natureza dual (corpúsculo e onda na mesma escala). 
Em seus estudos iniciais, de Broglie adota uma concepção puramente corpuscular da radiação 
eletromagnética, mostrando, a partir dos estudos de Mecânica Estatística, que um modelo de gás ideal 
monoatômico para radiação eletromagnética conduziria a equação de Wien para radiação 
eletromagnética. Assumindo, entretanto, que a radiação pudesse formar moléculas, de Broglie deriva 
a relação de Planck (DE BROGLIE, 1922). Há uma discussão se a proposta de Broglie já não seria 
uma proposta preliminar do condensado de Bose-Einstein (MARTINS; ROSA, 2014). 
Nos anos subsequentes (1922-1924), de Broglie avançou na busca de uma proposta dual, 
descrevendo o mundo microscópico, conjugando a noção de partícula e onda. É justamente por esses 
estudos que de Broglie recebe o prêmio Nobel, cujo discurso apresentamos na sequência. Em sua 
proposta, de Broglie consegue avançar na representação matemática desejada por Einstein, 
fornecendo uma contribuição fundamental para o desenvolvimento da Teoria Quântica. 
 
4.2. A ideia central de Louis de Broglie 
 
A motivação principal de Louis de Broglie pode ser encontrada no seguinte parágrafo: 
 
Há cerca de trinta anos atrás, a Física foi, portanto, dividida em duas: em 
primeiro lugar, a Física da Matéria baseada no conceito de corpúsculos e 
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átomos que deveriam obedecer às leis clássicas da mecânica de Newton e, 
em segundo lugar, a Física de Radiação baseada no conceito de propagação 
de ondas num meio contínuo hipotético, ou seja, o éter luminífero ou éter 
eletromagnético. Mas essas duas físicas não podiam permanecer alheias 
uma à outra; elas tiveram que ser fundidas através da concepção de uma 
teoria para explicar as trocas de energia entre a matéria e a radiação - e foi 
aí que surgiram as dificuldades. 
 
Ou seja, a Física tinha uma visão corpuscular para a matéria; mas ondulatória para a radiação. 
A conciliação dessas duas visões levava a problemas e inconsistências. A proposição de Louis de 
Broglie é uma tentativa de resolver tais questões. 
Para tanto, podemos sintetizar a visão de Louis de Broglie da seguinte forma (LIMA et al., 2020): 
- Toda partícula deve ser associada a um fenômeno periódico (um movimento harmônico 
simples, no referencial em que a partícula está parada). 
- A frequência de oscilação desse fenômeno periódico está associada à energia de repouso 
(conceito da teoria da relatividade especial de Einstein - 𝐸0 = 𝑚𝑐2.) pela equação 𝐸0 = ℎ𝜈0. 
- Em um referencial em que a partícula é observada em movimento, o movimento oscilatório é 
interpretado como uma onda (por um efeito relativístico) e a frequência da onda está associada à 
energia da partícula nesse referencial, 𝐸 = ℎ𝜈 , sendo 𝐸 =
𝑚𝑐2
√1−𝛽2
, com 𝛽 =
𝑣
𝑐
. 
 
Observamos que a proposição de Louis de Broglie é relativística. Isto é, ela parte, desde o 
princípio de concepções advindas da Teoria da Relatividade Especial. Lembrando que, na teoria da 
relatividade, a relação entre dois sistemas de coordenadas descritos a partir de diferentes referenciais 
inerciais com velocidade relativa 𝑉 é dada pelas transformações de Lorentz7: 
𝑥′ = 𝛾(𝑥 − 𝑉𝑡) 
𝑦′ = 𝑦 
𝑧′ = 𝑧 
𝑡′ = 𝛾 (𝑡 −
𝑉𝑥
𝑐2
) 
 Em que 𝛾 =
1
√1−𝛽2
. 
 
Assim, em um referencial em que a partícula está em repouso, observa-se um movimento 
harmônico (MARTINS; ROSA, 2014) 
 
Ψ = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔0𝑡) 
Em outro referencial, temos 
 
7 Nesta parte do texto, vamos apresentar algumas derivações matemáticas. Se você não tem 
interesse no formalismo matemático da teoria, pode pular para próxima seção sem prejuízo de 
entendimento. 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
53 
 
Ψ′ = 𝐴𝑠𝑖𝑛 (𝜔0𝛾 (𝑡 −
𝑉𝑥
𝑐2
)) 
Reconhecemos que essa é uma expressão de uma onda harmônica (𝑦 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡), tendo 
𝜔 = 𝜔0𝛾 
E 
𝑘 =
𝛾𝜔0𝑉
𝑐2
 
Observa-se que a velocidade dessa onda é 
𝜔
𝑘
=
𝑐2
𝑉
> 𝑐. 
 
A onda se move com velocidade superior à da luz. Ou seja, essa onda não pode transportar 
energia ou informação. Mais adiante, de Broglie resolve esse problema mostrando que essa é uma 
onda de fase, enquanto o que se move com a partícula é um grupo de ondas. Não entraremos nessa 
discussão aqui pois envolveria um trabalho matemático que foge do escopo do trabalho. Uma discussão 
sobre isso pode ser encontrada em (LIMA; KARAM, 2021). 
Sabemos que 
𝐸 = ℎ𝜈 = ℏ𝜔 (ℏ =
ℎ
2𝜋
). 
 Da teoria da relatividade, temos 
𝐸 =
𝑚𝑐2
√1 − 𝛽2
 
E o momento, 
𝑝 =
𝑚𝑣
√1 − 𝛽2 
 
Podemos escrever 
𝐸
𝑝
=
𝑐2
𝑣
 
Comparando com 
𝜔
𝑘
: 
𝜔
𝑘
=
𝐸
𝑝
→
ℏ𝜔
ℏ𝑘
=
𝐸
𝑝
→
𝐸
ℏ𝑘
=
𝐸
𝑝
 
O que finalmente fornece 
𝑘 =
𝑝
ℏ
 
Ou 
𝜆 =
ℎ
𝑝
 
Que é a famosa relação de Louis de Broglie, que relaciona comprimento de onda da onda 
associada com o momento linear da partícula. 
Essa equação é muito importante, pois ela permite fazer previsões empíricas para 
comportamento ondulatório dos elétrons e outras partículas. Os testes experimentais, conforme 
discutido por de Broglie, corroboram a proposição teórica. 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
54 
 
Outro ponto importante do trabalho do Louis de Broglie, que aparece em seu discurso do Nobel, 
é seu desejo de unificaçãoda Física. Para tanto, de Broglie mostra que o princípio de Maupertuis e o 
princípio de Fermat podem ser considerados o mesmo princípio quando adotamos uma concepção 
dual. 
O princípio de Maupertuis diz que uma partícula, com energia mecânica constante, se move ao 
longo de uma trajetória que minimiza a ação, representada como a integral do momento ao longo do 
comprimento da trajetória: 
𝛿 ∫ 𝑝. 𝑑𝑠 = 0 
Por outro lado, o princípio de Fermat diz que a luz se move ao longo de uma trajetória que 
minimiza o tempo de duração: 
𝛿 ∫ 𝑑𝑡 = 0 
Podemos usar esse princípio para onda associada à partícula, e reescrever 𝑑𝑡 como 
𝑑𝑠
𝑣
=
𝑑𝑠
𝜆𝜈
=
ℎ.
𝑑𝑠
𝜆ℎ𝜈
. Usando 𝐸 = ℎ𝜈, temos 𝑑𝑡 =
ℎ𝑑𝑠
𝜆𝐸
. Considerando que a partícula tem energia constante, 𝐸 é uma 
constante e não afeta o problema de minimização, podendo ser tirado da integral. Logo, o Princípio de 
Fermat para onda associada pode ser descrito como 
𝛿 ∫
ℎ𝑑𝑠
𝜆
= 0 
Comparando essa expressão com o Princípio de Maupertuis, temos 
𝑝 =
ℎ
𝜆
→ 𝜆 =
ℎ
𝑝
 
que é, novamente, a expressão do comprimento de onda como função do momento da partícula. 
Assim, a visão dual de Louis de Broglie mostra que o Princípio de Maupertuis (para partículas) e 
o princípio de Fermat (para ondas) são um só princípio. Tudo na natureza deve ser descrito a partir de 
uma natureza dual. 
 
Segundo a formulação original desse princípio, qualquer alteração no movimento de um corpo 
deve ocorrer de tal forma que a ação, definida como o produto de momento linear8 e deslocamento, 
deve ser um mínimo. Em notação contemporânea, esse princípio é escrito como 
𝛿 ∫ 𝑝 . 𝑑𝑠 = 0 
Isto é, a integral de 𝑝. 𝑑𝑠 é o que chamamos de ação. O fato de estarmos integrando (usando 
aquele símbolo que parece um “s” esticado) significa que estamos somando o momento sobre toda a 
trajetória, considerando essa soma a cada trecho infinitesimal. O símbolo 𝛿 refere-se à variação. Nas 
primeiras aulas de Cálculo, aprendemos que a diferencial de uma curva, em seus pontos extremos 
(máximos e mínimos) deve ser zero. A equação acima, portanto, é uma forma abstrata e sintética de 
expressar o princípio de mínima ação. A partir dele, é possível derivar várias outras relações da 
mecânica, como conservação do momento, da energia e do momento angular. 
 
8 Momento linear: 𝑝 = 𝑚�⃗� 
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55 
 
 
4.3. Considerações Filosóficas 
 
A proposição de Louis de Broglie novamente rompe com nossas visões da Física Clássica. 
Enquanto, na Clássica, falamos de partículas ou ondas, isto é, corpos bem localizados no espaço ou 
difundidos pelo espaço, de Broglie unifica esses dois conceitos em um único sistema dual. Assim, 
podemos entender seu trabalho como uma proposta de unificação da Física. 
Sua proposta pode ser considerada realista, pois de Broglie considera que tanto a partícula 
quanto a onda são de fato sistemas reais, não mero instrumentos matemáticos. Essa, entretanto, não 
é a visão que ficou hegemônica no entendimento da Teoria Quântica. Conforme veremos nos capítulos 
subsequentes, a onda associada a partícula passou a ser interpretada como uma simples ferramenta 
matemática, sem significado físico. 
Louis de Broglie se resignou a aceitar essa visão por alguns anos, mas na década de 1960 
resgatou seus estudos e concepções originais – proponto uma nova teoria, com fundamentação realista 
e determinista – denominada a Termodinâmica Oculta das partículas (LIMA; CHAIB, 2021). 
 
4.4. Questões para reflexão 
 
1 – Quais os motivos levaram de Broglie a fazer seus estudos teóricos? 
2- Quais equações de Broglie mostra? Quais os significados dessas equações? 
3- Monte um mapa conceitual com os conceitos apresentados por de Broglie e escreva um texto 
explicando esse mapa. 
4- Quais evidências empíricas corroboram a defesa de Louis de Broglie? 
5- O que podemos aprender sobre como a ciência funciona com esse discurso de Louis de Broglie? 
 
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4.5. O Discurso de Loius de Broglie: A natureza ondulatório do elétron9 
 
Louis de Broglie 
 
A natureza ondulatória do elétron 
 
Discurso do Nobel, 15 de dezembro, 1929 
 
Quando, em 1920, retomei meus estudos de Física Teórica, que há muito haviam sido 
interrompidos por circunstâncias além do meu controle, estava longe de imaginar que meus estudos 
me levariam, vários anos depois, a receber um prêmio tão alto e invejado como o concedido pela 
Academia Sueca de Ciências a cada ano para um cientista: o Prêmio Nobel de Física. O que naquela 
época me atraiu para a Física Teórica não foi a esperança de que uma distinção tão elevada algum dia 
coroasse meu trabalho. Fui atraído pela Física Teórica pelo mistério que envolve a estrutura da matéria 
e a estrutura das radiações, um mistério que se aprofundou à medida que o estranho conceito de 
quantum introduzido por Planck em 1900, em sua pesquisa sobre a radiação do corpo negro, continuou 
a invadir todo o domínio da Física. 
Para ajudá-lo a entender como meus estudos se desenvolveram, devo primeiro descrever para 
você a crise pela qual a Física vinha passando por cerca de vinte anos. 
Por muito tempo, os físicos se perguntaram se a luz era composta de corpúsculos pequenos 
que se moviam rapidamente. Essa ideia foi apresentada pelos filósofos da antiguidade e defendida por 
Newton no século XVIII. Após a descoberta do fenômeno de interferência por Thomas Young e 
seguindo o admirável trabalho de Augustin Fresnel, a hipótese de uma estrutura granular de luz foi 
totalmente abandonada e a Teoria das Ondas adotada por unanimidade. Assim, os físicos do século 
passado [XIX] rejeitaram totalmente a ideia de uma estrutura atômica da luz. Embora rejeitadas pela 
Ótica, as teorias atômicas começaram a fazer grandes avanços não só na Química, onde forneceram 
uma interpretação simples das leis de proporções definidas, mas também na Física da Matéria, onde 
tornaram possível uma interpretação de um grande número de propriedades de sólidos, líquidos e 
gases. Em particular, foram instrumentais na elaboração daquela admirável Teoria Cinética dos Gases 
que, generalizada sob o nome de Mecânica Estatística, permite dar um sentido claro aos conceitos 
abstratos da Termodinâmica. A experiência também rendeu uma prova decisiva a favor de uma 
constituição atômica da eletricidade; o conceito de corpúsculo de eletricidade deve seu surgimento a 
Sir J. J. Thomson e todos vocês estarão familiarizados com o uso que H. A. Lorentz faz dele em sua 
Teoria dos Elétrons. 
 
9 O discurso original pode ser encontrado em https://www.nobelprize.org/uploads/2016/04/broglie-
lecture.pdf 
https://www.nobelprize.org/uploads/2016/04/broglie-lecture.pdf
https://www.nobelprize.org/uploads/2016/04/broglie-lecture.pdf
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Há cerca de trinta anos atrás, a Física foi, portanto, dividida em duas: em primeiro lugar, a 
Física da Matéria baseada no conceito de corpúsculos e átomos que deveriam obedecer às leis 
clássicas da mecânica de Newton e, em segundo lugar, a Física de Radiação baseada no conceito de 
propagação de ondas num meio contínuo hipotético, ou seja, o éter luminífero ou éter eletromagnético. 
Mas essas duas físicas não podiam permanecer alheias uma à outra; elas tiveram que ser fundidas 
através da concepção de uma teoria para explicar as trocas de energia entre a matéria e a radiação - 
e foi aí que surgiram as dificuldades. Enquanto procurava ligar essas duas físicas, conclusões 
imprecisas e até inadmissíveis foram de fato alcançadas a respeito do equilíbrio energético entre 
matéria e radiação em um meio isolado termicamente: a matéria, dizia-se, deve ceder toda a sua 
energia à radiação e assim tender por si mesmo à temperatura zero absoluta! Essa conclusãoabsurda 
deveria ser evitada a todo custo. Por intuição genial, Planck percebeu a maneira de evitá-la: em vez de 
supor, como a Teoria Ondulatória Clássica, que uma fonte de luz emite sua radiação continuamente, 
deve-se supor, ao contrário, que emite quantidades iguais e finitas, os quanta. A energia de cada 
quantum tem, além disso, um valor proporcional à frequência 𝜈 da radiação. É igual a ℎ𝑣, sendo ℎ uma 
constante universal, desde então referida como constante de Planck. 
O sucesso das ideias de Planck acarretou sérias consequências. Se a luz é emitida como 
quanta, uma vez emitida, não deveria ter uma estrutura granular? A existência de quanta de radiação 
implica, portanto, o conceito corpuscular de luz. Por outro lado, como mostrado por Jeans e H. Poincaré, 
é demonstrável que se o movimento das partículas materiais nas fontes de luz obedecesse às leis da 
mecânica clássica, seria impossível derivar a lei exata da radiação do corpo negro, a lei de Planck. 
Deve-se, portanto, assumir que a dinâmica tradicional, mesmo modificada pela teoria da relatividade 
de Einstein, é incapaz de explicar o movimento em uma escala muito pequena. 
A existência de uma estrutura granular de luz e de outras radiações foi confirmada pela 
descoberta do efeito fotoelétrico. Se um feixe de luz ou de raios X incidir sobre um pedaço de matéria, 
este emitirá elétrons que se movem rapidamente. A energia cinética desses elétrons aumenta 
linearmente com a frequência da radiação incidente e é independente de sua intensidade. Este 
fenômeno pode ser explicado simplesmente assumindo que a radiação é composta de quanta [de 
energia] ℎ𝜈 capaz de ceder toda sua energia a um elétron do corpo irradiado: conduz-se assim à teoria 
dos quanta de luz proposta por Einstein em 1905 e que é, afinal de contas, uma reversão à teoria 
corpuscular de Newton, completada pela relação de proporcionalidade entre a energia dos corpúsculos 
e a frequência. Uma série de argumentos foram apresentados por Einstein em apoio a seu ponto de 
vista e em 1922 a descoberta por A. H. Compton do fenômeno de espalhamento de raios X que leva 
seu nome o confirmou. No entanto, ainda era necessário adotar a teoria das ondas para explicar os 
fenômenos de interferência e difração e não poder ser visualizada nenhuma maneira de reconciliar a 
teoria das ondas com a existência de corpúsculos de luz. 
Como afirmado, as investigações de Planck lançam dúvidas sobre a validade da mecânica de 
escala muito pequena. Consideremos um ponto material que descreve uma pequena trajetória que se 
fecha ou se volta sobre si mesma. De acordo com a dinâmica clássica, existem inúmeros movimentos 
deste tipo que são possíveis obedecendo às condições iniciais, e os valores possíveis para a energia 
do corpo em movimento formam uma sequência contínua. Por outro lado, Planck foi levado a supor 
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que apenas certos movimentos preferidos, movimentos quantizados, são possíveis ou pelo menos 
estáveis, uma vez que a energia só pode assumir valores formando uma sequência descontínua. Este 
conceito pareceu um tanto estranho no início, mas seu valor teve que ser reconhecido porque foi esse 
conceito que trouxe Planck à lei correta da radiação do corpo negro e porque então provou sua 
fecundidade em muitos outros campos. Por último, foi no conceito de quantização do movimento 
atômico que Bohr baseou sua famosa teoria do átomo; que é TÃO familiar para os cientistas que não 
vou resumir aqui. 
A necessidade de assumir duas teorias contraditórias para a luz - a das ondas e a dos 
corpúsculos - e a incapacidade de entender por que, entre a infinidade de movimentos que um elétron 
deveria ser capaz de ter no átomo segundo os conceitos clássicos, apenas alguns eram possíveis: tais 
eram os enigmas enfrentados pelos físicos na época em que retomei meus estudos de Física Teórica. 
Quando comecei a refletir sobre essas dificuldades, duas coisas me impressionaram 
principalmente. Em primeiro lugar, a Teoria Quântica de Luz não pode ser considerada satisfatória, pois 
define a energia de um corpúsculo de luz pela relação 𝑊 = ℎ𝑣 que contém uma frequência 𝑣. Agora, 
uma teoria puramente corpuscular não contém nenhum elemento que permita a definição de uma 
frequência. Esta razão por si só torna necessário, no caso da luz, introduzir simultaneamente o conceito 
de corpúsculo e o conceito de periodicidade. 
Por outro lado, a determinação dos movimentos estáveis dos elétrons no átomo envolve 
números inteiros e, até agora, os únicos fenômenos em que os números inteiros estavam envolvidos 
na Física eram os de interferência e de autovibrações10. Isso me sugeriu a ideia de que os próprios 
elétrons também não poderiam ser representados como corpúsculos simples, mas que uma 
periodicidade também deveria ser atribuída a eles. 
Cheguei assim ao seguinte conceito geral que norteou os meus estudos: tanto para a matéria 
como para as radiações, em particular a luz, é necessário introduzir o conceito de corpúsculo e o 
conceito de onda ao mesmo tempo. Em outras palavras, a existência de corpúsculos acompanhados 
por ondas deve ser assumida em todos os casos. No entanto, uma vez que corpúsculos e ondas não 
podem ser independentes porque, segundo a expressão de Bohr, constituem duas forças 
complementares da realidade, deve ser possível estabelecer um certo paralelismo entre o movimento 
de um corpúsculo e a propagação da onda associada. O primeiro objetivo a atingir deveria, portanto, 
ser o de estabelecer essa correspondência. 
Com isso em vista, comecei por considerar o caso mais simples: o de um corpúsculo isolado, 
ou seja, um corpúsculo livre de qualquer influência externa. Queremos associar uma onda a ele. 
Consideremos em primeiro lugar um sistema de referência 0𝑥𝑜𝑦𝑜𝑧𝑜 no qual o corpúsculo é imóvel: este 
é o sistema "intrínseco" do corpúsculo no sentido da Teoria da Relatividade. Nesse sistema a onda 
será estacionária, pois o corpúsculo é imóvel: sua fase será a mesma em todos os pontos; será 
representado por uma expressão da forma 𝑠𝑒𝑛2𝜋𝑣0(𝑡0 − 𝜏0); 𝑡0 sendo o tempo intrínseco do corpúsculo 
e 𝜏0uma constante. 
 
 
10 NT: Ondas estacionárias. 
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59 
 
De acordo com o princípio da inércia em todo sistema galileano, o corpúsculo terá um 
movimento retilíneo e uniforme. Consideremos tal sistema galileano e seja 𝑣 = 𝛽𝑐 a velocidade do 
corpúsculo neste sistema; não restringiremos a generalidade tomando a direção do movimento como 
o eixo x. Em conformidade com a transformação de Lorentz, o tempo 𝑡 utilizado por um observador 
deste novo sistema será associado ao tempo intrínseco 𝑡0 pela relação: 
 
𝑡0 =
𝑡 −
𝛽𝑥
𝑐
√𝐼 − 𝛽²
 
 
e, portanto, para este observador, a fase da onda será dada por 
 
𝑠𝑒𝑛2𝜋
𝑣0
√
𝑖
1−𝛽²
(𝑡 −
𝛽𝑥
𝑐
− 𝜏0). 
 
Para ele, a onda terá, portanto, uma frequência: 
 
𝜈 =
𝜈0
√1 − 𝛽²
 
 
e se propagará na direção do eixo x na velocidade de fase: 
 
𝑉 =
𝑐
𝛽
=
𝑐²
𝑣
 
 
Pela eliminação [𝛽] dentre as duas fórmulas anteriores, a seguinte relação pode ser facilmente derivada 
que define o índice de refração do vácuo n para as ondas consideradas11: 
𝑛 = √1 −
𝜈0
2
𝜈2
 
 
 
Uma > corresponde a esta >. Você saberá que a 
velocidade do grupo é a velocidade da amplitude resultante de um grupo de ondas de frequências muito 
próximas. Lord Rayleigh mostrou que esta velocidade 𝑈 satisfaz a equação: 
 
𝐼
𝑈
=
𝜕(𝑛𝜈)
𝜕𝜈
 
 
 
11 NT: Louis de Broglie deve ter considerado 𝑛 =
𝑉
𝑐
. A equação original está parcialmente apagada. A 
equação pode ser obtida isolando 𝛽 na equação que relaciona a frequência em dois referenciais e 
substituindo em 
𝑉
𝑐
= 1/𝛽, obtida da equação seguinte. 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSORfundadores da área 
para (re)pensar os conceitos dessa teoria tão importante. Inscreveram-se no curso os alunos Félix 
Wood, Fernando Tagawa, Igor Lovison, Milena Lopes e Yaffa Rabeno. 
 Ao longo de quatro semanas, realizamos uma pesquisa histórica, analisando os discursos do 
prêmio Nobel relacionados ao desenvolvimento da Teoria Quântica (não-relativística), a dizer, os 
discursos de Niels Bohr, Louis de Broglie, Erwing Schrödinger e Werner Heisenberg. Posteriormente, 
a aluna de mestrado Gabriela Rosa também se juntou à proposta, estudando o discurso do Nobel de 
Max Born. 
 Ao longo das quatro semanas, os alunos e o professor se dedicaram às seguintes atividades: 
na primeira semana, foi discutida as principais tendências teóricas e metodológicas em História da 
Ciência; na segunda semana, cada um leu e traduziu um discurso do Nobel; na terceira semana, foi 
feita uma análise dos textos, a partir de questões de pesquisa elaboradas em grupo; por fim, foram 
elaborados textos apresentando tal análise histórica com finalidade de apresentação da Teoria 
Quântica, para ser utilizado em disciplinas introdutórias, ou até mesmo por professores da Educação 
Básica ou para o público geral que tem interesse no assunto. 
 O presente livro é o resultado desse projeto e do esforço coletivo para (re)descobrir a Teoria 
Quântica. O termo (re)descobrir está sendo utilizado aqui no seguinte sentido. todo(a) aluno(a) de 
Física espera ansiosamente pelo momento de estudar a Teoria Quântica. É umas das teorias mais 
famosas e populares da Física, sobre a qual muito se fala (muitas vezes de forma equivocada). Ler os 
livros didáticos sobre a Teoria Quântica, entretanto, é muito diferente de ler as discussões dos próprios 
cientistas que articularam a Teoria. É como a diferença entre ler sobre Machado de Assis e ler o próprio 
Memórias Póstumas de Brás Cubas. Por melhor que um comentador seja, nada substitui o original. 
Então, mesmo que você já tenha aprendido Mecânica Quântica em disciplinas formais, você, 
provavelmente, irá se surpreender com muitas das discussões presentes nesse livro. 
 Se você nunca estudou a Teoria Quântica formalmente, mas tem interesse sobre o assunto, 
esse também é o livro ideal para começar. O livro apresenta os discursos originais da premiação do 
Nobel, e um comentário sobre cada discurso. A vantagem dessa abordagem é que, no próprio discurso, 
os cientistas buscam falar para um público diverso, exigindo que eles tentem passar o essencial de 
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6 
 
suas ideias de uma forma clara, organizada e didática. Assim, em cada capítulo, você será apresentado 
a um conceito ou ideia fundamental da Teoria Quântica, de forma bastante acessível (dentro do 
possível), e, principalmente, com a discussão baseada no texto original do cientista. 
 Esperamos que o caminho de cada um com a leitura desse texto seja tão significativo e 
fascinante como foi para nós. Boa leitura! 
 
 
 
 
 
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7 
 
 
Capítulo 1. Onde está o conhecimento? 
 
 
Se alguém te perguntasse onde está o conhecimento, o que você responderia? Há alguns anos, 
uma resposta plausível, talvez, mencionasse as bibliotecas, ou enciclopédias, ou livrarias. Hoje, ainda, 
alguém, poderia dizer que o conhecimento está na internet, ou nas mídias digitais, ou nos arquivos 
digitais. 
Se você também pensou nesses arquivos, sejam materiais ou digitais, sentimos em dizer que 
discordamos de sua resposta. Conhecer é uma capacidade de aparelhos cognitivos (como o cérebro 
humano). Objetos materiais, como folhas de papel não podem ter conhecimento; pessoas, sim. Os 
livros, artigos, enciclopédias podem indicar que aqueles que os escreveram tinha conhecimento. Mas 
eles têm apenas textos. 
Quando você entra em contato com esses materiais, então você também pode ter conhecimento. 
Mas o que significa conhecer? Significa acomodar as novas ideias apresentadas à sua estrutura prévia 
de conhecimento (AUSUBEL; NOVAK; HANESIAN, 1968). 
Essa ideia tem implicações muito profundas. A primeira é que a responsabilidade de desenvolver 
o conhecimento é de cada indivíduo. Ninguém poderá fazer isso por ele. Um professor até pode facilitar 
ou motivar esse processo; mas, em última instância, aprender é um processo interno de relacionamento 
entre novos e antigos conceitos. Isso explica por que todos nós já tivemos a experiência de, em uma 
sala de aula, não entender absolutamente nada, mesmo quando o professor está se esforçando para 
apresentar o conteúdo no quadro. A mera inscrição de símbolos no quadro ou no caderno não garante 
que haja conhecimento. 
Assim, se você não é da área da Física, e está lendo esse texto, você poderá dizer que conhece 
a Teoria Quântica na medida em que você se apropria das discussões presentes e as relaciona com 
conhecimentos prévios. Agora, se você é professor de física (da educação básica ou mesmo do ensino 
superior), esse texto tem um papel ainda mais importante. Seus alunos não conhecerão física pelo 
simples fato de verem um quadro cheio de fórmulas, ou mesmo resolverem uma lista de exercícios que, 
para eles, não tem sentido. Alunos terão conhecimento na medida em que se engajam ativamente com 
os textos, refletem sobre eles, se sentem instigados, desequilibrados (como diria Piaget). 
 Pelo menos desde o final do século XIX e início do século XX, é reconhecido o potencial que a 
História e Filosofia da Ciência tem em provocar esse estado cognitivo. Um dos maiores exemplos talvez 
seja o livro de Mecânica Clássica de Ernst Mach (1902). As pesquisas recentes na área de Ensino têm 
cada vez mais corroborado essa noção (LIMA, 2022; TEIXEIRA; GRECA; FREIRE, 2012). Então, se 
você quiser ensinar melhor Física, ou se você quiser que seus alunos saibam mais Física, História e 
Filosofia da Física é um caminho frutífero. O curso oferecido pela Universidade de Boston é um dos 
melhores exemplos para isso (GARIK et al., 2015). 
A segunda implicação da noção ausubeliana de aprendizado é que o conhecimento sobre 
qualquer tema é virtualmente infinito. Toda vez que você traz um novo conceito, ele não só é significado 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
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a partir do seu conhecimento prévio, como toda a rede de conhecimento anterior é ressignificada. 
Assim, nunca paramos de conhecer algo, pois, virtualmente, sempre podemos passar a entender mais 
e melhores relações daquele tópico com outros conceitos. 
É essa riqueza e complexidade infinitas que exigem uma proposta de ensino e aprendizagem 
igualmente potentes. A Teoria da Aprendizagem Significativa Crítica, por exemplo, reforça a 
importância de diversificar os materiais fornecidos no processo educativo, abandonando o monopólio 
do livro didático, e a ênfase no processo de engajamento ativo dos alunos com os diferentes materiais 
(MOREIRA, 2010). Nesse sentido, temos defendido que o uso de textos históricos em sala de aula é 
fundamental para uma aprendizagem significativa crítica (LIMA; ROSA, 2021). Uma discussão 
cuidadosa sobre o uso de fontes históricas em sala de aula é feita por Karam (2021). 
Em especial, deve-se ressaltar que há três grandes movimentos de História e Filosofia da Ciência 
no Ensino de Ciência (LIMA, 2021): o primeiro, enfatiza os fatores epistêmicos, internos à ciência; o 
segundo, enfatiza aspectos sociais (políticos, econômicos); e o terceiro enfatiza aspectos culturais 
(história dos instrumentos, dos meios de comunicação, dos atores negligenciados). Nesse trabalho, 
seguiremos principalmente a primeira tendência, pois nosso objetivo é permitir que o leitor tenha acesso 
às discussões conceituais e epistêmicas envolvidas no coração da Teoria Quântica, de forma didática 
e acessível. Textos sobre aspectos sociais e culturais podem serDE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
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Aqui 𝑈 = 𝑣, ou seja, a velocidade do grupo das ondas no sistema 𝑥𝑦𝑧𝑡 é igual à velocidade do 
corpúsculo neste sistema. Essa relação é de grande importância para o desenvolvimento da teoria. 
O corpúsculo é assim definido no sistema 𝑥𝑦𝑧𝑡 pela frequência 𝜈 e pela velocidade de fase 𝑉 de 
sua onda associada. Para estabelecer o paralelismo do qual falamos, devemos procurar vincular esses 
parâmetros aos parâmetros mecânicos, energia e quantidade de movimento. Visto que a 
proporcionalidade entre energia e frequência é uma das relações mais características da teoria 
quântica, e uma vez que, além disso, a frequência e a energia se transformam da mesma forma quando 
o sistema de referência de Galileu é alterado, podemos simplesmente escrever 
 
energia = ℎ × frequência, ou 𝑊 = ℎ𝑣 
 
onde ℎ é a constante de Planck. Esta relação deve se aplicar em todos os sistemas galileanos e no 
sistema intrínseco do corpúsculo onde a energia do corpúsculo, segundo Einstein, se reduz à sua 
energia interna 𝑚0𝑐2(sendo 𝑚0 a massa de repouso) nós temos 
 
ℎ𝑣0 = 𝑚0𝑐² 
 
Essa relação define a frequência 𝑣0em função da massa de repouso 𝑚0, ou inversamente. A 
quantidade de movimento é um vetor 𝑝 igual a 
 
𝑚0𝑣
√𝐼 − 𝛽²
 
e nós temos: 
 
(𝑝) =
𝑚0𝑣
√𝐼 − 𝛽²
=
𝑊𝑣
𝑐²
=
ℎ𝑣
𝑉
=
ℎ
𝜆
 
 
A quantidade; 𝜆 é a distância entre dois picos consecutivos da onda, i. e. o "comprimento de 
onda". Por isso: 
 
𝜆 =
ℎ
𝑝
 
 
Esta é uma relação fundamental da teoria. 
Todo acima mencionado se relaciona com um caso muito simples em que não há campo de 
força atuando sobre os corpúsculos. Vou mostrar-lhe muito brevemente como generalizar a teoria no 
caso de um corpúsculo movendo-se em um campo de força constante derivado de uma função 
potencial 𝐹(𝑥𝑦𝑧). Por raciocínio que irei ignorar, somos então levados a supor que a propagação da 
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onda corresponde a um índice de refração que varia de ponto a ponto no espaço de acordo com a 
fórmula: 
 
𝑛(𝑥𝑦𝑧) = √[𝐼 −
𝐹(𝑥𝑦𝑧)
ℎ𝜈
]² −
𝜈0²
𝜈²
 
 
ou para uma primeira aproximação se as correções introduzidas pela teoria da relatividade são 
desprezíveis 
 
𝑛(𝑥𝑦𝑧) = √
2(𝐸 − 𝐹)
𝑚0𝑐²
 
 
com 𝐸 = 𝑊 − 𝑚𝑜𝑐². A energia constante 𝑊 do corpúsculo ainda está associada à frequência 
constante 𝑣 da onda por relação 
 
𝑊 = ℎ𝜈 
 
enquanto o comprimento de onda 𝜆 que varia de um ponto a outro do campo de força está associado 
à quantidade igualmente variável de movimento𝑝pela seguinte relação 
 
𝜆(𝑥𝑦𝑧) =
ℎ
𝑝(𝑥𝑦𝑧)
 
 
Aqui, novamente, é demonstrado que a velocidade do grupo das ondas é igual à velocidade do 
corpúsculo. O paralelismo assim estabelecido entre o corpúsculo e sua onda permite-nos identificar o 
princípio de Fermat para as ondas e o princípio da menor ação para os corpúsculos (campos 
constantes). O princípio de Fermat afirma que o raio no sentido óptico que passa por dois pontos A e 
B em um meio com um índice 𝑛(𝑥𝑦𝑧) variando de um ponto a outro, mas constante no tempo, é tal que 
a integral∫ 𝑛 𝑑𝑙
𝐵
𝐴
 levada ao longo deste raio é extrema. Por outro lado, o princípio da menor ação de 
Maupertuis nos ensina o seguinte: a trajetória de um corpúsculo que passa por dois pontos A e B no 
espaço é tal que a integral ∫ 𝑝 𝑑𝑙
𝐵
𝐴
 tomada ao longo da trajetória é extrema, contanto, é claro, que 
apenas os movimentos correspondentes a um determinado valor de energia sejam considerados. A 
partir das relações derivadas acima entre os parâmetros mecânicos e de onda, temos: 
 
𝑛 =
𝑐
𝑉
=
𝑐
𝜈
⋅
1
𝜆
=
𝑐
ℎ𝜈
⋅
ℎ
𝜆
=
𝑐
𝑊
𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝑝 
 
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uma vez que 𝑊 é constante em um campo constante. Segue-se que os princípios de Fermat e 
Maupertuis são cada um uma tradução do outro e as trajetórias possíveis do corpúsculo são idênticas 
aos possíveis raios de sua onda. 
Esses conceitos levam a uma interpretação das condições de estabilidade introduzidas pela 
teoria quântica. Na verdade, se considerarmos uma trajetória fechada 𝐶 em um campo constante, é 
muito natural supor que a fase da onda associada deve ser uma função uniforme ao longo dessa 
trajetória. Portanto, podemos escrever: 
∮
𝑑𝑙
𝜆
= ∮
1
ℎ
𝑝 𝑑𝑙 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 
 
Esta é precisamente a condição de estabilidade de Planck para movimentos atômicos 
periódicos. As condições de estabilidade quântica, portanto, surgem como análogas aos fenômenos de 
ressonância, e o aparecimento de inteiros torna-se tão natural aqui quanto na teoria de cordas e placas 
vibratórias. 
As fórmulas gerais que estabelecem o paralelismo entre ondas e corpúsculos podem ser 
aplicadas a corpúsculos de luz na suposição de que aqui a massa restante 𝑚0 é infinitamente pequena. 
Na verdade, se para um dado valor de energia 𝑊, 𝑚0 tende a zero, 𝑣 e 𝑉 tendem a 𝑐 e no limite as duas 
fórmulas fundamentais são obtidas nas quais Einstein baseou sua teoria quântica de luz 
 
𝑊 = ℎ𝑣 𝑝 =
ℎ𝑣
𝑐
 
 
Essas são as principais ideias que desenvolvi em meus estudos iniciais. Elas mostraram 
claramente que era possível estabelecer uma correspondência entre ondas e corpúsculos de forma 
que as leis da mecânica correspondessem às leis da óptica geométrica. Na teoria das ondas, 
entretanto, como você seve saber, a óptica geométrica é apenas uma aproximação: essa aproximação 
tem seus limites de validade e, particularmente quando os fenômenos de interferência e difração estão 
envolvidos, é bastante inadequada. Isso levou ao pensamento de que a mecânica clássica também é 
apenas uma aproximação em relação a uma mecânica ondulatória mais vasta. Afirmei isso quase no 
início dos meus estudos, i. e. "Uma nova mecânica deve ser desenvolvida, que está para a mecânica 
clássica o que a óptica ondulatória está para a óptica geométrica". Essa nova mecânica foi desenvolvida 
desde então, graças principalmente ao excelente trabalho realizado por Schrödinger. É baseado em 
equações de propagação de ondas e define estritamente a evolução no tempo da onda associada a 
um corpúsculo. Em particular, conseguiu dar uma forma nova e mais satisfatória às condições de 
quantização do movimento intra-atômico, uma vez que as condições clássicas de quantização são 
justificadas, como vimos, pela aplicação da ótica geométrica às ondas associadas aos corpúsculos 
intra-atômicos, e esta aplicação não é estritamente justificada. 
Não posso tentar, mesmo brevemente, resumir aqui o desenvolvimento da nova mecânica. Eu 
apenas desejo dizer que, ao ser examinada, ela se provou ser idêntica a uma mecânica desenvolvida 
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independentemente, primeiro por Heisenberg, depois por Born, Jordan, Pauli, Dirac, etc: a mecânica 
quântica. As duas mecânicas, ondulatória e quântica, são equivalentes do ponto de vista matemático. 
Devemos nos contentar aqui considerando o significado geral dos resultados obtidos. 
Resumindo o significado da mecânica ondulatória, pode-se afirmar que: "Uma onda deve estar 
associada a cada corpúsculo e apenas o estudo da propagação da onda nos fornecerá informações 
sobre as posições sucessivas do corpúsculo no espaço". Nos fenômenos mecânicos convencionais de 
grande escala, as posições antecipadas encontram-se ao longo de uma curva que é a trajetória no 
significado convencional da palavra. Mas o que acontece se a onda não se propaga de acordo com as 
leis da geometria óptica, se, digamos, houver interferências e difração? Então não é mais possível 
atribuir ao corpúsculo um movimento conforme a dinâmica clássica, isso é certo. Será mesmo possível 
supor que a cada momento o corpúsculo ocupa uma posição bem definida na onda e quea onda na 
sua propagação carrega o corpúsculo da mesma forma que uma onda carrega uma cortiça? Essas são 
questões difíceis e discuti-las nos levaria longe demais e até mesmo aos confins da filosofia. Tudo o 
que direi sobre eles aqui é que hoje em dia a tendência em geral é supor que nem sempre é possível 
atribuir ao corpúsculo uma posição bem definida na onda. Devo me restringir à afirmação de que 
quando uma observação é realizada permitindo a localização do corpúsculo, o observador é 
invariavelmente induzido a atribuir ao corpúsculo uma posição no interior da onda e a probabilidade de 
ele estar em um determinado ponto 𝑀 da onda é proporcional ao quadrado da amplitude, ou seja, a 
intensidade em 𝑀. 
Isso pode ser expresso da seguinte maneira. Se considerarmos uma nuvem de corpúsculos 
associados à mesma onda, a intensidade da onda em cada ponto é proporcional à densidade da nuvem 
naquele ponto (ou seja, ao número de corpúsculos por unidade de volume em torno desse ponto). Esta 
hipótese é necessária para explicar como, no caso de interferências luminosas, a energia luminosa se 
concentra nos pontos onde a intensidade da onda é máxima: se de fato se assume que a energia 
luminosa é transportada por corpúsculos de luz, fótons, então a densidade de fótons na onda deve ser 
proporcional à intensidade. 
Essa regra por si só nos permitirá entender como foi possível verificar a teoria ondulatória do 
elétron por experimento. 
 Imaginemos, de fato, uma nuvem indefinida de elétrons, todos se movendo na mesma 
velocidade e na mesma direção. Em conformidade com as ideias fundamentais da mecânica 
ondulatória, devemos associar a esta nuvem uma onda plana indefinida na forma 
𝑎 𝑠𝑒𝑛 2𝜋[
𝑊
ℎ
𝑡 −
𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 + 𝛾𝑧
𝜆
] 
 
onde 𝛼𝛽𝛾 são os cossenos que governam a direção de propagação e onde o comprimento de onda 𝜆 
é igual a 
ℎ
𝑝
. Com elétrons que não são extremamente rápidos, podemos escrever 
 
𝑝 = 𝑚0𝑣 
 
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e então 
 
𝜆 =
ℎ
𝑚0𝑣
 
 
onde 𝑚0é a massa de repouso do elétron. 
 
Você deve saber que, na prática, para obter elétrons se movendo na mesma velocidade, eles são 
obrigados a sofrer uma queda no potencial 𝑃 e nós temos 
 
1
2
𝑚0𝑣² = 𝑒𝑃 
 
Então, 
 
𝜆 =
ℎ
√2𝑚0𝑒𝑃
 
 
Numericamente isso dá 
 
𝜆 =
12,24
√𝑃
10−8𝑐𝑚(𝑃 em Volts) 
 
Uma vez que dificilmente é possível usar elétrons que não tenham sofrido uma queda de 
voltagem de pelo menos algumas dezenas de Volts, você verá que o comprimento de onda 𝜆 previsto 
pela teoria é no máximo da ordem de 10⁻⁸𝑐𝑚, ou seja, da ordem da unidade Ångström. É também a 
ordem de magnitude dos comprimentos de onda dos raios X. 
Como o comprimento de onda das ondas de elétrons é da ordem dos raios X, deve-se esperar 
que os cristais possam causar difração dessas ondas de forma completamente análoga ao fenômeno 
de Laue. Permitam-me refrescar suas memórias o que é o fenômeno Laue. Um cristal natural como o 
sal-gema, por exemplo, contém nós compostos de átomos das substâncias que compõem o cristal e 
que são regularmente espaçados em distâncias da ordem de um Ångström. Esses nós agem como 
centros de difusão para as ondas e se o cristal é colidido por uma onda, cujo comprimento de onda 
também é da ordem de um Ångström, as ondas difratadas pelos vários nós estão em concordância de 
fase em certas direções bem definidas e nessas direções a intensidade total difratada é um máximo 
pronunciado. O arranjo desses máximos de difração é dado pela conhecida teoria matemática 
desenvolvida por von Laue e Bragg que define a posição dos máximos em função do espaçamento dos 
nós no cristal e do comprimento de onda da onda incidente. Para os raios X, essa teoria foi 
admiravelmente confirmada por von Laue, Friedrich e Knipping e, posteriormente, a difração dos raios 
X em cristais se tornou uma experiência comum. A medição precisa dos comprimentos de onda dos 
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raios X é baseada nesta difração: há alguma necessidade de lembrar isso no país onde Siegbahn e 
seus colegas de trabalho continuam seu excelente trabalho? 
Para os raios X, o fenômeno da difração por cristais era uma consequência natural da ideia de 
que os raios X são ondas análogas à luz e diferem dela apenas por terem um comprimento de onda 
menor. Para os elétrons, nada semelhante poderia ser previsto, uma vez que o elétron era considerado 
um simples corpúsculo pequeno. No entanto, se o elétron é considerado associado a uma onda e a 
densidade de uma nuvem de elétrons é medida pela intensidade da onda associada, então um 
fenômeno análogo ao fenômeno de Laue deve ser esperado para os elétrons. A onda de elétrons será 
difratada intensamente nas direções que podem ser calculadas por meio da teoria de Laue-Bragg a 
partir do comprimento de onda 𝜆 =
ℎ
𝑚𝑣
, que corresponde à velocidade conhecida 𝑣 dos elétrons 
colidindo com o cristal. Visto que, de acordo com nosso princípio geral, a intensidade da onda difratada 
é uma medida da densidade da nuvem de elétrons difratados, devemos esperar encontrar muitos 
elétrons difratados nas direções dos máximos. Se o fenômeno realmente existe, ele deve fornecer uma 
prova experimental decisiva em favor da existência de uma onda associada ao elétron com 
comprimento de onda 
 ℎ
𝑚𝑣
, e assim a ideia fundamental da mecânica das ondas repousará em bases 
experimentais firmes. 
Agora, o experimento que é o juiz final das teorias, mostrou que o fenômeno da difração de 
elétrons por cristais realmente existe e que obedece exata e quantitativamente às leis da mecânica 
ondulatória. Para Davisson e Germer, que trabalham no Bell Laboratories em Nova York, cabe a honra 
de ser o primeiro a observar o fenômeno por um método análogo ao de von Laue para raios-X. 
Duplicando os mesmos experimentos, mas substituindo o único cristal por um pó cristalino em 
conformidade com o método introduzido para raios X por Debye e Scherrer, o professor G. P. Thomson 
de Aberdeen, filho do famoso físico de Cambridge Sir J. J. Thomson, encontrou os mesmos fenômenos. 
Em seguida, Rupp na Alemanha, Kikuchi no Japão, Ponte na França e outros os reproduziram, variando 
as condições experimentais. Hoje, a existência do fenômeno está fora de dúvida e as ligeiras 
dificuldades de interpretação apresentadas pelos primeiros experimentos de Davisson e Germer 
parecem ter sido resolvidas de forma satisfatória. 
Rupp conseguiu até mesmo provocar a difração de elétrons de uma forma particularmente 
notável. Você estará familiarizado com o que são chamadas de grades de difração em óptica: são 
superfícies de vidro ou metal, planas ou ligeiramente curvas, nas quais foram traçadas mecanicamente 
linhas equidistantes, o espaçamento entre as quais é comparável em ordem de magnitude com os 
comprimentos de onda das ondas de luz. As ondas difratadas por essas linhas interferem, e as 
interferências dão origem a máximos de luz difratada em certas direções dependendo do espaçamento 
entre as linhas, da direção da luz que incide na grade e do comprimento de onda dessa luz. Por muito 
tempo, provou-se impossível alcançar fenômenos semelhantes com este tipo de rede de difração feita 
pelo homem usando raios X em vez de luz. O motivo era que o comprimento de onda dos raios X é 
muito menor do que o da luz e nenhum instrumento pode desenhar linhas em uma superfície, o 
espaçamento entre as quais é da ordem de magnitude dos comprimentos de onda dos raios X. Vários 
físicos engenhosos (Compton, J. Thibaud) descobriram como superar a dificuldade. Vamos pegar uma 
rede de difração óptica comum e observá-la quase tangencialmente à sua superfície. As linhas da grade 
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nos parecerão muito mais próximas do que realmente estão.Para os raios X que incidem nesta 
incidência quase superficial na grade, o efeito será como se as linhas estivessem muito próximas e 
ocorrerão fenômenos de difração análogos aos da luz. Isso é o que os físicos mencionados acima 
confirmaram. Mas então, uma vez que os comprimentos de onda dos elétrons são da ordem dos 
comprimentos de onda dos raios X, também deve ser possível obter fenômenos de difração 
direcionando um feixe de elétrons para uma rede de difração óptica em um ângulo muito baixo. Rupp 
conseguiu fazer isso e, portanto, foi capaz de medir o comprimento de onda das ondas de elétrons 
comparando-as diretamente com o espaçamento das linhas traçadas mecanicamente na grade. 
Assim, para descrever as propriedades da matéria, bem como as da luz, as ondas e os 
corpúsculos devem ser referidos ao mesmo tempo. O elétron não pode mais ser concebido como um 
único grânulo de eletricidade; deve estar associado a uma onda e essa onda não é um mito; seu 
comprimento de onda pode ser medido e suas interferências previstas. Assim, foi possível prever todo 
um grupo de fenômenos sem que eles realmente tivessem sido descobertos. E é neste conceito da 
dualidade das ondas e corpúsculos na Natureza, expresso de uma forma mais ou menos abstrata, que 
todo o desenvolvimento recente da física teórica se fundamentou e que todo desenvolvimento futuro 
desta ciência terá aparentemente que ser fundado. 
 
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Capítulo 5. Tudo é onda: a Mecânica Ondulatória de Schrödinger 
 
5.1. Introdução 
 
Erwin Schrödinger (1887-1961) era um físico austríaco e um grande erudito. Trabalhou muitos 
anos na área de Mecânica Estatística. Tomando conhecimento das pesquisas de Louis de Broglie 
começou a trabalhar na busca de uma descrição ondulatória – mais especificamente da equação de 
onda – por trás dos fenômenos descritos pelo físico francês. 
A partir dos diários de Schrödinger, sabe-se que ele, primeiramente, procurou um formalismo 
ondulatório compatível com a Relatividade Geral de Einstein, sem obter sucesso (JOAS; LEHNER, 
2009). Na sequência, buscou uma equação compatível com a relatividade restrita - também sem chegar 
em um resultado exitoso, principalmente no que se refere a descrever os níveis de energia do átomo 
de hidrogênio. 
Partindo, então, para uma proposta não-relativística, Schrödinger, em 1926, foi finalmente 
capaz de chegar em uma equação diferencial (a conhecida equação de Schrödinger) cujas soluções 
descrevem os estados de um sistema quântico. Schrödinger conseguiu obter os níveis de energia do 
átomo de hidrogênio e resolver outros problemas importantes como o oscilador harmônio quântico 
(SCHRODINGER, 1928a). 
A equação de Schrödinger é uma das equações mais fundamentais da Teoria Quântica. Ela 
descreve como um sistema isolado (com energia constante) evolui ao longo do tempo. Na época da 
proposição de Schrödinger, Heisenberg e outros físicos (como Dirac, Jordan, Pauli, Born) vinham 
trabalhando no que ficou conhecido como Mecânica Matricial. Schrödinger foi capaz de mostrar que as 
duas visões (sua mecânica ondulatória e a mecânica matricial) eram matematicamente equivalentes 
(SCHRODINGER, 1928a). 
O formalismo matemático usado originalmente por Schrödinger em 1926 para derivar sua 
equação de onda parte da mecânica de Hamilton-Jacobi. Em 1928, entretanto, ele parte de uma 
apresentação não-relativística do Princípio de Maupertuis para derivar sua equação (SCHRODINGER, 
1928b). Uma apresentação didática sobre essa derivação pode ser encontrada em (LIMA; KARAM, 
2021). Recentemente, inspirados na discussão original de Schrödinger, Lima e Karam (2022) 
apresentaram uma derivação da equação de Schrödinger partindo da Lei de Snell e da Mecânica 
Newtoniana. 
5.2. A ideia central de Schrödinger 
 
A proposta de Schrödinger para resolver os problemas teóricos da Física consistia em resgatar 
uma noção já existente na Física Clássica. O seu programa de pesquisa consistia em fazer com a 
mecânica o mesmo que houve com a Ótica. 
A ótica pode ser dividia em ótica geométrica e ótica física. A ótica geométrica é o que 
estudamos quando queremos saber como a luz se comporta ao ser refletida por um espelho ou por 
passar por uma lente (passando por refração). Quando descrevemos esses fenômenos, usamos o 
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conceito de raio de luz (uma linha que representa a trajetória da luz). Tanto a Lei de Reflexão quanto a 
Lei de Refração podem ser sintetizadas em uma única lei, que é o Princípio de Fermat (que discutimos 
no capítulo do Louis de Broglie). Deve-se notar que ao desenhar o raio de luz, ou a trajetória da luz, 
temos uma representação que se aproxima muito mais de uma concepção corpuscular, uma vez que 
trajetórias bem definidas são atribuídas a partículas. 
Por outro lado, sabemos que a luz é uma onda eletromagnética e, portanto, pode ser 
representada por frentes de onda, como é feito por Huygens. Em um primeiro momento, as duas 
descrições, a do raio de luz e a ondulatória, parecem incompatíveis. Mas uma análise mais cuidadosa 
mostra que a natureza ondulatória não somente é compatível com o raio de luz como explica os 
resultados advindos pelo Princípio de Fermat. 
Por exemplo, na refração, quando a luz troca de meio, sabemos que o raio de luz muda o seu 
ângulo em relação à normal da interface entre os dois meios. A expressão correta para essa mudança 
é fornecida pela Lei de Snell, que é derivada do Princípio de Fermat. Por outro lado, quando 
reconhecemos a luz como uma onda, é muito fácil explicar por que o ângulo muda: no momento que a 
frente de onda atravessa a interface, a parte da onda no outro meio vai se mover com uma velocidade 
diferente, fazendo com que a frente de onda mude de direção. O raio de luz é simplesmente um vetor 
normal à superfície da frente de onda. 
Assim, ao adotar uma visão ondulatória, a Lei de Snell, que parece quase mágica, quando 
derivada do Princípio de Fermat, passa a ser bem explicada e entendida quando assumimos que a luz 
é uma onda. Assim, a onda é a natureza mais essencial da luz, e o conceito de raio de luz é apenas 
uma representação. 
Quando a luz passa por obstáculos muito pequenos, como uma fenda de dimensão da ordem 
de grandeza do seu comprimento de onda, a representação de raio de luz não é capaz de explicar e 
prever o que acontece. Nesse caso, precisamos usar a representação ondulatória, para descrever 
efeitos como interferência e difração. Isso é o que chamamos de Ótica Física 
Da mesma forma, na mecânica, falamos da trajetória de partículas. E essa trajetória pode ser 
definida por um princípio semelhante ao de Fermat, que pode ser o Princípio de Maupertuis ou Princípio 
de Hamilton. Mas, novamente, por que a trajetória fica com o seu formato? Não poderia ser, como no 
caso da ótica, que a aquilo que denominamos partícula é na verdade um fenômeno ondulatório? E, 
nesse caso, no sistema microscópico, só podemos falar da natureza ondulatória sem poder falar de 
partículas. Em certa medida, os resultados experimentais que corroboram a expressão de Louis de 
Broglie indicam que o elétron se comporta como onda. 
A defesa de Schrödinger, então, é que o elétron é uma onda. É diferente do caso do Louis de 
Broglie em que a partícula era acompanhada de uma onda. Para Schrödinger, o que existe é a onda. 
A partícula é só uma representação. E, portanto, deve haver uma Mecânica Ondulatória que fale dessas 
ondas, da mesma forma que é necessária uma ótica física para explicar a ótica geométrica. Isso pode 
ser representado por uma proporção: 
Ó𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐹í𝑠𝑖𝑐𝑎
Ó𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐺𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
=
𝑀𝑒𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑂𝑛𝑑𝑢𝑙𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑎
𝑀𝑒𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎 𝐶𝑙á𝑠𝑠𝑖𝑐𝑎
 
 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
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O programa de Schrödingerfoi, então, desenvolver justamente a Mecânica Ondulatória. 
Partindo da noção de que a partícula é, na verdade, um grupo de ondas (como um pacote de onda), 
Schrödinger conseguiu derivar a sua famosa Equação de Schrödinger. Na figura abaixo, podemos ver 
uma representação de uma partícula como um grupo de onda por Schödinger: 
 
 
Figura 5.1. Grupo oscilatório de ondas como a representação de uma partícula na mecânica 
ondulatória – imagem retirada do texto original “From Micro to Macromachanics” (SCHRODINGER, 
1928a) 
 
Mais discussões didáticas sobre o início da Mecânica Ondulatória podem ser encontradas em 
(KARAM, 2020; LIMA; KARAM, 2021; LIMA RICARDO AVELAR SOTOMAIOR, 2022). 
 
5.3. Considerações Filosóficas 
 
 Novamente, temos um discurso extremamente realista. Schrödinger concebia a partícula como 
ondas reais. Inicialmente, Schrödinger imaginava que essas ondas se propagavam no espaço 
geométrico (tridimensional), mas – na verdade - a onda que é solução da equação diferencial se 
propaga no espaço de configuração (3n-dimensional, sendo n o número de partículas). Logo, não há 
uma interpretação simples para essas ondas. Isso é um complicador para a concepção de Schrödinger. 
 Mesmo assim, Schrödinger seguiu defendendo uma visão realista para a Teoria Ondulatória e 
se opondo a intepretação desenvolvida por Heisenberg e Bohr. Deve-se notar que a Mecânica 
Ondulatória parte da Física Clássica, trata de sistemas contínuos, usa equações diferenciais, e 
estabelece uma regra determinista para a evolução da função de onda (a equação diferencial permite 
que, conhecendo a função de onda no momento presente, se determine seu estado em instantes 
futuros). 
5.4. Questões para reflexões 
1- Quais metáforas são usadas por Schrödinger para falar de sua Mecânica Ondulatória? 
2- Quais são as evidências empíricas que Schrödinger aponta em seu discurso? 
3- Quais estudos e autores Schrödinger menciona em seu discurso e por quê? 
4- Quais conceitos físicos estão presentes em seu discurso? Monte um mapa conceitual e o 
explique. 
5- O que podemos aprender sobre como a ciência funciona com discurso de Schrödinger? 
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5.5. O Discurso de Schrödinger: A ideia fundamental da mecânica ondulatória12 
Erwin Schrödinger 
A ideia fundamental da mecânica ondulatória 
Palestra Nobel, 12 de Dezembro de 1933 
 
Ao passar por um instrumento óptico, como um telescópio ou uma câmera de lentes, um raio 
de luz é submetido a modificar a direção de sua trajetória para cada superfície refletora ou refratora 
(que ele atravessa). O caminho dos raios pode ser previsto se soubermos as duas leis que governam 
as mudanças de direção: a lei da refração, descoberta por Snellius há algumas centenas de anos, e a 
lei da reflexão, com a qual Arquimedes já era familiar há mais de 2000 anos atrás. 
 Como um simples exemplo, a Fig. 1 mostra um raio A-B sujeito a refração em cada uma das 
quatro extremidades das duas lentes, de acordo com a Lei de Snell. 
 
Figura 5.2. Figura 1 do texto original de Schrödinger. 
 
 Fermat definiu a trajetória total de um raio de luz de um ponto de vista mais geral. Em meios 
diferentes, a luz se propaga com velocidades diferentes, e o caminho percorrido pela a radiação 
aparenta como se a luz necessitasse chegar ao seu destino o mais rápido possível. (Incidentemente, é 
possível considerar aqui quaisquer dois pontos ao logo do raio como sendo os pontos de início e final 
da trajetória). O menor desvio do caminho inicialmente tomado, significaria um “atraso”. Esse é o 
famoso Princípio de Fermat, que diz que o caminho percorrido pela luz entre dois pontos é o caminho 
mais curto¹, o qual determina, de uma maneira magnífica, o “destino” de um raio de luz através de uma 
única afirmação e, também, é capaz de englobar o caso mais geral, quando a natureza do meio varia 
de modo gradual em diferentes superfícies. 
A atmosfera terrestre nos fornece um exemplo (dessa situação). Quanto mais fundo um raio de 
luz a atinge, de fora para dentro, mais lentamente ele se propaga à medida que a densidade do ar 
aumenta. Apesar da diferença entre as velocidades de propagação serem infinitesimais, o Princípio de 
Fermat exige, nessas circunstancias, que o raio de luz deveria se curvar em direção a Terra (veja na 
Fig. 2), de modo que (ele) permaneça um pouco mais comprido nas camadas mais altas e “velozes” 
(da atmosfera) e atinja o seu destino final mais rapidamente que pelo caminho mais curto e retilíneo 
(linha pontilhada na figura; desconsidere o quadrado, WWW’W’ por enquanto). 
 
12 O discurso original pode ser encontrado em 
https://www.nobelprize.org/uploads/2017/07/schrodinger-lecture.pdf 
https://www.nobelprize.org/uploads/2017/07/schrodinger-lecture.pdf
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Figura 5.3. Figura 2 do texto original de Schrödinger. 
 
 Eu penso, que dificilmente algum de vocês terá falhado em observar que quando o Sol está 
parcialmente “escondido” pela linha do horizonte, ele não aparenta ser circular, mas achatado: seu 
diâmetro vertical aparenta estar encurtado. Isso é resultado da curvatura dos raios. 
 De acordo com a teoria ondulatória da luz, os raios de luz, especificamente, possuem um 
significado unicamente fictício. Eles não são caminhos físicos de algumas partículas de luz, mas são 
uma ferramenta matemática, as tão chamadas trajetórias ortogonais de superfícies de onda, como se 
fossem linhas “guia” imaginárias que apontam na direção normal a superfície de onda, as quais estas 
avançam (cf. Fig. 3 mostra o caso mais simples de superfícies de ondas esféricas e concêntricas, 
alinhadas com os raios lineares, enquanto a Fig. 4 ilustra o caso dos raios curvos). 
 
Figura 5.4. Figuras 3 e 4 do texto original de Schrödinger. 
 
 É surpreendente que um princípio geral, tão importante quanto o Princípio de Fermat, se 
relaciona diretamente com essas linhas “guia” matemáticas, e não com as superfícies de onda, e uma 
pode ser inclinada por essa razão de se considerar uma mera curiosidade matemática. Longe disso. 
Se torna perfeitamente entendível a partir do ponto de vista da Teoria Ondulatória e para de ser um 
“milagre divino”. Do ponto de vista ondulatório, a tão chamada curvatura do raio de luz é de maior 
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entendimento como uma mudança de direção repentina da superfície de onda, que deve ocorrer 
quando partes vizinhas a superfície de onda avançam com velocidades distintas; da mesma maneira 
que uma frota de soldados marchando para frente irá receber a ordem “direita volver” pelos homens 
andando em passos de diferentes tamanhos, (tanto) o homem da “ala direita” o menor (curto), (quanto) 
o homem da “ala esquerda” o maior (mais longo/comprido). Na refração da radiação na atmosfera, por 
exemplo (Fig.2) a seção da superfície de onda WW deve, necessariamente, mudar (sua) direção para 
a direita (W’W’) porque a sua metade esquerda está localizada em uma região levemente mais alta, 
com uma camada de ar mais fina, e esta avança mais rapidamente que a metade direita em um ponto 
mais baixo. (De passagem, eu gostaria de relatar um ponto, no qual a visão de Snellius falha. Um raio 
de luz emitido horizontalmente deve permanecer horizontal porque o índice de refração não varia na 
direção horizontal. Na verdade, um raio horizontal se curva mais que qualquer outro, o que é uma 
consequência evidente da teoria de uma frente de onda desviada – que sofre uma mudança na direção). 
Em uma detalhada análise, o Princípio de Fermat é considerado completamente semelhante 
ao argumento trivial que – dada uma distribuição local das velocidades da luz – a frente de onda deverá 
alterar o seu sentido, conforme o indicado. Eu não posso provar isso aqui, mas devo tentar torná-loplausível. Eu vou pedir novamente para vocês visualizarem uma tropa de soldados marchando para 
frente. Para garantir que a fila continue alinhada, imagine uma longa corda conectando cada um dos 
soldados, cada um dos deles está segurando a corda com firmeza em uma das mãos. Nenhuma ordem 
sobre o caminho é dada; a única ordem é: deixe cada homem marchar ou correr o mais rápido que ele 
consegue. Se o terreno do chão variar gradualmente de um lugar para outro, será agora a ala direita 
(com um terreno tortuoso), agora a ala esquerda avança mais rapidamente, e as mudanças na direção 
acontecerão de maneira espontânea. Depois de algum tempo, veremos que todo o caminho percorrido 
não é retilíneo, mas de certo modo curvo. Que esse caminho curvo é exatamente aquele que o destino 
traçado a qualquer momento seria alcançado mais rapidamente de acordo com o tipo do terreno 
(percorrido), é ao menos bem razoável (chegar a esta conclusão), desde que cada soldado tenha 
efetuado o seu melhor. Também poderá ser visto que o desvio (do caminho original) ocorre, 
invariavelmente, na direção do pior terreno (percorrido), então parecerá (para um espectador) como se 
os homens tivessem intencionalmente “desviado” do caminho que os faria avançar lentamente. 
O Princípio de Fermat aparenta ser o melhor e mais trivial exemplo da teoria ondulatória. Assim, 
foi uma ocasião memorável quando Hamilton efetuou a descoberta que o movimento real de pontos de 
massa em um campo de forças (e.g. de um planeta que orbita ao redor do Sol ou de uma pedra jogada 
no campo gravitacional da Terra) também é guiado por um princípio fundamental semelhante, o qual 
carrega, e tornou famoso, o nome do seu “descobridor”. Evidentemente, o Princípio de Hamilton não 
diz exatamente que um ponto de massa escolhe o caminho mais rápido, mas diz algo parecido – a 
analogia com o princípio de que a luz viaja pelo caminho de menor tempo é tão próxima, que nos 
deparamos com um enigma. É como se a natureza tivesse se dado conta da mesma lei uma única vez, 
através de maneiras distintas: primeiro, no caso da luz, pela maneira óbvia de se “manusear” os raios; 
e, novamente, no caso dos pontos de massa, não era nada óbvio, a não ser que a natureza ondulatória 
também fosse atribuída a essa situação. E isso, parecia impossível de atribuir. Porque os “pontos de 
massa” sobre os quais as leis da mecânica (Hamiltoniana) foram confirmadas experimentalmente e 
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atribuídas, eram corpos grandes, visíveis e, às vezes, gigantes, como os planetas, para os quais algo 
como a “natureza ondulatória” aparentava estar fora de cogitação. 
Os menores, os componentes elementares da matéria que nós hoje, mais especificamente, 
chamamos de “pontos de massa”, eram meramente hipotéticos (antigamente). Foi somente após a 
descoberta da radioatividade que constantes aperfeiçoamentos dos métodos de medida permitiram que 
as propriedades dessas partículas fossem estudadas “em detalhe”, e hoje permitem que os caminhos 
(percorridos) por essas partículas sejam fotografados e medidos com precisão pelo método brilhante 
de C.T.R. Wilson (estereofotogrametria). À medida em que as medições se aprofundam elas confirmam 
que as mesmas leis da mecânica são válidas tanto para partículas quanto para corpos extensos, 
planetas, etc. Entretanto, foi descoberto que nem moléculas, nem um único átomo, podem ser 
considerados como (sendo) a “partícula elementar”: mas até mesmo o átomo é um sistema com uma 
estrutura altamente complexa. Imagens são formadas em nossas mentes da estrutura atômica 
consistindo de partículas, imagens que parecem ter uma certa semelhança com o sistema planetário. 
Era bastante natural que essa tentativa, primeiramente, deveria ser feita para considerar válidas as 
mesmas leis do movimento que se provaram tão incrivelmente satisfatórias em larga escala. Em outras 
palavras, a Mecânica Hamiltoniana, a qual citei anteriormente, culminou no Princípio de Hamilton, 
também foi adoptada na “vida interior” do átomo. Essa é uma analogia bem próxima sobre o 
esquecimento temporal do Princípio de Hamilton e do Princípio óptico de Fermat. Se fossem lembrados 
(durante o esquecimento temporal), seriam considerados nada além de um traço curioso de uma teoria 
matemática. 
Agora, é muito difícil, sem irmos minuciosamente aos detalhes, transmitir uma concepção 
adequada do sucesso ou do fracasso dessas imagens do átomo (provenientes da) “mecânica clássica”. 
Por um lado, o Princípio de Hamilton, em particular, provou ser o mais verdadeiro e confiável guia, que 
era simplesmente indispensável; mas por outro lado, alguém tinha que “sofrer”, para fazer justiça aos 
fatos, a dura interferência de postulados completamente novos e incompreensíveis, das tão chamadas 
condições e postulados quânticos. Uma desarmonia estridente na sinfonia da mecânica clássica – 
ainda que estranhamente familiar – tocada como se fosse no mesmo instrumento. Em termos 
matemáticos, nós podemos formular (a situação/o problema) da seguinte maneira: onde o Princípio de 
Hamilton meramente postulava que a integral dada deveria ser um (valor) mínimo, sem o valor numérico 
desse mínimo ser estabelecido pelo postulado, é agora exigido que o valor numérico desse mínimo 
deve ser restrito a uma integral de múltiplos de uma constante natural e universal, a constante de 
Planck. Isso acidentalmente. A situação era relativamente desesperadora. Se a velha mecânica 
estivesse completamente errada, não teria sido tão ruim. O caminho teria sido se libertar para o 
desenvolvimento de um novo sistema mecânico. Como se fosse, um encarava a difícil tarefa de salvar 
a “alma” do velho sistema, cuja inspiração claramente dominava esse microcosmo, enquanto ao mesmo 
tempo lisonjeava (a situação) como se estivesse inclinado a aceitar as condições quânticas, não como 
uma interferência horrenda, mas como se assegurasse de sua “essência interna”. 
A saída se estabelece na possibilidade, já indicada a cima, de atribuir ao Princípio de Hamilton, 
também, o funcionamento de uma mecânica ondulatória, na qual os processos são essencialmente 
baseados no “ponto mecânico”, assim como já se acostumou a fazer no caso de um fenômeno 
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relacionado com a luz, (utilizando) do Princípio de Fermat que o descreve. Evidentemente, o caminho 
individual de pontos de massa perde o seu significado físico e se torna fictício, assim como um único 
raio de luz. A essência da teoria, o princípio fundamental, entretanto, continua intacto, mas revela o seu 
simples significado somente através do aspecto ondulatório, como já explicado. A rigor, a nova teoria 
não é de fato nova, é uma evolução orgânica, alguém pode quase estar tentado a dizer uma exposição 
mais elaborada da velha teoria. 
Como foi então que essa nova, mais “elaborada”, exposição levou a notáveis diferentes 
resultados; o que permitiu isso, quando aplicada a um átomo, para evitar as dificuldades que a velha 
teoria não poderia resolver? O que a permitiu tornar interferências grosseiras aceitáveis ou até mesmo 
torná-las própria? 
Novamente, esses assuntos podem ser melhores ilustrados pela analogia com a óptica. 
Certamente, mais apropriadamente, eu anteriormente chamei o Princípio de Fermat do “melhor 
exemplo” para a teoria ondulatória da luz: não obstante, (o princípio) não pode considerar dispensável 
um estudo mais exato do processo ondulatório. Os tão chamados fenômenos de refração e interferência 
da luz só podem ser entendidos se nós traçarmos o processo ondulatório no detalhe, porque o que 
importa não é o eventual destino da onda, mas também se em determinado momento ela chegará na 
sua crista ou no seu vale (no destino final). Em arranjos experimentais mais antigos, esses fenômenos 
ocorriam somente como pequenos detalhese escapavam da observação. Uma vez que percebidos e 
interpretados corretamente, pela forma de ondas, foi fácil elaborar experimentos em que a natureza 
ondulatória da luz se faz expressiva não somente em pequenos detalhes, mas em uma larga escala 
em todos os aspectos do fenômeno. 
Me permitam ilustrar isso através de dois exemplos, primeiro, o exemplo de um instrumento 
óptico, como um telescópio, microscópio, etc. O objetivo é obter uma imagem nítida, i.e é desejável que 
todos os raios emitidos a partir de um ponto devem ser reunidos em outro ponto, o tão chamado foco 
(cf.Fig. 5a). Inicialmente, acreditava-se que somente dificuldades óticas e geométricas impediam isso: 
elas são de fato consideráveis. Mais tarde, foi descoberto que mesmo os melhores (de melhor design) 
instrumentos que focalizam os raios, eram consideravelmente inferiores do que o esperado, se 
(partirmos do princípio que) cada raio obedecia ao Princípio de Fermat, independente dos raios 
vizinhos. 
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Figura 5.5. Figura 5 do texto de Schrödinger 
 
A luz que é emitida de um ponto e é recebida pelo instrumento, é “reunida” atrás do aparelho 
em não somente um único ponto, mas é distribuída pela a pequena área circular, o tão conhecido disco 
de difração, o qual, em outros casos, é em sua maioria circular somente em função do formato das 
lentes dos aparelhos, que normalmente são circulares. Pois, a causa do fenômeno, que nós chamamos 
de difração, é que nem todas as ondas esféricas emitidas a partir do ponto de um objeto podem ser 
acomodadas pelo aparelho. As pontas das lentes e quaisquer aparatos apenas cortam uma parte das 
superfícies de onda (cf. Fig. 5b) e – se vocês me permitirem usar uma expressão mais sugestiva – as 
margens “machucadas” suportam rígidas unificações em um ponto e produzem algo embaçado ou uma 
imagem indefinida. O grau de embaçamento é intimamente associado com o comprimento de onda da 
luz e é completamente inevitável, em razão da profunda reação teórica. Inicialmente, mal se percebe, 
(o círculo de difração) comanda e restringe a performance de um moderno microscópio que se 
sobressaiu de todos os outros erros de reprodução. As imagens obtidas da estrutura, não muito 
grosseiras ou até mesmo melhores que os comprimentos de onda são somente remotas ou nem tão 
similares a original. 
Um segundo, e mais simples, exemplo é a sombra de um objeto opaco projetada em uma tela 
por uma pequena fonte pontual de luz. A fim de construir a forma da sombra, cada raio de luz deve ser 
seguido e deve ser estabelecido quando ou não o objeto opaco o impede de alcançar a tela. A margem 
da sombra é formada pelos raios de luz que só “passam de raspão” nas bordas do corpo. A experiência 
mostrou que as margens da sombra não são absolutamente retas, mesmo com uma fonte de luz pontual 
e precisa, e com um objeto escolhido por sua sombra retilínea. A razão para isso é a mesma que no 
primeiro exemplo. A frente de onda é dividida (em dois) pelo corpo (cf. Fig. 6) e os rastros dessa 
separação resultam em borrões nas margens da sombra, que seriam incompreensíveis se os raios de 
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luz fossem “entidades independentes” avançando independentemente um do outro sem referência 
alguma de seus vizinhos. 
Esse fenômeno – que também recebe o nome de difração – não é muito uma regra notável 
com corpos grandes. Mas se o corpo escolhido para a sombra é muito pequeno, em pelo menos uma 
dimensão, a difração se expressa, inicialmente, naquela sombra mal-formada, e segundamente – mais 
marcantemente – naquele pequeno corpo que se torna como se fosse sua própria fonte de luz e irradia 
luz em todas as direções (preferencialmente, para ser claro, nos pequenos ângulos relativos à luz 
incidente). 
 
Figura 5.6. Figura 6 do texto original de Schrödinger 
 
Todos vocês, sem dúvida alguma, estão familiarizados com as tão chamadas “partículas de 
poeira” em um feixe de luz, que incide sobre um quarto escuro. Folhas de grama finas e teias de aranha 
no topo de um penhasco com o sol atrás, ou os fios espetados de cabelo de um homem parado com o 
Sol atrás, com frequência ascendem misteriosamente pela luz difratada, e a visibilidade da fumaça ou 
da neblina é baseada nisso. Isso não vem do próprio corpo, mas de seus arredores próximos, uma área 
que causa uma considerável interferência com as frentes de onda incidentes. Isso é interessante, e é 
importante pelo o que segue, observar que a área de interferência, sempre e em toda a direção, tem 
pelo menos o comprimento de um ou de alguns comprimentos de onda, não importa o quão pequenas 
sejam as partículas perturbadas. Novamente, assim, nós observamos uma íntima relação entre os 
fenômenos de difração e o comprimento de onda. Isso, talvez, é melhor ilustrado pela menção de outro 
processo ondulatório, i.e som. Em razão do seu comprimento de onda ser maior, da ordem de 
centímetros e metros, a formação de sombras regride no caso do som, e a difração ocupa um maior, e 
praticamente mais importante, papel: nós podemos facilmente ouvir um homem chamando atrás de 
uma parede alta ou na esquina de uma casa de concreto, mesmo se nós não conseguimos o ver. 
Nos deixem retornar da óptica para a mecânica e explorar a analogia ao seu máximo. Na óptica, 
o antigo sistema mecânico coincide operando intelectualmente com os raios de luz isolados 
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mutuamente independentes. A nova mecânica ondulatória corresponde a teoria ondulatória da luz. O 
que se ganha mudando a antiga visão para a nova, é que o fenômeno de difração pode ser instalado 
ou, melhor explicado, o que se ganha é algo que é estritamente análogo ao fenômeno de difração da 
luz e que no todo deve ser muito sem importância, por outro lado, a antiga visão da mecânica não 
poderia nos fornecer uma plena satisfação. De todo o jeito, é fácil inferir que o fenômeno negligenciado 
pode, em alguma circunstância, se fazer muito mais presente, (ele) dominará, completamente, o 
processo mecânico e encarará o velho sistema com charadas insolucionáveis, se todo o sistema 
mecânico é comparável em escala com os comprimentos de onda das “ondas de matéria” que ocupam 
o mesmo papel nos processos mecânicos que as ondas de luz ocupam em processos ópticos. 
Essa é a razão pela qual nessas estruturas mínimas, os átomos, a antiga visão estava 
condenada a falhar, apesar de permanecer intacta como uma aproximação de processos mecânicos 
grosseiros, no entanto (a antiga visão) não é mais adequada para a delicada interação em áreas com 
ordem de magnitude de um ou de alguns comprimentos de onda. Era surpreendente observar o jeito 
que todas essas estranhas exigências adicionais desenvolveram, espontaneamente, desde a nova 
visão ondulatória, onde elas teriam que ser forçadas sob a antiga visão a se adaptarem a “vida interior” 
do átomo e prover alguma explicação sobre os fatos observados. 
Então, o ponto saliente de toda matéria é o diâmetro dos átomos e o comprimento de onda das 
hipotéticas ondas materiais que são, aproximadamente, da mesma ordem de magnitude. E agora vocês 
estão tentados a se perguntar quando deve ser considerado mero acaso que em nossa análise contínua 
da estrutura da matéria, devemos chegar à ordem de magnitude do comprimento de onda neste, de 
todos os pontos, ou se isso é compreensível até certo ponto. Além disso, vocês podem perguntar como 
sabemos que isso é assim, uma vez que ondas materiais são um requisito inteiramente novo desta 
teoria, desconhecido em qualquer lugar. Ou, simplesmente, que esta é uma suposição que tinha que 
ser feita? 
O acordo entre as ordens de magnitude não é mera coincidência, nem é necessária alguma 
suposição especial sobre isso; segue automaticamente apartir da teoria, da seguinte maneira notável. 
O núcleo pesado do átomo é muito menor que o átomo e pode, assim, ser considerado como um ponto 
central de atração no argumento que segue, pode ser considerado como estabelecido 
experimentalmente pelo espalhamento de raios alpha, feitos por Rutherford e Chadwick. Ao invés de 
elétrons, nós introduzimos ondas hipotéticas, com os comprimentos de onda deixados em aberto, 
porque nós ainda não sabemos nada sobre eles. Isso deixa uma letra, digamos “a”, indicando uma 
figura desconhecida em nossos cálculos. De todo modo, nós estamos acostumados a isso em certos 
cálculos e não nos impede de calcular que o núcleo do átomo deve produzir um tipo de fenômeno de 
difração nessas ondas, semelhantemente a ação de uma pequena partícula de poeira em ondas de 
luz. Analogamente, isso indica que existe uma relação íntima entre o tamanho da área de interferência 
que o núcleo cerca e o comprimento de onda, e ambos são da mesma ordem de magnitude. O que 
isso é, nós teremos que deixar em aberto; mas o passo mais importante vem a seguir: nós identificamos 
a área de interferência, o halo de difração, com o átomo; nós afirmamos que o átomo, na realidade, é 
meramente o fenômeno de difração de uma onda de elétrons que nos captou como se fosse através 
do núcleo do átomo. Não é mais uma questão de possibilidade que o tamanho de um átomo e o 
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comprimento de onda são da mesma ordem de magnitude: é uma questão de certeza. Nós não 
sabemos o valor numérico de nenhum, porque nós ainda temos em nossos cálculos uma constante 
desconhecida, que nós chamamos de “a”. Existem duas maneiras possíveis de determinarmos isso, as 
quais mutualmente se resolvem. Primeiro, nós podemos então selecioná-lo de forma que as 
manifestações de vida do átomo, sobretudo as linhas de espectro emitidas, surgem corretamente 
quantitativamente; essas podem, afinal, serem medidas com muita precisão. Segundamente, nós 
podemos estabelecer “a” de uma maneira que o halo de difração corresponde ao tamanho do átomo 
desejado. Essas determinações de “a” (a qual a segunda é certamente bem mais imprecisa, pois “o 
tamanho do átomo” não é um termo bem definido) estão em completo acordo uma com a outra. 
Terceiramente, e finalmente, nós podemos reestabelecer (remarcar) que a constante ainda 
desconhecida, fisicamente falando, não possui, de fato, dimensões de comprimento, mas de uma 
constante (de ação) i.e. energia x tempo. Assim, é um passo óbvio substituí-la pelo valor numérico da 
constante universal de Planck), a qual é precisamente conhecida pelas leis da radiação térmica. 
Veremos que nós retornaremos, com a completa, considerada agora precisa, para a primeira (mais 
exata) determinação. 
Quantitativamente falando, a teoria, portanto, soluciona (o problema) com mínimas concepções 
novas. Ela contém uma única constante disponível, para a qual um valor numérico familiar, da antiga 
teoria quântica, deve ser atribuído, inicialmente para determinar os halos de difração com o tamanho 
correto, para que eles possam ser razoavelmente identificados aos seus (respectivos) átomos, e 
segundamente, para avaliar quantitativamente e corretamente todas as manifestações de vida de um 
átomo, a luz irradiada por ele, a energia de ionização, etc. 
Eu tentei colocar diante de vocês a ideia fundamental da teoria ondulatória da matéria na forma 
mais simples possível. Agora, eu devo admitir que é de meu desejo não confundir as ideias desde o 
início. Eu pintei o quadro². Não no que diz respeito ao alto grau em que todos chegam a confirmação 
de conclusões suficientemente cuidadosas pela experiência, mas no que diz respeito a facilidade 
conceitual e a simplicidade com a qual as conclusões foram alcançadas. Eu não estou falando aqui 
sobre dificuldades matemáticas, as quais sempre se tornam triviais no final, mas (sobre) as dificuldades 
conceituais. Isto é, claro, fácil dizer que nós mudamos de um conceito de caminho curvo para um 
sistema de superfícies de onda normais a ele. As superfícies de onda, contudo, mesmo se nós 
considerarmos as suas partes pequenas (ver Fig. 7) incluem, pelo menos, um estreito feixe de possíveis 
caminhos curvos, para todos os quais elas possuem a mesma relação. 
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Figura 5.7. Figura 7 do texto original de Schrödinger. 
 
De acordo com a antiga visão, mas não de acordo com a nova, um deles em cada caso concreto 
e individual é distinguido de todos os outros que são “apenas possíveis”, como aquele “realmente 
viajado”. Nós somos confrontados aqui com toda a força da oposição lógica entre um 
nem – ou (pontos mecânicos) 
E um 
ambos – e (ondas mecânicas) 
 
Isso não importaria muito, se o sistema antigo fosse completamente abandonado e substituído 
pelo novo. Infelizmente, não é esse o caso. Do ponto de vista da mecânica ondulatória, a infinita gama 
de caminhos de pontos possíveis seria meramente fictícia, nenhum deles teria a prerrogativa sobre os 
outros de ser o que realmente viajou em um caso individual. Eu, contudo, já mencionei que nós já 
observamos tais caminhos individuais das partículas em alguns casos. A teoria ondulatória pode 
representar isso, mesmo não completamente ou somente muito imperfeitamente. Nós consideramos 
confusamente difícil de interpretar os rastros que vemos como nada mais que estreitos feixes de 
caminhos igualmente possíveis, entre os quais as superfícies de onda estabelecem conexões cruzadas. 
Ainda, essas conexões cruzadas são necessárias para um entendimento dos fenômenos de difração e 
interferência, que podem ser demonstrados para a mesma partícula com a mesma plausibilidade – e 
isso, em uma escala maior, não só como uma consequência das ideias teóricas sobre o interior do 
átomo, as quais nós mencionamos antes. Condições são reconhecidamente tais que sempre podemos 
improvisar em cada caso individual concreto, sem dois aspectos diferentes, que levem a diferentes 
expectativas quanto ao resultado de determinados experimentos. Nós não podemos, contudo, 
improvisar com termos tão antigos, familiares e indispensáveis como “real” ou “apenas possível”; nós 
nunca estamos em uma posição de dizer o que realmente é ou o que realmente acontece, mas nós 
somente podemos dizer o que será observado em qualquer caso individual concreto. Teremos que 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
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estar permanentemente satisfeitos com isso...? Inicialmente, sim. Inicialmente, não existe nada novo 
no postulado que, no final das contas, a ciência exata dever visar nada mais do que a descrição, do 
que realmente pode ser observado. A pergunta é somente se de agora em diante nós devemos abster-
nos de vincular uma descrição para uma hipótese clara sobre a real natureza do mundo. Existem muitos 
que desejam pronunciar tamanha abdicação ainda hoje. Mas eu acredito que isso significa fazer as 
coisas um poco fáceis demais para si mesmo. 
Eu definiria o presente estado do nosso conhecimento como a seguir. O raio ou a caminho da 
partícula corresponde a uma relação longitudinal do processo de propagação (i.e. na direção de 
propagação), a superfície de onda, por outro lado, (corresponde) a uma relação transversal (i.e. normal 
a ele). Ambas as relações são, sem dúvidas, reais; uma é demonstrada pelos caminhos de partícula 
fotografados, e a outra por experimentos de interferência. Unir ambas em um único sistema tem se 
mostrado impossível até agora. Somente em casos extremos a (relação) transversal, em forma de 
concha ou a relação longitudinal radial predomina para tal medida que pensamos que podemos nos 
contentar com, somente, a teoria ondulatória ou com a teoria corpuscular. 
 
 
 
 
 
 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMAet al., v.32 n.5 2021 
 
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Capítulo 6: Nunca preveremos o futuro pois jamais conheceremos o 
presente: A Mecânica Quântica de Heisenberg 
 
 
 6.1. Introdução 
Werner Heisenberg foi um físico alemão e um dos protagonistas da Teoria Quântica. Seu artigo 
de 1925 é, na verdade, considerado o marco inicial do que chamamos hoje de Mecânica Quântica 
(HEISENBERG, 1925). Sua atuação ao longo do desenvolvimento da Teoria, principalmente seus 
compromissos políticos, o tornaram um personagem historicamente complexo e polêmico. 
 Na sua juventude, Heisenberg era praticante de diferentes esportes, e integrava grupo de 
escoteiros – o que na prática - formava um conjunto de jovens com conhecimentos de sobrevivência 
em situações adversas. Muitos desses jovens, futuramente, integraram grupos de apoio ao movimento 
nazista. O próprio Heisenberg continuou na Alemanha nazista e trabalhou no projeto nuclear alemão. 
Por outro lado, deve-se ressaltar que Heisenberg se recusou a assinar a carta “100 cientistas contra 
Einstein”, mantendo sempre profundo respeito e admiração pelo fundador da Teoria da Relatividade. 
Outro episódio polêmico envolvendo Heisenberg foi sua visita à Bohr na Dinamarca, quando essa 
estava ocupada pela Alemanha. Há uma forte controvérsia sobre qual era a verdadeira razão de tal 
visita, o que foi dramatizado na peça Copenhague de Michal Frayn. 
 Heisenberg foi aluno de Max Born, em um curso denominado a Mecânica do átomo, que, 
posteriormente, viraria um livro didático (BORN, 1927). Nesse curso, Max Born discutia ferramentas 
matemáticas advindas dos estudos de mecânica celeste aplicadas aos estudos do átomo. Tal programa 
de pesquisa seguia inspiração dos trabalhos originais de Bohr sobre o modelo atômico e a estrutura da 
matéria. Esse curso se destacava não somente por ensinar o que já havia sido estudado e entendido 
até o momento; mas, principalmente, por apontar quais problemas e lacunas precisavam ainda ser 
resolvidos. 
 O artigo de 1925 de Heisenberg pode ser compreendido justamente como uma elaboração 
desses problemas apontas por Max Born. Werner Heisenberg, estudando o problema do oscilador 
harmônico quântico, conseguiu chegar em propriedades matemáticas para as grandezas físicas 
envolvidas nos sistemas quânticas, as quais eram completamente diferentes de tudo que conhecemos 
na Mecânica Clássica. Surgia a Mecânica Quântica. 
 Sua visão, como discutiremos nas próximas seções, era baseada em rupturas fortes com a 
Física Clássica – concepção antagônica à de Schrödinger em 1926, a qual estudamos no capítulo 
anterior. Buscando superar a proposta de Schrödinger, e encerrar de uma vez por toda o entendimento 
da teoria, em 1927, Heisenberg avançou na descrição dos sistemas quânticos, chegando no que ficou 
conhecido como Princípio da Incerteza. Na próxima seção, discutiremos, em linhas gerais, o que era a 
proposta da Mecânica Quântica de Heisenberg e o que é o Princípio da Incerteza. Esses são os dois 
conceitos chaves que aparecem no discurso de Heisenberg. 
 
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82 
 
6.2. A ideia central de Heisenberg 
 
 Em 1925, os estudos sobre a estrutura da matéria, motivados pelo átomo de Bohr, avançavam 
consistentemente. O estudo de espectros de emissão e absorção continuavam sendo uma importante 
ferramenta empírica para o desenvolvimento de modelos matemáticos. Nesse contexto, Bohr havia 
enunciado (de diferentes formas em diferentes trabalhos), o Princípio da Correspondência, segundo 
qual, devemos obter resultados clássicos quando os modelos quânticos são aplicados em números 
quânticos elevados. O Princípio foi enunciado de diferentes formas, e, de certa forma, uma primeira 
versão dele está implicitamente presente no próprio artigo de 1913 de Bohr. 
 Heisenberg queria desenvolver uma mecânica do mundo microscópico que fosse consistente 
com os resultados experimentais e que, de alguma forma, representasse matematicamente o princípio 
da correspondência. Assim, algumas ideias estão presentes no seu trabalho seminal: 
 - O postulado quântico de Bohr deve ser observado, segundo o qual a energia emitida depende 
do nível de energia final e inicial do elétron. Dessa forma, há descontinuidades intrínsecas à estrutura 
da matéria 
 - Nos estados estacionários, o elétron não emite radiação 
 - O Princípio da Correspondência deve ser respeitado. 
 - A Física deve se preocupar apenas com a descrição de grandezas observáveis. 
 O artigo de 1925 é um dos artigos mais complexos e obscuros da História da Física. Alguns 
historiadores se dedicaram a interpretar e explica-lo detalhadamente (BLOCH, 1976). Um dos grandes 
resultados obtidos por Heisenberg, em seu trabalho, é que grandezas como posição e momento não 
comutam, isto é, 
𝑝. 𝑞 ≠ 𝑞. 𝑝 
 Mais especificamente, 
𝑝𝑟𝑞𝑠 − 𝑞𝑠𝑝𝑟 =
ℎ
2𝜋𝑖
𝛿𝑟𝑠 
 Sendo 
𝛿𝑟𝑠 = {
1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 = 𝑠
0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 ≠ 𝑠
} 
 Esse reconhecimento é muito diferente de tudo que temos na Física Clássica. Logo, outros 
físicos reconheceram que Heisenberg havia descoberto que momento e posição não são números, 
mas matrizes! Com isso, inicia-se o desenvolvimento da Mecânica Matricial. 
Uma análise atenta mostra que as concepções de Heisenberg são opostas àquelas 
desenvolvidas por Schrödinger. Em 1926, Schrödinger mostrou que o formalismo dos dois eram 
equivalentes e, na sequência Dirac e Jordan desenvolveram uma Teoria de Transformação, permitindo 
combinar elementos das duas visões. 
Schrödinger chegou a ser convidado por Bohr a passar alguns dias em Copenhague, onde 
Heisenberg também estava, para discutir a interpretação da Teoria. Após dias de discussão não 
conseguiram chegar a nenhum consenso. Com a partida de Schrödinger, os físicos de Copenhague 
passaram a se dedicar ao desenvolvimento de uma interpretação consistente da Teoria Quântica. 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
83 
 
Quando Bohr saiu de férias, em 1927, Heisenberg desenvolveu uma nova interpretação, 
mostrando que para toda grandeza medida havia alguma incerteza relacionada. Mais do que isso, 
quando duas grandezas que não comutam são medidas simultaneamente há sempre um valor mínimo 
de incerteza a ser respeitado. Hoje, escrevemos essa expressão como13 
Δ𝑥. Δ𝑝𝑥 ≥
ℏ
2
 
 
Futuramente, essa noção ficou reconhecida como o Princípio da Incerteza. Existem várias formas 
de se derivar e interpretar o Princípio da Incerteza. As diferentes derivações históricas, análise de 
alguns experimentos mentais e uma apresentação geral sobre as principais escolas de interpretação 
podem ser encontradas em (ROSA; LIMA; CAVALCANTI, 2022). 
Basicamente, na sua argumentação original, Heisenberg mostra que existe uma incerteza na 
identificação do elétron (Δ𝑥) quando se usa um microscópio de raios gama – de acordo com o 
comprimento de onda da radiação. Por outro lado, o raio gama pode transferir um certo momento, 
perturbando o momento do elétron (Δ𝑝) , o que é explicado pelo Efeito Compton (que considera a 
radiação como partícula). Assim, Heisenberg, sem perceber, usou, ao mesmo tempo, uma concepção 
corpuscular e ondulatória para radiação, argumentando que estaria superando a visão ondulatória de 
Schrödinger. 
Quando Bohr voltou de férias e leu o artigo de Heisenberg, encontrou as inconsistências em sua 
argumentação. As correções a esses problemas, apareceram em uma “Nota adicionada durante a 
prova”, em que Heisenberg assume os problemas de sua argumentação e agradece a Bohr. Tal 
reconhecimento de Bohr sobre o uso dos dois quadros (o corpuscular e o ondulatório) conduziu ao 
desenvolvimento de sua interpretação da Complementaridade. 
 
6.3. Considerações Filosóficas 
 
Max Jammer (1966) defende que até 1925 não havia uma ruptura clássica da Teoria Quântica 
com a Física Clássica. É a partir do artigo de Heisenberg que, de fato, essas rupturasficam explícitas. 
A defesa de que a Física deveria tratar apenas com grandezas observáveis representa um 
conflito com a perspectiva realista típica da Física Clássica. O reconhecimento de momento e posição 
como matrizes e não números também indica uma necessidade de uma ruptura mais profund. Por fim, 
o Princípio da Incerteza leva Heisenberg a interpretar a Teoria Quântica como uma teoria 
essencialmente indeterministaa. Não se pode jamais ter todo o conhecimento sobre a realidade natural. 
Sempre haverá alguma incerteza intrínseca que nunca pode ser superada, independentemente de 
qualquer avanço tecnológico. 
Com isso, o realismo, o determinismo, e, até mesmo, a causalidade (como já havíamos 
reconhecido no trabalho de Bohr) passam a ser contestados na nova Teoria. Essa ruptura, juntamente 
 
13 A expressão original de Heisenberg é um pouco diferente. Uma análise detalhada do artigo de 1927 
pode ser encontrada em (LIMA; ROSA; BENTO, 2020). 
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com o trabalho de Born, que discutiremos na sequência, formam a base necessária para a formalização 
da Teoria Quântica. 
 
6.4. Questões para reflexão 
 
1- Quais os estudos e evidências usados por Heisenberg para motivar o seu trabalho? 
2- Quais os principais conceitos apresentados por Heisenberg? Monte um mapa conceitual com 
os conceitos apresentados e explique esse mapa conceitual. 
3- Quais as evidências Heisenberg aponta para corroborar sua defesa da Teoria Quântica. 
4- Qual a concepção de Heisenberg sobre os trabalhos de Schrödinger? 
5- O que podemos aprender sobre como a ciência funciona com o discurso de Heisenberg? 
 
6.5. O discurso de Heisenberg: O desenvolvimento da Mecânica Quântica14 
 
 
 
Werner Heisenberg 
O desenvolvimento da Mecânica Quântica 
Discurso do Nobel, 11 de Dezembro de 1933 
 
A mecânica quântica, da qual devo falar aqui, surgiu, em seu conteúdo formal, da tentativa 
de expandir o princípio da correspondência de Bohr para um esquema matemático completo, 
refinando suas afirmações. Os novos pontos de vista físicos que distinguem a mecânica quântica 
da física clássica foram preparados pelas pesquisas de vários investigadores engajados em 
analisar as dificuldades apresentadas na teoria da estrutura atômica de Bohr e na teoria da 
radiação da luz. 
Em 1900, através da lei da radiação do corpo negro que ele havia descoberto, Planck detectou 
nos fenômenos ópticos um fenômeno descontínuo totalmente desconhecido pela física clássica que, 
alguns anos depois, foi mais precisamente expresso na hipótese de Einstein dos quanta de luz. A 
impossibilidade de harmonizar a teoria de Maxwell com os conceitos visuais expressos na hipótese dos 
quanta de luz subsequentemente compeliu os pesquisadores à conclusão de que os fenômenos de 
radiação só podem ser compreendidos renunciando amplamente à sua visualização imediata. O fato, 
já encontrado por Planck e utilizado por Einstein, Debye e outros, de que o elemento de 
descontinuidade detectado nos fenômenos de radiação também desempenha um papel importante nos 
processos materiais, foi expresso sistematicamente nos postulados básicos de Bohr da teoria quântica 
 
14 O discurso original pode ser encontrado em 
https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/heisenberg-lecture.pdf 
https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/heisenberg-lecture.pdf
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que, juntamente com as condições quânticas de Bohr-Sommerfeld da estrutura atômica levaram a uma 
interpretação qualitativa das propriedades químicas e ópticas dos átomos. A aceitação desses 
postulados básicos da teoria quântica contrastava intransigentemente com a aplicação da mecânica 
clássica aos sistemas atômicos, os quais, entretanto, pelo menos em suas afirmações qualitativas, 
pareciam indispensáveis para a compreensão das propriedades dos átomos. Esta circunstância foi um 
novo argumento em apoio de que os fenômenos naturais nos quais a constante de Planck desempenha 
um papel importante podem ser compreendidos, renunciando em grande parte à descrição visual deles. 
A física clássica parecia o caso limite da visualização de uma microfísica fundamentalmente invisível, 
quanto mais precisamente realizável um experimento, mais a constante de Planck desaparece em 
relação aos parâmetros do sistema. Essa visão da mecânica clássica como um caso limite da mecânica 
quântica também deu origem ao princípio da correspondência de Bohr que, pelo menos em termos 
qualitativos, transferiu uma série de conclusões formuladas na mecânica clássica para a mecânica 
quântica. Em conexão com o princípio da correspondência, também foi discutido se as leis da mecânica 
quântica poderiam, em princípio, ser de natureza estatística; a possibilidade tornou-se particularmente 
aparente na derivação de Einstein da lei da radiação de Planck. Por fim, a análise da relação entre a 
teoria da radiação e a teoria atômica de Bohr, Kramers e Slater resultou na seguinte situação científica: 
De acordo com os postulados básicos da teoria quântica, um sistema atômico é capaz de assumir 
estados estacionários discretos e portanto valores discretos de energia; em termos da energia do 
átomo, a emissão e absorção de luz por tal sistema ocorre abruptamente, na forma de impulsos. 
Por outro lado, as propriedades visíveis da radiação emitida são descritas por um campo de 
onda, cuja frequência está associada à diferença de energia entre os estados inicial e final do átomo 
pela relação 
 
𝐸1 − 𝐸2 = ℎ𝜈 
A cada estado estacionário de um átomo corresponde todo um complexo de parâmetros que 
especificam a probabilidade de transição deste estado para outro. Não há relação direta entre a 
radiação emitida classicamente por um elétron em órbita e aqueles parâmetros que definem a 
probabilidade de emissão; no entanto, o princípio de correspondência de Bohr permite que um termo 
específico da expansão de Fourier do caminho clássico seja atribuído a cada transição do átomo, e a 
probabilidade para a transição particular segue leis qualitativamente semelhantes à intensidade desses 
componentes de Fourier. Embora, por conseguinte, nas pesquisas realizadas por Rutherford, Bohr, 
Sommerfeld e outros, a comparação do átomo com um sistema planetário de elétrons leve a uma 
interpretação qualitativa das propriedades ópticas e químicas dos átomos, no entanto, a diferença 
fundamental entre o espectro atômico e o espectro clássico impõe a necessidade de abandonar o 
conceito de um caminho de elétrons e abdicar de uma descrição visual do átomo. 
Os experimentos necessários para definir o conceito de caminho do elétron também fornecem 
uma ajuda importante para revisá-lo. A resposta mais óbvia para a questão de como a órbita de um 
elétron em seu caminho dentro do átomo pode ser observada, a saber, talvez seja usar um microscópio 
de extremo poder de resolução. Mas, uma vez que a amostra neste microscópio teria que ser iluminada 
com luz com um comprimento de onda extremamente curto, o primeiro quantum de luz da fonte de luz 
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para alcançar o elétron e passar para o olho do observador ejetaria o elétron completamente de seu 
caminho de acordo com as leis do efeito Compton. Consequentemente, apenas um ponto do caminho 
seria observável experimentalmente a qualquer momento. Nesta situação, portanto, a política óbvia era 
abandonar, a princípio, o conceito de caminhos de elétrons como um todo, apesar de sua comprovação 
pelos experimentos de Wilson e, por assim dizer, descobrir o quanto do conceito de caminho de elétrons 
pode ser transportado para a mecânica quântica. Na teoria clássica, a especificação de frequência, 
amplitude e fase de todas as ondas de luz emitidas pelo átomo seria totalmente equivalente a 
especificar seu caminhode elétrons. Visto que a partir da amplitude e da fase de uma onda emitida, os 
coeficientes do termo apropriado na expansão de Fourier do caminho do elétron podem ser derivados 
sem ambiguidade, o caminho completo do elétron, portanto, pode ser derivado do conhecimento de 
todas as amplitudes e fases. Da mesma forma, também na mecânica quântica todo o complexo de 
amplitudes e fases da radiação emitida pelo átomo pode ser considerado uma descrição completa do 
sistema atômico, embora sua interpretação no sentido de um caminho de elétrons induzindo a radiação 
seja impossível. Na mecânica quântica, portanto, o lugar das coordenadas do elétron é tomado por um 
complexo de parâmetros correspondentes aos coeficientes de Fourier do movimento clássico ao longo 
de um caminho. Estes, no entanto, não são mais classificados pela energia do estado e o número da 
vibração harmônica correspondente, mas estão em cada caso associados a dois estados estacionários 
do átomo, e são uma medida para a probabilidade de transição do átomo de um estado estacionário 
para outro. Um complexo de coeficientes desse tipo é comparável a uma matriz, como ocorre na álgebra 
linear. Exatamente da mesma forma, cada parâmetro da mecânica clássica, i.e., o momento ou a 
energia dos elétrons podem então ser atribuídos a uma matriz correspondente na mecânica quântica. 
Para prosseguir daqui para além de uma mera descrição do estado empírico das coisas, foi necessário 
associar sistematicamente as matrizes atribuídas aos vários parâmetros, da mesma forma que os 
parâmetros correspondentes na mecânica clássica são associados por equações de movimentos. 
Quando, no interesse de alcançar a correspondência mais próxima possível entre a mecânica clássica 
e quântica, a adição e multiplicação das séries de Fourier foram tomadas provisoriamente como 
exemplo para a adição e multiplicação dos complexos da teoria quântica, o produto de dois parâmetros 
representados por matrizes parecia ser mais naturalmente representado pela matriz de produto no 
sentido da álgebra linear - uma suposição já sugerida pelo formalismo da teoria de dispersão de 
Kramers-Ladenburg. 
Assim, parecia consistente simplesmente adotar na mecânica quântica as equações de 
movimento da física clássica, considerando-as como uma relação entre as matrizes que representam 
as variáveis clássicas. As condições quânticas de Bohr-Sommerfeld também poderiam ser 
reinterpretadas em uma relação entre as matrizes e, juntamente com as equações de movimento, eram 
suficientes para definir todas as matrizes e, portanto, as propriedades experimentalmente observáveis 
do átomo. 
Born, Jordan e Dirac merecem o crédito por expandir o esquema matemático descrito acima em 
uma teoria consistente e praticamente utilizável. Esses pesquisadores observaram, em primeiro lugar, 
que as condições quânticas podem ser escritas como relações de comutação entre as matrizes que 
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representam os momentos e as coordenadas dos elétrons, para produzir as equações (𝑝𝑟, matrizes de 
momento; 𝑞𝑟, matrizes de coordenadas): 
 
𝑝𝑟𝑞𝑠 − 𝑞𝑠𝑝𝑟 =
ℎ
2𝜋𝑖
𝛿𝑟𝑠 𝑞𝑟𝑞𝑠 − 𝑞𝑠𝑞𝑟 = 0 𝑝𝑟𝑝𝑠 − 𝑝𝑠𝑝𝑟 = 0 
 
𝛿𝑟𝑠 = {
1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 = 𝑠
0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 ≠ 𝑠
} 
 
Por meio dessas relações de comutação, eles foram capazes de detectar também na mecânica 
quântica as leis fundamentais para a mecânica clássica: a invariabilidade no tempo da energia, 
momento linear e momento angular. O esquema matemático derivado apresenta assim, em última 
análise, uma extensa semelhança formal com o da teoria clássica, da qual difere externamente pelas 
relações de comutação que, além disso, permitiam que as equações de movimento fossem derivadas 
da função hamiltoniana. 
Nas consequências físicas, no entanto, existem diferenças muito profundas entre a mecânica 
quântica e a mecânica clássica, que impõem a necessidade de uma discussão aprofundada da 
interpretação física da mecânica quântica. Conforme definido até agora, a mecânica quântica possibilita 
o tratamento da radiação emitida pelo átomo, dos valores de energia dos estados estacionários e de 
outros parâmetros característicos dos estados estacionários. A teoria, portanto, está de acordo com os 
dados experimentais contidos nos espectros atômicos. Em todos aqueles casos, no entanto, onde uma 
descrição visual é necessária de um evento transitório, por exemplo, ao interpretar as fotografias de 
Wilson, o formalismo da teoria não parece permitir uma representação adequada do estado 
experimental das coisas. Neste ponto, a mecânica ondulatória de Schrödinger, entretanto desenvolvida 
com base nas teses de de Broglie, veio em auxílio da mecânica quântica. 
No curso dos estudos que o próprio Sr. Schrödinger relatará aqui, ele converteu a determinação 
dos valores de energia de um átomo em um problema de autovalor definido por um problema de valor 
de contorno no espaço de coordenadas do sistema atômico particular. Depois que Schrödinger mostrou 
a equivalência matemática da mecânica ondulatória, que ele descobriu, com a mecânica quântica, a 
combinação frutífera dessas áreas diferentes de duas ideias físicas resultou em um extraordinário 
alargamento e enriquecimento do formalismo da teoria quântica. Em primeiro lugar, apenas a mecânica 
ondulatória que tornou possível o tratamento matemático de sistemas atômicos complexos; em 
segundo lugar, a análise da conexão entre as duas teorias levou ao que é conhecido como a teoria da 
transformação desenvolvida por Dirac e Jordan. Como é impossível, dentro dos limites desta palestra, 
dar uma discussão detalhada da estrutura matemática desta teoria, gostaria apenas de apontar seu 
significado físico fundamental. Através da adoção dos princípios físicos da mecânica quântica em seu 
formalismo expandido, a teoria da transformação tornou possível, em termos completamente gerais, 
calcular para sistemas atômicos a probabilidade de ocorrência de um determinado fenômeno, 
experimentalmente determinável, sob determinadas condições experimentais. A hipótese conjecturada 
nos estudos sobre a teoria da radiação e enunciada em termos precisos na teoria da colisão de Born, 
a saber, que a função de onda governa a probabilidade de presença de um corpúsculo, parecia ser um 
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caso especial de um padrão de leis mais geral e ser uma consequência natural dos pressupostos 
fundamentais da mecânica quântica. Schrödinger, e em estudos posteriores Jordan, Klein e Wigner 
também, tinha conseguido desenvolver tanto quanto permitido pelos princípios da teoria quântica o 
conceito original de de Broglie de ondas de matéria visualizáveis ocorrendo no espaço e no tempo, um 
conceito formulado mesmo antes do desenvolvimento da mecânica quântica. Mas, para isso, a conexão 
entre os conceitos de Schrödinger e a tese original de de Broglie certamente teria parecido mais frouxa 
por esta interpretação estatística da mecânica ondulatória e pela maior ênfase no fato de que a teoria 
de Schrödinger se preocupa com as ondas no espaço multidimensional. Antes de prosseguir com a 
discussão do significado explícito da mecânica quântica, talvez seja correto para mim lidar brevemente 
com esta questão quanto à existência de ondas de matéria no espaço tridimensional, uma vez que a 
solução para este problema só foi alcançada combinando a mecânica quântica e a mecânica 
ondulatória. Muito antes de a mecânica quântica ser desenvolvida, Pauli havia inferido das leis do 
Sistema Periódico dos elementos o princípio bem conhecido de que um estado quântico particular pode 
ser ocupado em todos os momentos por apenas um único elétron. Se provou ser possível transferir 
esse princípio para a mecânica quântica com base no que à primeira vista parecia um resultado 
surpreendente: todo o complexo deamplamente encontrados na literatura 
especializada (FREIRE JR.; PESSOA JR.; BROMBERG, 2011; FREIRE; SCHWEBER, 2015; PESSOA 
JR., 2011). 
Assim, ao longo dos capítulos, o leitor terá acesso ao texto original, para fazer sua própria leitura, 
e terá acesso ao nosso comentário, buscando elaborar, ressaltar, explicar os principais conceitos no 
texto. Com isso, entendemos que, mesmo o leitor não familiarizado com a Física terá condições de 
entender as ideias gerais contidas nesses textos. O quanto você terá de conhecimento sobre Teoria 
Quântica ao final da leitura é algo que só você poderá descobrir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 2. Por que você deveria aprender sobre a Teoria Quântica? 
 
Por que você deveria aprender sobre a Teoria Quântica? PORQUE TEM MUITO ESPAÇO LÁ 
EMBAIXO! Esse é exatamente o título de uma palestra ministrada pelo físico americano Richard 
Feynman1 e que, por muitos, é considerada a gênese do que, hoje, chamamos de nanociências. 
Aproveitando a imagem que Feynman provoca, a verdade é que o mundo microscópico tem muito, mas 
muito espaço, tanto no sentido físico como metaforicamente (em termos do espaço que ele passa a 
ocupar em nosso conhecimento). 
No sentido físico, se ampliássemos um átomo de hidrogênio (formado por um próton ligado a um 
elétron) até o próton ter 1 metro de raio e o colocássemos no centro de Porto Alegre, o elétron estaria 
aproximadamente na cidade de Montenegro (mais ou menos 60km de Porto Alegre). Feynman não 
estava brincando quando disse que tem muito espaço lá embaixo. 
 Mas tão impressionante quanto isso é o fato de que esse mundo composto por partículas 
minúsculas e muito espaço se comporta de uma forma muito diferente de tudo que conhecemos ao 
longo de séculos de desenvolvimento da Física. O desenvolvimento da Teoria Quântica, a teoria física 
que estuda justamente os processos físicos em dimensões muito pequenas, como a de um átomo, foi 
protagonizado por embates intelectuais acalorados. Algumas das mentes mais brilhantes do século XX 
se dedicaram a desvendar os enigmas e quebra-cabeças que os experimentos e as equações 
apresentavam. 
Deve-se ressaltar que, até hoje, esse debate continua, e se desdobra no desenvolvimento de 
diferentes interpretações2 da teoria (JAMMER, 1974a). De qualquer forma, pelo menos nas primeiras 
décadas do século passado, a comunidade passou a aceitar uma interpretação principal para a teoria, 
o que é chamado por muitos de Interpretação da Complementaridade ou Interpretação de Copenhague, 
embora não haja uma total equivalência entre essas denominações (GOMATAM, 2007; HOWARD, 
2004). Alguns livros atuais chamam essa concepção de Interpretação Ortodoxa (GRIFFTHS, 2005). Ao 
longo dos próximos capítulos, você será apresentado justamente aos principais episódios que levaram 
ao desenvolvimento dessa interpretação da Teoria Quântica, o que ela significa, e o que ela implica 
para o nosso conhecimento sobre a realidade. 
As consequências da Teoria Quântica para o nosso entendimento da realidade e do nosso 
próprio conhecimento sobre a realidade são dramáticas. Não é à toa que Einstein, Bohr, Heisenberg e 
Schrödinger protagonizaram alguns dos embates intelectuais mais efusivos e profundos de nossa 
história recente. A História da Teoria Quântica é a história de como viemos a entender esse mundo tão 
complexo e contra-intuitivo. 
 
1 A palestra original There is a plenty of room at the bottom: an invitation to enter a new field of 
Physics pode ser encontrada em https://calteches.library.caltech.edu/1976/ 
2 No contexto da Filosofia da Física (BUNGE, 1973), Intepretação é o conjunto de afirmações de uma 
teoria que não alteram as previsões dos resultados experimentais. 
https://calteches.library.caltech.edu/1976/
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
10 
 
Essa discussão, infelizmente, não está presente nos principais livros didáticos de Mecânica 
Quântica contemporâneos, nos quais tem se dado ênfase à resolução matemática de problemas 
exemplares (JOHANSSON et al., 2018). Por outro lado, essa mesma discussão foi amplamente 
distorcida por muitas pessoas e vendida de forma completamente equivocada e sem nenhum respaldo 
nas evidências empíricas ou na construção teórica. Enquanto isso, a discussão filosófica e científica 
original, com toda sua profundidade e beleza, parece seguir esquecida ou ignorada dentro e fora dos 
cursos de Física. Esperamos, com esse livro, contribuir, ao menos um pouco, para o resgate dessa 
história. Antes de entrarmos nesses episódios, entretanto, é importante colocarmos sob perspectiva o 
cenário científico em que a Teoria Quântica começou a se desenvolver. 
Para isso, podemos recorrer à distinção tradicional entre o que chamamos de Física Clássica e 
Física Moderna. A Física Clássica é composta por três teorias principais: a Mecânica Clássica, a Teoria 
Eletromagnética e a Termodinâmica. 
A Mecânica Clássica descreve e explica os movimentos dos corpos: como um carro vai de um 
ponto a outro, como a Terra se move ao redor do Sol, qual é a trajetória de uma pedra lançada ao ar. 
Mais do que descrever como essas trajetórias se dão, a Mecânica tenta explicar esses movimentos por 
meio de princípios básicos, ou postulados. As Leis de Newton, que aprendemos na escola, é um 
exemplo desse conjunto de princípios. Alternativamente, podemos explicar os movimentos por meio de 
outros princípios desenvolvidos posteriormente, como o Princípio de Mínima Ação de Maupertuis, 
Princípio de Hamilton, Equações de Hamilton e Equação de Hamilton-Jacobi. Em especial, o princípio 
de Maupertuis será importante para as discussões que vão aparecer nos discursos do Nobel. Segundo 
Maupertuis, todos os corpos se movem obedecendo um único princípio, o que ele chama de Princípio 
de Mínima Ação. 
A segunda teoria fundamental da Física Clássica é a Teoria Eletromagnética que, como o nome 
sugere, descreve e explica os fenômenos elétricos, magnéticos e suas interrelações. Fenômenos 
puramente elétricos, referem-se à casos eletrostáticos (quando as partículas com carga elétrica estão 
paradas) – e são descritos pela noção de campo elétrico. Fenômenos puramente magnéticos se 
referem, por exemplo, ao campo gerado por um ímã parado – e são descritos pela noção de campo 
magnético. Quando temos qualquer desses sistemas em movimento, não é mais possível falar só de 
campo elétrico e só de campo magnético – fala-se então de campo eletromagnético. O conjunto de 
todas relações possíveis sobre o campo eletromagnético está sintetizado no que chamamos hoje de 
Equações de Maxwell. 
As equações de Maxwell tratam o campo eletromagnético como um campo contínuo, distribuído 
por todo espaço, sendo capaz de carregar energia e momento linear. Mais do que isso, quando 
partículas com cargas são aceleradas, elas emitem radiação eletromagnética. Das próprias equações 
de Maxwell, podemos mostrar que existe um tipo específico de onda, as chamadas ondas 
eletromagnéticas, que se propagam no vácuo com velocidade aproximadamente igual a 3.108𝑚/𝑠, que 
é a velocidade da luz. Assim, no final do século XIX, tinha-se uma compressão significativa de que a 
luz e outras formas de radiação eletromagnética eram ondas e, portanto, se propagavam de forma 
distribuída e contínua pelo espaço. 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
11 
 
Por fim, a terceira teoria fundamental da Física Clássica é a Termodinâmica, que estuda sistemas 
macroscópicos (composto por muitos átomos, tipicamente da ordem de 1023 átomos), os quais são 
caracterizados por medidas espacial e temporalmente grosseiras (CALLEN, 1985). A Termodinâmica 
fala de conceitos como temperatura, calor, energia, volume, pressão e entropia (entre outros). Com a 
Termodinâmica,estados estacionários que um sistema atômico é capaz de adotar 
se decompõe em classes definidas, de modo que um átomo em um estado pertencente a uma classe 
nunca pode mudar para um estado pertencente a outra classe sob a ação de quaisquer perturbações. 
Como finalmente esclarecido sem dúvida pelos estudos de Wigner e Hund, tal classe de estados é 
caracterizada por uma simetria definida característica da autofunção de Schrödinger com respeito à 
transposição das coordenadas de dois elétrons. Devido à identidade fundamental dos elétrons, 
qualquer perturbação externa do átomo permanece inalterada quando dois elétrons são trocados e, 
portanto, não causa transições entre estados de várias classes. O princípio de Pauli e as estatísticas 
de Fermi-Dirac derivadas dele são equivalentes com a suposição de que apenas aquela classe de 
estados estacionários é alcançada na natureza em que a autofunção muda seu sinal quando dois 
elétrons são trocados. De acordo com Dirac, a seleção do sistema simétrico de termos levaria não ao 
princípio de Pauli, mas às estatísticas de elétrons de Bose-Einstein. 
Há uma relação peculiar entre as classes de estados estacionários pertencentes ao princípio de 
Pauli ou às estatísticas de Bose-Einstein e o conceito de ondas de matéria de de Broglie. Um fenômeno 
de onda espacial pode ser tratado de acordo com os princípios da teoria quântica, analisando-o usando 
o Teorema de Fourier e, em seguida, aplicando ao componente individual de Fourier do movimento das 
ondas, como um sistema com um grau de liberdade, as leis normais da mecânica quântica. Aplicando 
este procedimento para o tratamento de fenômenos ondulatórios pela teoria quântica, procedimento 
que também se mostrou fecundo nos estudos de Dirac sobre a teoria da radiação, às ondas de matéria 
de de Broglie, obtêm-se exatamente os mesmos resultados que no tratamento de todo um complexo 
de partículas materiais segundo à mecânica quântica e selecionando o sistema simétrico de termos. 
Jordan e Klein sustentam que os dois métodos são matematicamente equivalentes, mesmo que a 
interação dos elétrons seja permitida, ou seja, se a energia do campo originada da carga espacial 
contínua for incluída no cálculo da teoria das ondas de De Broglie. As considerações de Schrödinger 
sobre o tensor de energia-momento atribuído às ondas de matéria também podem ser adotadas nesta 
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teoria como componentes consistentes do formalismo. Os estudos de Jordan e Wigner mostram que a 
modificação das relações de comutação subjacentes a esta teoria quântica de ondas resulta em um 
formalismo equivalente ao da mecânica quântica com base no pressuposto do princípio de exclusão 
de Pauli. 
Esses estudos estabeleceram que a comparação de um átomo com um sistema planetário 
composto de núcleo e elétrons não é a única imagem visual de como podemos imaginar o átomo. Ao 
contrário, aparentemente não é menos correto comparar o átomo com uma nuvem de carga e usar a 
correspondência com o formalismo da teoria quântica sustentada por esse conceito para derivar 
conclusões qualitativas sobre o comportamento do átomo. No entanto, é do interesse da mecânica 
ondulatória acompanhar essas consequências. Voltando, portanto, ao formalismo da mecânica 
quântica; sua aplicação a problemas físicos é justificada em parte pelos pressupostos básicos originais 
da teoria, em parte por sua expansão na teoria da transformação com base na mecânica ondulatória, 
e a questão agora é expor o significado explícito da teoria comparando-a com a física clássica. Na física 
clássica, o objetivo da pesquisa era investigar os processos objetivos que ocorrem no espaço e no 
tempo e descobrir as leis que regem seu progresso a partir das condições iniciais. Na física clássica, 
um problema era considerado resolvido quando se provava que um determinado fenômeno ocorria 
objetivamente no espaço e no tempo e obedecia às regras gerais da física clássica formuladas por 
equações diferenciais. A forma como o conhecimento de cada processo foi adquirida, quais 
observações podem ter levado à sua determinação experimental, era completamente imaterial, e 
também era irrelevante para as consequências da teoria clássica, cujas observações possíveis eram 
para verificar as previsões da teoria. Na teoria quântica, entretanto, a situação é completamente 
diferente. O próprio fato de que o formalismo da mecânica quântica não pode ser interpretado como 
uma descrição visual de um fenômeno que ocorre no espaço e no tempo mostra que a mecânica 
quântica não está de forma alguma preocupada com a determinação objetiva dos fenômenos no 
espaço-tempo. Pelo contrário, o formalismo da mecânica quântica deve ser utilizado de forma que a 
probabilidade de resultado de um novo experimento possa ser concluída a partir da determinação de 
uma situação experimental em um sistema atômico, desde que o sistema não esteja sujeito a 
perturbações, além das necessárias para a realização de dois experimentos. O fato de que o único 
resultado conhecido definido a ser apurado após a investigação experimental mais completa possível 
do sistema é a probabilidade de um certo resultado de um segundo experimento mostrar, no entanto, 
que cada observação deve acarretar uma mudança descontínua no formalismo que descreve o 
processo atômico e, portanto, também uma mudança descontínua no próprio fenômeno físico. 
Enquanto na teoria clássica o tipo de observação não tem relação com o evento, na teoria quântica a 
perturbação associada a cada observação do fenômeno atômico tem um papel decisivo. Uma vez que, 
o resultado de uma observação como regra leva apenas a afirmações sobre a probabilidade de certos 
resultados de observações subsequentes, a parte fundamentalmente inverificável de cada perturbação 
deve, como mostrado por Bohr, ser decisiva para a operação não contraditória da mecânica quântica. 
Essa diferença entre a física clássica e a atômica é compreensível, é claro, já que para corpos pesados 
como os planetas que se movem em torno do Sol, a pressão da luz solar que se reflete em sua 
superfície e que é necessária para que sejam observados é desprezível; para as menores unidades de 
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construção de matéria, entretanto, devido à sua baixa massa, toda observação tem um efeito decisivo 
em seu comportamento físico. A perturbação do sistema a ser observado, causada pela observação, 
também é um fator importante na determinação dos limites dentro dos quais uma descrição visual dos 
fenômenos atômicos é possível. Se houvesse experimentos que permitissem a medição precisa de 
todas as características de um sistema atômico necessárias para calcular o movimento clássico, e que, 
por exemplo, fornecessem valores precisos para a localização e velocidade de cada elétron no sistema 
em um determinado momento, os resultados desses experimentos não poderiam ser utilizados de 
forma alguma no formalismo, mas, ao contrário, contradiriam diretamente o formalismo. Novamente, 
portanto, é claro que parte fundamentalmente inverificável da perturbação do sistema causada pela 
própria medição, que dificulta a verificação precisa das características clássicas e, portanto, permite 
que a mecânica quântica seja aplicada. Um exame mais detalhado do formalismo mostra que entre a 
precisão com a qual a localização de uma partícula pode ser determinada e a precisão com a qual seu 
momento pode ser simultaneamente conhecido, existe uma relação segundo a qual o produto dos 
prováveis erros na medição da posição e do momento são invariáveis, ou pelo menos tão grande quanto 
a constante de Planck dividida por 4π. De uma forma muito geral, portanto, devemos ter 
 
𝛥𝑝𝛥𝑞 =
ℎ
4𝜋
 
 
onde p e q são variáveis canonicamente conjugadas. Essas relações de incerteza para os 
resultados da mediçãode variáveis clássicas formam as condições necessárias para permitir que o 
resultado de uma medição seja expresso no formalismo da teoria quântica. Bohr mostrou, em uma série 
de exemplos, como a perturbação necessariamente associada a cada observação garante de fato que 
não se pode ir abaixo do limite estabelecido pelas relações de incerteza. Ele afirma que, na análise 
final, uma incerteza introduzida pelo próprio conceito de medição é responsável por parte dessa 
perturbação permanecer fundamentalmente desconhecida. A determinação experimental de quaisquer 
eventos espaço-temporais invariavelmente necessita de um referencial fixo - digamos, o sistema de 
coordenadas no qual o observador está em repouso - ao qual todas as medições são referidas. A 
suposição de que esse quadro é "fixo" implica negligenciar seu momento desde o início, uma vez que 
"fixo" implica nada mais, é claro, do que qualquer transferência de momento para ele, não apresentará 
efeitos perceptíveis. A incerteza fundamentalmente necessária neste ponto é então transmitida através 
do aparelho de medição para o evento atômico. 
Uma vez que, em conexão com esta situação, é tentador considerar a possibilidade de eliminar 
todas as incertezas ao amalgamar o objeto, os aparelhos de medição e o observador em um sistema 
mecânico quântico, é importante enfatizar que o ato de medição é necessariamente visualizável, já que, 
é claro, a física está, em última análise, preocupada apenas com a descrição sistemática dos processos 
espaço-temporais. O comportamento do observador, bem como seu aparelho de medição, devem, 
portanto, ser discutidos de acordo com as leis da física clássica, caso contrário, não haverá nenhum 
problema físico adicional. Dentro do aparato de medição, como enfatizado por Bohr, todos os eventos 
no sentido da teoria clássica serão, portanto, considerados como determinados, sendo essa também 
uma condição necessária antes que se possa, a partir do resultado das medições, concluir 
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inequivocamente o que aconteceu. Na teoria quântica, também, o esquema da física clássica que 
objetiva os resultados da observação assumindo processos no espaço e no tempo obedecendo a leis 
é levado até o ponto em que os limites fundamentais são impostos pelo caráter invisível dos eventos 
atômicos simbolizados pela constante de Planck. Uma descrição visual dos eventos atômicos só é 
possível dentro de certos limites de precisão - mas dentro desses limites, as leis da física clássica 
também se aplicam. Além disso, devido a esses limites de precisão definidos pelas relações de 
incerteza, uma imagem visual do átomo, livre de ambiguidade, não foi determinada. Pelo contrário, os 
conceitos corpuscular e ondulatório são igualmente úteis como base para a interpretação visual. As leis 
da mecânica quântica são basicamente estatísticas. Embora os parâmetros de um sistema atômico 
sejam determinados em sua totalidade por um experimento, o resultado de uma observação futura do 
sistema geralmente não é previsível com precisão. Porém, em qualquer ponto posterior do tempo, 
haverá observações que produzirão resultados previsíveis com precisão. Para as outras observações, 
apenas a probabilidade de um determinado resultado do experimento pode ser fornecida. O grau de 
certeza que ainda se vincula às leis da mecânica quântica é, por exemplo, responsável pelo fato de 
que os princípios de conservação de energia e momento ainda se mantêm tão estritamente como 
sempre. Eles podem ser verificados com qualquer precisão desejada e, então, serão válidos de acordo 
com a precisão com que são verificados. O caráter estatístico das leis da mecânica quântica, entretanto, 
torna-se aparente em que um estudo preciso das condições energéticas torna impossível buscar ao 
mesmo tempo, um evento particular no espaço e no tempo. Pela análise mais clara dos princípios 
conceituais da mecânica quântica, devemos a Bohr que, em particular, aplicou o conceito de 
complementaridade para interpretar a validade das leis da mecânica quântica. As relações de incerteza 
por si só fornecem um exemplo de como na mecânica quântica o conhecimento exato de uma variável 
pode excluir o conhecimento exato de outra. Esta relação complementar entre diferentes aspectos de 
um mesmo processo físico é de fato característico de toda a estrutura da mecânica quântica. Eu tinha 
acabado de mencionar que, por exemplo, a determinação das relações energéticas exclui a descrição 
detalhada dos processos espaço-temporais. Da mesma forma, o estudo das propriedades químicas de 
uma molécula é complementar ao estudo dos movimentos dos elétrons individuais na molécula ou à 
observação de fenômenos de interferência complementares à observação dos quanta individuais de 
luz. Finalmente, as áreas de validade da mecânica clássica e quântica podem ser diferenciadas umas 
das outras da seguinte forma: A física clássica representa aquele esforço para aprender sobre a 
Natureza em que essencialmente buscamos tirar conclusões sobre processos objetivos a partir de 
observações e, assim, ignorar a consideração de as influências que toda observação tem sobre o objeto 
a ser observado; a física clássica, portanto, tem seus limites no ponto a partir do qual a influência da 
observação sobre o evento não pode mais ser ignorada. Por outro lado, a mecânica quântica torna 
possível o tratamento dos processos atômicos, parcialmente abandonando sua descrição e 
objetificação do espaço-tempo. Para não me alongar em afirmações em termos excessivamente 
abstratos sobre a interpretação da mecânica quântica, gostaria de explicar brevemente com um 
exemplo bem conhecido até que ponto é possível, por meio da teoria atômica, alcançar uma 
compreensão dos processos visuais com os quais nós estamos preocupados na vida diária. O interesse 
dos pesquisadores tem sido frequentemente focado no fenômeno de cristais de forma regular 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
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formando-se repentinamente a partir de um líquido, i.e., uma solução de sal supersaturada. De acordo 
com a teoria atômica, a força formadora neste processo é, em certa medida, a simetria característica 
da solução para a equação de onda de Schrödinger e, nessa medida, a cristalização é explicada pela 
teoria atômica. No entanto, este processo retém um elemento estatístico e - quase se poderia dizer - 
histórico que não pode ser mais reduzido: mesmo quando o estado do líquido é completamente 
conhecido antes da cristalização, a forma do cristal não é determinada pelas leis da mecânica quântica. 
A formação de formas regulares é muito mais provável do que a de uma protuberância disforme. Mas 
a forma definitiva deve sua gênese em parte a um elemento do acaso que, em princípio, não pode ser 
analisado posteriormente. 
Antes de encerrar este relatório sobre mecânica quântica, talvez eu possa discutir muito 
brevemente as esperanças que podem ser atribuídas ao desenvolvimento posterior desse ramo de 
pesquisa. Seria supérfluo mencionar que o desenvolvimento deve ser continuado, com base igualmente 
nos estudos de de Broglie, Schrödinger, Born, Jordan e Dirac. Aqui, a atenção dos pesquisadores é 
direcionada principalmente para o problema de reconciliar as afirmações da teoria da relatividade 
especial com as da teoria quântica. Os avanços extraordinários feitos neste campo por Dirac sobre os 
quais o Sr. Dirac falará aqui, entretanto, deixam em aberto a questão de se será possível satisfazer as 
reivindicações das duas teorias sem ao mesmo tempo determinar a constante de estrutura fina de 
Sommerfeld. As tentativas feitas até agora para alcançar uma formulação relativística da teoria quântica 
são todas baseadas em conceitos visuais tão próximos aos da física clássica que parece impossível 
determinar a constante de estrutura fina dentro deste sistemade conceitos. A expansão do sistema 
conceitual em discussão aqui deve, além disso, estar intimamente associada ao desenvolvimento 
posterior da teoria quântica dos campos de onda, e parece-me que esse formalismo, apesar de seu 
estudo aprofundado por uma série de pesquisadores (Dirac, Pauli, Jordan, Klein, Wigner, Fermi) ainda 
não foi completamente esgotado. Indicadores importantes para o futuro desenvolvimento da mecânica 
quântica também emergem dos experimentos envolvendo a estrutura dos núcleos atômicos. De sua 
análise por meio da teoria de Gamow, parece que entre as partículas elementares do núcleo atômico 
estão em ação forças que diferem um pouco do tipo das forças que determinam a estrutura da camada 
atômica; Os experimentos de Stem parecem, além disso, indicar que o comportamento das partículas 
elementares pesadas não pode ser representado pelo formalismo da teoria do elétron de Dirac. 
Pesquisas futuras terão, portanto, de ser preparadas para surpresas que, de outra forma, podem vir 
tanto do campo da experiência da física nuclear quanto do campo da radiação cósmica. Mas, 
independentemente de como o desenvolvimento prossiga em detalhes, o caminho até agora traçado 
pela teoria quântica indica que uma compreensão daquelas características ainda não esclarecidas da 
física atômica só pode ser adquirida pela visualização e objetificação anteriores em uma extensão maior 
do que o costume até agora. Provavelmente não temos razão para lamentar isso, porque o pensamento 
das grandes dificuldades epistemológicas com as quais o conceito de átomo visual da física anterior 
teve de enfrentar nos dá a esperança de que a abstrata física atômica em desenvolvimento no presente 
um dia se encaixará mais harmoniosamente no grande edifício da ciência. 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
93 
 
Capítulo 7. O mundo virou probabilístico: a interpretação estatística de 
Max Born 
 
7.1. Introdução 
 
Max Born (1882 – 1970) foi um físico alemão responsável pela interpretação probabilística da 
função de onda (que é solução da equação de Schrödinger), como ainda a conhecemos hoje. Embora 
chamemos de interpretação probabilística, o termo correto, dentro da filosofia da Física (JAMMER, 
1974b), seria chamar a proposta de Born de regra de correspondência. Isto é, a partir do enunciado de 
Born podemos fazer uma correspondência entre um elemento teórico (o módulo quadrado da função 
de onda) e um resultado experimental (a probabilidade de encontrar uma partícula em uma certa 
região). 
Como discutimos nos capítulos anteriores, Schrödinger e Heisenberg vinham disputando a 
intepretação da teoria, uma vez que os diferentes formalismos matemáticos já haviam sido 
compatibilizados. É interessante notar que não foi a visão de nenhum dos dois que acabou se 
perpetuando, mas uma concepção completamente nova, para a qual Max Born forneceu importante 
contribuição. 
 
7.2. A ideia central de Max Born15 
 
Em seu discurso, o físico alemão descreve a origem e as principais ideias associadas à 
interpretação probabilística da física quântica. Born inicia seu discurso explicando como a física 
quântica e sua interpretação estatística surgiram por meio de uma breve revisão histórica, passando 
pelo quantum de ação proposto por Max Planck em 1900 e pela natureza dual da luz após a proposta 
de Einstein sobre o quantum de luz. Na sequência, são explicados os estados estacionários de Niels 
Bohr para o átomo de hidrogênio e princípio da correspondência – tópicos que discutimos nos capítulos 
anteriores e que foram fundamentais para o desenvolvimento da Teoria. 
Max Born comenta, também, a derivação feita por Einstein da lei de Planck em 1917(EINSTEIN, 
1917), que resulta no conceito de probabilidade de transição, introduzindo, pela primeira vez, uma 
relação entre física quântica e estatística. Não está claro, entretanto, no texto de Einstein se essa 
probabilidade é algo intrínseco ao sistema ou advém de nossa incapacidade de conhecer 
completamente o sistema. 
Ainda sobre o contexto histórico, Born descreve os desenvolvimentos da teoria quântica 
ocorridos durante os anos de 1925 e 1927, quando a comunidade científica presenciou um período de 
intensa disputa entre dois diferentes programas de pesquisa pela formalização matemática e conceitual 
da nova teoria: a mecânica matricial e a mecânica ondulatória (a qual discutimos nos dois últimos 
capítulos). Apesar de serem matematicamente compatíveis, conforme sugerido pelo próprio 
 
15 Está seção é baseada em (ROSA; LIMA; CAVALCANTI, 2021) 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
94 
 
Schrodinger, as duas teorias representavam visões de mundo irreconciliáveis, reforçando o impasse 
da dualidade onda-partícula (JAMMER, 1966, 1974a). Segundo Born (1954), o formalismo de 
Schrodinger parecia adequado para o estudo de partículas livres, porém, os resultados experimentais, 
por exemplo aqueles obtidos através da câmara de nuvem de Wilson ou ainda através do contador 
Geiger, não poderiam admitir uma interpretação que consistia no abandono da representação 
corpuscular em prol de uma descrição puramente ondulatória para a natureza do elétron. 
Nesse período, ademais, a natureza estatística das transições atômicas passou a chamar a 
atenção dos físicos para a necessidade de um rompimento com características importantes da física 
clássica. Segundo Heisenberg (2000), o artigo de Einstein (1917) sobre as transições de probabilidade 
motivou a tese defendida por Bohr, Kramer e Slater (1924) segundo a qual o princípio de conservação 
da energia não seria obedecido nos processos atômicos, mas deveria ser considerado apenas como 
uma lei estatística. Born destaca que, em 1925, Einstein ofereceu a primeira interpretação estatística 
às ondas de de Broglie quando, ao tentar tornar a dualidade onda-partícula mais compreensível, 
interpretou o quadrado das amplitudes das ondas ópticas como densidade de probabilidade para a 
ocorrência de fóton. Podemos observar que essa é uma interpretação muito usada até hoje nos livros 
didáticos para motivar a interpretação probabilística de Born. 
Em busca de uma interpretação consistente com suas convicções, Max Born, inspirado por 
Einstein, propôs que o módulo ao quadrado da função de onda |Ψ2| deveria representar a densidade 
de probabilidade para elétrons (ou outras partículas). Hoje, representamos essa afirmação da seguinte 
forma (GRIFFTHS, 2005): 
𝑃(𝑎 − 𝑏) = ∫ |Ψ(x, t)|2𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ Ψ(x, t). Ψ∗(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
Ou seja, a probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região entre 𝑎 e 𝑏 é igual à 
integral do módulo quadrado da função de onda ao longo dessa região. Uma vez que a função de onda 
é complexa, o seu módulo quadrado é calculado multiplicando a função de onda por seu complexo 
conjugado. 
 Para motivar essa afirmação, Born não somente usou a analogia com a afirmação de Einstein, 
mas partiu de estudo de colisões entre partículas, usando o formalismo de Schrödinger para 
representar partículas como grupos de ondas, e mostrou que a probabilidade de encontrar a partícula 
em uma certa região após a colisão era proporcional a |Ψ2| (BORN, 1926). 
Buscando explicar sua ideia de forma mais concreta, no discurso do Nobel, Born sugere a 
seguinte analogia: um feixe de elétrons, vindo do infinito, que colide com um átomo pesado, se 
comportaria como as ondas na água feitas por um navio: ao colidir com um pilar, a onda incidente se 
transforma em ondas circulares secundárias, cuja amplitude de oscilação será diferente em diferentes 
direções e cujo o quadrado da amplitude da onda principal, a uma grande distância do centro de 
espalhamento, determinará a probabilidade relativa de espalhamento em função da direção. 
Em outras palavras, a probabilidade de detectar uma única partícula em determinada região do 
espaço será proporcionalao quadrado da amplitude Ψ da onda associada à região. Neste contexto a 
função de onda deixa de descrever o comportamento preciso de uma partícula e passa a representar 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
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probabilidades, tal como a probabilidade de ocorrência de determinado valor, ou conjunto de valores, 
seja para a energia, a posição ou o momentum de uma partícula. Tal interpretação probabilística para 
a função de onda implicou importantes reflexões do ponto de vista filosófico na física, e Born, no 
discurso do Nobel, admite que diversos físicos importantes, que contribuíram com o desenvolvimento 
da teoria quântica, nunca aceitaram o rumo que ela tomou e clamavam por uma volta à física clássica 
por dois principais motivos: o determinismo e a noção de realidade. Comentamos nos capítulos 
anteriores que Schrödinger e de Broglie, por exemplo, nunca aceitaram essa interpretação 
probabilística. A proposta de Louis de Broglie na década de 1960 era justamente superar essa 
interpretação da função de onda (LIMA; CHAIB, 2021). 
7.3. Considerações Filosóficas 
Com a interpretação de Max Born para a função de onda, temos uma virada significativa em 
relação ao entendimento da função de onda. Tanto de Broglie quanto Schrödinger entendiam a onda 
como um sistema real. A partir de Born a onda é somente um instrumento matemático capaz de prever 
resultados experimentais. Isso é uma perspectiva filosófica denominada instrumentalismo. 
 Além disso, o reconhecimento da probabilidade como algo intrínseco aos fenômenos implica 
que a natureza é essencial probabilística. Não temos como prever o que vai acontecer, mas somente 
probabilidades de possíveis resultados. Isso abala o determinismo como ele fora concebido na física 
clássica. 
 Por fim, a interpretação probabilística, juntamente com o Princípio da Incerteza, nos leva a 
entender que não é possível atribuir momento e posição de forma definida a uma partícula ao mesmo 
tempo. Se entendermos que um corpo real é algo que possui todas suas propriedades 
independentemente da medida que é feita, então podemos dizer que a teoria quântica nega o conceito 
de realidade. Essa foi justamente a objeção feita por Einstein, Podolski e Rosen em seu artigo que ficou 
conhecido como o parado EPR (EINSTEIN; PODOLSKY; ROSEN, 1935). Uma discussão didática 
sobre esse artigo pode ser encontrada em (WAGNER et al., 2021). 
 
7.4. Questões para reflexão 
1 – Quais estudos motivaram a proposta de Max Born? 
2- Quais os principais conceitos apresentados por Born? Elabore um mapa conceitual e explique o 
mapa. 
3- Quais evidências empíricas Born apresenta para corroborar sua ideia. 
4- Qual a relação da proposta de Born com os estudos de Schrödinger e Heisenberg? 
5- O que podemos aprender sobre como a ciência funciona com o discurso de Born? 
 
 
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96 
 
 
7.5. O Discurso de Max Born: A intepretação Estatística da Mecânica Quântica16 
 
 
MAX BORN 
A INTERPRETAÇÃO ESTATÍSTICA DA MECÂNICA QUÂNTICA 
NOBEL LECTURE, 11 DE DEZEMBRO DE 1954 
 
 
A obra, pela qual tive a honra de receber o Prêmio Nobel de 1954 não contém a descoberta de 
um novo fenômeno natural, mas sim a base para um novo modo de pensar em relação aos fenômenos 
naturais. Essa forma de pensar permeou tanto a física experimental quanto a física teórica a tal ponto 
que dificilmente parece possível dizer algo mais sobre ela que já não tenha sido dito com tanta 
frequência. No entanto, há alguns aspectos particulares que gostaria de discutir nesta que é, para mim, 
uma ocasião tão festiva. O primeiro ponto é este: o trabalho na escola de Göttingen, que dirigi naquela 
época (1926-1927), contribuiu para a solução de uma crise intelectual em que caíra nossa ciência a 
partir da descoberta de Planck do quantum da ação em 1900. Hoje, a física se encontra em uma crise 
semelhante - não me refiro aqui seu emaranhado na política e na economia como resultado do domínio 
de uma nova e terrível força da natureza, mas estou considerando mais os problemas lógicos e 
epistemológicos colocados pela física nuclear. Talvez seja bom, neste momento, recordar o que 
aconteceu antes em uma situação semelhante, especialmente porque esses eventos não deixam de 
ter um sabor dramático definido. 
O segundo ponto que desejo ressaltar é que, quando digo que os físicos aceitaram os conceitos 
e o modo de pensamento desenvolvidos por nós na época, não estou totalmente correto. Existem 
algumas exceções muito notáveis, particularmente entre os próprios trabalhadores que mais 
contribuíram para a construção da teoria quântica. O próprio Planck pertenceu aos céticos até morrer. 
Einstein, De Broglie e Schrödinger enfatizaram incessantemente as características insatisfatórias da 
mecânica quântica e pediram um retorno aos conceitos da física newtoniana clássica, enquanto 
propunham maneiras pelas quais isso poderia ser feito sem contradizer os fatos experimentais. Essas 
visões de peso não podem ser ignoradas. Niels Bohr teve muito trabalho para refutar as objeções. Eu 
também tenho ruminado sobre eles e acredito que posso dar alguma contribuição para o 
esclarecimento da posição. O assunto diz respeito à fronteira entre a física e a filosofia e, portanto, 
minha palestra sobre física fará parte tanto da história quanto da filosofia, para a qual devo ansiar por 
sua indulgência. 
Em primeiro lugar, explicarei como surgiu a mecânica quântica e sua interpretação estatística. 
No início dos anos 20, todo físico, creio eu, estava convencido de que a hipótese quântica de Planck 
estava correta. De acordo com essa teoria, a energia aparece em quantum finito de magnitude ℎ𝜈 em 
 
16 O discurso original pode ser encontrado em https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/born-
lecture.pdf 
https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/born-lecture.pdf
https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/born-lecture.pdf
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processos oscilatórios com uma frequência específica 𝜈 (por exemplo, em ondas de luz). Inúmeros 
experimentos poderiam ser explicados dessa maneira e sempre forneceram o mesmo valor da 
constante ℎ de Planck. Mais uma vez, a afirmação de Einstein de que os quanta de luz têm momento 
ℎ𝜈/𝑐 (onde 𝑐 é a velocidade da luz) foi bem apoiada por experimentos (por exemplo, através do efeito 
Compton). Isso implicava um renascimento da teoria corpuscular da luz para certos fenômenos 
complexos. A teoria ondulatória permanece válida para outros processos. Os físicos se acostumaram 
com essa dualidade e aprenderam como lidar com ela até certo ponto. 
Em 1913, Niels Bohr havia resolvido o enigma dos espectros lineares por meio da teoria 
quântica e, assim, explicado amplamente a incrível estabilidade dos átomos, a estrutura de sua concha 
eletrônica e o Sistema Periódico dos elementos. Para o que viria depois, a suposição mais importante 
de seu ensino era esta: um sistema atômico não pode existir em todos os estados mecanicamente 
possíveis, formando um continuum, mas em uma série de estados > discretos. Em 
uma transição de um estado para o outro, a diferença de energia 𝐸𝑚 − 𝐸𝑛 é emitida ou absorvida como 
um quantum de luz ℎ𝜈𝑚𝑛 (de acordo com se 𝐸𝑚 é maior ou menor que 𝐸𝑛). Esta é uma interpretação 
em termos de energia da lei fundamental da espectroscopia descoberta alguns anos antes por W.Ritz. 
A situação pode ser apreendida de relance escrevendo os níveis de energia dos estados estacionários 
duas vezes, horizontal e verticalmente. Isso produz uma matriz quadrada 
 
Figura 7.1. Matriz apresentada por Born em seu texto original. 
na qual as posições na diagonal correspondem aos estados e as posições não diagonais 
correspondem às transições. 
 
Estava completamente claro para Bohr que a lei assimformulada estava em conflito com a 
mecânica e que, portanto, o uso do conceito de energia nesta conexão era problemático. Ele baseou 
essa ousada fusão do antigo e do novo em seu Princípio de Correspondência. Isso consiste na 
exigência óbvia de que a mecânica clássica ordinária deve manter um certo grau de aproximação no 
caso limite em que os números dos estados estacionários, os chamados números quânticos, são muito 
grandes (isto é, muito à direita e para a parte inferior da matriz acima) e a energia muda relativamente 
pouco de um lugar para outro, na verdade, sendo praticamente contínua. 
A física teórica manteve-se nesse conceito pelos dez anos seguintes. O problema era este: 
uma oscilação harmônica não tem apenas uma frequência, mas também uma intensidade. Para cada 
transição na matriz, deve haver uma intensidade correspondente. A questão é como descobri-la por 
meio de considerações de correspondência? Significava adivinhar o desconhecido a partir das 
informações disponíveis sobre um caso limite conhecido. Um sucesso considerável foi alcançado pelo 
próprio Bohr, por Kramers, Sommerfeld, Epstein e muitos outros. Mas o passo decisivo foi novamente 
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dado por Einstein que, por uma nova derivação da fórmula de radiação de Planck, deixou claro que os 
conceitos clássicos de intensidade de radiação devem ser substituídos pelo conceito estatístico de 
probabilidade de transição. A cada lugar em nosso padrão ou matriz pertence (junto com a frequência 
𝜈𝑚𝑛 = (𝐸𝑛 − 𝐸𝑚)/ℎ) uma probabilidade definida para a transição juntamente com a emissão de 
absorção. 
Em Göttingen, também participamos dos esforços para destilar a mecânica desconhecida do 
átomo a partir dos resultados experimentais. A dificuldade lógica tornou-se cada vez mais aguda. 
Investigações sobre o espalhamento e dispersão da luz mostraram que a concepção de Einstein da 
probabilidade de transição como uma medida da força de uma oscilação não atendia ao caso, e a ideia 
de uma amplitude de oscilação associada a cada transição era indispensável. A este respeito, devem 
ser mencionados os trabalhos de Ladenburg, Kramer, Heinseberg, Ladenburg1, Kramer2, Heinseberg3, 
e Jordan e eu4. A arte de adivinhar fórmulas corretas, que se desviam das fórmulas clássicas, mas as 
contêm como um caso limite de acordo com o princípio da correspondência, foi levada a um alto grau 
de perfeição. Um artigo meu, que introduziu pela primeira vez, creio eu, a expressão mecânica quântica 
em seu título, contém uma fórmula bastante complicada (ainda válida hoje) para a perturbação 
recíproca dos sistemas atômicos. 
 
Heisenberg, que na época era meu assistente, encerrou repentinamente esse período5. Ele 
cortou o nó górdio por meio de um princípio filosófico e substituiu a suposição por uma regra 
matemática. O princípio afirma que os conceitos e representações que não correspondem a fatos 
fisicamente observáveis não devem ser usados na descrição teórica. Einstein usou o mesmo princípio 
quando, ao estabelecer sua teoria da relatividade, eliminou os conceitos de velocidade absoluta de um 
corpo e de simultaneidade absoluta de dois eventos em lugares diferentes. Heisenberg baniu a imagem 
de órbitas de elétrons com raios e períodos de rotação definidos porque essas quantidades não são 
observáveis, e insistiu que a teoria fosse construída por meio dos arranjos quadrados mencionados 
acima. Em vez de descrever o movimento fornecendo uma coordenada em função do tempo, 𝑥(𝑡), uma 
matriz de amplitudes de transição 𝑥𝑚𝑛 deve ser determinada. Para mim, a parte decisiva de seu trabalho 
é a exigência de determinar uma regra pela qual a partir de uma determinada matriz 
 
Figura 7.2. Matriz apresentada por Born em seu texto original. 
 
a matriz para o quadrado 
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Figura 7.3. Matriz apresentada por Born em seu texto original. 
 
pode ser encontrada (ou, mais geral, a regra de multiplicação para tais matrizes). 
Pela observação de exemplos conhecidos resolvidos por suposições, ele encontrou esta regra 
e aplicou-a com sucesso a exemplos simples, como o oscilador harmônico e anarmônico. 
Isso foi no verão de 1925. Heisenberg, atormentado pela febre do feno, despediu-se para um 
tratamento à beira-mar e deu-me seu artigo para publicação se eu achasse que poderia fazer algo com 
ele. 
O significado da ideia ficou claro para mim e enviei o manuscrito para o Zeitschrift fur Physik. 
Eu não conseguia tirar minha mente da regra de multiplicação de Heisenberg, e depois de uma semana 
de reflexão e tentativas intensivas, de repente me lembrei de uma teoria algébrica que aprendi com 
meu professor, o professor Rosanes, em Breslau. Essas matrizes quadradas são bem conhecidas pela 
matemática e, em conjunto com uma regra específica para multiplicação, são chamadas de matrizes. 
Eu apliquei essa regra à condição quântica de Heisenberg e descobri que ela concordava nos termos 
diagonais. Era fácil adivinhar quais deveriam ser as quantidades remanescentes, a saber, zero; e 
imediatamente surgiu diante de mim a fórmula peculiar. 
𝑝𝑞 − 𝑞𝑝 = ℎ/2𝜋𝑖. 
Isso significa que as coordenadas 𝑞 e os momentos 𝑝 não podem ser representados por valores 
de figura, mas por símbolos, o produto dos quais depende da ordem de multiplicação - eles são 
chamados de . 
Fiquei tão empolgado com esse resultado quanto ficaria um marinheiro que, depois de uma 
longa viagem, vê de longe a tão desejada terra, e lamentei que Heisenberg não estivesse lá. Fiquei 
convencido desde o início de que havíamos tropeçado no caminho certo. Mesmo assim, grande parte 
foi apenas conjectura, em particular, o desaparecimento dos elementos não diagonais da expressão 
acima mencionada. Para me ajudar neste problema, obtive a ajuda e colaboração do meu aluno 
Pascual Jordan, e em poucos dias pudemos demonstrar que eu tinha adivinhado corretamente. O artigo 
conjunto meu e de Jordan6 contém os princípios mais importantes da mecânica quântica, incluindo sua 
extensão à eletrodinâmica. Seguiu-se um período agitado de colaboração entre nós três, complicado 
pela ausência de Heisenberg. Houve uma troca animada de cartas; minha contribuição para isso, 
infelizmente, se perdeu nos distúrbios policiais. O resultado foi um artigo de três autores7 que trouxe o 
lado formal da investigação a uma conclusão definitiva. Antes deste artigo aparecer, veio a primeira 
surpresa dramática: o artigo de Paul Dirac sobre o mesmo assunto8. A inspiração proporcionada por 
uma palestra de Heisenberg em Cambridge o levou a resultados semelhantes aos que havíamos obtido 
em Göttingen, exceto que ele não recorreu à conhecida teoria da matriz dos matemáticos, mas 
descobriu a ferramenta por si mesmo e elaborou a teoria de tais símbolos não comutáveis. 
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A primeira aplicação não trivial e fisicamente importante da mecânica quântica foi feita logo 
depois por W. Pauli9 que calculou os valores de energia estacionária do átomo de hidrogênio por meio 
do método matricial e encontrou concordância completa com as fórmulas de Bohr. Desse momento em 
diante, não poderia haver mais nenhuma dúvida sobre a correção da teoria. 
O que esse formalismo realmente significava não estava, entretanto, de forma alguma claro. A 
matemática, como sempre acontece, era mais inteligente do que o pensamento interpretativo. Enquanto 
ainda discutíamos esse ponto, veio a segunda surpresa dramática, o aparecimento dos famosos artigos 
de Schrödinger10. Ele adotou uma linha de pensamento bem diferente, originada por Louis de Broglie11. 
Alguns anos antes, este último fizera a ousada afirmação, apoiada em brilhantes considerações 
teóricas, de que a dualidade onda-corpúsculo, familiar aosfísicos no caso da luz, também deveria ser 
válida para os elétrons. A cada elétron que se move livre de forças pertence uma onda plana de 
comprimento de onda definido, que é determinada pela constante de Planck e pela sua massa. Esta 
empolgante dissertação de de Broglie era bem conhecida por nós em Göttingen. Um dia, em 1925, 
recebi uma carta de C. J. Davisson apresentando alguns resultados peculiares sobre a reflexão de 
elétrons em superfícies metálicas, eu e meu colega do lado experimental, James Franck, 
imediatamente suspeitamos que esses valores de Davisson eram espectros de rede cristalina das 
ondas de elétrons de de Broglie, e fizemos um de nossos alunos, Elsasser12, investigar o assunto. Seu 
resultado forneceu a primeira confirmação preliminar da ideia de de Broglie, e isso foi posteriormente 
provado independentemente por Davisson e Germer13 e G. P. Thomson14 por experimentos 
sistemáticos. 
 
Mas esse conhecimento do modo de pensar de De Broglie não nos levou a uma tentativa de 
aplicá-lo à estrutura eletrônica dos átomos. Isso foi deixado para Schrödinger. Ele estendeu a equação 
de onda de de Broglie que se referia ao movimento livre de força, para o caso em que o efeito da força 
é levado em conta, e deu uma formulação exata das condições subsidiárias, já sugeridas por de Broglie, 
para as quais a função de onda 𝜓 deve ser submetida, a saber, que deve ser de valor único e finito no 
espaço e no tempo. E ele teve sucesso em derivar os estados estacionários do átomo de hidrogênio 
na forma daquelas soluções monocromáticas de sua equação de onda que não se estendem ao infinito. 
 
Por um breve período no início de 1926, parecia que havia, de repente, dois sistemas de 
explicação independentes, mas bastante distintos: a mecânica matricial e a mecânica ondulatória. Mas 
o próprio Schrödinger logo demonstrou sua equivalência completa. 
A mecânica ondulatória gozava de muito mais popularidade do que as versões de Gottingen 
ou Cambridge da mecânica quântica. Ele operava com uma função de onda 𝜓, que no caso de pelo 
menos uma partícula, pode ser retratada no espaço, e usa os métodos matemáticos de equações 
diferenciais parciais que estão em uso atualmente pelos físicos. Schrödinger15 pensava que sua teoria 
ondulatória possibilitava o retorno à física clássica determinística. Ele propôs (e recentemente enfatizou 
sua proposta de novo), dispensar inteiramente a representação das partículas, e ao invés de falar de 
elétrons como partículas, considerá-los como uma distribuição contínua de densidade |𝜓|2 (ou 
densidade elétrica 𝑒|𝜓|2). 
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Para nós, em Göttingen, essa interpretação parecia inaceitável em face de fatos experimentais 
bem estabelecidos. Naquela época já era possível contar as partículas por meio de cintilações ou com 
um contador Geiger, e fotografar seus rastros com o auxílio de uma câmara de nuvem de Wilson. 
Pareceu-me que não era possível obter uma interpretação clara da função 𝜓, considerando os 
elétrons ligados. Eu havia, portanto, já no final de 1925, feito uma tentativa de estender o método 
matricial, que obviamente cobria apenas os processos oscilatórios, de forma a ser aplicável aos 
processos aperiódicos. Eu era na época um convidado do Massachusetts Institute of Technology dos 
EUA, e encontrei lá, em Norbert Wiener, um excelente colaborador. Em nosso trabalho conjunto16 
substituímos a matriz pelo conceito geral de um operador e, assim, tornamos possível descrever os 
processos aperiódicos. No entanto, perdemos a abordagem correta. Isso foi deixado para Schrödinger, 
e eu imediatamente retomei seu método, uma vez que ele prometia conduzir a uma interpretação da 
função PSI𝜓. Mais uma vez, uma ideia de Einstein me conduziu. Ele tentou tornar a dualidade de 
partículas - quanta de luz ou fótons - e onda compreensível, interpretando o quadrado das amplitudes 
das ondas ópticas como densidade de probabilidade para a ocorrência de fótons. Este conceito pode 
ser transportado imediatamente para a função 𝜓: |𝜓|2 deve representar a densidade de probabilidade 
para elétrons (ou outras partículas). Era fácil afirmar isso, mas como poderia ser provado? 
Os processos de colisão atômica sugeriram-se neste ponto. Um enxame de elétrons vindo do 
infinito, representado por uma onda incidente de intensidade conhecida (ou seja, |𝜓|2), colide com um 
obstáculo, digamos um átomo pesado. Da mesma forma que uma onda de água produzida por um 
navio a vapor causa ondas circulares secundárias ao atingir um pilar, a onda de elétrons incidente é 
parcialmente transformada em uma onda esférica secundária cuja amplitude de oscilação 𝜓 difere em 
diferentes direções. O quadrado da amplitude desta onda a uma grande distância do centro de 
espalhamento determina a probabilidade relativa de espalhamento em função da direção. Além disso, 
se o próprio átomo espalhador é capaz de existir em diferentes estados estacionários, então a equação 
de onda de Schrödinger dá automaticamente a probabilidade de excitação desses estados, o elétron 
sendo espalhado com perda de energia, ou seja, inelasticamente, como é chamado. Dessa forma, foi 
possível obter uma base teórica17 para os pressupostos da teoria de Bohr, que haviam sido confirmados 
experimentalmente por Franck e Hertz. Logo Wentzel18 conseguiu derivar a famosa fórmula de 
Rutherford para o espalhamento de partículas alfa de minha teoria. 
No entanto, um artigo de Heisenberg19, contendo sua celebrada relação de incerteza, contribuiu 
mais do que os sucessos mencionados acima para a rápida aceitação da interpretação estatística da 
função 𝜓. Foi por meio desse artigo que ficou claro o caráter revolucionário da nova concepção. 
Mostrando que não apenas o determinismo da física clássica deve ser abandonado, mas também o 
conceito ingênuo de realidade que considerava as partículas da física atômica como se fossem 
pequenos grãos de areia. A cada instante que um grão de areia tem uma posição definida é 
determinado com precisão crescente, a possibilidade de determinar a velocidade torna-se menor e vice-
versa. Retornarei em breve a esses problemas em uma conexão mais geral, mas primeiro gostaria de 
dizer algumas palavras sobre a teoria das colisões. 
Os métodos matemáticos de aproximação que usei eram bastante primitivos e logo 
melhoraram. Da literatura, que cresceu a um ponto em que não consigo lidar, gostaria de mencionar 
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apenas alguns dos primeiros autores a quem a teoria deve um grande progresso: Faxen na Suécia, 
Holtsmark na Noruega20, Bethe na Alemanha21, Mott e Massey na Inglaterra22. 
Hoje, a teoria das colisões é uma ciência especial com seus próprios livros grandes e sólidos 
que cresceram completamente sobre a minha cabeça. Claro, em último recurso, todos os ramos 
modernos da física, eletrodinâmica quântica, a teoria dos mésons, núcleos, raios cósmicos, partículas 
elementares e suas transformações, todos estão dentro do alcance dessas ideias e nenhum limite 
poderia ser definido para uma discussão sobre eles . 
Gostaria também de mencionar que em 1926 e 1927 tentei outra maneira de apoiar o conceito 
estatístico da mecânica quântica, em parte em colaboração com o físico russo Fock23. No artigo de três 
autores mencionado acima, há um capítulo que antecipa a função de Schrödinger, exceto que não é 
pensada como uma função 𝜓(𝑥) no espaço, mas como uma função 𝜓𝑛 do índice discreto 𝑛 = 1, 2, … 
que enumera os estados estacionários. Se o sistema em consideração está sujeito a uma força variável 
com o tempo, psin torna-se também dependente do tempo, e |𝜓𝑛(𝑡)|2 significa a probabilidade de 
existência do estado 𝑛 no tempo 𝑡. Partindo de uma distribuição inicial onde há apenas um estado, as 
probabilidades de transição são obtidas e suas propriedadespodem ser examinadas. O que me 
interessou em particular na época, foi o que ocorre no caso-limite adiabático, ou seja, para a ação que 
muda muito lentamente. Foi possível mostrar que, como era de se esperar, a probabilidade de 
transições torna-se cada vez menor. A teoria das probabilidades de transição foi desenvolvida de forma 
independente por Dirac com grande sucesso. Pode-se dizer que toda a física atômica e nuclear trabalha 
com esse sistema de conceitos, principalmente na forma muito elegante que lhes foi dada por Dirac24. 
Quase todos os experimentos levam a afirmações sobre frequências relativas de eventos, mesmo 
quando ocorrem ocultos sob nomes como seção transversal efetiva ou semelhantes. 
Como que então grandes cientistas como Einstein, Schrödinger e de Broglie estão insatisfeitos 
com a situação? É claro que todas essas objeções não são levantadas contra a correção das fórmulas, 
mas contra sua interpretação. Dois pontos de vista intimamente entrelaçados devem ser distinguidos: 
a questão do determinismo e a questão da realidade. 
A mecânica newtoniana é determinística no seguinte sentido: 
Se o estado inicial (posições e velocidades de todas as partículas) de um sistema for dado com 
precisão, o estado em qualquer outro momento (anterior ou posterior) pode ser calculado a partir das 
leis da mecânica. Todos os outros ramos da física clássica foram construídos de acordo com este 
modelo. O determinismo mecânico gradualmente se tornou uma espécie de artigo de fé: o mundo como 
uma máquina, um autômato. Pelo que posso ver, essa ideia não teve precursores na filosofia antiga e 
medieval. A ideia é produto do imenso sucesso da mecânica newtoniana, principalmente na astronomia. 
No século 19, tornou-se um princípio filosófico básico para toda a ciência exata. Eu me pergunto se 
isso era realmente justificado. As previsões absolutas podem realmente ser feitas para todo o tempo 
com base nas equações clássicas de movimento? Pode ser facilmente visto, por exemplos simples, 
que este é apenas o caso quando a possibilidade de medição absolutamente exata (de posição, 
velocidade ou outras grandezas) é assumida. Vamos pensar em uma partícula se movendo sem atrito 
em uma linha reta entre dois pontos finais (paredes), nos quais ela experimenta um recuo 
completamente elástico. Ela se move com velocidade constante igual à sua velocidade inicial 𝑣0 para 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
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trás e para frente, e pode ser determinado exatamente onde a partícula estará em um determinado 
tempo, desde que 𝑣0 seja conhecida com precisão. Mas se uma pequena imprecisão ∆𝑣0 for permitida, 
então a imprecisão da previsão da posição no tempo 𝑡 é 𝑡∆𝑣0 que aumenta com 𝑡. Se esperarmos muito 
tempo até o tempo 𝑡𝑐 = 𝑙∆𝑣0, onde 𝑙 é a distância entre as paredes elásticas, a imprecisão ∆𝑥 terá se 
tornado igual a todo o espaço 𝑙. Portanto, é impossível prever qualquer coisa sobre a posição em um 
momento posterior a 𝑡𝑐 . Assim, o determinismo cai completamente para o indeterminismo assim que a 
menor imprecisão nos dados sobre a velocidade é permitida. Existe algum sentido - e quero dizer 
qualquer sentido físico, não sentido metafísico - em que se possa falar de dados absolutos? Alguém 
está justificado em dizer que a coordenada 𝑥 = 𝜋 𝑐𝑚 onde 𝜋 = 3,1415 … é o número transcendental 
familiar que determina a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro? Como ferramenta 
matemática, o conceito de número real representado por uma fração decimal não terminada é 
excepcionalmente importante e frutífero. Como medida de uma quantidade física, é absurdo. Se 𝜋 for 
levado à 20ª ou 25ª casa dos decimais, dois números são obtidos indistinguíveis um do outro e o 
verdadeiro valor de 𝜋 por qualquer medida. De acordo com o princípio heurístico usado por Einstein na 
teoria da relatividade, e por Heisenberg na teoria quântica, os conceitos que não correspondem a uma 
observação concebível devem ser eliminados da física. Isso também é possível sem dificuldade no 
presente caso. É apenas necessário substituir afirmações como 𝑥 = 𝜋 𝑐𝑚 por: a probabilidade de 
distribuição de valores de 𝑥 tem um máximo nítido em 𝑥 = 𝜋 𝑐𝑚; e (se for desejado ser mais preciso) 
adicionar: de tal e tal amplitude. Em suma, a mecânica comum também deve ser formulada 
estatisticamente. Tenho me ocupado com esse problema recentemente e percebi que é possível sem 
dificuldade. Este não é o lugar para aprofundar o assunto. Gostaria apenas de dizer o seguinte: o 
determinismo da física clássica acaba sendo uma ilusão, criada pela supervalorização de conceitos 
matemático-lógicos. É um ídolo, não um ideal na pesquisa científica e não pode, portanto, ser usado 
como uma objeção à interpretação estatística essencialmente indeterminista da mecânica quântica. 
Muito mais difícil é a objeção baseada na realidade. O conceito de partícula, por exemplo um 
grão de areia, implicitamente contém a ideia de que possui uma posição definida e tem movimento 
definido. Mas, de acordo com a mecânica quântica, é impossível determinar simultaneamente com 
qualquer precisão desejada tanto a posição quanto a velocidade (mais precisamente: momentum, ou 
seja, mas vezes a velocidade). Assim, surgem duas questões: o que nos impede, apesar da afirmação 
teórica, de medir ambas as quantidades com qualquer grau de precisão desejado por meio de 
experimentos refinados? Em segundo lugar, se realmente transparece que isso não é viável, ainda 
temos justificativa para aplicar ao elétron o conceito de partícula e, portanto, a ideia a ele associada? 
No que se refere à primeira questão, é claro que se a teoria estiver correta - e temos amplos 
motivos para acreditar nisso - o obstáculo à medição simultânea de posição e movimento (e de outros 
pares de assim chamadas quantidades conjugadas) deve residir em as próprias leis da mecânica 
quântica. Na verdade, é assim. Mas esclarecer a situação não é simples. O próprio Niels Bohr teve 
grande dificuldade e engenhosidade para desenvolver uma teoria de medições para esclarecer o 
assunto e enfrentar os ataques mais refinados e engenhosos de Einstein, que repetidamente tentou 
pensar em métodos de medição pelos quais a posição e o movimento poderiam ser medidos 
simultaneamente e com precisão. Surge o seguinte: para medir coordenadas espaciais e instantes de 
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tempo, são necessários relógios e hastes de medição rígidas. Por outro lado, para medir momentos e 
energias, são necessários dispositivos com partes móveis para absorver o impacto do objeto de teste 
e indicar o tamanho de seu momento. Levando em consideração o fato de que a mecânica quântica é 
competente para lidar com a interação de objeto e aparato, vê-se que é possível um arranjo que cumpra 
ambos os requisitos simultaneamente. Existem, portanto, experimentos mutuamente exclusivos, 
embora complementares, que só como um todo abrangem tudo o que pode ser experimentado em 
relação a um objeto. 
Essa ideia de complementaridade é agora considerada pela maioria dos físicos como a chave 
para a compreensão clara dos processos quânticos. Bohr generalizou a ideia para campos de 
conhecimento bastante diferentes, por exemplo a conexão entre a consciência e o cérebro, o problema 
do livre arbítrio e outros problemas básicos da filosofia. Para chegar agora ao último ponto: podemos 
chamar algo com o qual os conceitos de posição e movimento não podem ser associados da maneira 
usual, uma coisa ou uma partícula? E se não, qual é a realidade que nossa teoria foi inventada para 
descrever? 
A resposta para isso não é mais física, mas filosófica, e lidar com isso completamente 
significaria ir muito além dos limites desta palestra. Já dei minha opinião sobre isso em outro lugar26. 
Aqui direi apenas que sou enfaticamente a favorda retenção da ideia de partícula. Naturalmente, é 
necessário redefinir o que se quer dizer. Para isso, estão disponíveis conceitos bem desenvolvidos que 
aparecem na matemática sob o nome de invariantes nas transformações. Todos os objetos que 
percebemos aparecem em inúmeros aspectos. O conceito de objeto é o invariante de todos esses 
aspectos. Deste ponto de vista, o atual sistema de conceitos usado universalmente, no qual partículas 
e ondas aparecem simultaneamente, pode ser completamente justificado. 
As recentes pesquisas sobre núcleos e partículas elementares nos levaram, entretanto, a 
limites além dos quais esse sistema de conceitos em si não parece ser suficiente. A lição a ser 
aprendida com o que contei sobre a origem da mecânica quântica é que prováveis refinamentos dos 
métodos matemáticos não serão suficientes para produzir uma teoria satisfatória, mas que em algum 
lugar de nossa doutrina está oculto um conceito, injustificado pela experiência, que nós devemos 
eliminar para abrir a estrada. 
Referências 
 
1. R. Ladenburg, Z. Physik, 4 (192.1) 451 ; R. Ladenburg and F. Reiche, Naturwiss., 
11 (1923 ) 584. 
2. H. A. Kramers, Nature , 113 (1924) 673. 
3. H. A. Kramers and W. Heisenberg, Z. Physik, 31 (1925) 681. 
4. M. Born, Z. Physik, 26 (1924) 379; M. Born and P. Jordan, Z. Physik, 33 (1925) 
479. 
5. W. Heisenberg, Z. Physik, 33 (1925) 879. 
6. M. Born and P. Jordan, Z. Physik, 34 (1925) 858. 
7. M. Born, W. Heisenberg, and P. Jordan, Z. Physik, 35 (1926) 557. 
8. P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. (London), A 109 (1925) 642. 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
105 
 
9. W. Pauli, Z. Physik, 36 (1926) 336. 
10. E. Schrödinger, Ann. Physik, [4] 79 (1926) 361,489,734; 80 (1926) 437; 81(1926) 
109. 
11. L. de Broglie, Thesis Paris, 1924; Ann. Phys. (Paris), [10] 3 (1925) 22. 
12. W. Elasser, Naturwiss., 13 (1925) 711. 
13. C. J. Davisson and L. H. Germer, Phys. Rev., 30 (1927) 707. 
14. G. P. Thomson and A. Reid, Nature, 119 (1927) 890; G. P. Thomson, Proc. Roy. 
Soc. (London), A 117 (1928) 600. 
15. E. Schrödinger, Brit. J. Phil. Sci., 3 (1952) 109, 233. 
16. M. Born and N. Wiener, Z. Physik, 36 (1926) 174. 
17. M. Born, Z. Physik, 37 (1926) 863 ; 38 (1926) 803 ; Göttinger Nachr. Math. Phys. 
Kl., (1926) 146. 
18. G. Wentzel, Z. Physik, 40 (1926) 590. 
19. W. Heisenberg, Z. Physik, 43 (1927) 172. 
20. H. Faxén and J. Holtsmark, Z. Physik, 45 (1927) 307. 
21. H. Bethe, Ann. Physik, 5 (1930) 325. 
22. N. F. Mott, Proc. Roy. Soc. (London), A 124 (1929) 422, 425; Proc. Cambridge Phil. 
Soc., 25 (1929) 304. 
23. M. Born, Z. Physik, 40 (1926) 167; M. Born and V. Fock, Z. Physik, 51 (1928) 
165. 
24. P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. (London), A 109 (1925) 642; 110 (1926) 561; 111 
(1926) 281; 112 (26) 674. 
25. N. Bohr, Naturwiss., 16 (1928) 245; 17 (1929) 483; 21 (1933) 13 . «Kausalität und 
Komplementarität» (Causality and Complementarity), Die Erkenntnis, 6 (1936) 293. 
26. M. Born, Phil. Quart., 3 (1953) 134; Physik. Bl., I0 (1954) 49. 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 8. Síntese: Uma Visão Geral da Teoria Quântica 
 
Ao longo deste livro, apresentamos os discursos do prêmio Nobel dos principais fundadores da 
Teoria Quântica (não-relativística). Após comentar brevemente sobre os trabalhos de Planck e Einstein, 
apresentamos uma discussão sobre os trabalhos de Niels Bohr, Louis de Broglie, Erwin Schrödinger, 
Werner Heisenberg e Max Born. 
 Podemos observar que a teoria não se desenvolveu de uma forma linear, como uma sucessão 
de descobertas ou acúmulos de verdade. Pelo contrário, houve muito conflito e disputa sobre o 
entendimento e representação da teoria. Em primeiro lugar, podemos ressaltar que a proposta de Louis 
de Broglie era relativista, enquanto o desenvolvimento subsequente de Heisenberg e Schrödinger foi 
não-relativista. Além disso, ressaltamos o embate entre a visão realista de Schrödinger e positivista de 
Heisenberg. 
 Dessa forma, a teoria se desenvolveu de forma complexa, não sendo claro, apenas da leitura 
dos trabalhos, como se estrutura a teoria de forma lógica, a partir de um conjunto mínimo de postulados, 
regras de correspondência, e, finalmente, a interpretação da teoria. A primeira pessoa a axiomatizar a 
teoria, isto é, organizá-la em forma de postulados foi o matemático John Neumann (1932). Até hoje, 
elaborações de sua proposta são usadas para ensinar a teoria quântica (COHEN-TANNOUDJI; DIU; 
LALOË, 1977; PESSOA JR., 2003). Inspirando-se nessas obras, podemos dizer que a Teoria tem seis 
postulados. 
 O primeiro postulado diz que todo sistema quântico isolado, em um instante 𝑡0, tem seu estado 
representado por uma função de onda Ψ(𝑥, 𝑡0). Ou seja, a representação ondulatória proposta por 
Schrödinger continua permitindo descrever os sistemas quânticos. Mais do que isso, entende-se que 
toda informação possível sobre o estado do sistema está presente nessa função. 
 O segundo postulado diz que as grandezas observáveis são representadas por operadores 
matemático auto-adjunto. Essa representação retoma a noção de Heisenberg de que devemos falar de 
grandezas observáveis e a representação de operadores. Além disso, os operadores podem ser 
representados como matrizes, resguardando propriedades desenvolvidas na mecânica matricial. 
 O terceiro postulado diz que a função de onda evolui de forma determinista, para um sistema 
isolado, de acordo com a equação de Schrödinger. Ou seja, existe uma forma do sistema evoluir 
temporalmente que é determinista (como o que estamos acostumados na Física Clássica). Porém, tal 
evolução somente acontece quando o sistema está isolado e, portanto, não podemos fazer nenhuma 
medida de nenhuma grandeza do sistema. 
 O quarto postulado diz que os únicos valores possíveis de uma medição são os autovalores 
associados ao operador que representa a grandeza a ser medida. Novamente, temos um elemento que 
relembra o formalismo da mecânica matricial. 
 O quinto postulado diz que a probabilidade de se obter um autovalor específico em uma medida 
depende do módulo quadrado da função de onda que representa o auto-estado correspondente ao 
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auto valor. Essa afirmação é uma generalização da interpretação probabilística de Born – e indica como 
que o formalismo matemático se conecta com os resultados experimentais. 
 Por fim, o sexto postulado diz que ao se fazer uma medida de uma grandeza representada por 
um operador específico, se obtem um determinado auto-valor, então, na sequência, o sistema estará 
obrigatoriamente no auto-estado associado aquele auto-valor. Em uma linguagem muito usual, a função 
de onda colapasa no auto-estado específico, associado à medição. Essa é a segunda forma de um 
sistema quântico evoluir temporalmente. Diferentemente da evolução temporal de um sistema isolado, 
quando se faz uma medida, o sistema não evolui de forma determinista. 
 Dessa forma, podemos ver que os seis postulados representam uma síntese lógica dos 
elementos que foram apresentados ao longo de todo esse livro. Os seis postulados sintetizam os 
elementos formais necessários para representar um sistema quântico e para conectar tal representação 
com os resultados experimentais. 
 A partir da Filosofia da Ciência, entretanto, ainda há um terceiro elemento importante: a 
interpretação da teoria. Como mencionamos, a interpretação que se tornaria hegemônica é a 
Interpretação da Complementaridade de Niels Bohr, apoiada sobre três complementaridades principais: 
a dualidade onda partícula, o princípio da incerteza, e a complementaridade entre as duas formas de 
evolução temporal de um sistema quântico (JAMMER,1974b). 
 Ao aceitar a incerteza e a probabilidade como partes fundamentais da Teoria, Bohr defende 
que a Teoria Quântica é uma teoria completa, isto é, ela descreve tudo que se pode saber sobre os 
sistemas quânticos. Einstein tentou combater essa visão em muitos debates, culminando no paradoxo 
EPR (WAGNER et al., 2021). Apenas na década de 1960, com o Teorema de Bell, foi possível propor 
uma diferença concreta entre a Teoria Quântica ser ou não uma teoria completa. Até hoje, todos os 
experimentos apontam em favor da visão de Bohr. 
 Assim, a Teoria Quântica é uma das teorias mais importantes da Física Contemporânea. Ela 
explica o comportamento da radiação e a estrutura da matéria com grande precisão. Além disso, seu 
caráter contraintuivo bem como a sua ruptura com elementos filosóficos da Física Clássica a tornam 
um objeto fascinante de estudo. A Natureza é extremamente complexa, e faz parte da nossa 
experiência humana o esforço para tentar entender, pelo menos um pouco, o que é essa realidade do 
qual fazemos parte. E a Teoria Quântica é um tijolo importante nesse grande edifício que forma o nosso 
conhecimento. 
 
 
 
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109 
 
 
Referências 
 
AUSUBEL, D. P.; NOVAK, J. D.; HANESIAN, H. Educational psychology: A cognitive view. New 
York: Holt, Rinehart & Winston, 1968. 
BLOCH, F. Heisenberg and the early days of quantum mechanics. Physics Today, v. 29, n. 12, p. 23–
27, 1976. 
BOHR, N. On the constitution of Atoms and Molecules. Philosophical Magazine, v. 26, n. 6, p. 1–25, 
1913. 
BOHR, N. The Quantum Postulate and the Recent Development of Atomic Theory. Nature, v. 121, p. 
580–590, 1928. 
BOHR, N. Física atômica e conhecimento humano: ensaios 1932 -1957. Rio de Janeiro: 
Contraponto, 1995. 
BOHR, N. Niels Bohr Collected Papers - Volume X: Complementarity Beyond Physics. New York: 
Elsevier, 1999. 
BOHR, N.; KRAMERS, H. A.; SLATER, J. C. LXXVI. The quantum theory of radiation. The London, 
Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, v. 47, n. 281, p. 785–802, 
1924. 
BORN, M. On the Quantum Mechanics of Collisions Processes. Zeit Phys, v. 37, p. 863–867, 1926. 
BORN, M. The Mechanics of the Atom. London: G. Bell and Sons, 1927. 
BUNGE, M. Filosofia da Física. Lisboa: edições 70, 1973. 
CALLEN, H. B. Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics. New York: John Wiley 
and Sons, 1985. 
COHEN-TANNOUDJI, C.; DIU, B.; LALOË, F. Quantum Mechanics. New York: John Wiley and Sons, 
1977. 
DE BROGLIE, L. Rayonnement noir et quanta de lumière. Journal Physical Radium, v. 3, n. 11, p. 
422–428, 1922. 
EINSTEIN, A. On the Development of Our Views Concerning the nature and constitutio of radiation. In: 
Albert Einsteins - The Swiss Years: Writings, 1900-1909 (English translation supplement). 
EINSTEIN, A. Zur Quantentheorie der Strahlung. Physik Zeitschrift, v. 18, p. 121, 1917. 
EINSTEIN, A.; PODOLSKY, B.; ROSEN, N. Can quantum-mechanical description of physical reality be 
considered complete? Physical Review, v.47, n.10, p.777-780, 1935. 
FEYERABEND, P. Against the Method. London: Verso, 1995. 
FREIRE JR., O.; PESSOA JR., O.; BROMBERG, J. L. (org.). Teoria Quântica: estudos históricos e 
implicações culturais. São Paulo: Livraria da Física, 2011. 
FREIRE, O. . The quantum dissidents: Rebuilding the foundations of quantum mechanics (1950-
1990). Berlin: Springer, 2015. 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
110 
 
GARIK, P. et al. Teaching the Conceptual History of Physics to Physics Teachers. Science & 
Education, v. 24, n. 4, p. 387–408, 2015. 
GOMATAM, R. Niels Bohr’s interpretation and the Copenhagen interpretation - Are the two 
incompatible? Philosophy of Science, v. 74, n. 5, p. 736–748, 2007. 
GRIFFTHS, D. J. Introduction to Quantum Mechanics. 2. ed. London: Pearson, 2005. 
HEISENBERG, W. Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer 
Beziehungen. Zeitschrift für Physik, v. 33, n. 1, p. 879–893, 1925. 
HEISENBERG, W. Physics and Philosophy. London: Penguin Books, 2000. 
HOWARD, D. Who invented the “Copenhagen interpretation”? A study in mythology. Philosophy of 
Science, v. 71, n. 5, p. 669–682, 2004. 
JAMMER, M. The Conceptual Development of Quantum Mechanics. New York: McGraw-Hill Book 
Company, 1966. 
JAMMER, M. The Philosophy of Quantum Phyiscs. New York: John Wiley and Sons, 1974 a. 
JAMMER, M. The Philosophy of Quantum Mechanics. New York: John Wiley and Sons, 1974 b. 
JOAS, C.; LEHNER, C. The classical roots of wave mechanics: Schrödinger’s transformations of the 
optical-mechanical analogy. Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in 
History and Philosophy of Modern Physics, v. 40, n. 4, p. 338–351, 2009. 
JOHANSSON, A. et al. “Shut up and calculate”: the available discursive positions in quantum physics 
courses. Cultural Studies of Science Education, v. 13, n. 1, p. 205–226, 2018. 
KARAM, R. Schrödinger’s original struggles with a complex wave function. American Journal of 
Physics, v. 88, n. 6, p. 433–438, 2020. 
KARAM, R. Considerações metodológicas sobre o uso de fontes primárias no ensino de Física. Revista 
Brasileira de Ensino de Ciências e Matemática, v. 4, n. 3 SE-Artigos, 2021. 
LIMA, N.; KARAM, R. Particle velocity = group velocity: A common assumption in the different theories 
of Louis de Broglie and Erwin Schrödinger. American Journal of Physics, v. 89, n. 5, p. 521–528, 
2021. 
LIMA, N. W. et al. Louis de Broglie’s wave-particle duality: from textbooks_ blackboxes to a chain 
of reference presentation. v.42, e-20190134 , 2020. 
LIMA, N. W. Histórias Plurais para a Construção de um Mundo Comum: como História, Filosofia e 
Sociologia das Ciências na Educação em Ciências Podem Contribuir para Construção do Mundo Pós-
Pandemia. Revista Brasileira de Ensino de Ciências e Matemática, v.4., n.3, p. 1027-1046, 2021. 
LIMA, N. W. Michael Matthews and the development of History, Philosophy and Science Teaching: thirty 
years after ‘the present rapprochement’. Review of Science, Mathematics and ICT Education; Vol 
15, No 2 , p.101-121, 2021. 
LIMA, N. W.; CHAIB, J. P. Uma tradução comentada do artigo “A Termodinâmica Oculta das Partículas” 
de Louis de Broglie. Revista Brasileira de História da Ciência2, v. 43, p. e20210246, 2021. 
LIMA, N. W.; ROSA, C. W. da. Por que devemos ensinar História das Ciências em aulas de Ciências? 
Contribuições a partir da Teoria da Aprendizagem Significativa Crítica. Espaço Pesagógico, v. no 
prelo, 2021. 
LIMA, N. W.; ROSA, G. G.; BENTO, M. R. Translations, Betrayals and Controversies in the Articulation 
of The Uncertainty Principle: Potentialities and Challenges of a Symmetrical History of Physics. 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
111 
 
Transversal - International Journal for the Historiography of Science, n. 9, p. 1–19, 2020. 
LIMA RICARDO AVELAR SOTOMAIOR, N. W. and K. Schrödinger’s equation from Snell’s law. 
European Journal of Physics, v. 43, p. 035402, 2022. 
MACH, E. The Science of Mechanics: A Critical and Historical Account of Its Development. [S. l.]: 
The Open Court Publishing Company, 1902. 
MARTINS, R. de A.; ROSA, P. S. História da teoria quântica - a dualidade onda-partícula, de 
Einstein a De Broglie. São Paulo: Livraria da Física, 2014. 
MOREIRA, M. A. Aprendizagem Significativa Crítica. 2a ed, 2010. Disponível em 
https://www.if.ufrgs.br/~moreira/apsigcritport.pdf. 
NEUMANN, J. Von. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. 1. ed. Berlin: Julius 
Springer, 1932. 
PESSOA JR., O. Conceitos de Física Quântica. São Paulo: Livraria da Física, 2003. 
PESSOA JR., O. O fenômeno cultural do misticismo quântico. In: FREIRE JR, O.; PESSOA JR, O.; 
BROMBER, J. L. (org.). Teoria Quântica: Estudos Históricos e Implicações Culturais. Campina 
Grande: Livrariada Física, 2011. 
ROSA, G. G.; LIMA, N. W.; CAVALCANTI, J. C. de H. COMO A FÍSICA QUÂNTICA SE TORNOU UMA 
TEORIA PROBABILÍSTICA? UMA DISUCSSÃO SOBRE O DISCURSO DE PREMIAÇÃO DO NOBEL 
DE MAX BORN. In: 2021, Passo Fundo. I Encontro sobre História e Filosofia no ensino de Física 
do sul do Brasil2. Passo Fundo: 2021. p. 53–55. 
ROSA, G. G.; LIMA, N. W.; CAVALCANTI, J. C. de H. Diferentes proposições do princípio da incerteza 
para posição e momentum: integrando formalismo matemático, fenomenologia e interpretações no 
ensino da teoria quântica. Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 44, p. e20210298, 2022. 
SCHRODINGER, E. Collected Papers on Wave Mechanics. London: Backie & Son Limited, 1928 a. 
SCHRODINGER, E. Four Lectures on Wave Mechanics. London: Black and Son Limited, 1928 b. 
TEIXEIRA, E. S.; GRECA, I. M.; FREIRE, O. The History and Philosophy of Science in Physics 
Teaching: A Research Synthesis of Didactic Interventions. Science & Education, v. 21, n. 6, p. 771–
796, 2012. 
WAGNER, R. et al. O que é o paradoxo EPR? Uma reconstrução didática do artigo de Einstein, 
Podolsky e Rosen. REVISTA DE ENSEÑANZA DE LA FÍSICA, v. 33, n. 3, p. 167–182, 2021. 
WHEATON, B. R. The Tiger and the Shark: empirical roots of wave-particle dualism. Cambridge: 
Cambridge University Press, 1983.explicamos coisas muitos simples, como o derretimento de uma pedra de gelo na água 
e chegamos a conclusões muito fundamentais sobre a Natureza, como uma eficiência máxima no 
funcionamento de máquinas térmicas (como motores, por exemplo). 
Cada uma dessas teorias é muito bem-sucedida em seu campo de atuação, chegando a 
previsões muito precisas sobre o funcionamento dos fenômenos. No final do século XIX e início do 
século XX, entretanto, alguns fenômenos, na interface entre essas teorias, começaram a ser estudados, 
e os cientistas perceberam que o uso de duas ou mais das teorias simultaneamente levava a sérias 
contradições e absurdos. É desses problemas de interface que nasce a Física Moderna. 
Da tentativa de explicar o movimento de corpos eletrizados a partir de diferentes referenciais, um 
problema da Mecânica e da Teoria Eletromagnética, surge a Teoria da Relatividade Especial. Da 
tentativa de descrever as propriedades térmicas de um sistema macroscópico a partir do movimento 
dos átomos, um problema de Termodinâmica e Mecânica, desenvolve-se a Mecânica Estatística. E, 
por fim, para descrever o comportamento da radiação eletromagnética emitida por um corpo aquecido, 
um problema da termodinâmica e da Teoria Eletromagnética, desenvolve-se a Teoria Quântica. Pode-
se, ainda, pensar que o desenvolvimento posterior de uma teoria quântica relativística levaria à Teoria 
Quântica de Campos. Isso é representado na Figura 1. 
 
Figura 2.1. Representação das teorias da Física Clássica e gênese das teorias da Física 
Moderna. 
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12 
 
Em especial, o problema que é reconhecido como o estopim para o surgimento da Teoria 
Quântica é o famoso problema do espectro de emissão de corpo negro. Um corpo negro é um corpo 
que absorve toda radiação que chega até ele. Estando em equilíbrio térmico, com temperatura 
constante, ele emite toda radiação também. O problema é que as previsões teóricas advindas da Física 
Clássica (Termodinâmica e Teoria Eletromagnética) conduzem à conclusão de que a energia emitida 
é infinita – o que é um absurdo. A expressão clássica de emissão ficou conhecida como equação de 
Rayleigh-Jeans e o problema que ela conduz é popularmente chamado de catástrofe do ultra-violeta, 
pois é justamente no comprimento de onda do ultravioleta que começa o problema da energia no 
espectro teórico. 
A primeira pessoa a resolver esse problema de forma satisfatória foi o físico alemão Max Planck. 
Primeiramente, Planck obteve uma expressão correta para o espectro de emissão do corpo negro por 
meio de uma interpolação (pelo que se imagina) de dois modelos conhecidos (o de Rayleigh-Jeans e 
o de Wien). Após obter a expressão correta de forma puramente matemática, Planck se dedicou a 
encontrar uma explicação física para a expressão. 
Em 1901, Planck desenvolveu um modelo em que a matéria é composta por osciladores e propôs 
a hipótese de que as energias desses osciladores só pode ser um múltiplo inteiro da frequência de 
oscilação 𝜈: 
𝐸 = 𝑛ℎ𝜈 
Deve-se observar que não se encontra na Física Clássica nenhuma justificativa para tal hipótese. 
É nesse sentido, que a proposta de Planck já representa uma primeira ruptura com nossos conceitos 
clássicos sobre a natureza. O significado de tal ruptura, entretanto, não estava claro nem para Planck 
nem para os demais físicos da época. 
Em 1905, Albert Einstein, que vinha trabalhando em problemas de Mecânica Estatística, decidiu 
estudar o comportamento da radiação eletromagnética monocromática (com um comprimento de onda 
apenas) no limite de validade do modelo de Wien (um dos modelos usados por Planck em 1900). Ao 
comparar a expressão da entropia (uma grandeza termodinâmica) para radiação eletromagnética e 
para gases ideais (um gás composto por partículas que não interagem entre si), Einstein mostrou que 
a radiação poderia ser descrita como um conjunto de porções bem localizadas no espaço (cada uma 
dessas porções sendo denominada de quanta) possuía a energia proporcional à frequência, o que – 
em notação contemporânea – escrevemos como 
𝐸 = ℎ𝜈 
Observemos que embora a equação de Einstein e Planck sejam idênticas, cada um tinha uma 
visão diferente. Planck discretizou os níveis de energia do oscilador dentro da matéria (e defendia 
apenas isso). Einstein defendeu que a própria radiação eletromagnética era quantizada e se propagava 
de forma bem localizada (como uma partícula). Temos, então, uma segunda ruptura: uma vez que, 
como mencionamos, a radiação eletromagnética era descrita por campos e ondas contínuos. 
Como é possível que as ondas eletromagnéticas, contínuas e distribuídas pelo espaço, também 
possam ser representadas pelos quanta? E mais do que isso, se o quanta é uma porção bem localizada, 
como uma partícula, qual é o sentido da frequência 𝜈 na expressão da energia, sendo que frequência 
é uma propriedade tipicamente ondulatória? 
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13 
 
A proposta de quantização de Einstein não foi bem aceita inicialmente. Apesar disso, Einstein 
conseguiu resolver problemas importantes, como o problema do calor específico de sólidos, usando 
sua hipótese dos quanta. Percebendo, entretanto, os problemas de conciliação entre a sua proposição 
corpuscular em 1905 e a natureza ondulatória da luz Einstein começou a pensar em propostas 
chamadas duais em 1909. Isto é, talvez a luz não fosse nem só onda nem só partícula, mas um sistema 
composto por campos contínuos e partículas bem definidas – surgia a noção de dualidade na Teoria 
Quântica. 
Essas primeiras hipóteses de Planck e Einstein, além das rupturas já mencionadas, motivaram 
uma série de estudos sobre a estrutura da matéria e da radiação – o que conduziu ao desenvolvimento 
da Teoria Quântica. Nas próximas páginas, você encontrará os discursos de alguns dos principais 
protagonistas nesse processo, falando sobre seus trabalhos e sobre como chegaram em suas famosas 
conclusões. 
 
 
 
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14 
 
 
 
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15 
 
 
Capítulo 3. Seria o átomo um novo sistema solar? O modelo atômico de 
Bohr 
3.1. Introdução 
 
 Niels Bohr (1885-1962) foi um físico dinamarquês. Sem dúvida, foi um dos grandes 
protagonistas do desenvolvimento da Teoria Quântica. O prêmio Nobel lhe foi concedido pelo trabalho 
publicado em 1913, em que Bohr (1913) propõe um modelo para estrutura do átomo. 
 O átomo de Bohr é revolucionário em vários sentidos. Ele rompe com conceitos da Física 
Clássica e introduz problemas conceituais e filosóficos para o desenvolvimento da Física. Essas 
questões estariam presentes em muitas pesquisas das décadas seguintes, conduzindo ao 
desenvolvimento da Mecânica Quântica. 
 Embora Bohr seja lembrado pelo trabalho de 1913, sua atuação continuou intensa ao longo de 
todo desenvolvimento da Teoria. Heisenberg, por exemplo, cujo discurso apresentamos nesse livro, 
estava trabalhando com Bohr em Copenhague, quando chegou no seu famoso Princípio da Incerteza. 
Além disso, Bohr foi quem propôs o Princípio da Complementaridade em 1928 (BOHR, 1928) – 
formalizando o que ficou conhecido como Interpretação da Complementaridade, e, posteriormente, foi 
incorporado na Interpretação de Copenhague, embora haja discussões históricas sobre as 
incompatibilidades entre a visão original de Bohr e a interpretação ortodoxa subsequente (GOMATAM, 
2007; HOWARD, 2004). Vamos discutir, em linhas gerais, a Complementaridade de Bohr no capítulo 
final desse livro. 
 Nesse capítulo vamos centrar a discussão no modelo atômico proposto por Bohr e analisar 
suas implicações para a Teoria Quântica. Em especial, devemos ressaltar que o discurso de Bohr é 
muito importante para todos(as) aqueles(as)que pretendem entender o desenvolvimento dessa teoria, 
pois se trata de uma longa revisão histórica de pesquisas teóricas e empíricas que contribuíram para 
as novas ideias que a Física desenvolveu no século XX. 
 Muitas vezes, infelizmente, nos cursos tradicionais de Mecânica Quântica, não temos tempo 
para nos debruçar sobre o complexo caminho que a ciência precisou desenvolver e ficamos com a 
impressão de que os trabalhos surgem do nada. Muitos autores já contestam essa história 
apresentando a enorme quantidade de estudos empíricos necessários para que pudéssemos chegar 
na Mecânica Quântica (WHEATON, 1983). No texto de Bohr, encontramos também uma grande riqueza 
de detalhes. Bohr explicita uma variedade de estudos, principalmente, sobre espectros de emissão de 
radiação, sua conexão com a tabela periódica, e, finalmente, como tudo isso conduz ao entendimento 
da estrutura atômica. 
 
3.2. A ideia central de Bohr 
 
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16 
 
 Após seu doutorado, Bohr foi ao Reino Unido, onde trabalhou primeiramente com Thompson 
e, na sequência, com Rutherford em Manchester. Em 1912, buscando desenvolver seu modelo do 
átomo, Bohr escreve o que ficou conhecido como Manchester Memorandum (Figura 2). 
 
 
Figura 3.1. Cópia de parte do Manchester Memorandum. (fonte: o autor). 
 
 Na época, já se conheciam os valores da frequência da radiação emitida por diferentes átomos 
(seus espectros). O desafio de Bohr era chegar em um modelo teórico que conseguisse explicar tais 
regras empíricas. Não vamos discutir a derivação matemática de Bohr porque foge ao escopo deste 
trabalho. Entretanto, é interessante notarmos que Bohr, em seu discurso, organiza a sua proposta em 
dois postulados (afirmações que não são provadas, mas assumidas como verdadeiras3): 
 
(I). Entre os estados de movimento concebivelmente possíveis em um sistema atômico, existe uma 
série de estados chamados estacionários que, apesar do fato de que o movimento das partículas 
nesses estados obedece às leis da mecânica clássica em uma extensão considerável, possuem uma 
 
3 Não provamos um postulado. Entretanto, a validade de um postulado é dada por suas consequências. 
Se as consequências de um postulado são corroboradas por testes empíricos então fortalecemos a 
adoção desse postulado. 
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17 
 
estabilidade peculiar, mecanicamente inexplicável, de tal tipo que toda mudança permanente no 
movimento do sistema deve consistir em uma transição completa de um estado estacionário para outro. 
 
(II) Enquanto em contradição com a teoria eletromagnética clássica nenhuma radiação ocorre do átomo 
nos próprios estados estacionários, um processo de transição entre dois estados estacionários pode 
ser acompanhado pela emissão de radiação eletromagnética, que terá as mesmas propriedades que 
aquela que seria enviado de acordo com a teoria clássica de uma partícula eletrificada executando uma 
vibração harmônica com frequência constante. Essa frequência 𝜈 não tem, entretanto, nenhuma 
relação simples com o movimento das partículas do átomo, mas é dada pela relação ℎ𝜈 = 𝐸′ − 𝐸", onde 
ℎ é a constante de Planck, e E' e E" são os valores da energia do átomo nos dois estados estacionários 
que formam o estado inicial e final do processo de radiação. Por outro lado, a irradiação do átomo com 
ondas eletromagnéticas desta frequência pode levar a um processo de absorção, pelo qual o átomo é 
transformado de volta do último estado estacionário para o primeiro. 
 O primeiro postulado apresentado por Bohr é muito interessante pois mostra que, ao mesmo o 
tempo, o átomo lembra um sistema planetário; mas, também, é muito diferente dele! Em um sistema 
planetário, um planeta orbita sua estrela com uma órbita bem determinada (dependendo da energia 
desse corpo). Entretanto, se algum evento adverso ocorrer, como a colisão com um outro corpo de 
energia significativa, essa órbita pode ser alterada. 
 Bohr concebeu o átomo como sendo um pequeno sistema planetário, como se o elétron – de 
fato- ficasse girando ao redor do núcleo como um planeta ao redor do Sol4. Entretanto, os níveis de 
energia do átomo são sempre os mesmos. É como se esses níveis já estivessem pré-definidos e o 
elétron só pode estar em um desses níveis. Não há nenhum paralelo a isso no sistema solar. Assim, a 
analogia do átomo como um sistema solar deve ser feita com muito cuidado, pois ela é claramente 
falha. Dessa forma, a noção de estados estacionários de Bohr representa mais uma ruptura com o 
nosso conhecimento clássico. 
 No segundo postulado, há mais uma ruptura: o elétron supostamente girando no estado 
estacionário não emite radiação. Todo corpo carregado eletricamente deveria emitir radiação quando 
é acelerado. Se o elétron está girando, ele possui aceleração centrípeta, e, logo, deveria irradiar. Isso 
não acontece, entrando em contradição com a teoria eletromagnética. Deve-se observar que Bohr não 
resolve o problema – ele cria mais um problema. Ele sabe que isso fere a Teoria Eletromagnética e 
mesmo assim decide pagar o preço de propor um modelo em franca contradição com as teorias 
clássicas. 
 Isso pode ser entendido como uma proposta não somente contraintiuitiva, mas o que se chama 
também de contraindutiva (FEYERABEND, 1995). Isto é, nós usualmente pensamos que a ciência 
avança como um acumulo de verdades. Mas, as vezes, um cientista desafia noções muito consolidadas 
e que explicam muitos dados para explicar um fenômeno específico. Isso é contraindução (estamos 
perdendo poder de explicação ao abandonar os conhecimentos mais antigos). 
 
4 Deve-se ressaltar que essa visão realista (o elétron girando ao redor do núcleo) não é consistente 
com a interpretação ortodoxa da Mecânica Quântica. De acordo com essa interpretação, não podemos 
falar de órbitas. O elétron está em uma sobreposição de estados. Quando fazemos uma medida, 
podemos encontrar o elétron em um nível de energia específico. É só isso que podemos dizer. 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
18 
 
 Bohr ao abandonar a Teoria Eletromagnética está apostando que sua proposta é tão potente 
que, no futuro, ela gerará uma teoria capaz de explicar mais fenômenos. É uma proposta arriscada; 
mas, sem um pouco de coragem, irreverência e criatividade não se faz ciência revolucionária. Os 
grandes trabalhos científicos têm que, em algum nível, romper com alguma parte bem estabelecida da 
ciência. Essa ruptura nunca é completa. Por um lado, Bohr se inspira na mecânica clássica dos 
sistemas planetários. Mas a introdução dos dois postulados o permite ir mais adiante, chegando em 
uma expressão teórica para o espectro de hidrogênio. 
 É nesse sentido também que podemos medir o sucesso de sua irreverência. Só aceitamos a 
proposta de Bohr porque ela abre um programa de descrição da matéria que, sem ela, seria impossível. 
Além dos próprios resultados obtidos por Bohr, sua visão da Teoria Quântica influenciou uma geração 
inteira de cientistas que desenvolveram a teoria. 
3.3. Considerações filosóficas 
 
 Niels Bohr teve uma profunda formação filosófica. Ele não somente sabia os problemas 
filosóficos que seus estudos evocavam, como escreveu muito sobre esse tema (BOHR, 1995, 1999). 
Em especial, no discurso do Nobel, Bohr chama atenção para um aspecto filosófico importante de seu 
trabalho de 1913. 
 A Física Clássica promove explicação causais. Isto é, o que acontece a um sistema em um 
instante 𝑡0 é a causa do estado do sistema em um instante subsequente 𝑡0 + 𝑑𝑡. Assim, o conhecimento 
das leis Físicas e das condições iniciais de um sistema nos permite descrever a evolução temporal do 
sistema. De forma suscinta: o presente é a causa do futuro. 
 O problema é que no modelo de Bohr, a energia da radiação emitida dependeda energia do 
estado inicial e final do sistema. Não existe uma explicação causal nesse modelo. Precisamos saber o 
fim da história para contar o que acontece no meio. Apenas conhecendo o estado inicial do elétron, não 
conseguimos predizer o que acontecerá com o elétron. A causalidade perde seu lugar privilegiado na 
Física. 
 Essa constatação, é claro, não foi aceita sem resistência por toda comunidade: Albert Einstein 
foi nitidamente o maior opositor de Bohr ao longo do século XX, travando com ele acalorados debates 
sobre o significado da Teoria Quântica. Basicamente, duas possibilidades se apresentam nesses 
debates: ou existe uma causa (que nós não conhecemos) e a Teoria Quântica seria incompleta, ou não 
existe causa para determinar por que o elétron vai para um nível de energia final e não outro e a Teoria 
Quântica está completa. Somente na década de 1960, com o Teorema de Bell, se conseguiu conceber 
um teste empírico para determinar qual das duas visões estaria correta. Até hoje, os experimentos 
corroboram a visão de Bohr! 
 
3.4. Algumas questões para reflexão 
 
1. Monte uma linha do tempo da discussão histórica apresentada por Bohr. 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
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2. Monte um mapa conceitual e um texto explicando esse mapa, com os conceitos 
apresentados por Bohr. 
3. Discuta quais os estudos empíricos motivaram o trabalho de Bohr. 
4. Quais as evidências empíricas Bohr apresenta para sustentar o sucesso de sua proposta? 
5. Por que não podemos dizer que o átomo é um sistema planetário? O que há de diferente 
entre o átomo e o sistema planetário, para Bohr? 
6. Até 1913, quais rupturas a Teoria Quântica já apresentava em relação à Clássica? 
Qual o papel da Tabela Periódica na discussão de Bohr? 
7. Muitos livros didáticos dizem que Bohr usou o conceito de fóton de Einstein para propor o seu 
modelo. Repare, entretanto, no seguinte trecho: 
 
Em suas tentativas de dar uma interpretação desse resultado, Einstein foi 
levado à formulação da chamada "hipótese dos quanta-luz" segundo a qual 
a energia radiante, em contradição com a teoria eletromagnética da luz de 
Maxwell, não seria propagada como ondas eletromagnéticas, mas sim como 
átomos de luz concretos, cada um com uma energia igual à de um quantum 
de radiação. Esse conceito levou Einstein à sua conhecida teoria do efeito 
fotoelétrico. Este fenômeno, que era inteiramente inexplicável na teoria 
clássica, foi assim colocado sob uma luz bastante diferente, e as previsões 
da teoria de Einstein receberam tal exatidão experimental confirmação nos 
últimos anos, de que talvez a determinação mais exata da constante de 
Planck seja fornecida por medições do efeito fotoelétrico. Apesar de seu valor 
heurístico, entretanto, a hipótese dos quanta-luz, que é totalmente 
irreconciliável com os chamados fenômenos de interferência, não é capaz de 
lançar luz sobre a natureza da radiação. Só preciso lembrar que esses 
fenômenos de interferência constituem nosso único meio de investigar as 
propriedades de radiação e, portanto, de atribuir qualquer significado mais 
próximo à frequência que, na teoria de Einstein, fixa a magnitude do quantum 
de luz. 
A partir disso responda: 
a) Qual era a concepção de Bohr sobre os conceitos propostos por Einstein? 
b) Que conceitos Bohr precisou para propor seu modelo? 
c) O que esse episódio pode nos ensinar sobre a história da ciência? 
 
8) O que o discurso de Bohr pode nos ensinar sobre como a ciência funciona e evolui? 
 
 
 
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20 
 
3.5. O discurso de Niels Bohr: A Estrutura do Átomo5 
 
NIELS BOHR 
 
A estrutura do átomo 
 
Palestra Nobel, 11 de dezembro de 1922 
 
Senhoras e senhores. Hoje, como consequência da grande homenagem da Academia Sueca 
de Ciências ao me conceder o Prêmio Nobel de Física deste ano por meu trabalho sobre a estrutura 
do átomo, é meu dever apresentar os resultados desse trabalho e acho que estarei atuando de acordo 
com as tradições da Fundação Nobel se eu der este relatório na forma de um levantamento do 
desenvolvimento ocorrido nos últimos anos no campo da física ao qual este trabalho pertence. 
 
A imagem geral do átomo 
 
O estado atual da teoria atômica é caracterizado pelo fato de que não só acreditamos que a 
existência de átomos seja provada sem sombra de dúvida, mas também acreditamos que temos um 
conhecimento íntimo dos constituintes dos átomos individuais. Não posso, nesta ocasião, fazer um 
levantamento dos desenvolvimentos na área científica que levaram a esse resultado; eu só vou lembrar 
a descoberta do elétron no final do século passado, que forneceu a verificação direta e levou a uma 
formulação conclusiva da concepção de natureza atômica da eletricidade que evoluiu desde a 
descoberta por Faraday das leis fundamentais da eletrólise e da teoria eletroquímica de Berzelius, e 
teve seu maior triunfo na teoria da dissociação eletrolítica de Arrhenius. Esta descoberta do elétron e a 
elucidação de suas propriedades foram resultado do trabalho de um grande número de investigadores, 
entre os quais Lenard e J. J. Thomson podem ser mencionados em particular. Este último, 
especialmente, fez contribuições muito importantes para o nosso assunto por sua engenhosa tentativa 
de desenvolver ideias sobre a constituição atômica com base na teoria do elétron. O estado atual de 
nosso conhecimento dos elementos da estrutura atômica foi alcançado, no entanto, pela descoberta 
do núcleo atômico, que devemos a Rutherford, cujo trabalho nas substâncias radioativas descobertas 
no final do século passado enriqueceu muito a ciência física e química. 
De acordo com nossas concepções atuais, um átomo de um elemento é construído de um 
núcleo que tem uma carga elétrica positiva e é a sede da maior parte da massa atômica, junto com 
uma série de elétrons, todos tendo a mesma carga negativa e massa, que se movem a distâncias dos 
núcleos que são muito grandes comparados às dimensões do núcleo ou dos próprios elétrons. Com 
esta imagem, vemos imediatamente uma notável semelhança com um sistema planetário, como o que 
temos em nosso próprio sistema solar. Assim como a simplicidade das leis que governam os 
movimentos do sistema solar é intimamente ligada à circunstância de que as dimensões dos corpos 
 
5 O texto original pode ser encontrado em https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/bohr-
lecture.pdf 
https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/bohr-lecture.pdf
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em movimento são pequenas em relação às órbitas, as relações correspondentes na estrutura atômica 
nos fornecem uma explicação de uma característica essencial dos fenômenos naturais na medida em 
que dependem das propriedades dos elementos. Elas deixam claro de imediato que essas 
propriedades podem ser divididas em duas classes nitidamente distintas. 
 À primeira classe pertencem a maioria das propriedades físicas e químicas comuns das 
substâncias, como seu estado de agregação, cor e reatividade química. Essas propriedades dependem 
do movimento do sistema eletrônico e a forma como este movimento muda sob a influência de 
diferentes ações externas. Por conta da grande massa do núcleo em relação àquela dos elétrons e sua 
pequenez em comparação com as órbitas dos elétrons, o movimento eletrônico vai depender apenas 
em uma extensão muito pequena da massa nuclear, e será determinada de forma aproximada apenas 
pela carga elétrica total do núcleo. Especialmente, a estrutura interna do núcleo e a forma como as 
cargas e massas são distribuídas entre suas partículas separadas terão uma influência cada vez menor 
sobre o movimento do sistema de elétrons ao redor do núcleo. Por outro lado, a estrutura do núcleo 
será responsávelpela segunda classe de propriedades que são mostradas nas substâncias radioativas. 
Nos processos radioativos, nós encontramos, com uma explosão do núcleo, por meio da qual partículas 
positivas ou negativas, as chamadas partículas α e β, são expelidas com velocidades muito grandes. 
Nossas concepções de estrutura atômica nos proporcionam, portanto, uma explicação imediata 
da completa falta de interdependência entre as duas classes de propriedades, que é mais notavelmente 
mostrada na existência de substâncias que são muito próximas com relação às propriedades físicas e 
químicas, embora os pesos atômicos não sejam os mesmos, e as propriedades radioativas são 
completamente diferentes. Tais substâncias, cuja existência seria a primeira evidência encontrada na 
obra de Soddy e outros investigadores sobre as propriedades químicas do elemento radioativo, são 
chamados de isótopos, com referência à classificação dos elementos de acordo com as propriedades 
físicas e químicas comuns. Não é necessário que eu afirme aqui como tem sido demonstrado nos 
últimos anos que os isótopos são encontrados não apenas entre os elementos radioativos, mas também 
entre elementos estáveis comuns; na verdade, um grande número dos últimos que antes eram 
considerados simples foram mostrados por investigações bem conhecidas de Aston que consistem em 
uma mistura de isótopos com diferentes pesos atômicos. 
 A questão da estrutura interna do núcleo ainda é pouco entendida, embora um método de 
ataque seja fornecido pelos experimentos de Rutherford na desintegração de núcleos atômicos por 
bombardeio com partículas α. Na verdade, pode-se dizer que esses experimentos abrem uma nova 
época na filosofia natural, em que, pela primeira vez, a transformação artificial de um elemento em 
outro foi realizada. No que se segue, no entanto, nós devemos nos limitar a uma consideração das 
propriedades físicas e químicas comuns dos elementos e as tentativas que foram feitas para explicá-
los com base nos conceitos que acabamos de descrever. 
 É bem sabido que os elementos podem ser arranjados de acordo com suas propriedades 
físicas e químicas em um sistema natural que exibe de forma mais sugestiva as relações peculiares 
entre os diferentes elementos. Era reconhecido pela primeira vez por Mendeleev e Lothar Meyer que 
quando os elementos são organizados em uma ordem que é praticamente a de seus pesos, suas 
propriedades químicas e físicas mostram uma periodicidade pronunciada. Uma representação 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
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diagramática desta chamada Tabela Periódica é dada na Fig. 1, onde, no entanto, os elementos não 
estão dispostos na forma comum, mas de uma forma um tanto modificada de uma tabela dada pela 
primeira vez por Julius Thomsen, que também fez contribuições importantes para a ciência neste 
domínio. Na figura, os elementos são denotados por seus símbolos químicos usuais, e as diferentes 
colunas verticais indicam os chamados períodos. Os elementos em colunas sucessivas que possuem 
propriedades químicas e físicas homólogas são conectados com linhas. O significado dos colchetes ao 
redor das séries de elementos nos períodos posteriores, cujas propriedades exibem desvios típicos da 
periodicidade simples nos primeiros períodos, serão discutidos mais tarde. 
No desenvolvimento da teoria da estrutura atômica, os traços característicos do sistema natural 
encontraram uma interpretação surpreendentemente simples. Assim, somos levados a supor que o 
número ordinal de um elemento na Tabela Periódica, o chamado número atômico, é igual ao número 
de elétrons que se movem sobre o núcleo no átomo neutro. Em uma forma imperfeita, esta lei foi 
declarada pela primeira vez por Van den Broek; foi, no entanto, prenunciada pelas investigações de J. 
J. Thomson sobre o número de elétrons no átomo, bem como pelas medições de Rutherford da carga 
no núcleo do átomo. Como veremos, o apoio convincente para esta lei foi obtido de várias maneiras, 
especialmente pelas famosas investigações de Moseley sobre o Espectros de raios-X dos elementos. 
Podemos também apontar que a conexão simples entre número atômico e carga nuclear oferece uma 
explicação das leis que regem as mudanças nas propriedades químicas dos elementos após a expulsão 
de partículas ∝ ou β, encontrando uma formulação simples na chamada lei do deslocamento radioativo. 
 
Fig. 3.2. Figura 1 do texto original de Bohr. 
 
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23 
 
 
Estabilidade atômica e teoria eletrodinâmica 
 
Tão logo tentamos traçar uma conexão mais íntima entre as propriedades dos elementos e a 
estrutura atômica, encontramos profundas dificuldades, em que diferenças essenciais entre um átomo 
e um sistema planetário se mostram aqui apesar da analogia que mencionamos. 
Os movimentos dos corpos em um sistema planetário, embora obedeçam à lei geral da 
gravitação, não serão completamente determinados apenas por essa lei, mas dependerão em grande 
parte da história anterior do sistema. Assim, a duração do ano não é determinada apenas pelas massas 
do Sol e da Terra, mas depende também das condições que existiram durante a formação do sistema 
solar, das quais temos muito pouco conhecimento. Se algum dia um corpo estranho suficientemente 
grande atravessar nosso sistema solar, podemos, entre outros efeitos, esperar que a partir desse dia a 
duração do ano seja diferente de seu valor presente. 
É bem diferente no caso dos átomos. As propriedades definidas e imutáveis dos elementos 
exigem que o estado de um átomo não possa sofrer mudanças permanentes devido a ações externas. 
Assim que o átomo é deixado a si mesmo novamente, suas partículas constituintes devem organizar 
seus movimentos de uma maneira que é completamente determinada pelas cargas elétricas e massas 
das partículas. Temos a evidência mais convincente disso nos espectros, ou seja, nas propriedades da 
radiação emitida pelas substâncias em determinadas circunstâncias, que podem ser estudadas com 
grande precisão. É bem sabido que os comprimentos de onda das linhas espectrais de uma substância, 
que em muitos casos podem ser medidos com uma precisão de mais de uma parte em um milhão, são, 
nas mesmas circunstâncias externas, sempre exatamente os mesmos dentro do limite de erro das 
medições, e bastante independente do tratamento prévio desta substância. É justamente a esta 
circunstância que devemos a grande importância da análise espectral, que tem sido um auxílio 
inestimável aos químicos na busca de novos elementos, e também nos mostrou que até nos corpos 
mais distantes do universo ocorrem elementos com exatamente as mesmas propriedades da Terra. 
Com base em nossa descrição da constituição do átomo, é impossível, enquanto nos restringirmos às 
leis mecânicas comuns, explicar a estabilidade atômica característica que é necessária para uma 
explicação das propriedades dos elementos. 
A situação não melhora de forma alguma se levarmos em consideração as bem conhecidas 
leis eletrodinâmicas que Maxwell conseguiu formular com base nas grandes descobertas de Oersted e 
Faraday na primeira metade do século passado. A teoria de Maxwell não só se mostrou capaz de dar 
conta dos já conhecidos fenômenos elétricos e magnéticos em todos os seus detalhes, mas também 
celebrou seu maior triunfo na previsão das ondas eletromagnéticas que foram descobertas por Hertz, 
e agora são tão amplamente utilizadas em telegrafia sem fio. 
Por um tempo, pareceu que essa teoria também seria capaz de fornecer uma base para uma 
explicação dos detalhes das propriedades dos elementos, depois de ter sido desenvolvida, 
principalmente por Lorentz e Larmor, em uma forma consistente com a concepção atomística de 
eletricidade. Só preciso lembrá-lo do grande interesse que foi despertado quando Lorentz, logo após a 
descoberta por Zeeman das mudançascaracterísticas que as linhas espectrais sofrem quando a 
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substância emissora é trazida para um campo magnético, podia dar uma explicação natural e simples 
das principais características do fenômeno. Lorentz assumiu que a radiação que observamos em uma 
linha espectral é enviada de um elétron executando vibrações harmônicas simples sobre uma posição 
de equilíbrio, exatamente da mesma maneira que as ondas eletromagnéticas na radiotelegrafia são 
enviadas pelas oscilações elétricas na antena. Ele também apontou como a alteração observada por 
Zeeman nas linhas espectrais correspondia exatamente à alteração no movimento do elétron vibrante 
que se esperava ser produzido pelo campo magnético. 
Era, no entanto, impossível, com base nisso, dar uma explicação mais detalhada dos espectros 
dos elementos, ou mesmo do tipo geral das leis vigentes com grande exatidão para os comprimentos 
de onda das linhas nesses espectros, que haviam sido estabelecidos por Balmer, Rydberg e Ritz. 
Depois que obtivemos detalhes quanto à constituição do átomo, essa dificuldade tornou-se ainda mais 
manifesta; na verdade, enquanto nos limitarmos à teoria eletrodinâmica clássica, não podemos nem 
mesmo entender por que obtemos espectros consistindo de linhas agudas. Essa teoria pode até ser 
considerada incompatível com a suposição da existência de átomos possuindo a estrutura que 
descrevemos, em que os movimentos dos elétrons reivindicaram uma radiação contínua de energia do 
átomo, que cessaria apenas quando os elétrons tivessem caído no núcleo. 
 
A origem da teoria quântica 
 
No entanto, foi possível evitar as várias dificuldades da teoria eletrodinâmica com a introdução 
de conceitos emprestados da chamada teoria quântica, que marca um afastamento total das ideias até 
então utilizadas para a explicação dos fenômenos naturais. Essa teoria foi originada por Planck, no ano 
de 1900, em suas investigações sobre a lei da radiação térmica, que, por sua independência das 
propriedades individuais das substâncias, prestou-se peculiarmente bem a um teste de aplicabilidade 
das leis da física clássica aos processos atômicos. 
Planck considerou o equilíbrio da radiação entre uma série de sistemas com as mesmas 
propriedades daqueles nos quais Lorentz havia baseado sua teoria do efeito Zeeman, mas ele agora 
podia mostrar não apenas que a física clássica não poderia explicar os fenômenos da radiação de calor, 
mas também que um acordo completo com a lei experimental poderia ser obtido se - em pronunciada 
contradição com a teoria clássica - fosse assumido que a energia dos elétrons vibrando não poderia 
mudar continuamente, mas apenas de tal forma que a energia do sistema permanecesse sempre igual 
a um número inteiro dos chamados quanta de energia. A magnitude desse quantum foi considerada 
proporcional à frequência de oscilação da partícula, que, de acordo com os conceitos clássicos, deveria 
ser também a frequência da radiação emitida. O fator de proporcionalidade teve que ser considerado 
como uma nova constante universal, uma vez que denominado constante de Planck, semelhante à 
velocidade da luz e à carga e massa do elétron. 
O resultado surpreendente de Planck ficou inicialmente completamente isolado nas ciências 
naturais, mas com as contribuições significativas de Einstein para este assunto, alguns anos depois, 
uma grande variedade de aplicações foi encontrada. Em primeiro lugar, Einstein apontou que a 
condição que limita a quantidade de energia vibracional das partículas poderia ser testada pela 
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investigação do calor específico dos corpos cristalinos, já que neste caso, tem a ver com vibrações 
semelhantes, não de um único elétron, mas de átomos inteiros sobre posições de equilíbrio na rede 
cristalina. Einstein foi capaz de mostrar que o experimento confirmou a teoria de Planck e, por meio do 
trabalho de investigadores posteriores, esse acordo provou ser bastante completo. Além disso, Einstein 
enfatizou outra consequência dos resultados de Planck, a saber, que a energia radiante só poderia ser 
emitida ou absorvida pela partícula oscilante na chamada radiação “quanta”, a magnitude de cada uma 
das quais era igual a constante de Planck multiplicada pela frequência. 
Em suas tentativas de dar uma interpretação desse resultado, Einstein foi levado à formulação 
da chamada "hipótese dos quanta-luz" segundo a qual a energia radiante, em contradição com a teoria 
eletromagnética da luz de Maxwell, não seria propagada como ondas eletromagnéticas, mas sim como 
átomos de luz concretos, cada um com uma energia igual à de um quantum de radiação. Esse conceito 
levou Einstein à sua conhecida teoria do efeito fotoelétrico. Este fenômeno, que era inteiramente 
inexplicável na teoria clássica, foi assim colocado sob uma luz bastante diferente, e as previsões da 
teoria de Einstein receberam tal exatidão experimental confirmação nos últimos anos, de que talvez a 
determinação mais exata da constante de Planck seja fornecida por medições do efeito fotoelétrico. 
Apesar de seu valor heurístico, entretanto, a hipótese dos quanta-luz, que é totalmente irreconciliável 
com os chamados fenômenos de interferência, não é capaz de lançar luz sobre a natureza da radiação. 
Só preciso lembrar que esses fenômenos de interferência constituem nosso único meio de investigar 
as propriedades de radiação e, portanto, de atribuir qualquer significado mais próximo à frequência que, 
na teoria de Einstein, fixa a magnitude do quantum de luz. 
Nos anos seguintes, muitos esforços foram feitos para aplicar os conceitos da teoria quântica 
à questão da estrutura atômica, e a ênfase principal foi às vezes colocada em uma e às vezes na outra 
das consequências deduzidas por Einstein do resultado de Planck. Como a mais conhecida das 
tentativas nessa direção, das quais, entretanto, nenhum resultado definitivo foi obtido, posso mencionar 
o trabalho de Stark, Sommerfeld, Hasenöhrl, Haas e Nicholson. 
Também data desse período uma investigação de Bjerrum sobre as bandas de absorção do 
infravermelho, que, embora não tivesse relação direta com a estrutura atômica, provou ser significativo 
para o desenvolvimento da teoria quântica. Ele dirigiu atenção ao fato de que a rotação das moléculas 
em um gás pode ser investigada por meio das mudanças em certas linhas de absorção com a 
temperatura. Ao mesmo tempo, ele enfatizou o fato de que o efeito não deve consistir de um 
alargamento contínuo das linhas, como se poderia esperar de teoria clássica, que não impôs restrições 
às rotações moleculares, mas de acordo com a teoria quântica, ele previu que as linhas deveriam ser 
divididas em uma série de componentes, correspondendo a uma sequência de possibilidades distintas 
de rotação. Esta previsão foi confirmada alguns anos mais tarde por Eva von Bahr, e o fenômeno ainda 
pode ser considerado como uma das evidências mais marcantes da realidade da teoria quântica, 
mesmo embora, do nosso ponto de vista atual, a explicação original tenha sofrido uma modificação nos 
detalhes essenciais. 
 
A teoria quântica da constituição atômica 
 
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A questão de um maior desenvolvimento da teoria quântica foi, entretanto, colocada sob uma 
nova luz pela descoberta de Rutherford do núcleo atômico (1911). Como já vimos, essa descoberta 
deixou bem claro que, apenas pelas concepções clássicas, era quase impossível compreender as 
propriedades mais essenciais dos átomos. Fomos, portanto, levados a buscar uma formulação dos 
princípios da teoria quântica que pudesse explicar imediatamente a estabilidade na estrutura atômica 
e as propriedades da radiação emitida pelos átomos, da qual as propriedades observadas das 
substânciastestemunham. Tal formulação foi proposta (1913) pelo presente docente na forma de dois 
postulados, que podem ser enunciados da seguinte forma: 
 
(I). Entre os estados de movimento concebivelmente possíveis em um sistema atômico, existem uma 
série de estados chamados estacionários que, apesar do fato de que o movimento das partículas 
nesses estados obedece às leis da mecânica clássica em uma extensão considerável, possuem uma 
estabilidade peculiar, mecanicamente inexplicável, de tal tipo que toda mudança permanente no 
movimento do sistema deve consistir em uma transição completa de um estado estacionário para outro. 
 
(II) Enquanto, em contradição com a teoria eletromagnética clássica, nenhuma radiação ocorre do 
átomo nos próprios estados estacionários, um processo de transição entre dois estados estacionários 
pode ser acompanhado pela emissão de radiação eletromagnética, que terá as mesmas propriedades 
que aquela que seria enviada de acordo com a teoria clássica de uma partícula eletrificada executando 
uma vibração harmônica com frequência constante. Essa frequência 𝜈 não tem, entretanto, nenhuma 
relação simples com o movimento das partículas do átomo, mas é dada pela relação ℎ𝜈 = 𝐸′ − 𝐸", onde 
ℎ é a constante de Planck, e E' e E" são os valores da energia do átomo nos dois estados estacionários 
que formam o estado inicial e final do processo de radiação. Por outro lado, a irradiação do átomo com 
ondas eletromagnéticas desta frequência pode levar a um processo de absorção, pelo qual o átomo é 
transformado de volta do último estado estacionário para o primeiro. 
 
Enquanto o primeiro postulado tem em vista a estabilidade geral do átomo, o segundo 
postulado tem em vista principalmente a existência de espectros com linhas agudas. Além disso, a 
condição da teoria quântica que entra no último postulado fornece um ponto de partida para a 
interpretação das leis dos espectros em série. A mais geral dessas leis, o princípio de combinação 
enunciado por Ritz, afirma que a frequência 𝜈 para cada uma das linhas no espectro de um elemento 
pode ser representada pela fórmula 𝜈 = 𝑇" − 𝑇′, onde T" e T' são dois termos chamados espectrais, 
pertencentes a uma variedade de tais termos característicos da substância em questão. 
De acordo com nossos postulados, esta lei encontra uma interpretação imediata na suposição 
de que o espectro é emitido por transições entre uma série de estados estacionários em que o valor 
numérico da energia do átomo é igual ao valor do termo espectral multiplicado pela constante de Planck. 
Esta explicação do princípio de combinação parece divergir fundamentalmente das ideias usuais da 
eletrodinâmica, assim que consideramos que não há uma relação simples entre o movimento do átomo 
e a radiação enviada para fora. O afastamento de nossas considerações das ideias comuns da filosofia 
natural torna-se particularmente evidente, no entanto, quando observamos que a ocorrência de duas 
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linhas espectrais, correspondendo a combinações do mesmo termo espectral com dois outros termos 
diferentes, implica que a natureza da radiação enviada para fora do átomo não é determinada apenas 
pelo movimento do átomo no início do processo de radiação, mas também depende do estado para o 
qual o átomo é transferido pelo processo. 
À primeira vista, pode-se, portanto, pensar que dificilmente seria possível trazer nossa 
explicação formal do princípio de combinação em relação direta com nossas visões sobre a constituição 
do átomo, que, de fato, são baseadas em evidências experimentais interpretadas na mecânica clássica 
e eletrodinâmica. Uma investigação mais detalhada, entretanto, deve deixar claro que uma relação 
definida pode ser obtida entre os espectros dos elementos e a estrutura de seus átomos com base nos 
postulados. 
 
O espectro de hidrogênio 
 
O espectro mais simples que conhecemos é o do hidrogênio. As frequências de suas linhas 
podem ser representadas com grande precisão por meio da fórmula de Balmer: 
𝜈 = 𝐾(
𝐼
𝑛"²
−
𝐼
𝑛′²
), 
onde K é uma constante e n' e n'' são dois números inteiros. Consequentemente, no espectro 
encontramos uma única série de termos espectrais da forma 
𝐾
𝑛²
, que diminuem regularmente com o 
aumento do número em termos de n. De acordo com os postulados, devemos, portanto, assumir que 
cada uma das linhas de hidrogênio é emitida por uma transição entre dois estados pertencentes a uma 
série de estados estacionários do átomo de hidrogênio em que o valor numérico da energia do átomo 
é igual a 
ℎ𝐾
𝑛²
 . 
Seguindo nossa imagem da estrutura atômica, um átomo de hidrogênio consiste em um núcleo 
positivo e um elétron que - tanto quanto as concepções mecânicas comuns são aplicáveis - irá com 
grande aproximação descrever uma órbita elíptica periódica com o núcleo em um foco. O eixo maior 
da órbita é inversamente proporcional ao trabalho necessário para remover completamente o elétron 
do núcleo e, de acordo com o exposto, esse trabalho nos estados estacionários é igual a 
ℎ𝐾
𝑛²
. Assim, 
chegamos a uma variedade de estados estacionários para os quais o eixo maior da órbita do elétron 
assume uma série de valores discretos proporcionais aos quadrados dos números inteiros. A Fig. 2 
anexa mostra essas relações em um diagrama. Por uma questão de simplicidade, as órbitas do elétron 
nos estados estacionários são representadas por círculos, embora na realidade a teoria não coloque 
nenhuma restrição na excentricidade da órbita, mas apenas determina o comprimento do eixo maior. 
As setas representam os processos de transição que correspondem ao vermelho e linhas verdes do 
hidrogênio, e a frequência das quais é dada por meio da fórmula de Balmer quando colocamos n'' = 2 
e n' = 3 e 4, respectivamente. Também são representados os processos de transição que 
correspondem às três primeiras linhas da série de linhas ultravioletas encontradas por Lyman em 1914, 
cujas frequências são dadas pela fórmula quando n é colocado igual a 1, bem como à primeira linha 
das séries de infravermelho descobertas alguns anos antes por Paschen, que são dadas pela fórmula 
se n'' for colocado igual a 3. Esta explicação da origem do espectro do hidrogênio nos leva naturalmente 
TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FÍSICA – IF-UFRGS – LIMA et al., v.32 n.5 2021 
 
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a interpretar este espectro como a manifestação de um processo pelo qual o elétron está ligado ao 
núcleo. Enquanto o maior termo espectral com o termo número 1 corresponde ao estágio final no 
processo de ligação, os pequenos termos espectrais que têm valores maiores do termo 1 correspondem 
a estados estacionários que representam os estados iniciais do processo de ligação, onde as órbitas 
de elétrons ainda têm grandes dimensões e onde o trabalho necessário para remover um elétron do 
núcleo ainda é pequeno. A fase final do processo de ligação podemos designar como o estado normal 
do átomo, e se distingue dos outros estados estacionários pela propriedade de que, de acordo com os 
postulados, o estado do átomo só pode ser alterado pela adição de energia pela qual o elétron é 
transferido para uma órbita de dimensões maiores, correspondendo a um estágio anterior do processo 
de ligação. O tamanho da órbita do elétron no estado normal calculado com base na interpretação 
acima do espectro concorda aproximadamente com o valor para as dimensões dos átomos dos 
elementos que foram calculados pela teoria cinética da matéria a partir das propriedades dos gases. 
Uma vez que, no entanto, como uma consequência imediata da estabilidade dos estados estacionários 
que é reivindicado pelos postulados, devemos supor que a interação entre dois átomos durante uma 
colisão não pode ser completamente descrita com o auxílio das leis da mecânica clássica, uma 
comparação como essa não pode ser levada adiante com base em considerações