Noções de Cálculo: Limites e Continuidade

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INSTITUTO DE ESTUDOS SUPERIORES DA AMAZÔNIA
CÁLCULO 1
Prof. M.Sc.: Irazel
LIMITES
NOÇÃO INTUITIVA DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO
	Seja a função , tal que , conforme o gráfico abaixo:
Fig.1- Quando , 
	Observa-se que quando x aproxima-se de a pela direita (por valores maiores que a), y se aproxima de L, e quando x se aproxima de a pela esquerda (por valores menores), y também se aproxima de L(fig.1).
	Percebe-se que quando x se aproxima de a, y se aproxima de L, isto é, quando x tende para a ( ), y tende para L(), ou seja:
DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE
	Seja uma função definida em todo número de algum intervalo aberto , contendo , exceto possivelmente no próprio número . O limite de quando x se aproxima de , que pode ser expresso por:
ATENÇÃO
	Não é necessário que a função esteja definida em , o que importa é o seu comportamento quando x se aproxima de a.
A definição anterior tem o significado geométrico seguinte:
Para qualquer x D( numa qualquer vizinhança (proximidade) de x = a, no caso de haver limite, vai existir sempre uma vizinhança de que contém a imagem f(x).
Desta forma o conceito de limite vai ter relevância do ponto de vista microscópico, o qual em Análise Matemática se diz infinitesimal.
LIMITES LATERAIS
	Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela direita, escreve-se:
Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a(Fig.2a)
	Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela esquerda, escreve-se:
Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a (Fig.2a)
IMPORTANTE
	O limite de para existe se, e somente se, os limites laterais à direita e esquerda são iguais, isto é:
Se , então 
Se , então não existe 
a
a
Os limites laterais são diferentes
Os limites laterais são iguais
UNICIDADE DO LIMITE
	Se o limite de uma função existe, então ele é único, isto é:
PROPRIEDADES DOS LIMITES
Nos casos que se segue, tem-se: , , e 
P1) 
P2) 
P3) 
P4) 
P5) 
P6) 
P7), 
TEOREMA DO CONFRONTO(TEOREMA DO SANDUÍCHE)
	Sejam , tais que , e , então,
O gráfico de g fica "preso'' entre os de f e h.
CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO
	Diz-se que uma função é contínua num ponto de seu domínio, se seu gráfico não apresenta interrupções. As seguintes condições devem ser satisfeitas para que ocorra a continuidade:
.
CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO EM UM INTERVALO
	Uma função é continua em um intervalo , quando é contínua em todos os pontos do intervalo.
PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES CONTÍNUAS
	Se as funções são continuas em , então:
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Verifique a continuidade das seguintes funções nos pontos indicados:
 , em 
LIMITES NO INFINITO
	Seja uma função definida em um intervalo aberto . Diz-se que, quando x cresce ilimitadamente, se aproxima de e escrevemos:
	Seja uma função definida em um intervalo aberto . Diz-se que, quando x decresce ilimitadamente, se aproxima de e escrevemos:
Gráfico de uma função que ilustra o comportamento de uma função quando 
TEOREMA- Se n é um numero inteiro positivo, então:
LIMITES INFINITOS
	Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto contendo , exceto, possivelmente em . Diz-se que f(x) cresce de modo ilimitado e, escreve-se:
	Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto contendo , exceto, possivelmente em . Diz-se que f(x) decresce de modo ilimitado e, escreve-se:
TEOREMA- Se n é um número inteiro positivo qualquer, então:
	Seja a função , representada no gráfico abaixo:
	Do gráfico acima, tem-se:
, isto é, à medida que x aumenta y tende para zero e o limite é zero.
, isto é, à medida que x diminui y tende para zero e o limite é zero.
, ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita, y tende para o infinito e o limite é infinito.
, ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero, y tende para menos infinito.
Quando construímos o gráfico de , observamos que existe uma reta (assíntota) horizontal que é a reta y=0, que nunca toca a função, mas se aproxima dela em + e em -.
LIMITE DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL PARA 
	Seja a função polinomial . Então:
ATENÇÃO
	O limite de uma função polinomial, quando , é igual ao limite do termo de maior grau do polinômio.
ASSÍNTOTAS
	São retas das quais o gráfico de uma função se aproxima no limite à medida que x cresce ou decresce.
ASSÍNTOTA VERTICAL – A reta é uma assíntota vertical do gráfico de , se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:
ASSÍNTOTA HORIZONTAL- A reta é uma assíntota horizontal do gráfico de , se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico das seguintes funções:
LIMITES FUNDAMENTAIS
Os limites abaixo são denominados limites fundamentais e podem ser utilizados no cálculo de outros limites, quando necessário.
, onde e é o número irracional neperiano cujo valor aproximado é 2,718281828459...
, 
INDETERMINAÇÕES
	São expressões que, a priori, nada se pode afirmar sobre o valor de seus limites. Neste caso faz-se necessário um trabalho algébrico para transformar a expressão em uma equivalente a ela, para a qual seja possível o cálculo do limite.
	São consideradas indeterminações as seguintes expressões:
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
CALCULE OS SEGUINTES LIMITES:
01. 
02. 
03. 
04. 
05. 
06. 
07. Seja a função definida por:
, calcule 
08. 
09. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. Verifique a continuidade das funções nos pontos indicados:
, em 
, em 
, x=2
, x=0
RESPOSTAS
	01. 2
	13. 2
	02. 4
	14. 
	03. -8/3
	15. 3/5
	04. 2
	16. 0
	05. 4
	17. 1
	06. -8/3
	18. m/n
	07. -1
	19. 1
	08. 1/2
	20. 
	09. 
	21. 3/4
	10. 
	22. 
	11. 5
	23. a) contínua
	12. 1
	 b) descontínua
 c) contínua
 d) contínua
REFERÊNCIAS
[1] ANTON, HOWARD. Cálculo, Um Novo Horizonte. Porto alegre. Bookman, 2000. Vol.1.
[2] FLEMMING, DIVA MARÍLIA.2007. Cálculo A. Ed. Pearson Prentice Hall, São Paulo-SP.
[3] GUIDORIZZI, H.L.2000. Um Curso de Cálculo, vol.1. RJ-Brasil, Editora LTC.
[4] LEITHOLD, L. 1981. O Cálculo com Geometria Analítica, vol.1, 2ª Edição. Editora HARBRA
[5] TSYPKIN, A.G.1986. Methods of Solving Problems in High-School Mathematics. Mir Publishers Moscow.