Simulado de Cálculo Instrumental

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CURSOS DE ENGENHARIA 
 DISCIPLINA: CÁLCULO INSTRUMENTAL Semestre 2012.1 
 PROFESSORA: Rosely Bervian DATA: _____ / _____ / _____ 
 ALUNO(A):_______________________________________________________ 
 
SIMULADO 2 – Como estou? 
 
“Ninguém é tão ignorante que não tenha algo a ensinar; 
e ninguém é tão sábio que não tenha algo a aprender”. 
Blaise Pascal 
 
 
Questão 1. Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções: 
 
a) 
2 5 3
1 4
( ) 2f x x
x x
  
 e) 
 2( ) 1f x arctg x 
 
 
b) 
( ) cos(5 )f x x
 f) 4
2
3
( )
2
x
f x
x
 
  
 
 
 
c) 
  3 23
3 1
2f x x x
x x
   
 g) 
2( ) 2 ( )cos(3 )f x sen x x
 
 
d) 
3
2 4
( )
3 1
x x
f x
x
 
  
 
 h) 
 
2
3 4( ) (2 ) f x x x sen x
 
 
 
Questão 2. Determine as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função 
f(x) = 1 – 2x – 3x2 no ponto de abscissa x0 = –2. 
 
Questão 3. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 

8
x 2
 no ponto 
de abscissa x = 6. 
 
 
Questão 4. Calcule a área do triângulo retângulo ABC na figura abaixo, sabendo que a reta r é 
normal à curva f(x) = x2 - 1 no ponto de abscissa x0 = 1. 
 
 
 
 
 
Questão 5. Calcule as derivadas sucessivas da função f(x) = ln(senx) até a ordem 4. 
 
 
Questão 6. Calcule a derivada de ordem 3 da função f(x) = 3sen2(2x). 
 
 
Questão 7. Seja a função f(x) = x2 – 3x – 4, cujo domínio é o conjunto 
3
D(f) ,
2
 
  
 
. Calcule a 
derivada da função f-1(y) para y = –6. 
 
 
Questão 8. Determine a derivada da função definida implicitamente pela equação 
eyx3 + 4x2y + 2 = cos(y). 
 
Questão 9. Se x3 + x2y + 4y2 = 6, mostre que 2
2
dy 3x 2xy
dx x 8y
 


. 
 
Questão 10. Usando derivação implícita, determine 
dy
dx
 em cada caso. 
 
a) x arcsen(y) = x + y b) arctg(x) + arccotg(y) = 
2

 
 
 
Questão 11. Usando a regra de L’Hospital, calcule: 
 
a) 
 0 ln 2 1
lim
xx
x
e 
 b) 
 0
sen 1
lim
ln 1
x
x
e x
x
 

 c)  3
0
1
1 cos(2 )
lim



x
x
x e
x
 
 
d) 
1
ln(1 )
1
lim


 
 
 x
x
x
 e) 
 2
0
lim .ln( )
x
x x
 f) 
 1/
0
lim

x
x
xe
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
Q.1. 
a) 
3 5 8
2 1 12
f '(x)
x x 5 x
   
 e) 
4 2
2x
f '(x)
x 2x 2

 
 
 
b) 
5sen(5x)
f '(x)
2 cos(5x)
 
 f)    
 
3 2
5
2
4 x 3 x 6x 2
f '(x)
x 2
   


 
 
c) 
2 4 3
3 3 1 2
f '(x)
x x x 3 x
    
 g) 
2f '(x) 2sen(2x)cos(3x) 6sen (x)sen(3x) 
 
 
d)    
 
2
2 2
4
3 x 4x 3x 2x 4
f '(x)
3x 1
  


 
 
h) 
    
2
3 2 4 3 3f '(x) 2 x x 3x 1 sen (2x) 8 x x sen (2x)cos(2x)    
 
 
 
Q.2. 
Equação da reta tangente: y + 7 = 10(x + 2) 
Equação da reta normal: y + 7 = 
1
10

(x + 2) 
 
Q.3. Equação da reta tangente: y – 4 = 
1
2

 (x + 6) 
 
Q.4. A = 25/16 u.a. 
 
Q.5 . 
f’(x) = cotg(x) f’’’(x) = 2cossec2(x).cotg(x) 
f’’(x) = –cossec2(x) f(4)(x) = –4cossec2(x).cotg2(x) – 2cossec4(x) 
 
Q.6. 
f’(x) = 12sen(2x)cos(2x) ( que é igual a f’(x) = 6sen(4x) ) 
f’’(x) = 24cos2(2x) – 24sen2(2x) ( que é igual a f’’(x) = 24cos(4x) ) 
f’’’(x) = –192sen(2x)cos(2x) ( que é igual a f’’’(x) = –96sen(4x) ) 
 
 
Q.7. 1 
 
Q.8. 
2 y
3 y 2
dy 3x e 8xy
dx x e 4x sen(y)
 

 
 
 
Q.10. a)   

 
2
2
1 y 1 arcsen(y)dy
dx x 1 y
 b) 



2
2
dy 1 y
dx 1 x
 
 
 
Q.11. a) 
1
2
 b) 2 c) 
3
2
 d) e e) 0 f) +
