Analise de graficos

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Professora: Ana Rita Barbosa - 5 - 
4. Análise de gráficos 
 
Neste tópico vamos analisar gráficos de algumas funções para determinar o sinal, os intervalos 
de crescimento e decrescimento e as raízes. 
 
Definições: 
 
1 – Dizemos que f(x) é positiva num intervalo [a, b] ⊂ Df se f(x) > 0 para todo x nesse intervalo. 
 
2 – Dizemos que f(x) é negativa num intervalo [a, b] ⊂ Df se f(x) < 0 para todo x nesse intervalo. 
 
3 – Os pontos x do domínio de uma função que têm imagem nula são chamados de raízes de f. 
 
 
 
a) f(1) = a) f(-3) = 
b) f(-2) = b) f(0) = 
c) f(-3) = c) f(4) = 
d) f(-1) = d) f(5) – f(-3) = 
e) f (0) = e) O domínio da função 
f) Os valores de x para os quais f(x) > 0 
 
f) O conjunto imagem 
g) Os valores de x para os quais f(x) < 0 g) As raízes da função 
h) As raízes da função h) Os valores de x para os quais f(x) > 0 
i) Intervalos de crescimento e decrescimento i) Os valores de x para os quais f(x) < 0 
 
 
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a) f (-5) = a) Domínio 
b) f(-4) = b) Imagem 
c) f(-1) = c) f(-7) 
d) f(0) = d) f(-3) 
e) f(3) = e) f(0) 
f) f(√17)= g) As raízes de f 
g) Os intervalos do domínio onde a função f é 
g.1) crescente 
g.2) decrescente 
g.3) constante 
 
h) As raízes de f 
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5. Função Afim 
 
Definição: Toda função do tipo f(x) = ax + b com a, b ∈ R é denominada função afim. 
 
Pode-se demonstrar que o gráfico de uma função afim é uma reta. Por isso, para desenhar o 
gráfico basta determinar dois pontos pertencentes a f. 
 
O valor de a é chamado taxa de variação da função, ou coeficiente angular da reta que 
representa o gráfico de f(x). Se são conhecidos dois pontos (x1 , f(x1)) e (x2 , f(x2)) que 
pertençam ao gráfico da função afim, pode-se determinar a através de: 
 
21
21 )()(
xx
xfxf
a
−
−
= 
 
Sendo f(x) = ax + b, podemos obter o coeficiente linear de b fazendo x=0, ou seja, (0, b) pertence 
ao gráfico de f(x). 
 
Exemplos: 
01 . Construir o gráfico das funções a seguir: 
 
a) f(x) = 3x - 6 
 
b) f(x) = -2x + 4 
 
c) 



<
≥
=
1 xse 1,-3x
1 xse 2x,)(xf 
 
02. Determinar os valores de a e b no gráfico: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
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Exercícios: 
 
01. Construir o gráfico de cada uma das funções, determinando o ponto de interseção 
com os eixos coordenados: 
 



<
≥
=+=−−=
==−=
1 xse , 2x-
1 xse 2,-2x
 f(x) f) 
3
x
 f(x) d) 42xf(x) b)
1--xf(x) e) 5x f(x) c) 42xf(x) a)
1
 
02) Construa o gráfico de cada uma das funções. Determine os pontos de interseção com 
os eixos coordenados: 
 
23)
3
5
2)
2
1
3
)
1)
105)
+−=
−=
−=
−−=
−=
xye
xyd
xyc
xyb
xya
 
 
 
 
 
 
 
03) A partir do gráfico obtenha a expressão y=ax+b. 
 
 
 
 
 
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Respostas: 
Questão 02: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 03 
a) a = 2 e b = 1 
b) a = -3 e b = 0 
c) a = -1/2 e b =1 
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6. Função Quadrática 
 
Definição: Toda função do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com a ∈ R*, b e c ∈ R, é chamada de função 
quadrática. 
 
Pode-se demonstrar que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Essa parábola tem 
eixo de simetria paralela ao eixo Oy, concavidade voltada para cima se a > 0 e concavidade 
voltada para baixo se a < 0. 
 
Pontos notáveis de uma parábola: 
 
1 – Interseção com o eixo Ox: 
 
a) Se ∆ > 0 a parábola intersecta o eixo horizontal em dois pontos: ( x1, 0) e (x2, 0). Sendo x1 e x2 
são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0. 
 
b) Se ∆ = 0 a parábola intersecta o eixo horizontal em apenas um ponto: ( x1, 0) onde x1 é a raiz 
de multiplicidade 2 da equação ax2 + bx + c = 0. 
 
Obs: Esse ponto é o próprio vértice da parábola. 
 
c) Se ∆ < 0 a parábola não intersecta o eixo horizontal. 
 
 
2 – Interseção com o eixo Oy: 
 
Para obter a interseção da parábola com o eixo Oy, basta atribuirmos o valor nulo à variável x. 
Assim, o ponto de interseção da parábola com o eixo vertical é o ponto (0, c). 
 
3 – Vértice da parábola: 
 
As coordenadas do vértice são dadas por: 
 





 ∆−−
=
aa
bV
4
,
2
 
 
Determinando esses pontos notáveis, é possível construir o gráfico de uma parábola. 
 
Exemplo: Construir o gráfico das funções: 
 
a) f(x) = x2 – 6x +8 b) f(x) = -x2 + 4x c) f(x) = x2 + 25 
 
Exercícios 
01) Construir o gráfico das funções quadráticas a seguir, dando o seu domínio e conjunto 
imagem: 
a) y = x2 – 8x +12 b) y = x2 – 4x – 5 c) y = -4x2 + 3x 
d) y = -x2 + 9 e) y = 4x2 + 8x f) y = 2x2 – 2x +1 
g) y = -5x2 + 2x -1 h) y = x2 – 6x +9
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Respostas: 
 
 
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7 – Inequações. 
 
Neste tópico revisaremos como estudar o sinal de uma função afim e de uma função quadrática. 
O estudo de sinal de funções é obtido através da resolução de inequações. Essa ferramenta 
será utilizada posteriormente para determinar os intervalos de crescimento/decrescimento e o 
sentido da concavidade de qualquer outra função polinomial – racional. 
 
Inequação do 1° Grau 
 
Considere a função afim f(x)=x+3, cujo gráfico é: 
 
 Note que: 
 
 _______ é raiz da função. 
 
 Se x______, então f(x)>0. 
 
 Se x______, então f(x)<0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere agora a função afim f(x)= -x-3, cujo gráfico é: 
 
 
 Note que: 
 
 _______ é raiz da função. 
 
 Se x______, então f(x)>0. 
 
 Se x______, então f(x)<0. 
 
 
 
 
 
Em resumo: 
 
−6 −3 3
3
6
x
y
−6 −3 3
−3
3
x
y
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Exemplos: 
Estudar o sinal das funções: 
a) f(x)=2x-4 b) f(x)=6-3x c) f(x)=(2x-4).(6-3x) 
 
 
Exercícios: 
 
01. Resolver as inequações: 
 
0
5
<≥
+
+
>
− 2x-7
2x-3
 c) 0 
x1
15x
 b) 0
3-2x
 a)
x
 
0
x)-3)(4-(x
2)(x1)-x(x
 f) 0 
4)-x(x
3)-2x)(x-(1
 e) 0
4x
1)-6).(x-(2x
 d)
2
53
<
−
≥>
−
 
Inequação do 2° Grau 
 
Considere a função quadrática f(x)=x2-2x+2, cujo gráfico é: 
 
−3 3
3
6
x
y
 
 
 
Em resumo: 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Determinar o domínio da função 
12
)4)(1()(
2
−
−−
=
x
xx
xf . 
 
 
 
 
 
 
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8 – Função exponencial: 
 
Definição: Chama-se função exponencial toda função f: R � R+*, tal que f(x) = ax, em que a é 
uma constante real positiva e diferente de 1. 
 
Se a > 1, a função exponencial é crescente e o gráfico tem a seguinte forma: 
 
x
y
 
 
 
Se 0 < a < 1, então a função exponencial é decrescente e o gráfico tem a seguinte forma: 
 
x
y
 
 
O número neperiano – e 
 
O número de Euler, ou número neperiano pertence ao conjunto dos números irracionais. A 
primeira indicação da existência desse número se deu quando Bernoulli tentava encontrar um 
valor para a seguinte expressão: 
n
n
n
n






+
∞→
1lim 
 
Vamos construir uma tabela com alguns valores de n: 
 
n 1 10 100 1000 5000 10000 15000 20000 100000 
n
n
n






+
1
 
 
 
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Note que, a medida que o valor de n vai aumentando, a expressão 
n
n
n






+
1
vai se 
aproximando de __________. 
 
Esse valor é conhecido como o número neperiano ou número e. 
 
A função exponencial cuja base é o número de Neper é denotada algumas vezes por f(x)=exp(x). 
 
Função Logarítmica: 
 
Definição: Chama-se função exponencial toda função f: R+*� R tal que f(x) = loga x, em que a é 
uma constante real positiva e diferente de 1. 
 
Se a > 1, a função logarítmica é crescente e o gráfico tem a seguinte forma: 
 
 
 
 
Se 0 < a < 1, então a função logarítmica é decrescente e o gráfico tem a seguinteforma: 
 
1 2 3 4 5 6 7 8
−3
−2
−1
1
2
3
x
y