2SBZ o futuro

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Questão 54: 
Dada a função \( s(x) = \ln(x^2 + 1) \), calcule a derivada \( s'(x) \) e determine os pontos 
críticos da função. 
A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
B) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
C) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
D) \( \frac{1}{x} \) 
Resposta: A) 
Explicação: A derivada é \( s'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \). Os pontos críticos ocorrem quando 
\( s'(x) = 0 \), resultando em \( x = 0 \). 
 
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Questão 55: 
Seja \( t(x) = \frac{\sin(x)}{x} \). Determine o limite \( \lim_{x \to 0} t(x) \) e analise o 
comportamento da função nesse ponto. 
A) 0 
B) 1 
C) Infinito 
D) Não existe 
Resposta: B) 
Explicação: O limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \) é um resultado conhecido. Isso 
indica que a função é contínua em \( x = 0 \) e se aproxima de 1 nesse ponto. 
 
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Questão 56: 
Dada a função \( u(x) = e^{-x^2} \), determine a derivada \( u'(x) \) e analise seu 
comportamento em relação ao crescimento da função. 
A) \( -2xe^{-x^2} \) 
B) \( -e^{-x^2} \) 
C) \( 2xe^{-x^2} \) 
D) \( e^{-x^2} \) 
Resposta: A) 
Explicação: A derivada é dada por \( u'(x) = -2xe^{-x^2} \). Isso indica que a função é 
decrescente para \( x > 0 \) e crescente para \( x 0 \) para todo \( x \), a função é crescente em todo o seu 
domínio. 
 
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Questão 59: 
Seja \( x(x - 1)(x - 2) \). Determine os zeros da função e analise seu comportamento em 
relação ao crescimento e decrescimento. 
A) Zeros em \( x = 0, 1, 2 \) 
B) Zeros em \( x = 1, 2 \) 
C) Zeros em \( x = 0, 2 \) 
D) Não possui zeros 
Resposta: A) 
Explicação: A função é um polinômio de grau 3 e possui zeros em \( x = 0, 1, 2 \). 
Analisando o sinal da função entre os zeros, concluímos que a função cresce em \( (-
\infty, 0) \), decresce em \( (0, 1) \), cresce em \( (1, 2) \) e decresce em \( (2, \infty) \). 
 
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Questão 60: 
Dada a função \( y(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \), determine as assintotas verticais e 
horizontais da função. 
A) Assintota vertical em \( x = 1 \), assintota horizontal em \( y = 1 \) 
B) Assintota vertical em \( x = 1 \) e \( x = -1 \), sem assintota horizontal 
C) Sem assintota vertical, assintota horizontal em \( y = 1 \) 
D) Sem assintotas 
Resposta: B) 
Explicação: A função tem assintotas verticais em \( x = 1 \) e \( x = -1 \) (onde o 
denominador se anula). Ao calcular o limite quando \( x \to \infty \), obtemos \( \lim_{x \to 
\infty} y(x) = 1 \), indicando uma assintota horizontal em \( y = 1 \). 
 
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Questão 61: 
Seja \( z(x) = e^{3x} \sin(2x) \). Determine a derivada \( z'(x) \) utilizando a regra do produto e 
analise seu comportamento. 
A) \( 3e^{3x} \sin(2x) + 2e^{3x} \cos(2x) \) 
B) \( e^{3x} (3\sin(2x) + 2\cos(2x)) \)