Vetores

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Álgebra Linear 
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ESPAÇOS VETORIAIS
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O que é preciso para ter um espaço vetorial?
 Um conjunto não vazio V
 Uma operação de adição definida 	nesse conjunto
 Um produto de um número real por 	um elemento desse conjunto
 As “boas” propriedades destas 	operações
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O que são as “boas” propriedades?
 Fechado para a soma
		u, vV, u + v  V
 Fechado para o produto por um 	escalar
		, uV, u  V
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O que são as “boas” propriedades?
Propriedades da soma
 Comutativa:
		u, vV, u + v = v + u
 Associativa:
	u, v, wV, (u + v) + w = u + (v + w)
 Elemento Neutro:
		uV, u + 0 = u
Simétricos:
		uV, u + (-u) = 0
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Verificar as propriedades do espaço vetorial
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O que são as “boas” propriedades?
Propriedades da soma e do produto por um escalar:
 Distributiva:
	u, vV, ,(u + v )= u + v
 Distributiva:
 uV, , ,( + ) u = u + u 
 “Associativa”
	 uV, , ,( ) u =  (u) 
Elemento neutro
		uV, 1u = u
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Exemplos
 Vetores no plano com as operações soma e produto por um número real 
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Exemplos
 Conjunto das matrizes mn com as operações soma e produto por um número real.
 Conjunto das matrizes linha com as operações soma e produto por um número real
 Conjunto das matrizes coluna com as operações soma e produto por um número real
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Exemplos
 
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Casos particulares importantes:
 
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Casos particulares importantes:
 
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Propriedades dos espaços vectoriais
 O vetor nulo é único 
 O simétrico de cada vetor de V é único 
 Qualquer número real multiplicado pelo vetor nulo dá o vetor nulo
 Zero multiplicado por qualquer vector dá o vetor nulo
 Se o produto de um número real por um vetor dá o vetor nulo então ou o número real é nulo ou o vetor é nulo.
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Combinações Lineares:
u diz-se combinação linear de
 u1, u2, …, uk 
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Exemplo:
(2,3,-5) é combinação linear de {(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)}
com coeficientes 2, 3 e -5 respectivamente
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Exemplo:
(2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?
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Exemplo:
(2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?
(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)
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Exemplo:
(2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?
(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)
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Exemplo:
(2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?
(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)
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(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)
(2,3,-5) = -4(1,1,1) + 7(1,1,0) - (1,0,1)
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Exemplo:
(2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?
(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,2) + (0,0,3)
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Exemplo:
(2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?
(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,2) + (0,0,3)
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Exemplo:
(2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?
(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,2) + (0,0,3)
Sistema impossível
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Exemplo:
Então (2,3,-5) não pode ser combinação linear de 
{(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}
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Exemplo:
Quais serão os vetores (a, b, c) que podem ser combinação linear de
{(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?
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Exemplo:
(a, b, c) = 
x(1,1,1) + y (1,1,2) + z(0,0,3)
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Exemplo:
(a, b, c) = 
x(1,1,1) + y (1,1,2) + z(0,0,3)
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Propriedade
O vetor nulo de qualquer espaço vetorial pode ser escrito como combinação linear de qualquer conjunto de vetores.
(O sistema homogéneo tem sempre solução)
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Vetores linearmente independentes
Definição: Um conjunto de vetores de V 
	{v1, v2, … , vk} 
	diz-se linearmente independente se a única combinação linear nula destes vetores é a trivial.
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Vectores linearmente independentes
Definição: Um conjunto de vetores de V 
	{v1, v2, … , vk} 
	diz-se linearmente independente se a única combinação linear nula destes vetores é a trivial.
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Vectores linearmente dependentes
Definição: Um conjunto de vetores de V 
	{v1, v2, … , vk} 
	diz-se linearmente dependente se não é independente, isto é, se é possível obter o vetor nulo com uma combinação linear que não tem os coeficientes todos nulos.
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Vetores linearmente independentes
	Para que o conjunto de vetores de V 
	{v1, v2, … , vk} 
	seja linearmente independente é preciso que o sistema 
	seja determinado, isto é, que a característica da matriz do sistema seja k.
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Um conjunto de vetores não pode ser independente se: 
Contiver o vetor nulo;
Tiver dois vetores iguais;
Tiver um vetor múltiplo de outro;
Se um dos vetores for combinação linear de outros.
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EXEMPLO:
Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)}
linearmente independente?
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EXEMPLO:
Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)}
linearmente independente?
a(1,2,3,4)+ b(2,-1,3,5)+ c(4,7,-3,-7)+ d(1,-8,-3,-2) = (0,0,0,0)
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EXEMPLO:
Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)}
linearmente independente?
a(1,2,3,4)+ b(2,-1,3,5)+ c(4,7,-3,-7)+ d(1,-8,-3,-2) = (0,0,0,0)
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car(A) = 3 sistema indeterminado
		
		conjunto dependente 
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Subespaço Vetorial
	Seja V um espaço vetorial. Um subconjunto não vazio F de V é um subespaço vetorial de V se e só se 
	ou seja: F é fechado para a soma e para o produto por um escalar.
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Exemplo de subespaço vetorial
	
	
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Exemplo de subespaço vetorial
	
	
F é o conjunto das soluções do sistema
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Exemplo de subespaço vetorial
	
	
F é o conjunto das soluções do sistema
F é o núcleo da matriz
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Subespaços geradores
	Seja V um espaço vetorial. Consideremos um subconjunto A=	{v1, v2, … , vk}   0 S = [v1, v2, … , vk] ou S= G(A) 
 S é o menor subespaço vetorial de V que contém {v1, v2, … , vk} 
Os vetores v1, v2, … , vk são chamados geradores do subespaço S.
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Exemplos
	Os vetores i= (1,0,0) e j= ( 0,1,0) do ³ geram o espaço:
S= { (x,y,z)  ³/ x, y  }
Logo:
 (x,y,z) = x.(1,0,0) + y. ( 0,1,0)
 (x,y,z = ( x, 0 ,0) + ( 0,y,0)
 [ i,j] = S é um subespaço do ³
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Seja v= ³, determine o subespaço gerado pelo vetor v1 = (1,2,3)
Temos:
v1 = {(x,y,z) ³/ (x,y,z) = a. (1,2,3), a }
(x,y,z) = ( a, 2a,3a)
X= a y = 2a z = 3a
Y = 2x e z = 3x
Logo, 
V1 = { (x,y,z) ³/y=2x e z = 3x}
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Exemplos:
1- Mostrar que o conjunto A = { (3,1, (5,2)} gera o ².
2- Determinar os subespaços do ³ gerados pelos seguintes conjuntos:
A = {(2,-1,3)
A= { ( -1,3,2), (2,-2,1)}
A= {(1,0,1), (0,1,1), (-1,1,0)}
2- Seja o conjunto A = {v1,v2}sendo v1=(-1,3,-1) e v2= ( 1,-2,4)
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Bases e dimensão
A um conjunto de geradores de um espaço que seja linearmente independente chama-se base desse espaço.
Um espaço tem várias bases
Todas as bases têm o mesmo número de elementos
A esse número de elementos chama-se dimensão do espaço
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Bases e dimensão
Se um espaço vetorial tem dimensão n não pode haver conjuntos de vetores independentes com mais do que n elementos
Se um espaço vetorial tem dimensão n não pode haver conjuntos de vetores geradores do espaço com menos do que n elementos
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EXEMPLO
A= { ( 1,1),(-1,0) é base de ².
Logo:
I- A é LI, pois a.(1,1) + b.(-1,0) = (0,0), implica
a=b=0
II- A gera ², pois para todo (x,y)  ²., tem-se:
(x,y) = a.(1,1) + b.(-1,0), implica:
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EXEMPLO
Sejam os vetores V1= (1,2,3) , v2(0,1,2) e
 v3=( 0,0,1)
- Mostra que o conjunto B ={ v1,v2,v3} é uma base ³
1- Provar que B é LI
2- Mostrar que B gera ³, deve-se mostrar que qualquer vetor v=(x,y,z) ³, pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores de B
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Exemplo:
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Exemplo:
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Exemplo:
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Exemplo:
dimF = 1
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Como saber se um vetor pertence a um subespaço?
Encontra-se uma base para o subespaço
Verifica-se se o vetor pode ser combinação linear dos elementos da base.
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Exemplo:
Será que (3, -2, -7, -12) é um elemento de F? 
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Exemplo:
Será que (3, -2, -7, -12) é um elemento de F?
Isto é, será que (3, -2, -7, -12) é uma combinação linear de (1,2,3,4)
e (5,6,7,8)?
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Exemplo:
Será que (3, -2, -7, -12) é um elemento de F?
Isto é, será que (3, -2, -7, 12) é uma combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?
(3, -2, -7, -12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)
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(3, -2, -7, -12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)
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(3, -2, -7, -12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)
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(3, -2, -7, -12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)
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(3, -2, -7, 12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)
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O mesmo exemplo, outra abordagem:
Será que (3, -2, -7, -12) é um elemento de F?
Isto é, será que (3, -2, -7, -12) é uma combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?
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O mesmo exemplo, outra abordagem:
Será que (3, -2, -7, 12) é um elemento de F?
Isto é, será que (3, -2, -7, -12) é uma combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?
Se tal se verificar a característica da matriz 34 que tem estes 3 vetores nas suas linhas terá que ser 2.
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O mesmo exemplo, outra abordagem:
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O mesmo exemplo, outra abordagem:
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Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vetores?
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Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vetores?
Agora ver quais as condições sobre x, y, z e w para que a última linha da matriz em escada seja nula
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Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vetores?
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Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vetores?
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Como a última linha ficou nula pode-se concluir que é combinação linear das anteriores.
(Só não se sabe quais são os coeficientes da combinação linear, para o saber é preciso resolver o sistema como se fez antes) 
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Os coeficientes da combinação linear de um vetor em relação a uma base chamam-se coordenadas do vetor