Lista1_2012.1_Álgebra

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Última atualização 03/02/2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O início da teoria das matrizes remonta um artigo 
de Arthur Cayley (1821-1895). Nesse artigo Cayley 
fez questão de salientar que, embora logicamente a 
idéia de matriz preceda a de determinante, 
historicamente ocorreu o contrário: de fato, os 
determinantes já eram usados há muito na resolução 
de sistemas lineares. (Hygino H. Domingues) 
A teoria dos determinantes teve origem em meados 
do século XVIII, quando eram estudados processos 
para resolução de sistemas lineares. Hoje em dia, 
embora não sejam um instrumento prático para 
resolução de sistemas, os determinantes são 
utilizados, por exemplo, para sintetizar certas 
expressões matemáticas complicadas. (Gelson Iezzi & 
Samuel Hazzan) 
 ÁREA1 – FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
 Cursos de Engenharia 
 Disciplina: Álgebra Linear 
 Professor(a): _____________________________ Data _____ / _____ / _____ 
 Aluno(a): ___________________________________________ Turma______ 
 
1
a
. Lista de Exercícios 
 
 Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes 
 2 
Questão 1. Determine o produto xy para que se tenha 1 2
18 4
1 1
3 4
x y
x
y
y x







 








. 
 
Questão 2. Considere as seguintes matrizes: 
 
43
21







A
, 








76
05
B
 , 









562
431
 C
 , 
 
43
21






D
 
e 







116
45
E
. 
 
a) Determine 
BA 25 
 e 
BA 32 
. 
 
b) Determine 
AAA2 
 e AC. 
 
c) Mostre que as matrizes D e E comutam (isto é, DE = ED) e A e B não comutam (isto é, AB  BA). 
 
Questão 3. Determine, se possível, x  R para que a matriz 












0x1x
x40x
1x20
3
2 seja: 
 
a) simétrica. b) anti-simétrica. 
 
Questão 4. Considere 
A 

 
 










2 1 1
3 4 3
5 5 4
. Mostre que 
A
 é idempotente, isto é, que 
AA 2
. 
 
Questão 5. Sejam 















12
01
B
10
31
A 1 e 
. Determine, se possível, a matriz X tal que 
    111t BX.A  
. 
 
Questão 6. Sejam 























84
41
C
1
2
B
53
21
A e , 
. Determine, se possível, a matriz X tal que 
CX.BA 
. 
 
 
Questão 7. Em cada item, determine a matriz 
iB
 linha equivalente à matriz 
iA
realizando sobre as linhas de 
iA
a 
seqüência de operações elementares dadas. 
a) 
















0010
0300
1000
0031
A1
;
42 LL 
; 
211 L3LL 
; 
33 L
3
1
L 






 
 
b) 







4010
0062
A2
; 
11 L
2
1
L 
; 
211 L3LL 
 
 
c) 











120
120
030
A3
; 
11 L
3
1
L 
; 
122 L2LL 
; 
133 L2LL 
;
233 LLL 
 
 Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes 
 3 
Questão 8. Determine a matriz 
iB
 que está na forma LRFE e que é linha equivalente à matriz 
iA
, para i = 1, 2, 3, 
4. 
a)









 

010
500
042
A1
 b) 











22000
10410
00211
A2
 c) 








0205
0062
A3
 d) 
















42
32
50
00
A 4
 
 
Questão 9. Considere o sistema 





0wz2y
4z2y6x2
. Determine: 
 
a) A matriz ampliada. 
b) O posto da matriz ampliada. 
c) A matriz dos coeficientes e o seu posto. O sistema é possível? 
d) A nulidade da matriz dos coeficientes. Quantas variáveis livres possui o sistema? 
e) O conjunto solução desse sistema. 
 
Questão 10. Considere que as matrizes 
iA
, dadas a seguir, são matrizes ampliadas de sistemas de equações 
lineares. Verifique se esses sistemas são possíveis e determine o conjunto solução Si dos mesmos. 
 







0210
3101
A1
 , 









 

0000
0110
0201
A2
, 















000
030
210
001
A3
 , 











1100
1010
0202
A4
 
 
 
Questão 11. Considere as matrizes M e N dadas a seguir e, em cada item, determine o conjunto solução dos 
sistemas. 











1000
0110
0201
M
 











0
2
1
N
 
 
a) M é a matriz dos coeficientes do sistema linear homogêneo S1: 
0XM 
. 
b) M é matriz ampliada do sistema S2. 
c) M é matriz dos coeficientes do sistema linear S3: NXM  . 
 
 
Questão 12. Usando escalonamento, resolva os seguintes sistemas de equações lineares: 
 
a) 








4345
1223
1022
zyx
zyx
zyx
 b) 








034
032
02
zyx
zyx
zyx
 c) 











333
142
2222
12
wx
wzyx
wzyx
wzyx
 
 
d) 








577
3252
4
zyx
zyx
zyx
 e) 





0652
032
zyx
zyx f) 











2
4
4
0
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
 
 Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes 
 4 
Questão 13. Considere a matriz 
 A aij
x

3 3
, tal que 
a
i j i j
i j i j
j i i j
ij 
 
 
 





,
,
,
 
 
 
2
. Determine X na equação 
AX B
, onde 
B 













2
2
2
. 
 
 
Questão 14. Resolva os seguintes sistemas pela regra de Cramer. 
 
a) 








1253
12
422
zyx
zyx
zyx
 b) 








0zyx
0z2y2
0zy3x
 c) 








13
12
0
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
Questão 15. Usando operações elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, 
em caso afirmativo, determine a sua inversa. 
 
a) 
A 






1 3
2 7
 b) 
B 












2 5 1
4 1 2
0 4 1
 c) 
C 













1 1 2
3 2 4
0 1 2
 
 
 
Questão 16. Resolva o sistema 








178
3352
532
zx
zyx
zyx
, usando inversão de matrizes. 
 
 
Questão 17. Numa equação química balanceada o número de cada átomo nos reagentes deve ser igual nos 
produtos. Por exemplo, 
OH2OH2 222 
. Um dos métodos para encontrar uma reação balanceada é por 
tentativa e erro. Usando os métodos de resolução de sistemas lineares podemos resolver essa questão 
facilmente. Assim em cada caso a seguir, encontre a equação química balanceada (mínima). 
 
(a) 
OHNONH 2223 
. 
 
(b) 
222115 COOHOOHHC 
 
(c) 
OHCOOHC 222104 
. 
 
Observação. 
amôniaNH3 
, 
oxigênioO2 
, 
nitrogênioN2 
, 
águaOH2 
,
carbonodedióxidoCO2 
, 
ecosgliOHC 6126 
 e 
otanbugásHC 104 
. 
 
 
 Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes 
 5 
Questão 18. Análise de redes. Uma rede é constituída por um número finito de nós, em que fluem os fluxos, 
entrando e/ou saindo. E em cada nó, o fluxo de entrada é igual ao de saída. Exemplo: 
 
Com estas considerações, determine os possíveis fluxos da rede de encanamento de água mostrado na figura a 
seguir, onde o fluxo é medido em litros por minuto. 
 
 
 
Questão 19. (Ita 2005) Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sanduíches, 7 xícaras de café e 1 
pedaço de torta totalizou R$ 31,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sanduíches, 10 xícaras de café e 1 pedaço 
de torta totalizou R$ 42,00. Então, o consumo de 1 sanduíche, 1 xícara de café e 1 pedaço de torta totaliza o 
valor de 
 
a) R$ 17,50. 
b) R$ 16,50. 
c) R$ 12,50. 
d) R$ 10,50. 
e) R$ 9,50. 
 
 
Questão 20. Numa empresa existiam três tipos de funcionários. Feito um levantamento dos salários recebidos 
nos últimos três meses observou-se que: 
i) Cada funcionário do tipo I recebeu R$300,00 no 1o mês, R$ 400,00 no 2o mês e 400,00 no 3o mês. 
ii) Cada funcionário do tipo II recebeu R$300,00 no 1o mês, R$ 500,00 no 2o mês e 600,00 no 3o mês. 
iii) Cada funcionário do tipo IIIrecebeu R$400,00 no 1o mês, R$ 500,00 no 2o mês e 500,00 no 3o mês. 
 
Se no 1o mês a soma dos salários desses funcionários foi R$10.000,00, no 2o mês R$14.000,00 e no 3o mês 
R$15.000,00, quantos funcionários de cada tipo havia na empresa? 
 
 
 
 
 
 

10

20

10
5
4f
30
A
B
C
D

3f

1f

5
2f
15
2015ff 21 
20

1f

2f
 Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes 
 6 
 
 
 
Q1. 10 
 
Q2. a) 















5 10
27 34
17 4
12 13
 e 
 b) 
7 6
9 22
5 9 6
5 33 32









 





 e 
 
 
Q3. a) 
x  0
 b) 
x  2
 
 
 
Q5. 
2x2
15
01








 
 
Q6. 
 
2x1
31
 
 
Q7. a) 















1000
0100
0010
0001
B1
 b) 





 

4010
12001
A2
 c) 











000
100
010
A3
 
 
Q8. a) 











100
010
001
B1
 b) 











11000
10410
10601
B2
 c) 









015/210
05/201
B3
 d) 















00
00
10
01
B4
 
Q9. a) 









01210
40262
A
 b) posto(A) = 2 
c) 









1210
0262
C
, posto(C) = 2. Como o posto(A) = posto(C) podemos concluir que o sistema S é 
possível. 
 
d) Nulidade(C) = 2. O número de variáveis livres é igual a nulidade da matriz dos coeficientes, daí o sistema S 
possui duas variáveis livres e portanto é uma sistema possível e indeterminado. 
e) Escalonando a matriz A obtemos a matriz 









01210
23501
B
, que corresponde ao sistema S’ equivalente 
ao sistema dado: 






0wz2y
2w3z5x
:'S





wz2y
2w3z5x
 
 
Assim, o conjunto solução do sistema S = 
  Rw,z;w,z,wz2,2w3z5 
. 
 
Q10. a) 












0z2y
3zx
0210
3101
A1 

, 
  Rz;z,z2,z3S1 
. 
b) 















 

zy
z2x
0000
0110
0201
A2


 , 
  Rz;z,z,z2S2 
. 
c) 














 














 















 


















000
100
010
001
000
100
210
001
000
600
210
001
000
030
210
001
A 322
33
233 L2LL
L
6
1
L
L3LL
3




 
Respostas 
 Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes 
 7 
Observe que posto da matriz dos coeficientes é dois e o posto da matriz ampliada é três. Desse modo o 
sistema é impossível e, portanto o conjunto solução S2 = . 
 
d) 









 
 










 













1100
1010
1001
1100
1010
0101
1100
1010
0202
A 311
11 LLL
L
2
1
L
4


, 
  1,1,1S3 
. 
 
Q11. a) 



















0w
0zy
0z2x
01000
00110
00201



  Rz;0,z,z,z2S1 
 
 
b) 




















10
0zy
0z2x
1000
0110
0201
M


 Observe que posto da matriz dos coeficientes é dois e o posto da matriz 
ampliada é três. Desse modo o sistema é impossível e, portanto o conjunto solução S2 = . 
 
c) 



















0w
2zy
1z2x
01000
20110
10201


 . 
  Rz;0,z,z2,z21S3 
. 
 
Q12. a) 
   x y z, , , , 12 3
 b) 
  R  ;,,
 c) 
  R  ,;,,2,1
 
 
 d) não existe solução. e) 
R  );,0,3(
 f) 
   x y z t, , , , , ,  1 12 2
 
 
Q13. 













1
1
1
X
 
 
 
Q14. a) 
   x y z, , , ,  5 2 2
 b) 
   x y z, , , , 0 0 0
 c) 
   x y z, , , , 1 4 1 8 3 8
 
 
Q15. a) 
A 







1
7 3
2 1
 b) 
B  













1
1 6 1 6 1 6
2 27 1 27 4 27
8 27 4 27 11 27
 c) C não é inversível. 
 
Q16. 
   2,1,1,, zyx
 
 
 
 
Q17. a) 
)6,2,3,4(
 b) 
)10,12,15,2(
 c) 
)10,8,13,2(
 
 
 
Q18. 
)f,f20,f5,f15( 4444 
, onde 
5f0 4 
. 
 
 
Q19. Letra D 
 
 
Q20. 10 funcionários de cada tipo