Estudo Teórico das Rotações das Cônicas

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INTRODUÇÃO
Neste trabalho apresentamos um estudo teórico das rotações das cônicas 
Conhecer o conceito de rotação
Saber determinar o ângulo de rotação
Identificar a equação reduzida são os principais elementos deste estudo para quaisquer engenheiros
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CÔNICAS
 Historicamente, a parábola, a elipse e a hipérbole foram descobertas como curvas planas obtidas cortando-se um cone circular reto(variando a posição do plano de corte). Por isso, são conhecidas pelo nome de cônicas.
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Curvas Cônicas
As Curvas Cônicas são produzidas por um plano secante sobre uma Superfície Cônica de Revolução.
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Algumas Aplicações das Cônicas
O interesse pelo estudo das cônicas remonta a épocas muito recuadas. De fato, estas curvas desempenham um papel importante em vários domínios da física, incluindo a astronomia, a economia, a engenharia e em muitas outras situações.
Vejamos então algumas situações onde estas curvas aparecem: 
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Na astronomia, Kepler mostrou que os planetas do sistema solar descrevem órbitas elípticas, as quais têm o sol num dos focos. Também os satélites artificiais enviados para o espaço percorrem trajetórias elípticas.
 Mas nem todos os objetos que circulam no espaço têm órbitas elípticas. Existem cometas que percorrem trajetórias hiperbólicas, os quais ao passarem perto de algum planeta com grande densidade, alteram a sua trajetória para outra hipérbole com um foco situado nesse planeta. 
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Também as trajetórias dos projéteis, num ambiente sob a ação da força de gravidade, são parabólicas.
 A balística ciência que estuda as trajetória de projéteis, faz uso deste fato para determinar o local da queda de um projétil. 
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 Suponhamos que temos uma lanterna direcionada para uma parede, então o feixe de luz emitido desenhará nessa parede uma curva cônica, conforme a figura. Dependendo da inclinação da lanterna relativamente à parede, assim se obtém uma circunferência, uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
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De fato, as propriedades refletoras das cônicas, e não somente as da parábola, têm contribuindo para a construção de telescópios, antenas, radares, faróis, ópticas dos carros, lanternas, etc... 
Só para dar uma amostra de objetos mais cotidianos que usam a propriedade refratora das cônicas, mencionamos os seguintes: os óculos graduados, as lupas e os microscópios.
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Algumas Aplicações das Cônicas
A partir da propriedade refletora das parábolas, os engenheiros civis construíram pontes de suspensão parabólica.
A arquitetura moderna se valem das formas cônicas…
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	Elipse
Elipse obtida seccionando-se um cone com um plano 
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Elipse
Elipse que o conjunto dos pontos P = (x; y) tais que dist(P; F1) + dist(P; F2) = 2a
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Elipse
Denominamos elipse ao lugar geométrico dos pontos de um plano, para os quais a soma das distâncias a dois pontos dados, F1 e F2, do plano, é igual a uma constante 2a, maior que a distância F1F2.
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Elipse
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Elementos
Os pontos F1 e F2 chamam-se focos e a distância entre eles, que vamos representar por 2c, é a distância focal da elipse.
dF1F2 = 2c (distância focal)
O ponto médio “O” do segmento F1F2 é o centro.
O segmento A1A2 é chamado eixo maior da elipse. 
dA1A2 = 2a 
(eixo maior)
O segmento B1B2 é chamado eixo menor da elipse e vamos representar sua medida por 2b.
dB1B2 = 2b 
(eixo menor) 
Do triângulo retângulo OF1B1 decorre que:
a2 = b2 +c2
excentricidade da elipse é a razão entre a distância focal e o eixo maior.
e = c / a 
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Equação da elipse
Vamos obter a equação da elipse de centro na origem do sistema cartesiano, O(0, 0), e os focos no eixo das abscissas. Notemos que:
F1 = (–c, 0) e F2 = (c, 0)
A1 = (–a, 0) e A2 = (a, 0)
B1 = (0, –b) e B2 = (0, b)
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Equação da elipse
Lembrando:
F1 = (–c, 0) e F2 = (c, 0)
A1 = (–a, 0) e A2 = (a, 0)
B1 = (0, –b) e B2 = (0, b)
Apliquemos a P(x, y) a propriedade dos pontos da elipse:
dPF1 + dPF2 = 2a
 EQ \r((x + c)2 + y2) + EQ \r((x – c)2 + y2) = 2a
 EQ \b\bc\((\r((x + c)2 + y2))2 = (2a – EQ \r((x – c)2 + y2) )2
x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 – 4a EQ \r((x – c)2 + y2) + x2 – 2cx + c2 + y2
4a EQ \r((x – c)2 + y2) = 4a2 – 4cx
(a EQ \r((x – c)2 + y2) )2 = (a2 – cx)2
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Equação da elipse
Equação Reduzida da Elipse
a2x2 – 2a2cx + a2c2 + a2y2 = a4 – 2a2cx + c2x2
(a2 – c2)x2 + a2y2 = a4 – a2c2
(a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2)
Como a2 – c2 = b2, vem que
b2x2 + a2y2 = a2b2
e dividindo por (a2b2) fica
 EQ \x(\f(x2;a2) + \f(y2;b2) = 1) 
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Equação da elipse
No caso da elipse de centro O(0, 0) e os focos no eixo y obtemos a equação
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EX: Dada a equação reduzida da elipse,determine:
a) as coordenadas dos vértices e dos focos;
b) o comprimento dos eixos maior e menor;
c) excentricidade.
 
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Equação da Elipse com 
F1F2 paralela ao eixo X
  Translacao: Equação para elipse em que F1F2 é paralelo ao eixo x.
Seja C(x0, y0) o centro da elipse; então, as coordenadas dos focos são: 
F1(x0 + c, y0) e F2(x0 – c, y0).
Para um ponto P(x, y) qualquer da elipse, temos:
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Com eixo maior paralelo ao eixo das abscissas.
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Determinar a equação da elipse de focos F (0, -3) e F( 0,3), sabendo-se que o comprimento do eixo menor é 2.
Determine as coordenadas do centro, as coordenadas dos focos e as medidas dos semi-eixos da elipse de equação:
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Parábola
Denominamos parábola ao lugar geométrico dos pontos de um plano que são eqüidistantes de uma reta dada d e de um ponto dado F, F  d, do plano.
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Parábola
F (foco)
d (diretriz)
V (vértice)
P (x,y)
dPd = dPF
Eixo de Simetria
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Parábola
Equação reduzida da parábola
1º Caso: Parábola com vértice na origem e eixo de simetria sobre o eixo y.
dPF = dPd
x2 + (y-p)2 = (y+p)2
x2 + y2 - 2py +p2 = y2 + 2py +p2 
x2 = 4py
ou
y = x2 /4p
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Parábola
Equação reduzida da parábola
2º Caso: Parábola com vértice na origem e eixo de simetria sobre o eixo x.
x
y
y2 = 4px
ou
x = y2 /4p
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Determine a equação das seguintes parábolas:
Foco ( 3,0) e diretriz x = -3
Foco (0,4) e diretriz y = -4
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Hiperbole	
Hipérbole obtida seccionando-se um cone com um plano
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Hiperbole
Denominamos hipérbole ao lugar geométrico dos pontos de um plano para os quais a diferença das distâncias a dois pontos dados, F1 e F2, do plano é em valor absoluto igual a uma constante 2a, menor que a distância F1F2.
F1
F2
P
| dPF1 – dPF2 | = 2a
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Hipérbole
Os pontos F1 e F2 chamam-se focos
 e
 dF1F2 = 2c é a distância focal 
O ponto médio O do segmento F1F2 é o centro.
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Hipérbole
A reta F1F2 é um eixo de simetria da curva.
 Ela intercepta a hipérbole nos pontos A1 e A2.
 O segmento A1A2 é chamado eixo real (ou eixo transverso) e sua medida é 
dA1A2 = 2a.
A reta perpendicular a F1F2 pelo centro O é outro eixo de simetria da hipérbole. 
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Hipérbole
O segmento B1B2 é chamado eixo conjugado (ou eixo imaginário) e indicamos sua medida por 2b.
Os pontos B1 e B2 distam c unidades dos pontos A1 e A2.
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Hipérbole
A1
A2
O
c
a
b
c
b
a
Decorre do teorema de pitágoras que:
 c2 = a2 + b2
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Hipérbole
A1
A2
O
c
a
b
Equação Reduzida da Hipérbole
1º Caso: Hipérbole com eixo real sobre o eixo x e centro na origem
x
y
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Hipérbole
Equação Reduzida da Hipérbole
2º Caso: Hipérbole com eixo real sobre o eixo y e centro na origem
F1
F2
A1
A2
O
c
B1
B2
a
b
x
y
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Translacao: Equação para elipse em que F1F2 é paralelo ao eixo x.
Seja C(xo , yo) o centro da hipérbole; então os focos são:
F1(xo+c,yo) e F2 (xo-c, yo). Para um ponto qualquer P da hipérbole, temos:
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