Coordenadas Polares com resoluções

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Área 1: Faculdade de Ciência e Tecnologia 
 Disciplina: Geometria Analítica Curso: ___________________ 
 Professor: _______________________ Data: ______ / ______ / ______ 
 Nome:______________________________________________ Turma:___________ 
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2ª LISTA DE EXERCÍCIOS – COORDENADAS POLARES 
1. Utilizando o papel de coordenadas polares, posicione os pontos no plano, dadas suas coordenadas 
polares: 
,
4
3
,5,
2
,3,
3
,2 
















 
CBA
 
  ,º315,2,
3
4
,
2
3
,
3
7
,4 











FED

 ,º15,3,
6
,2,
3
,4 











 IHG

    ,1,1,6,4,
4
7
,5,
6
,4 MLKJ 










 
 2,4N
 
2. Dados os pontos 






3
5
,31

P
, 
 º330,32 P
, 







3
,13

P
, 
 º315,24 P
, 
 º53,05P
, 
 eP ,06
 e 
 3,47P
, determine: 
(a) A representação gráfica de cada um desses pontos no 
plano polar; 
(b) Três outros conjuntos de coordenadas polares para os 
pontos 
3P
 e
4P
; 
(c) As coordenadas retangulares dos pontos 
1P
, 
5P
 e 
7P
; 
(d) Quais desses pontos coincidem com o ponto 
 º310.2,3P
. 
 
3. Um ponto que se move de maneira que, todos os valores de seu ângulo vetorial, seu raio vetor 
permanece constante e igual a 4. Identifique o gráfico do lugar geométrico de P. 
 
4. Um ponto que se move de maneira que, todos os valores de seu raio vetor, seu ângulo vetorial 
permanece constante e igual a 45º. Identifique o gráfico do lugar geométrico de P. 
Geometria Analítica: Lista de Exercícios Atualizada em Janeiro de 2011 
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5. Um triângulo eqüilátero possui como vértices o pólo e o ponto 
 0,4A
. Determinar as 
coordenadas dos outros vértices. (Dois casos) 
6. Um quadrado com centro na origem tem como um dos vértices o ponto 






3
,3

A
. 
Determinar as medidas dos lados e as coordenadas dos outros vértices. 
7. Marque a única alternativa que expressa corretamente a forma polar da equação: 
 
02)(  yxa
 
02)( 22  yyxb
 
2)( xyc
 
44)( 2  yxd
 
 arctg2)1
 
 senr )1
 
  42)1 2 senr
 
    44cos)1 22   rsenr 
 2cot)2 garc
 
 2cos)2 r
 
  42)2 2 senr
 
    44cos)2 22   rsenr
 
 2)3 arctg
 
 cos2)3 r
 
  42cos)3 2 r
 
    44cos)3 2   rsenr
 
2)4 
 
 2)4 senr 
 
  4cos)4 2 r
 
    44cos)4 2   rsenr 
 garccot2)5 
 
 senr 2)5 
 
  42cos)5 r
 
    4cos4cos)5 22   rr 
 
8. Transforme a equação polar dada em sua forma retangular (cartesiana). 
02)cos()(  ra
 
 2cos4)( 2 rd
 
 cos22
5
)(

rg
 
 cos1
4
)(

rb
 
  1)cos(3)(  re
 
 sen
rh


32
6
)(
 







2
sec2)( 2

rc
 
 seccos3)( rf
 
 
9. Identifique e esboce o gráfico das curvas cujas equações polares são: 
3)()(  senra
 
)(2)( senre 
 
)cos(4)( ri
 
5)cos()(  rb
 
3)()(  senrf
 
)(2)( senrj 
 
2)º30cos()(  rc
 
1)( rg
 
)cos()( rk
 
3)º60cos()(  rd
 
)(4)( senrh 
 
3)( rl
 
10. Identifique e esboce o gráfico das curvas cujas equações polares são: 
)sec(2)( ra
 
)(4)( senrd 
 
2)( rg
 
)2(2)( 2 senrb 
 
)2cos(8)( 2 re
 
)(24)( senrh 
 
)cos(43)( rc
 
)3(2)( senrf 
 
)2cos(4)( ri
 
 
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11. Verifique dentre as afirmativas a seguir, quais são as verdadeiras: 
)(a
A curva 
 cos243 r
 é uma limaçon com laço. 
)(b
A curva 
 senr  232
 é simétrica em relação ao eixo polar. 
)(c
A curva 
 senr  23
intersecta o eixo a 90º nos pontos 







2
;3

. 
)(d
As curvas 
 cos52 r
 e 
 34 senr 
 representam rosáceas. 
)(e
A quantidade de eixos de simetria numa rosácea depende do coeficiente da variável 

. 
)( f
A curva 
4r
 possui extensão limitada. 
)(g
As limaçons de equação 
  ** ,,cos  babar , apresentam simetria em relação ao 
eixo polar devido a 
   xxf cos
 ser uma função par. 
 
12. Determine a equação da curva cujos gráficos se encontram a seguir: 
 
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Gabarito 
Questão 1. Questão 2. (a) 
 
           
      
275
1444333
)(34,3cos4,0,0
2
33
,
2
3
)(º225,2º135,2º45,2º300,1º480,1º120,1)(
PdsenPP
PcPPPPPPb









 
Questão 3. Circunferência com centro no pólo e raio 4
)4( r
. 
Questão 4. Reta: 
045
 
Questão 5. 
   º60,4º60,4 ou
 
Questão 6. 


















6
11
,3,
3
4
,3,
6
5
,3

DCB
. e lado medindo 
23
 
Questão 7. 
2)(1)(5)(3)( dcba
 
Questão 8. 
2)( xa
 (reta paralela ao eixo y) 
0168)( 2  yxb
 (parábola) 
016163)( 22  xyxc
 (hipérbole) 
222222 ;2)( yxyxyxd 
 (leminiscata) 
1298)( 22  xyxe
elipse 
3)( yf
 (reta paralela ao eixo x) 
xyg 1025)( 2 
 (parábola) 
0363654)( 22  xyxh
 (hipérbole) 
Questão 9. 
retas: 
).(),(),(),(),(),( fedcba
 circunferências: 
).(),(),(),(),(),( lkjihg
 
Questão 10. 
)(a
reta 
)(b
leminiscata 
)(c
limaçon com laço 
)(d
circunferência 
)(e
leminiscata 
)( f
rosácea de 3 pétalas 
)(g
espiral de Arquimedes 
)(h
limaçon 
)(i
rosácea de 4 pétalas 
Questão 11. 
)()()( gea
 
Questão 12. 
       
         cos32cos32)(216)(53)( 216)2323)(2cos4)( 2
2


rourfsenresenrd
senrcsenrousenrbra