Mecânica Geral

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MECÂNICA GERAL
Prof. Ivan Galdino da Silva.
EMENTA
• Introdução e Conceitos de Tensão, Deformação e 
Carregamento Axial. 
• Propriedades Mecânicas dos Materiais. 
• Torção. Flexão simples.
• Cisalhamento.
• Cargas Combinadas. 
• Análise de Tensão e Deformação.
• Projeto de Vigas e Eixos de Transmissão. 
• Deflexão em vigas e Eixos por Integração. 
• Flambagem de Pilares.
• Esforços em estruturas. 
• Esforço solicitante como resultante das tensões. 
• Dimensionamento de juntas. 
• Barras submetidas à força normal.
Bibliografia
• Melconian Sarkis, Mecânica Técnica e resistência dos materiais, 
• 17° edição. Editora Erica, 
• FRANÇA, Luis Novaes Ferreira; MATSUMURA, Amadeu Zenjiro. 
Mecânica geral. 2.ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2009.
• CALLISTER JR., W. D. Ciência e engenharia de materiais: uma 
introdução. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
• BEER, F. P; JOHNSTON JR; E. RUSSELL. Resistência dos Materiais. São 
Paulo: Pearson Makron Books. 3 ed, 2007/2008.
• SHAPIRO, Ilya Lvovich; PEIXOTO Guilherme de B. Introdução à 
Mecânica Clássica. São Paulo: Livraria da Física, 2010.
•
•
•
Bibliografia Complementar
• MERIAM, J. L; L.G KRAIGE. Mecânica para Engenharia. Rio 
de Laneiro: LTC, 2009.
• BAKER HUGHES. Baker Oil Tools. Coiled tubing solutions: 
solve downhole problems with reliable, cost-effective 
technology. Houston: Baker Hughes, 2003.
• SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001, 98 
p
• Barbosa , João Paulo Mecânica aplicada e Resistência dos 
Materiais, IFES – Campus São Mateus-.
• Bento Daniela A., Fundamentos de resistência dos 
materiais., Florianópolis, março de 2003
• Aquino Acilayne Freitas de ., MECÂNICA GERAL PARA 
ENGENHEIROS, , 2013.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO 
• Tensão é ao resultado da ação de cargas externas
sobre uma unidade de área da seção analisada na
peça, componente mecânico ou estrutural
submetido à solicitações mecânicas. A direção da
tensão depende do tipo de solicitação, ou seja da
direção das cargas atuantes.
• As tensões provocadas por tração compressão e
flexão ocorrem na direção normal (perpendicular) à
área de seção transversal e por isso são chamadas
de tensões normais, representadas pela letra grega
sigma (σ).
• As tensões provocadas por torção e cisalhamento
atuam na direção tangencial a área de seção
transversal, e assim chamadas de tensões
tangenciais ou cisalhantes, e representadas pela
letra grega tau (τ).
• Representação das direções de atuação das
tensões normais (σ) e tangenciais (τ).Observe que a
tensão normal (σ) atua na direção do eixo
longitudinal, ou seja, perpendicular à secção
transversal, enquanto que a tensão de cisalhamento
(τ) é tangencial à tensão normal (σ ).
Tensão Normal σ
• A carga normal F, que atua na peça, origina nesta,
uma tensão normal “σ” (sigma), que é determinada
através da relação entre a intensidade da carga
aplicada “F”, e a área de seção transversal da peça
“A”.
• No Sistema Internacional, a força é expressa em
Newtons (N), a área em metros quadrados (m²). A
tensão (σ) será expressa, então, em N/m², unidade
que é denominada Pascal (Pa).
• Na prática, o Pascal torna-se uma medida muito
pequena para tensão, então usa-se múltiplos desta
unidade, que são o quilopascal (KPa), megapascal
(MPa) e o gigapascal (Gpa).
Exercício
• Uma barra de seção circular com 50 mm de
diâmetro, é tracionada por uma carga normal de 36
kN. Determine a tensão normal atuante na barra.
Resolução
Diagrama Tensão X Deformação 
• Na disciplina de Mecânica Geral é necessário
conhecer o comportamento dos materiais quando
submetidos a carregamentos. Para obtermos estas
informações, é feito um ensaio mecânico numa
amostra do material chamada de corpo de prova
(CP).
• Neste ensaio, são medidas a área de secção
transversal “A” do corpo de prova e a distância “L0”
entre dois pontos marcados neste.
• No ensaio de tração, o CP é submetido a uma carga
normal “F”. A medida que este carregamento
aumenta, pode ser observado um aumento na
distância entre os pontos marcados e uma redução
na área de seção transversal, até a ruptura do
material. A partir da medição da variação destas
grandezas, feita pela máquina de ensaio, é obtido o
diagrama de tensão x deformação.
• O diagrama tensão - deformação varia muito de
material para material, e ainda, para um mesmo
material podem ocorrer resultados diferentes
devido a variação de temperatura do corpo de
prova e da velocidade da carga aplicada.
• Entre os diagramas σ x ε de vários grupos de
materiais é possível, no entanto, distinguir algumas
características comuns; elas nos levam a dividir os
materiais em duas importantes categorias, que são
os materiais dúcteis e os materiais frágeis.
Comportamento mecânico de materiais dúcteis 
e frágeis. 
• Os materiais dúcteis como o aço, cobre, alumínio e
outros, são caracterizados por apresentarem
escoamento a temperaturas normais. O corpo de
prova é submetido a carregamento crescente, e
com isso seu comprimento aumenta, de início lenta
e proporcionalmente ao carregamento.
• Desse modo, a parte inicial do diagrama é uma
linha reta com grande coeficiente angular.
Entretanto, quando é atingido um valor crítico de
tensão σE, o corpo de prova sofre uma grande
deformação com pouco aumento da carga aplicada.
A deformação longitudinal de um material é
definida como:
• Quando o carregamento atinge certo valor máximo,
o diâmetro do CP começa a diminuir, devido a perda
de resistência local. A esse fenômeno é dado o
nome de estricção.
• Após ter começado a estricção, um carregamento
mais baixo é o suficiente para a deformação do
corpo de prova, até a sua ruptura. A tensão σE
correspondente ao início do escoamento é
chamado de tensão de escoamento do material; a
tensão σR correspondente a carga máxima aplicada
ao material é conhecida como tensão limite de
resistência e a tensão σr correspondente ao ponto
de ruptura é chamada tensão de ruptura.
• Estes valores podem ser adquiridos ensaiando a
peça ou pesquisando em tabelas de propriedades
mecânicas de materiais, no Anexo A temos uma
tabela que mostra valores de resistências para
alguns materiais ferrosos e não-ferrosos.
• Materiais frágeis, como ferro fundido, vidro e pedra,
são caracterizados por uma ruptura que ocorre sem
nenhuma mudança sensível no modo de
deformação do material. Então para os materiais
frágeis não existe diferença entre tensão de
resistência e tensão de ruptura. Além disso, a
deformação até a ruptura é muito pequena nos
materiais frágeis em relação aos materiais dúcteis.
• Não há estricção nos materiais frágeis e a ruptura se dá em
uma superfície perpendicular ao carregamento.
Fig. 1 a) Diagrama σ x ε de um aço de baixo teor de carbono; b) Estricção e ruptura 
dúctil. 
Fig 2 a) Diagrama σ x ε de um material frágil; b) Ruptura frágil.
Lei de Hooke
• No trecho inicial do diagrama da figura 1, a tensão σ é diretamente 
proporcional à deformação ε e podemos escrever:
• Essa relação é conhecida como Lei de Hooke, e se deve ao
matemático inglês Robert Hooke (1635-1703). O coeficiente E é
chamado módulo de elasticidade ou módulo de Young (cientista
inglês, 1773-1829), que é determinado pela força de atração entre
átomos dos materiais, isto é, quando maior a atração entre átomos,
maior o seu módulo de elasticidade. Exemplos: Eaço = 210 GPa;
Ealumínio = 70 GPa.
• Como sabemos que,
podemos escrever a seguinte relação para o alongamento 
(∆l):
O alongamento será positivo (+), quando a carga aplicada
tracionar a peça, e será negativo (-) quando a carga
aplicada comprimir a peça.
Exercício
• Uma barra de alumínio de possui uma seção
transversal quadrada com 60 mm de lado, o seu
comprimentoé de 0,8m. A carga axial aplicada na
barra é de 30 kN. Determine o seu alongamento.
Eal = 70 MPa.
O módulo de elasticidade foi dado em MPa (1MPa=1N/mm2), as unidades de 
comprimento foram convertidas para milímetros.
• a) Força normal:
• F = 30kN = 30000 N
• b) Comprimento inicial da barra:
• l = 0,8m = 800mm
• c) Área de seção quadrada:
• A = a² = 60² = 3600mm²
• d) Alongamento:
• Uma mola tem constante elástica k=2,5kN/m. Quando ela
for comprimida de 12cm, qual será a força elástica dela?
• Utiliza a Lei de Hooke:
• Onde: Fel = K. x
Fel = Força elástica
k = constante elástica
x = distância deformada
Transformando as medidas:
12 cm = 0,12 m
2,5 K/m = 2500N/m
Fel = 2500 . 0,12
Fel= 300N
Zonas de deformação: Elástica e Plástica
• Zona elástica: de 0 ate A as tensões são diretamente
proporcionais as deformações, onde ao esforçar o material
o mesmo responde com deformações temporárias, isto
porque as deformações ocorrem por forcas internas que
esticam as ligações que manter a estrutura do material,
esticam porem não rompem as ligações por esse motivo as
deformações são temporárias. O ponto A é chamado limite
de elasticidade, pois, ele geralmente marca o fim da zona
elástica. Dai em diante inicia-se uma curva, começa o
chamado escoamento.
• O escoamento caracteriza-se por um aumento considerável 
da deformação com pequeno aumento da força de tração, 
isto ocorre devido ao rompimento de ligações. No ponto B 
inicia-se a região plástica.
Diagrama Tensão x Deformação.
• (σp) - Tensão de proporcionalidade: Representa o valor
máximo da tensão, abaixo do qual o material obedece a lei
de Hooke.
• (σE) - Tensão de escoamento: A partir deste ponto
aumentam as deformações sem que se altere,
praticamente, o valor da tensão. Quando se atinge o limite
de escoamento, diz-se que o material passa a escoar-se.
• (σR) – Tensão limite de resistência A tensão
correspondente a este ponto recebe o nome de limite de
resistência ou resistência a tração, pois corresponde a
máxima tensão atingida no ensaio de tração.
• (σr) – Tensão de ruptura: A tensão correspondente a este
ponto recebe o nome de limite de ruptura; é a que
corresponde a ruptura do corpo de prova.
• (εe) - Deformação Elástica: O trecho da curva tensão –
deformação, compreendido entre a origem e o limite de
proporcionalidade, recebe o nome de região elástica.
• (εp) - Deformação Plástica: O trecho compreendido entre o
limite de proporcionalidade e o ponto correspondente a
ruptura do material.
Exercícios
• 1) Calcule a tensão normal nos dois cabos da figura. Dados: 
Ø f1 = Ø f2 = 25,4 mm
ΣM1 = 0 : 1.000 x 0,7 + 5.000 x1,8 - F2 x 2,6 = 0 ® F2 = 3.730,8 N
ΣM2 = 0 : F1x 2,6 - 1.000 x 1,9 - 5.000 x 0,8 = 0 ® F1 = 2.269,2 N
• 2) Calcule a tensão normal nas duas barras da treliça 
abaixo. Dados: Ø f1 = 12,5 mm ; Ø f2 = 20,0 mm
• 3) Calcule a tensão normal nas duas barras da treliça 
abaixo. As duas barras têm seção transversal circular. 
• 4) Uma barra, de seção transversal retangular, tem altura
variável (como indicado) e largura b constante igual a 12
mm. Calcule a tensão normal no ponto de aplicação da
força F e no engaste. Dado: F = 8.000 N
Esforço de Tração:
• É quando um corpo ou peça está sujeito a uma
força normal F, atuando sobre a seção transversal
da peça, no sentido do interior para o exterior da
peça.
Esforço de Compressão: 
• É quando um corpo ou peça está sujeito a uma
força normal F atuando sobre a seção transversal da
peça, no sentido do exterior para o interior da peça.
Tensão Normal (T). 
• É determinada através da relação entre a força
aplicada, e a área da seção transversal da peça em
que essa força foi aplicada.
• Onde:
• T= Tensão Normal.
• F = Força Normal.
• A = Área da seção transversal.
Unidades de Tensão Normal: 
• Sistema SI : 𝑁 𝑚² 1 Pascal corresponde a força de 1N
agindo sobre uma área de 1m².
• Outras unidades de tensão normal.
• Múltiplos da unidade Pascal:
• Kilo Pascal (KPa) = 10³ Pa. Mega Pascal (MPa) = 106 Pa.
• Obs.: N/mm² ou seja 1m² = 106mm².
CISALHAMENTO
Cisalhamento
• Definição
Um elemento de construção submete-se a esforço de
cisalhamento, quando sofre a ação de uma força
cortante. Além de provocar cisalhamento, a força
cortante da origem a um momento fletor, considerado
desprezível.
Força Cortante Q
Denomina-se força cortante, a carga que atua
tangencialmente sobre a área de seção transversal da
peça.
Tensão de Cisalhamento ( τ )
• A ação da carga cortante sobre a área da seção transversal
da peça causa nesta uma tensão de cisalhamento, que é
definida através da relação entre a intensidade da carga
aplicada e a área da secção transversal da peça sujeita a
cisalhamento.
• T = Tensão de Cisalhamento (Unidades: Pa, KgF/cm²,
KgF/mm²).
• Q= Força Cortante (Unidade: N, KgF).
• Ac = Área da seção transversal do corpo (Unidades: m²,
cm², mm²)
• Para o caso de mais de um elemento estar submetido a
cisalhamento, utiliza-se o somatório das áreas das seções
transversais para o dimensionamento. Se os elementos
possuírem a mesma área de seção transversal, basta
multiplicar a área de seção transversal pelo número de
elementos (n).
• Tem-se então:
τ - tensão de cisalhamento [Pa; ..............]
Q - carga cortante [ N ]
Acis - área da seção transversal da peça [ m2 ]
N - número de elementos submetidos a cisalhamento [ 
adimensional ]
• Se as áreas das seções transversais forem desiguais, o
esforço atuante em cada elemento será proporcional a sua
área de seção transversal.
Deformação do Cisalhamento
• Supondo-se o caso da seção transversal retangular da figura,
observa-se o seguinte:
Ao receber a ação da carga cortante, o ponto C desloca-se
para a posição C’, e o ponto D para a posição D’, gerando o
ângulo denominado distorção. A distorção é medida em
radianos (portanto adimensional), através da relação entre a
tensão de cisalhamento atuante e o módulo de elasticidade
transversal do material.
Tensão Normal ( σ) e Tensão de 
Cisalhamento ( τ )
• A tensão normal atua na direção do eixo longitudinal da
peça, ou seja, perpendicular a seção transversal,
enquanto que a tensão de cisalhamento é tangencial à
seção transversal da peça.
Pressão de Contato σd
• No dimensionamento das juntas rebitadas,
parafusadas, pinos, chavetas, etc., torna-se
necessária a verificação da pressão de contato entre
o elemento e a parede do furo na chapa (nas juntas).
• A carga Q atuando na junta, tende a cisalhar a seção AA
(ver figura acima). Ao mesmo tempo, cria um esforço de
compressão entre o elemento (parafuso ou rebite) e a
parede do furo (região AB ou AC). A pressão de contato,
que pode acarretar esmagamento do elemento e da
parede do furo, é definida através da relação entre a
carga de compressão atuante e a área da seção
longitudinal do elemento, que é projetada na parede do
furo.
• Tem-se então que:
• Região de contato AB e AC
Pressão de Contato (Esmagamento)
• Quando houver mais de um elemento (parafuso ou 
rebite) utiliza-se:
onde: σ d - pressão de contato [ Pa ]
Q - carga cortante aplicada na junta [ N ]
n - número de elementos [ adimensional ]
d - diâmetro dos elementos [ m ]
t - espessura da chapa [ m ]
Distribuição ABNT NB14
• As distâncias mínimas estabelecidas pela norma a que deverão ser 
observadas no projeto de juntas são:
• a)Na região intermediária, a distância mínima entre centros dos
rebites deverá ser três vezes o diâmetro do rebite.
• b) Da lateral da chapa até o centro do primeiro furo, a distância
deverá ter duas vezes o diâmetro do rebite na direção da carga.
• c) Da lateral da chapa até o centrodo primeiro furo, no sentido
transversal da carga, a distância deverá ter 1,5 (uma vez e meia) o
diâmetro do rebite.
Exercícios
1 - Determinar a tensão de cisalhamento que atua 
no plano A da figura.
Solução:
• A tensão de cisalhamento atuante no plano A; é
definida através da componente horizontal da carga
de 300 kN, e área da seção A.
• Tem-se então que:
2 - O conjunto representado na figura é formado por:
1 - parafuso sextavado M12.
2 - garfo com haste de espessura 6mm.
3 - arruela de pressão.
4 - chapa de aço ABNT 1020 espessura 8mm.
5 - porca M12.
• Supor que não haja rosca no parafuso, nas regiões de 
cisalhamento e esmagamento.
• A carga Q que atuará no conjunto é de 6 kN. Determinar:
a) a tensão de cisalhamento atuante
b) a pressão de contato na chapa intermediária
c) a pressão de contato nas hastes do garfo.
Solução:
• a) Tensão de cisalhamento atuante O parafuso tende 
a ser cisalhado nas seções AA e BB, portanto a 
tensão de
cisalhamento será determinada por:
• b) Pressão de contato na chapa intermediária
A carga de compressão que causa a pressão de contato
entre a chapa intermediária e o parafuso é de 6kN,
portanto a pressão de contato é determinada por:
c) Pressão de contato nas hastes do garfo
A carga de compressão que causa a pressão de
contato entre o furo da haste do garfo e o parafuso é
de 3 kN, pois a carga de 6kN divide-se na mesma
intensidade para cada haste, portanto a pressão de
contato será:
FLEXÃO
• Definimos como flexão a solicitação que provoca, 
ou tende a provocar, curvatura nas peças. O esforço 
solicitante responsável por este comportamento e 
chamado de momento fletor, podendo ou não ser 
acompanhado de esforço cortante e forca normal.
• A flexão e provavelmente o tipo mais comum de
solicitação produzida em componentes de
maquinas, os quais atuam como vigas quando, em
funcionamento, transmitem ou recebem esforços.
Vigas
• Estrutura linear que trabalha em posição horizontal
ou inclinada, assentada em um ou mais apoios e
que tem a função de suportar os carregamentos
normais a sua direção (se a direção da viga e
horizontal, os carregamentos são verticais).
• Muitos problemas envolvendo componentes
sujeitos a flexão podem ser resolvidos
aproximando-os de um modelo de viga, como
mostra o exemplo abaixo:
• A figura acima mostra que um modelo de viga apresenta
elementos que a definem, tais como os apoios e
carregamento suportado. Estes elementos podem variar a
cada modelo, e por isso sao classificados quanto:
Seção Transversal
Apoios
• Apoios ou vínculos são componentes ou partes de
uma mesma peca que impedem o movimento em
uma ou mais direções. Considerando o movimento
no plano, podemos estabelecer três possibilidades
de movimento
• • Translação horizontal;
• • Translação vertical;
• • Rotação.
• As cargas externas aplicadas sobre as vigas exercem esforços sobre
os apoios, que por sua vez produzem reações para que seja
estabelecido o equilíbrio do sistema. Portanto, estas reações
devem ser iguais e de sentido oposto as cargas aplicadas.
Classificação
• Os apoios são classificados de acordo com o grau de liberdade, ou 
seja, os movimentos que permitem. Desta forma temos:
• De acordo com o tipo e numero de apoios, as vigas 
podem ser classificadas em:
• Apoiadas
Carga Concentrada
• Classificamos como carga concentrada, quando a superfície 
ocupada pela carga quando a superfície ocupada pela carga 
e relativamente pequena em relação a viga. Exemplos: pés 
das bases de maquinas; rodas de veículos, etc.
• Carga Distribuída Uniforme
• Quando o carregamento e igualmente distribuído 
em um determinado comprimento ou por toda a 
viga.
• Viga com carga distribuida
• Momento Fletor
• No dimensionamento de pecas submetidas a flexão,
admitem-se somente deformações elásticas. A tensão de
trabalho e fixada pelo fator de segurança, através da tensão
admissível.
• A formula da flexão e aplicada nas seções criticas, ou seja,
nas seções onde o momento fletor e Maximo. O momento
fletor Maximo pode ser obtido analisando os momentos no
decorrer da viga. Segue alguns exemplos mais comuns de
vigas carregadas e a forma como calcular o momento fletor
máximo.
• Vigas engastadas com carga concentrada:
• Viga apoiada com carga central concentrada:
• Viga apoiada com carga concentrada:
• Deformação na Flexão
• Sob ação de cargas de flexão, algumas fibras longitudinais
que compõem o corpo solido são submetidas a tração e
outras “a compressão, existindo uma superfície
intermediaria onde a deformação (ε) e a tensão (σ) para as
fibras nela contidas tornam-se nulas, isto e, não se
encurtam e nem se alongam. Esta superfície e chamada de
superfície neutra. A superfície neutra intercepta uma dada
seção transversal da barra segundo uma reta chamada
linha neutra.
Deformação em vigas.
• Os esforços de tração e compressão aumentam a
medida que se afastam da superfície neutra,
atingindo sua intensidade máxima nas fibras mais
distantes a ela. O material obedece a Lei de Hooke,
ou seja, as tensões e deformações produzidas no
solido estão abaixo do limite de escoamento do
material (regime elástico).
• Tensão de Flexão
• A equação abaixo e conhecida como formula da 
flexão, e a tensão normal σF, provocada quando a 
barra se flexiona, e chamada de tensão de flexão.
• Onde I é o momento de inércia da secção transversal em
relação à linha neutra. O momento de inércia é uma
característica geométrica que fornece uma noção da
resistência da peça. Quanto maior for o momento de
inércia da secção transversal de uma peça, maior será sua
resistência.
• Esta equação representa a distribuição linear de tensões
apresentadas na figura abaixo. A tensão de flexão assume
seu valor máximo na superfície mais distante da linha
neutra, ou seja, no maior valor de y, onde y simboliza a
distância a partir da L.N., podendo chegar até a superfície
da peça. Em vigas com seção simétrica (em relação a linha
neutra), as tensões de tração e compressão produzidas
durante a flexão terão o mesmo valor. Nas vigas com seções
assimétricas, a tensão máxima ocorrerá na superfície mais
distante da linha neutra.
Diferentes distribuições de tensão para um mesmo perfil tipo “U”
utilizado no modelo de viga, conforme sua posição em relação
ao momento fletor aplicado.
• Dimensionamento
• Para a equação de distribuição de tensões
apresentada no item anterior, podemos observar
que as dimensões da viga estão associadas ao
momento de inércia (I) e a distancia da linha neutra
a fibra mais distante (y). A relação entre estas
grandezas pode ser expressa pelo modulo de flexão:
• O módulo de flexão W só depende da geometria da secção 
transversal da viga, veja a Tabela abaixo:
• onde M max e o momento fletor Maximo.
• Para que uma viga trabalhe em segurança, e necessário que a tensão
admissível estipulada para o projeto seja igual ou maior que a tensão
máxima de flexão:
• Essa relação mostra que a tensão máxima e inversamente
proporcional ao modulo resistente W, de modo que uma viga deve
ser projetada com maior valor de W possível, nas condições de cada
problema. Em nosso estudo, o problema de dimensionamento estará
associado a determinação de W. Com esta grandeza, podemos decidir
quanto ao perfil a ser utilizado, de acordo com as restrições de
projeto. O valor de W calculado na formula anterior serve como base
para escolhermos uma viga de um fabricante. Segue uma Tabela de
um fabricante de vigas:
EXEMPLO
• Determinar o módulo de flexão para uma barra de 
seção retangular de 3x8 cm, para (a)
• b=3cm e (b) b=8cm.
Exemplo
• Selecione um perfil estrutural tipo I (Aço ABNT 1020) para
ser utilizadona ponte rolante ilustrada abaixo, com
comprimento equivalente a 7 metros e que devera suportar
uma carga máxima equivalente a 3 toneladas. Para o
dimensionamento desta viga, utilize Fs = 3.