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RETAS 1. Determinar a e b de modo que os vetores u⃗=(4,−6) , v⃗=(6,a)e w⃗=(b ,−3) sejam paralelos dois a dois. Solução: u⃗∥v⃗⇒ 4 6 =−6 a ⇒4 a=−36⇒a=−36 4 ⇒a=−9 u⃗∥w⃗⇒ 4b= −6 −3 ⇒−6 b=−12⇒−b= −12 6 ⇒−b=−2⇒b=2 Logo os pontos a e b são -9 e 2 respectivamente. 2. Os Pontos A, B e C são os vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede 10cm. Calcular o produto escalar dos vetores A⃗B e A⃗C . Solução: 3. Determinar as equações paramétricas e cartesiana da reta que passa pelo ponto A(-2,3) e tem a direção do vetor v⃗=3 i⃗ +2 j⃗ . Solução: A (−2,3)e v⃗=(3,2) x=−2+3 t y=3+2t equações paramétricas x+2 3 = y−3 2 ⇒2 x+4=3 y−9⇒2 x−3 y+13=0 2 x−3 y+13=0 equação cartesiana 4. Determine as equações paramétricas e reduzida da reta que contém os pontos A(3,2) e B(-3,1). Solução: Primeiro temos que determinar o vetor v⃗=B⃗A=A−B=(3−(−3),2−1)=(6,1) Tomando A(3,2) e v⃗ (6,1) temos: A B C 60º 60º 60º 10cm 10cm 10cm cos (60)= A⃗B∗ A⃗C |⃗AB|∗|⃗AC|⇒|⃗AB|∗|⃗AC|cos(60)= A⃗B∗ A⃗C 10∗10∗cos(60)= A⃗B∗A⃗C⇒100 1 2 = A⃗B∗ A⃗C 50= A⃗B∗A⃗C x=3+6 t y=2+t equações paramétricas x−3 6 = y−2⇒6 y−12=x−3⇒6 y=x−3+12⇒ y= x+9 6 y= x 6 +3 2 equaçãoreduzida 5. Determinar o ponto da reta r: x=2−t y=3+2 t que tem abcissa 4. Solução: Basta substituir o x por 4. 4=2−t⇒ t=−4+2⇒ t=−2 , substituindo o valor de t na primeira e segunda equação temos: x=2−t x=2−(−2) x=4 y=3+2 t y=3+2 (−2) y=−1 6. Determinar m para que o ponto P(m,1) pertença à reta s: x=1−2 t y=−3−t . Solução: Primeiro encontremos ma equação cartesiana −x+1 2 =− y−3⇒−2 y−6=−x+1 x−2 y−7=0eq .cartesiana Agora substituindo o ponto P(m,1) na equação cartesiana, assim temos: m−2(1)−7=0 m=9 7. Os pontos P(2,y) e Q(-2y,3z) pertence à reta determinada por A(3,-1) e B(4,-3). Calcular y e z. Solução: Primeiro temos que encontrar o vetor v⃗= A⃗B=B−A=(4−3,−3−(−1))=(1,−2) v⃗=(1,−2) x=3+ t y=−1−2 t equação paramétrica x−3=− y−12 ⇒2x−6=−y−1 2x+ y−5=0equação cartesiana Agora substituindo o ponto P(2,y) na equação cartesiana: 2(2)+ y−5=0⇒4+ y−5=0 y=1 Agora substituindo o ponto Q(-2y,3z) na equação cartesiana: 2(−2 y )+3 z−5=0 2(−2(1))+3 z−5=0 −4+3 z−5=0 3 z=9 z=3 8. Mostrar que os pontos A(-1,4), B(2,1) e C(4,-1) são colineares. Solução: Iremos resolver através de matriz, mas para que seja feita teremos que completar com 1 para se tornar uma matriz quadrada. −1 4 1 2 1 1 4 −1 1 −1 4 2 1 4 −1 = -1+16+(-2)-4-1-8=0 Portanto são colineares. 9. Qual deve ser o valor de m para que os pontos A(3,m), B(1,1) e C(-2,10) pertençam a mesma reta? Solução: v⃗=B⃗C=C−B=(−2−1,10−1)=(−3,9) v⃗=(−3,9) x=1−3 t y=1+9 t equação paramétricas −x+1 3 = y−1 9 ⇒−9 x+9=3 y−3dividindotudo por3 parasimplificar −3 x− y+4=0equaçãocartesiana Substituindo o ponto A(3,m) na equação cartesiana temos: −3x− y+4=0 (−3)∗3−m+4=0 −m−5=0 m=−5 Mas também podemos fazer de outro modo a=delta ydelta x ⇒ 10−1 −2−1⇒ 9 −3 a=−3 y− y0=a(x−x0) y−1=−3(x−1) y=−3 x+3+1 y=−3 x+4 m=(−3)∗3+4 m=−9+4 m=−5
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