Lista I

Prévia do material em texto

CVV LISTA DE EXERCI´CIOS
Justifique todas as respostas.
1. Determine a convergeˆncia ou na˜o das se´ries abaixo.
a)
∞∑
n=1
2
3n+ 1
b)
∞∑
n=1
e1/n
c)
∞∑
n=1
cos 1/n2
d)
∞∑
n=1
(−1)n n
2
n3 + 4
e)
∞∑
n=1
(−1)n 1
31/n
f)
∞∑
n=1
n10
(ln 3)n
g)
∞∑
n=1
(2b+ 1)n
n2n
h)
∞∑
n=1
n
2n
i)
∞∑
n=1
(−1)n
lnn
j)
∞∑
n=1
1
lnn
k)
∞∑
n=1
(
n2 + 1
2n2 + 1
)n
l)
∞∑
n=1
n
(lnn)n
m)
∞∑
n=1
(−1)n21/n
n)
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
o)
∞∑
n=1
ne−n
p)
∞∑
n=1
1
ln 2n2
q)
∞∑
n=1
(−1)n
ln(n+ 4)
r)
∞∑
n=1
1
n2 + n+ 1
s)
∞∑
n=1
3n
2n + 1010
t)
∞∑
n=1
cos
npi
4
u)
∞∑
n=1
(
2
n(n+ 1)
− 100
n!
)
v)
∞∑
n=1
1 − 1
22
+
1
32
− 1
42
+
1
52
− · · ·
2. Determine o raio e o intervalo de convergeˆncia das seguintes se´ries.
a)
∞∑
n=0
n
4n
xn
b)
∞∑
n=0
n!
100n
xn
c)
∞∑
n=0
(−1)n
n lnn
(x− 3)n
d)
∞∑
n=0
(4x+ 1)n
n2
e)
∞∑
n=0
(−1)nx2n
(2n)!
f)
∞∑
n=0
2n
n2
xn
g)
∞∑
n=0
n!xn
3. Encontre a representac¸a˜o como se´rie de poteˆncias das func¸o˜es abaixo e determine o raio de
convergeˆncia.
a) f(x) = ln(5 − x)
b) f(x) =
1
1 − 2x
c) f(x) =
1
(1 − 2x)2
d) f(x) =
x2
(1 − 2x)2
2
e) f(x) = arctan(
x
3
)
4. Mostre que um polinoˆmio p(x) = a0 +a1x+a2x
2 +a3x
3 + · · · e´ a sua pro´pria ae´rie de Taylor.
5. Encontre a se´rie de Maclaurin de cada uma das func¸o˜es abaixo.
(a) f(x) = sinpix
(b) f(x) = sin2 x
(c) f(x) = ex + e2x
3