tranformações de Legendre

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Aula 04: Introdução aos princípios variacionais: Transformações de Legendre. 
 
Transformações de Legendre 
 
As funções complementares V e ∗V encontradas nas aulas anteriores representam 
casos particulares de uma dualidade funcional que aparece com freqüência nos problemas 
de mecânica. É, portanto, apropriado discutir a natureza da dualidade mais detalhadamente. 
Seja o dispositivo (por exemplo, uma mola) que exibe uma relação constitutiva 
entre duas variáveis f e x, como está indicado pela curva OPR na Fig. 6. O ponto P sobre a 
curva indica o estado atual de operação do dispositivo. A relação constitutiva pode ser 
considerada como uma função de x na forma ( )xff = , ou inversamente, como uma função 
de f na forma ( )fxx = . Ao invés de tratar diretamente com a relação constitutiva, é muitas 
vezes mais conveniente empregar uma das funções do estado V ou ∗V , conforme indicado 
na Fig. 6. A função ( )xV é a integral de ( )xf com relação a x, para x indo de zero até o 
ponto de operação. A função ( )fV ∗ é a integral de ( )fx com relação a f até o ponto de 
operação. A derivada de V é 
 
f
dx
dV = , (41) 
 
e a derivada de ∗V é 
 
x
df
dV =
∗
. (42) 
 
Fig. 6 – Funções de estado complementares definidas para uma única relação constitutiva. 
 
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Se o valor de x em P é conhecido, o valor correspondente de f pode ser obtido pela 
relação constitutiva ( )xff = , ou, indiretamente, através de dx/dV . Da mesma forma, se 
o valor de f em P é conhecido, o valor correspondente de x pode ser obtido pela relação 
constitutiva ( )fxx = , ou, indiretamente, através de df/dV ∗ . Então, ambas as funções de 
estado proporcionam uma descrição completa da relação constitutiva. 
A natureza complementar de ( )xV e ( )fV ∗ está mostrada nas equações (41) e 
(42). Ambas as equações descrevem a mesma relação constitutiva, mas em termos de 
variáveis independentes diferentes. Se uma das funções de estado, digamos, ( )xV , é 
conhecida, é possível avaliar a função complementar ( )fV ∗ diretamente usando a relação 
 ( )xVxfV −=∗ , (43) 
 
que é obtida da Fig. 6, uma vez que a área total do retângulo, ∗+VV , é justamente o 
produto xf avaliado no ponto de operação. É, também, possível estabelecer as propriedades 
de ∗V sem referenciar a área hachurada na Fig. 6. Para isso devemos tomar a equação (43) 
como sendo a definição básica de ∗V . Está implícito que o lado direito de (43) é válido 
apenas nos pontos do plano xf que satisfaz a relação constitutiva, isto é, nos pontos onde 
(41) é válida. O diferencial total de (43) é 
 
dVfdxxdfdV −+=∗ , 
0+= xdf , (44) 
 
se (41) é usada. Isto indica que ∗V é uma função somente de f no ponto de operação, com a 
propriedade que a sua derivada df/dV ∗ fornece o valor atual de x. Esta conclusão, é claro, 
é idêntica a (42), que foi obtida a partir da interpretação de ( )fV ∗ como sendo a área 
hachureada na Fig. 6. 
A definição de ∗V da equação (43) é um exemplo simples de uma transformação 
de Legendre. Ela proporciona um meio de trocar a variável independente x em ( )xV para a 
variável independente dxdVf /= em ( )fV ∗ , mantendo o comportamento previsto pela 
relação constitutiva. Em geral, uma transformada de Legendre ∗V de uma função ( )K,, yxV é uma função que fornece uma representação equivalente da relação funcional 
envolvida, com a propriedade de que o conjunto das variáveis independentes de ∗V contém 
uma ou mais derivadas das variáveis de V, ou seja, ,, , Ky/Vx/V ∂∂∂∂ no lugar das 
variáveis correspondentes K, , yx . Por exemplo, seja o dispositivo que possui relações 
constitutivas na forma 
 ( )yxff ,= (45a) 
( )yxgg ,= , (45b) 
 
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isto é, um dispositivo que é caracterizado por dois pares de variáveis, f, g e x, y. Seja, ainda, 
a função de estado ( )yxV , com a propriedade de que as primeiras derivadas com relação a 
x e y, no ponto de operação, sejam f e g, respectivamente, ou 
 
f
x
V =∂
∂ , (46a) 
g
y
V =∂
∂ . (46b) 
 
Deve-se notar que tal função de estado existe somente se as funções da equação 
(45) satisfazem os requisitos de integrabilidade x/gy/f ∂∂=∂∂ , que é necessário para que 
se tenha yx/Vxy/V ∂∂∂=∂∂∂ 22 . Sob essas circunstâncias a função de estado ( )yxV , 
fornece uma representação compacta do comportamento constitutivo (45). 
Uma representação alternativa das mesmas relações constitutivas é obtida pela 
função complementar ∗10V definida por uma transformação de Legendre similar àquela da 
equação (43) 
 ( )yxVxfV ,10 −=∗ . (47) 
 
Nessa transformação a variável x em V é transformada na variável f em ∗10V , e é 
chamada a variável ativa da transformação. A variável y que aparece em ambas, V e ∗10V , é 
chamada uma variável passiva sob a transformação. As propriedades de ∗10V são obtidas 
calculando o diferencial total de (47), sujeito a relação constitutiva implícita em (46) 
 
dy
y
Vdx
x
VfdxxdfdV ∂
∂−∂
∂−+=∗10 , 
gdyxdf −= . (48) 
 
Então, ( )yfVV ,1010 ∗∗ = e as primeiras derivadas de ∗10V com relação a f e y, no 
ponto de operação, fornecem o valor atual de x e g− , respectivamente. 
Através de uma simples extensão de (47) podemos estabelecer uma transformação 
de Legendre na qual ambas as variáveis, x e y, são variáveis ativas. Considere a função 
 ( )yxVygxfV ,11 −+=∗ . (49) 
 
O diferencial total de (49) sujeito a (46) é 
 
dy
y
Vdx
x
VgdyydgfdxxdfdV ∂
∂−∂
∂−+++=∗11 , 
ydgxdf += , (50) 
 
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que implica que, ( )gfVV ,1111 ∗∗ = e suas primeiras derivadas com relação a f e g, no ponto de 
operação, fornecem o valor atual de x e y, respectivamente. 
As transformações precedentes não funcionam se as equações constitutivas não 
são inversíveis. Assim, a transformação (43) falha se a equação constitutiva ( )xff = não 
puder ser invertida para obter uma única relação da forma ( )fxx = . Isso ocorre, por 
exemplo, com a relação cf = onde c é uma constante para todo x. Dado x, apenas um 
valor para f é encontrado, mas se cf = é dado, x é indeterminado. Para esse caso, cxV = é 
uma função de estado (área sob a reta)1, mas ∗V não existe. A condição para invertibilidade 
local, e, portanto, para a existência da transformação (43), é que a segunda derivada de V 
seja diferente de zero 
 
02
2
≠=∂ dx
df
x
Vd . (51) 
 
A condição para a existência da transformação (49) é que o seguinte determinante 
seja diferente de zero: 
 
0
2
22
2
2
2
≠
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
y
V
yx
V
yx
V
x
V
. (52) 
 
1 A energia potencial de uma massa num campo gravitacional uniforme é desta forma.