MD1 - AP3 2014 2 Gabarito MD1

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2014-2
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 (2.0 pts) : Considere as proposic¸o˜es:
T: Trabalho
V: Viajo
E: Estudo
S: Surfo
e as premissas
Trabalho ou viajo
Estudo ou na˜o trabalho
Surfo ou na˜o viajo.
Na˜o surfo.
a) (1.0 pt) Escreva as premissas usando as letras que designam as proposic¸o˜es e os s´ımbolos da lo´gica.
b) (1.0 pt) Assumindo as premissas como verdadeiras, assinale a alternativa que e´, tambe´m, ver-
dadeira. Justifique sua resposta.
a) viajo, estudo e na˜o surfo. c) na˜o surfo, na˜o estudo e trabalho
b) na˜o estudo, trabalho e viajo d) estudo, trabalho e na˜o viajo
Soluc¸a˜o:
a) Trabalho ou viajo: T ∨ V
Estudo ou na˜o trabalho: E ∨ ∼ T
Surfo ou na˜o viajo: S ∨ ∼ V
Na˜o surfo: ∼ S.
b) O enunciado apresenta premissas formadas por disjunc¸a˜o de proposic¸o˜es simples. Para uma
disjunc¸a˜o ser verdadeira, basta que uma de suas componentes seja verdadeira. A u´ltima premissa
afirma que “na˜o surfo” e´ verdadeira. Logo, “surfo” e´ falsa. Dessa forma,
• Da premissa “Surfo ou na˜o viajo”, segue que como “surfo” e´ falsa, “na˜o viajo” deve ser verdadeira.
Enta˜o “viajo” e´ falsa.
Me´todos Determin´ısticos I AP3 2
• Da premissa “Trabalho ou viajo”, segue que como “viajo” e´ falsa, “trabalho” deve ser verdadeira.
Enta˜o “na˜o trabalho” e´ falsa.
• Da premissa “Estudo ou na˜o trabalho”, segue que como “na˜o trabalho” e´ falsa, “estudo” deve ser
verdadeira.
Portanto, sa˜o verdadeiras: na˜o surfo, na˜o viajo, trabalho e estudo.
Resposta: Letra d).
Questa˜o 2 (2.0 pts) : Numa certa localidade foi introduzida uma quantidade inicial de coelhos.
No primeiro ano, a populac¸a˜o de coelhos aumentou 90% em relac¸a˜o a` quantidade inicial. No segundo
ano essa populac¸a˜o sofreu um decre´scimo de 70% em relac¸a˜o ao primeiro ano.
(a) (1.5 pt) Determine, em termos percentuais, o quanto diminuiu a populac¸a˜o de coelhos nos dois
primeiros anos em relac¸a˜o a quantidade inicial.
(b) (0.5 pt) Considerando que inicialmente havia 100 coelhos. Determine qual a quantidade atual de
coelhos.
Soluc¸a˜o:
(a) O primeiro passo e´ identificar a quantidade inicial de coelhos. Como essa quantidade na˜o foi
mencionada, vamos supor que Q e´ essa quantidade.
O segundo passo e´ aplicar os acre´scimos e os decre´scimos percentuais a quantidade de coelhos
conforme descrito no enunciado da questa˜o. Desta forma, temos:
• acre´scimo de 90% em relac¸a˜o a quantidade Q de coelhos. Isto significa que o acre´scimo e´
calculado por
90% de Q =
90
100
·Q = 9Q
10
= 0.9M
assim, a nova quantidade de coelhos e´: Q + 0.9Q = 1.9Q
• descre´scimo de 70% em relac¸a˜o a quantidade 1.9Q. Isto significa que o decre´scimo e´ cal-
culado por
70% de 1.9Q =
70
100
· 1.9Q = 7
10
· 1.9Q = 1.33Q
assim, a nova quantidade de coelhos e´: 1.9Q - 1.33Q = 0.57Q
Desta forma, para determinar o decre´scimo percentual em relac¸a˜o a quantidade inicial de coelhos,
faz-se:
quantidade inicial-quantidade final = Q-0.57Q = 0.43Q =
43
100
Q︸ ︷︷ ︸ = 43%Q︸ ︷︷ ︸
Resposta: A populac¸a˜o de coelhos teve uma diminuic¸a˜o de 43% nos dois primeiros anos em
relac¸a˜o a quantidade inicial.
(b) Como a quantidade inicial de coelhos e´ Q= 100, temos que a quantidade atual de coelhos e´
igual a 0.57Q, ou seja, 0.57·(100) = 57 coelhos.
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Me´todos Determin´ısticos I AP3 3
Questa˜o 3 (2.0 pts) : Determine o conjunto soluc¸a˜o das seguintes inequac¸o˜es:
a) (1.0 pt) |x− 3| > 4x
b) (1.0 pt) 2x2 − x− 1 < 0
Soluc¸a˜o:
a) Para resolver a inequac¸a˜o dada, vamos determinar o valor do mo´dulo de x− 3. Temos que
|x− 3| =


x− 3, se x− 3 ≥ 0
−(x− 3), se x− 3 < 0,
⇐⇒ |x− 3| =


x− 3, se x ≥ 3
3− x, se x < 3.
Observamos que o valor do mo´dulo, da inequac¸a˜o dada, depende da localizac¸a˜o de x em relac¸a˜o
ao ponto 3. Tomando como refereˆncia este valor, temos dois casos a analisar.
Caso 1: quando x esta´ em [3,∞), vamos determinar a soluc¸a˜o S1 de |x− 3| > 4x.
Caso 2: quando x esta´ no intervalo (−∞, 3), vamos determinar a soluc¸a˜o S2 de |x− 3| > 4x.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o S, da inequac¸a˜o dada em R, sera´ determinada por S = S1∪S2.
Caso 1: x ∈ [3,∞). Temos que
|x− 3| > 4x⇐⇒ x− 3 > 4x
⇐⇒ −4x+ x− 3 > −4x+ 4x
⇐⇒ −3x− 3 > 0
⇐⇒ −3x− 3 + 3 > 0 + 3
⇐⇒ −3x > 3
⇐⇒ −3x.
(
−1
3
)
< 3.
(
−1
3
)
⇐⇒ x < −1.
Logo, x ∈ (−∞,−1). Mas, como somente os valores de x do intervalo que estamos considerando,
que e´ [3,∞), devem fazer parte da soluc¸a˜o deste caso, segue que
S1 = ∅
Caso 2: x ∈ (−∞, 3). Temos que
|x− 3| > 4x⇐⇒ 3− x > 4x
⇐⇒ 3− x− 4x > 4x− 4x
⇐⇒ 3− 5x > 0
⇐⇒ −3 + 3− 5x > −3 + 0
⇐⇒ −5x > −3
⇐⇒ −5x.
(
−1
5
)
< −3.
(
−1
5
)
⇐⇒ x < 3
5
.
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Me´todos Determin´ısticos I AP3 4
Logo, x ∈
(
−∞, 3
5
)
. Mas, como somente os valores de x do intervalo que estamos considerando,
que e´ (−∞, 3), devem fazer parte da soluc¸a˜o deste caso, segue que
S2 =
(
−∞, 3
5
)
.
Assim, a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o dada e´:
S = S1 ∪ S2
= ∅ ∪
(
−∞, 3
5
)
=
(
−∞, 3
5
)
.
b) Chamando 2x2 − x − 1 de y, isto e´, y = 2x2 − x − 1, vamos determinar quando y e´ igual a
zero, para em seguida determinar quando e´ negativo. Para isso, observemos que o gra´fico de
y = 2x2 − x− 1 e´ uma para´bola com concavidade voltada para cima, ja´ que o coeficiente de x2
e´ positivo.
Assim, os valores de x em que y = 0, sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o do segundo grau 2x2− x− 1 = 0
que sa˜o dadas pelas fo´rmula de Bhaskara
x =
1±√1− 4(2)(−1)
4
=
1±√9
4
=
1± 3
4
Logo, esta equac¸a˜o tem duas ra´ızes reais
x1 = −1
2
e x2 = 1.
Isto significa que o gra´fico de y = 2x2 − x− 1 corta o eixo x nos dois pontos acima.
O gra´fico da para´bola esta´ plotada na Figura 1. Observando-o, vemos que o y da para´bola e´
+
-
+
-
1
2 1
x
y
Figura 1: Questa˜o 3 - Item b)
negativo para −1
2
< x < 1. Portanto, o conjunto soluc¸a˜o e´
S =
(
−1
2
, 1
)
.
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Me´todos Determin´ısticos I AP3 5
Questa˜o 4 (4.0 pts) : Considere as func¸o˜es
f(x) = −x2 + 2x− 5 g(x) = −x
2
+ 4.
a) (1.0 pt) Calcule
f(1/2)
g(1)
.
b) (2.0 pts) No mesmo plano cartesiano, fac¸a o esboc¸o do gra´fico de f e do gra´fico de g.
Para cada gra´fico, determine os pontos em que ele intercepta os eixos coordenados.
Se um dos gra´ficos for de uma para´bola, determine o seu ve´rtice.
c) (1.0 pt) Determine os pontos (x, y), caso existam, em que{
y = f(x)
y = g(x),
e represente-os no plano cartesiano do item b).
Soluc¸a˜o:
a) Temos que:
f
(
1
2
)
= −
(
1
2
)2
+ 2
(
1
2
)
− 5 = −1
4
+ 1− 5 = −1
4
− 4 = −1− 16
4
= −17
4
,
g(1) = −1
2
+ 4 =
−1 + 8
2
=
7
2
.
Logo,
f(1/2)
g(1)
=
−17
4
7
2
= −17
4
.
2
7
= −17
14
.
Portanto,
f(1/2)
g(1)
= −17
14
.
b) O gra´fico da func¸a˜o g e´ uma reta. Logo, para trac¸a´-lo precisamos de dois pontos. Usualmente,
escolhemos os pontos que interceptam os eixos coordenados. Assim:
• Para x = 0, temos que
g(0)= −0
2
+ 4 = 4.
• Por outro lado, para encontrar o ponto em que o gra´fico de g cruza o eixo vertical (ou das
ordenadas) procuramos x que satisfac¸a g(x) = 0. Ou seja,
g(x) = 0⇐⇒ −x
2
+ 4 = 0⇐⇒ −x
2
= −4⇐⇒ x = 8.
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Me´todos Determin´ısticos I AP3 6
Portanto, temos a reta determinada pelos pontos (0, 4) e (8, 0), conforme esboc¸ada na Figura 2.
O gra´fico de f e´ representado por uma para´bola, cuja concavidade esta´ voltada para baixo, ja´
que o coeficiente de x2 e´ negativo. Para esboc¸a´-la, vamos determinar onde seu gra´fico intercepta
o eixo x e o eixo y, bem como as coordenadas de seu ve´rtice.
• Vamos determinar onde o gra´fico de f intercepta o eixo x, isto e´, os pontos x em que
f(x) = 0. Ou seja, vamos determinar as ra´ızes de f , isto e´, os valores de x que satisfazem
−x2 + 2x− 5 = 0. Temos que,
∆ = 4− 4(−1)(−5) = −16,
ou seja, o discriminante da equac¸a˜o do segundo grau e´ negativo. Isto significa que a equac¸a˜o
−x2 + 2x− 5 = 0 na˜o tem ra´ızes reais. Assim, a para´bola na˜o intercepta o eixo x.
• Para determinar o ponto em que a para´bola intercepta o eixo y, tomamos x = 0 e obtemos
que
f(0) = −02 + 2(0)− 5 = −5.
Logo, a para´bola intercepta o eixo y no ponto (0,−5)
• O ve´rtice V da para´bola e´ determinado por V = (xv, yv) =
(
−b
2a
,
−∆
4a
)
. Logo,
V =
(
−2
2(−1) ,
−(−16)
4(−1)
)
= (1,−4) .
Na Figura 2, trac¸amos o esboc¸o de f .
c) Para determinar os pontos (x, y), em que{
y = f(x)
y = g(x),
temos de resolver a equac¸a˜o f(x) = g(x). Ou seja,
f(x) = g(x) ⇐⇒ −x2 + 2x− 5 = −x
2
+ 4
⇐⇒ −2x2 + 4x− 10 = −x+ 8
⇐⇒ −2x2 + 4x− 10 + x− 8 = 0
⇐⇒ −2x2 + 5x− 18 = 0.
Assim, os pontos em que f(x) = g(x) sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o −2x2 + 5x − 18 = 0. Como
∆ = 25−4(−2)(−18) = −119, segue que essa equac¸a˜o na˜o tem ra´ızes reais. Portanto, na˜o existe
x real, tal que f(x) = g(x). Ou seja, na˜o existe (x, y) soluc¸a˜o de
{
y = f(x)
y = g(x).
O significado
geome´trico deste resultado e´ que na˜o ha´ intersec¸a˜o entre a para´bola e a reta do item b).
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Me´todos Determin´ısticos I AP3 7
f
g
1 8
x
-5
-4
4
y
Figura 2: Questa˜o 4
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