Apostila_Potencial Elétrico_parte II - Copia

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Eletricidade 
Potencial Elétrico 
Parte 6 
 
 
2 
 
ELETRICIDADE - Elestrostática 
1. Potencial elétrico produzido por uma carga pontual 
Considere um ponto 𝑷 situado a uma distância 𝑹 de uma partícula fixa de carga positiva 𝒒𝒐 
(Fig. 1a e 1b). 
 
Figura 1. Representação de um potencial produzido por uma carga pontual. 
Vamos usar a mesma equação vista anteriormente: 
𝑽𝒇 − 𝑽𝒊 = −∫ 𝑬.𝒅𝒔
𝒇
𝒊
 
Para usar a equação vamos imaginar que o corpo de prova 𝒒𝒐 é deslocada de 𝑷 até o infinito. 
Como a trajetória é irrelevante, podemos escolher a mais simples: uma reta que liga a partícula fixa 
ao ponto 𝑷 e se estende até o infinito (Fig. 1c). 
Para usar a equação acima, precisamos calcular primeiramente o produto escalar: 
�⃗⃗� . 𝒅𝒔⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑬. 𝒅. 𝒄𝒐𝒔𝜽 
Neste caso: 
❖ �⃗� aponta para longe da partícula e 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ têm a mesma direção. Logo 𝜽 = 𝟎 e 𝒄𝒐𝒔 𝜽 =
𝟏. 
❖ Como a trajetória é radial: 
a) c) b) 
 
 
3 
 
𝒅𝒔 = 𝒅𝒓 
𝑽𝒇 − 𝑽𝒊 = −∫ 𝑬.𝒅𝒓
∞
𝑹
 
Como: 
𝑽𝒊 = 𝑽(𝑹) 
𝑽𝒇 = 𝑽(∞) ∴ 𝑽𝒇 = 𝟎 
𝑬 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝒐
.
𝒒
𝒓𝟐
 
Então: 
𝟎 − 𝑽 = −
𝒒
𝟒𝝅𝜺𝒐
∫
𝟏
𝒓𝟐
𝒅𝒓
∞
𝑹
 
𝑽 =
𝒒
𝟒𝝅𝜺𝒐
[
𝟏
𝒓
] 
𝑽 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝒐
.
𝒒
𝑹
 
 
𝑽 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝒐
.
𝒒
𝑹
 
Potencial elétrico de uma carga pontual 
IMPORTANTE! 
✓ Embora a equação tenha sido demonstrada para uma partícula positiva, a demonstração 
vale para uma partícula negativa. 
✓ Observe que o sinal de 𝑽 é igual ao sinal de 𝒒: 
∞ 
𝑹 
 
 
4 
 
𝒒+ → 𝑽 + 
𝒒− → 𝑽 − 
2. Potencial elétrico produzido por um grupo de cargas positivas 
Imagine agora não só uma carga pontual q mas um grupo de cargas pontuais (Fig. 2). 
 
Figura 2. Conjunto de cargas pontuais a uma distância 𝒅 de um ponto 𝑷. 
Neste caso usamos a equação anterior e calculamos separadamente os potenciais 
produzidos pelas cargas no ponto dado e somamos os potenciais posteriormente. 
𝑽 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝒐
.
𝒒
𝒓
 
 
𝑽 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝒐
.∑
𝒒𝒊
𝒓𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
 
Potencial elétrico produzido por um grupo de cargas pontuais 
 
 
5 
 
Onde: 
𝒏: número de cargas pontuais 
*O somatório é algébrico e não vetorial! 
3. Potencial elétrico produzido por um dipolo elétrico 
Pensem agora em duas cargas de sinais contrários colocadas a uma distância 𝒅 formando um 
dipolo elétrico (Fig. 3). 
 
Figura 3. Cargas de sinais opostos formando um dipolo elétrico. 
Caso tenhamos um dipolo a equação do potencial para um grupo de cargas poderá ser usado 
para calcular as duas cargas presentes no dipolo elétrico. 
𝑽 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝒐
.∑
𝒒𝒊
𝒓𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
 
Para isso vamos aplicar a equação a um dipolo elétrico em um ponto arbitrário 𝑷 indicado na 
figura 4. 
 
 
6 
 
 
Figura 4. Representação de um dipolo elétrico a uma distância 𝑷. 
𝑽 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝒐
. (
𝒒
𝒓(+)
+
−𝒒
𝒓(−)
) 
𝑽 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝒐
. (
𝒒𝒓(−) − 𝒒𝒓(+)
𝒓(+)𝒓(−)
) 
Os dipolos que ocorrem naturalmente (em moléculas, por exemplo) têm dimensões muito 
reduzidas (Fig. 5). 
 
Figura 5. Representação dos dipolos elétricos da água. 
Assim, normalmente estamos interessados apenas em pontos relativamente distantes do 
dipolo (𝒓 ≫ 𝒅) (𝒅 é a distância entre as cargas) (Fig. 6). 
 
 
7 
 
 
Figura 6. Representação de um dipolo elétrico. 
𝒄𝒐𝒔 𝜽 =
𝒓(−) − 𝒓(+)
𝒅
 
𝒓(−) − 𝒓(+) = 𝒅𝒄𝒐𝒔𝜽 
Se 𝒓𝟐 = 𝒅𝒄𝒐𝒔𝜽 
𝒓(−) − 𝒓(+) ≈ 𝒓𝟐 
Logo: 
𝑽 =
𝒒
𝟒𝝅𝜺𝒐
.
𝒅𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒓𝟐
 
Equação do potencial de um dipolo elétrico 
Esta equação também pode ser escrita como: 
𝑽 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝒐
.
𝒑𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒓𝟐
 
Onde: 
 
 
8 
 
𝒑 = 𝒒. 𝒅 → módulo do momento dipolar (𝒑) que tem direção no eixo do dipolo e 
aponta da carga (+) para a carga (−). 
A água possui um momento dipolar permanente (Fig. 7). 
 
Figura 7. Momento dipolar da água. 
Em moléculas apolares e em todos os átomos isolados, os centros de cargas positivas e 
negativas coincidem e portante o momento dipolar é zero. No entanto se colocarmos estas 
moléculas na presença de um campo elétrico as cargas + e – se deslocam, criando assim um dipolo 
induzido (que desaparece quando o E é removido). 
4. Potencial elétrico produzido por uma distribuição contínua de 
cargas 
Se a distribuição é contínua não podemos efetuar o somatório como anteriormente. Em vez 
disso devemos escolher um elemento de carga dq, calcular dV produzido e integrar dV para toda a 
distribuição de cargas. 
Para isso novamente vamos tomar o potencial no infinito como nulo e vamos tratar a carga 
um elemento de carga dq. 
𝑽 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝒐
.
𝒒
𝒓
 
𝒅𝑽 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝒐
.
𝒅𝒒
𝒓
 
 
 
9 
 
Para calcular o potencial total V no ponto P, integramos esta equação acima para todos os 
elementos de carga: 
𝑽 = ∫𝒅𝑽 
𝑽 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝒐
∫
𝒅𝒒
𝒓
 
Há dois tipos de distribuição: 
✓ Linha de carga; 
✓ Disco carregado. 
Linha de carga 
Na figura vemos uma barra fina não condutora de comprimento L possui uma densidade 
linear 𝝀. Vamos determinar o potencial no ponto P situado a uma distância d da extremidade 
esquerda da barra. 
Considere um elemento de comprimento dx da barra como mostra a figura b. A carga desse 
elemento é 𝒅𝒒 = 𝝀. 𝒅𝒙. 
O elemento produz um potencial dV no ponto P. 
𝒓 = √𝒅𝟐 + 𝒙𝟐 → 𝒓 = (𝒅𝟐 + 𝒙𝟐)𝟏/𝟐 
𝒅𝑽 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝒐
.
𝒅𝒒
𝒓
 
𝒅𝑽 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝒐
.
𝝀𝒅𝒒
(𝒅𝟐 + 𝒙𝟐)𝟏/𝟐
 
Para calcular o potencial V integramos essa equação ao longo da barra de x=0 a x=L (usamos 
a tabela de integrais). O resultado é o seguinte: 
𝑽 = ∫𝒅𝑽 
𝑽 = ∫
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝒐
𝑳
𝟎
.
𝝀
(𝒙𝟐 + 𝒅𝟐)𝟏/𝟐
𝒅𝒙 
 
 
10 
 
𝑽 =
𝝀
𝟒𝝅𝜺𝒐
∫
𝒅𝒙
(𝒙𝟐 + 𝒅𝟐)𝟏/𝟐
𝑳
𝟎
 
𝑽 =
𝝀
𝟒𝝅𝜺𝒐
[𝒍𝒏(𝒙 + (𝒙𝟐 + 𝒅𝟐)𝟏/𝟐)] 
𝒙 = 𝑳 
𝑽 =
𝝀
𝟒𝝅𝜺𝒐
[𝒍𝒏(𝑳 + (𝑳𝟐 + 𝒅𝟐)𝟏/𝟐) − 𝒍𝒏𝒅] 
Se usarmos a identidade 𝒍𝒏𝑨 − 𝒍𝒏𝑩 = 𝒍𝒏 (
𝑨
𝑩
): 
𝑽 =
𝝀
𝟒𝝅𝜺𝒐
𝒍𝒏 [
𝑳 + (𝑳𝟐 + 𝒅𝟐)𝟏/𝟐
𝒅
] 
Disco carregado 
Agora queremos calcular o potencial em um ponto qualquer do eixo central. 
Na figura considere um elemento de área constituído por um anel de raio R’ e largura dR’. 
A carga será dada por: 𝒅𝒒 = 𝝈. 𝑨 ∴ 𝑨 = 𝒃𝒂𝒔𝒆. 𝒉 
𝒅𝒒 = 𝝈. (𝟐𝝅𝑹′). (𝒅𝑹′) 
Como P está no eixo central, todas as partes do elemento de carga estão na mesma distância 
r do ponto: 
Para calcular o potencial total, somamos (por integração) as contribuições de todos os anéis 
de R’=0 até R’=R. 
5. Cálculo do campo elétrico a partir do potencial 
Vimos que é possível calcular o potencial a partir do conhecimento do E ao longo de uma 
trajetória desde um ponto de referência até o ponto f. 
Agora vamos fazer o inverso. 
Graficamente este problema é facil de resolver. Se conhecermos todos os pontos nas 
vizinhanças de uma distribuição de cargas, podemos desenhar uma família de superfícies 
equipotenciais. As linhas de E desenhadas perpendicularmente a essas superfícies, revelam a 
variação de E. 
 
 
11 
 
O que faremos é buscar o método matemático 
A figura mostra seções retas de uma família de superfícies equipotenciais muito próximas 
umas das outras. A diferença de potencial entre superfícies adjacentes é dV. 
Como sugere a figura o E em um ponto P qualquer é perpendicular à superfície equipotencial 
que passa por P. Suponha que uma carga de prova positiva qo sofra uma deslocamento ds de uma 
superfície equipotencial para outra vizinha. 
 
 
 
Assim, se conhecemos V para todos os pontos na vizinhança de uma distribuição de cargas 
podemos obter as componentes de E, e portanto o próprio E, calculando as três derivadas parciais. 
 
 
Exemplo: O potencial elétrico em um ponto do eixo central de um disco uniformemente 
carregado é: 
 
A partir dessa equação determine uma expressão para o E em qualquer ponto do eixo do 
disco. 
6. Energia potencial elétrica em um sistema de cargas pontuais 
 
 
 
 
12 
 
 
 
Os raios ocorrem quando há uma diferençade cargas elétricas. Neste caso em análise, as 
nuvens estão carregadas negativamente (por exemplo) e, ao se aproximarem da Terra, provocam 
uma repulsão nela fazendo com que os objetos mais próximos fiquem carregados positivamente 
(Fig. 2). 
 
Figura 2. Formação de raios durante uma tempestade 
O campo elétrico ao redor na nuvem carregada negativamente, provoca uma “separação de 
cargas” nos corpos próximos a ela. As cargas de sinais contrários (neste caso as cargas positivas) 
serão atraídas em direção a nuvem. O raio é o momento em que ocorre esse movimento das cargas. 
Fisicamente falando, devido à intensidade do campo elétrico formado, as cargas positivas do 
solo mais próximas do raio condutor, saltam até encontrá-lo, fechando assim o circuito elétrico entre 
Como estes raios são 
formados? 
+ 
+ + 
- - 
 
 
13 
 
a nuvem e o solo. Quando as duas cargas se encontram tudo se ilumina e o raio pode ser observado 
(Fig. 3). 
 
Figura 3. Esquema que exemplifica a formação de um raio 
https://infoenem.com.br/veja-a-diferenca-entre-raios-relampagos-e-trovoes/ 
Vamos entender um pouco mais sobre o assunto. Vejam a Fig. 4. 
 
Figura 4. Uma nuvem de tempestade deixou as crianças positivamente carregada1. 
As crianças desta imagem estavam em uma plataforma de observação do Sequoia National 
Park quando uma grande nuvem de tempestade passou no céu. Muitos elétrons de condução do 
corpo das crianças foram repelidos para a terra pela base da nuvem, negativamente carregada, o 
que deixou o corpo das crianças positivamente carregados. Observando esta imagem é possível 
concluir que o corpo das crianças está carregado, já que os fios de cabelo se repelem mutuamente 
e se projetam para cima ao longo das linhas de campo elétrico produzidas pela carga do corpo1. 
 
 
14 
 
Cabe ressaltar que as crianças não morreram após serem atingidas pelo raio, mas ficaram 
gravemente feridas. Além disso elas poderiam ter morrido e estavam correndo um sério risco. Neste 
momento da foto o campo elétrico estava a ponto de causar uma ruptura elétrica no ar à sua volta. 
Essa ruptura pode ocorrer ao longo de uma trajetória ascendente e uma descarga pode acontecer 
(como de fato aconteceu)1. 
A partir da leitura desta introdução podemos pensar: 
 
A partir de um Potencial Elétrico! 
1.1. Definição de Potencial Elétrico 
Quando uma força elétrica age em duas partículas podemos associar uma energia potencial 
elétrica ao sistema. Essa energia potencial por unidade de carga em um ponto do espaço é chamada 
de Potencial Elétrico, representado pela letra 𝑽1. 
Em outras palavras podemos dizer que o Potencial Elétrico é definido a partir do trabalho 
necessário para movimentar uma carga unitária positiva desde o infinito até o ponto em que 
medimos o potencial (Fig. 5)2. 
 
 
Como cargas elétricas unitárias 
conseguem mover-se de um 
ponto de referência a um ponto 
específico contra o campo 
elétrico? 
 
+ 𝒒 
�⃗⃗� 
P 
 
 
15 
 
 
 
Figura 5. Uma carga elétrica unitária 𝒒 trazida desde o infinito até o ponto P. 
Na realidade o Potencial Elétrico não é a grandeza importante. A grandeza que nos interessa 
é a Diferença de Potencial. Vamos entender o que isso significa... 
1. Diferença de Potencial 
Vamos supor uma carga 𝒒 positiva colocada entre duas placas com cargas opostas. 
Inicialmente a carga encontra-se na placa positiva e apresenta um potencial 𝑉𝐴. Se houver uma 
diferença de potencial (∆𝑉)entre a placas com carga positiva e negativa, ou seja, se a placa negativa 
apresentar um potencial 𝑉𝐵, haverá um deslocamento desta carga. Esta diferença de potencial é a 
grandeza responsável pelo movimento da carga (Fig. 6). 
 
Figura 6. Representação do movimento de uma carga 𝒒 de uma placa com potencial 𝑽𝑨 (a); para 
uma placa de potencial 𝑽𝑩 (b). 
Vejam que a carga se move de uma placa para outra pois há uma energia potencial elétrica 
presente nas placas com valores diferentes entre si, ou seja, há uma diferença de potencial entre as 
cargas que fazem com que o movimento ocorra! 
Vejam a Fig. 7. Nela vemos um passarinho sentado em fio de alta tensão. Possivelmente 
todos nós já vimos pássaros nesta posição e eu lhes pergunto: poderíamos nós, seres humanos 
permanecer na mesma posição deste pássaro? 
a) b) 
+ 𝒒 
 
 
16 
 
 
Figura 7. Passarinho sentado em um fio de alta tensão. 
Para responder esta questão primeiramente vamos entender o que está acontecendo 
fisicamente. 
Os fios de alta tensão têm voltagem superior a 600 V. Esta tensão pode causar nos seres 
vivos a eletrocussão que corresponde à morte pela exposição do corpo à uma dose letal de energia 
elétrica3. No entanto o passarinho nada sofre... 
Isso ocorre, pois, as patas do passarinho são como cargas elétricas. Vejam que aqui não há 
duas “placas carregadas”, há somente uma placa. Logo o potencial elétrico em cada uma das patas 
é o mesmo (𝑽𝑨= 𝑽𝑩). Desta forma, como não há diferença de potencial não haverá movimento de 
um ponto a outro e o pássaro não levará uma descarga elétrica. 
 
 
A resposta é sim. Caso o ser humano permanecesse segurando o fio com as duas mãos juntas 
como o pássaro, sem encostar em nada (a não ser no fio) e sem contato com o solo ele nada sofreria. 
No entanto isso é praticamente impossível de ocorrer (geralmente o ser humano abre os braços 
Um ser humano 
poderia fazer o 
mesmo em fio de alta 
tensão? 
 
 
17 
 
para ter mais equilíbrio e como o fio é muito mais leve que a pessoa ela encostaria no chão ou em 
outra superfície. Sendo assim, é impossível a reprodução deste ato por uma pessoa. 
2. Cálculo do Potencial Elétrico 
Matematicamente podemos dizer que o Potencial Elétrico é a relação entre energia 
potencial e a carga elétrica. Sendo assim: 
𝑽 =
𝑼
𝒒
 
Onde: 
𝑼 →energia potencial; 
𝒒 → carga elétrica; 
𝑽 → potencial elétrico. 
Observe que o Potencial Elétrico é uma grandeza vetorial! 
Como vimos, na vida real, a grandeza mais conhecida não é o potencial (V) mas sim a 
“Diferença de Potencial”. 
𝑽 → ∆𝑽 ∴ ∆𝑼 = 𝑼𝒇 − 𝑼𝒊 
∆𝑽 =
𝑼𝒇
𝒒
−
𝑼𝒊
𝒒
 
∆𝑽 =
∆𝑼
𝒒
 
Se ∆𝑼 = −𝝎 
∆𝑽 =
−𝝎
𝒒
 
 
 
O negativo indica que o 
campo realiza trabalho 
sobre a carga 
 
 
18 
 
Unidade (SI): 
𝑽 =
𝑼
𝒒
 
𝑽 =
𝑱
𝑪
→ 𝒗𝒐𝒍𝒕 (𝑽) 
 
Curiosidade 1! 
 
O campo elétrico pode ser expresso em outra unidade 
diferente de N/C: 
 
Como 𝝎 = 𝑭.𝒅 → 𝑱 = 𝑵.𝒎 
Logo: 𝑵 = 𝑱 𝒎⁄ 
Como: 𝑽 = 𝝎 𝒒⁄ → 𝑽 = 𝑱 𝑪⁄ 
Logo: 𝑪 = 𝑱 𝑽⁄ 
Então: 
𝑵
𝑪
= (
𝑱
𝒎
𝑱
𝑽
) = (
𝑱. 𝑽
𝒎. 𝑱
) = (
𝑽
𝒎
) 
 
 
19 
 
 
Sabemos também que: 
𝜔 = 𝐹 . 𝑑 
𝐹 = 𝑞. �⃗� 
Logo: 
𝜔 = 𝑞. �⃗� . 𝑑 
Relacionando campo elétrico e a distância temos: 
𝜔 = 𝑞. �⃗� . 𝑑 . 𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝜃 → ângulo entre �⃗� e 𝑑 . 
Sabemos também: 
𝑉 =
𝜔
𝑞
 
E: 
Curiosidade 2! 
 
A energia também pode ser expressa em outra 
unidade: o elétron-volt. 
O elétron-volt (eV) é a energia igual ao trabalho 
necessário para deslocar uma carga elementar através 
de uma diferença de potencial de 1 volt. 
𝟏 𝒆𝑽 = 𝒆. 𝑽 
𝟏 𝒆𝑽
= 𝟏, 𝟔. 𝟏𝟎−𝟏𝟗𝑪. 𝟏𝑱/𝑪 
𝟏 𝒆𝑽 = 𝟏, 𝟔. 𝟏𝟎−𝟏𝟗𝑱 
 
 
 
 
20 
 
𝜔 = 𝑞. �⃗� . 𝑑 . 𝑐𝑜𝑠𝜃 
Então: 
𝑉 =
𝑞. �⃗� . 𝑑 . 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑞
 
Supondo 𝜃 = 0: 
𝑉 = �⃗� . 𝑑 
IMPORTANTE 
Lembram das superfícies equipotenciais? Como mostra a Fig. 8 superfície equipontecial 
refere-se a uma região no espaço onde todos os pontos estão com o mesmo potencial. 
 
Figura 8. Representação de superfícies equiponteciais 
Algumas características importantes destas superfícies: 
✓ São sempre perpendiculares ao campo elétrico �⃗⃗� . 
✓ O campo elétrico não realiza nenhum trabalho quando a partícula se desloca 
de um ponto para outra de sua superfície equipotencial. 
 
 
21 
 
Vejam a fig. 9. Nela vemos uma partículas que move-se conforme a seta verde por 4 
superfícies equipotenciais. 
 
Figura9. Superfícies equiponteciais e seus potenciais elétricos. 
❖ Na região I o trabalho ao longo de uma trajetória que se mantém em uma superfície 
equipotencial é NULO. 
❖ Na região II o trabalho de uma trajetória que começa e termina na mesma superfície 
equipotencial é NULA. 
❖ Na região III e IV o trabalho ao longo de uma trajetória que começam e terminam na mesma 
superfície equipotenciais são iguais. 
Cálculo do Potencial a partir do campo 
É possível calcular a diferença de potencial entre dois pontos 𝑖 e 𝑓 em uma região do espaço 
onde existe �⃗� se o vetor �⃗� é conhecido em todos os pontos de uma trajetória que ligue esses pontos. 
Para isso basta que se ligue esses pontos. Ou seja, basta determinar o 𝜔 entre 𝑖 e 𝑓. 
𝑑𝜔 = 𝐹 . 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ ∴ 𝐹 = 𝑞𝑜 . �⃗� 
𝑑𝜔 = 𝑞𝑜 . �⃗� . 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ 
Para determinar o 𝜔 realizado quando se desloca de 𝑖 para 𝑓 somamos, por integração, os 𝜔 
elementares realizados sobre a carga quando ela sofre todos os deslocamentos elementares 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ : 
𝜔 = −𝑞𝑜 ∫ �⃗� 
𝑓
𝑖
. 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ 
 
 
22 
 
Como: 𝜔 = (𝑉𝑓 − 𝑉𝑖). 𝑞𝑜 
(𝑉𝑓 − 𝑉𝑖). 𝑞𝑜 = −𝑞𝑜 ∫ �⃗� 
𝑓
𝑖
. 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ 
(𝑉𝑓 − 𝑉𝑖) = −∫ �⃗� 
𝑓
𝑖
. 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ ∴ 𝑉𝑖 = 0 
𝑉𝑓 = −∫ �⃗� 
𝑓
𝑖
. 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ 
Se 𝑽𝒊 = 𝟎 este é o potencial em um ponto qualquer. 
Exemplo 
Qual é o valor do potencial elétrico no ponto P situado no centro do quadrado de cargas pontuais 
que aparece na figura? A distância entre as cargas é de 1,3 m e as cargas são: 
𝒒𝟏 = +𝟏𝟐 𝜼𝑪 
𝒒𝟐 = −𝟐𝟒 𝜼𝑪 
𝒒𝟑 = +𝟑𝟏 𝜼𝑪 
𝒒𝟒 = +𝟏𝟕 𝜼𝑪 
 
Referências bibliográficas 
 
 
23 
 
1. HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Fısica Vol. 3. Rio de 
Janeiro: LTC-Livros Técnicos e Científicos Editora SA, 2009.