Formas indeterminantes e a regra de L'Hopital

Prévia do material em texto

Formas	
  indeterminadas	
  e	
  a	
  Regra	
  de	
  L’Hôspital	
  
Material	
  online:	
  h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-­‐2010_2.html	
  
	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
  	
  
Regra	
  de	
  L’Hôspital	
  
Considere a função F (x) =
lnx
x− 1
Como calcular ? 	
  lim
x→1F (x)
Neste caso, o limite é denominado forma indeterminada 
 
do tipo 	
  
lim
x→a
f(x)
g(x)
0
0
Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que 	
   lim
x→a f(x) = limx→a g(x) = 0
Exemplo:	
   lim
x→1
x2 − x
x2 − 1 = limx→1
x(x− 1)
(x+ 1)(x− 1) = limx→1
x
x+ 1
=
1
2
lim
x→0
sinx
x
= 1
Regra	
  de	
  L’Hôspital	
  
Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que 	
  
Neste caso, o limite é denominado forma indeterminada 
 
do tipo 	
  
lim
x→±∞ f(x) = limx→±∞ g(x) = ±∞
lim
x→±∞
f(x)
g(x)
∞
∞
Exemplo:	
   lim
x→∞
lnx
x− 1 = ?	
  
Regra	
  de	
  L’Hôspital	
  
Regra de L’Hôspital: Sejam f e g deriváveis e g’ não nula em um intervalo 
aberto I que contém a (exceto possivelmente em a). Suponha que	
  
e	
  
e	
  
ou	
  
Então	
   se o limite das derivadas existir.	
  
Obs.: A regra também vale para limites laterais e limites no infinito.	
  
Regra	
  de	
  L’Hôspital	
  
Exemplo:	
  
Forma indeterminada do tipo 	
  
0
0
Aplicando a Regra de L’Hôspital:	
  
Regra	
  de	
  L’Hôspital	
  
Exemplo:	
  
Forma indeterminada do tipo 	
  
∞
∞
Aplicando a Regra de L’Hôspital:	
  
Temos a mesma forma indeterminada novamente. Vamos aplicar a regra novamente: 	
  
Regra	
  de	
  L’Hôspital	
  
Exemplo:	
  
Aplicando a Regra de L’Hôspital:	
  
Temos a mesma forma indeterminada novamente. Mas podemos simplificar!	
  
Regra	
  de	
  L’Hôspital	
  
Exemplo:	
  
Aplicando a Regra de L’Hôspital:	
  
Forma indeterminada do tipo 	
  
0
0
Aplicando a Regra de L’Hôspital novamente:	
  
lim
x→0
2 · secx · ddx [secx]
6x
= lim
x→0
2 · sec2 x tanx
6x
=
1
3
lim
x→0 sec
2 x · lim
x→0
tanx
x
=
1
3
lim
x→0
tanx
x
Regra	
  de	
  L’Hôspital	
  
Exemplo:	
  
Aplicando a Regra de L’Hôspital mais uma vez:	
  
1
3
lim
x→0
tanx
x
=
1
3
lim
x→0
sec2 x
1
=
1
3
Regra	
  de	
  L’Hôspital	
  
Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que e	
  lim
x→a f(x) = 0 limx→a g(x) = ±∞
Neste caso, o limite é denominado forma 
 
indeterminada do tipo 	
  
lim
x→a f(x) · g(x)
0 ·∞
Observe que , onde neste caso teremos uma 
 
 
forma indeterminada do tipo e podemos usar a Regra de L’Hôspital.	
  
lim
x→a f(x) · g(x) = limx→a
f(x)
1
g(x)
0
0
Regra	
  de	
  L’Hôspital	
  
Exemplo:	
  
lnx
Forma indeterminada do tipo 	
  0 ·∞
Regra	
  de	
  L’Hôspital	
  
Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que e	
  
Neste caso, o limite é denominado forma 
 
indeterminada do tipo 	
  
Estratégia: Tentar transformar a diferença em um quociente.	
  
lim
x→a f(x) =∞ limx→a g(x) =∞
lim
x→a[f(x)− g(x)]
∞−∞
Regra	
  de	
  L’Hôspital	
  
Exemplo:	
  
Aplicando a Regra de L’Hôspital:	
  
Regra	
  de	
  L’Hôspital	
  
Definição: Potências indeterminadas:	
  
e	
  
e	
  
e	
  
tipo	
  
tipo	
  
tipo	
  
Estratégia: Tome o logaritmo natural:	
  
	
  
Regra	
  de	
  L’Hôspital	
  
Exemplo:	
  
Quando ,	
   e	
  
Aplicando a Regra de L’Hôspital:	
  
= elimx→0+ ln y