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Anlise Estrutural I Sussekind

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=-zr.i.~ i ?,)a/;r@ . , :, 
< 4 !:%I,.~.~$-.:! 
&A ,S.; 
,* ,. 
CURSO DE 
ANÁLISE ESTRUTURAL 
Volume I 
Estruturas Isostaticas 
O (lum de Análise Estnitural compreende os volumes: 
1 - Estruturas isostáticag 
11 - Deformações em estruturas Mbtodo das forças. 
111 -Método das deformapes Processo de Cross. 
CIP-Brasil Cataiogação-na-konlc 
Câmara Brasileira do Livro, SP 
Siisseklnd, 3 0 6 Carlos, 1947- 
S963c Curso de análise estnitural/ José Carlos Siissekind. - 
v.1-3 6. ed. - Porto Alegre -Rio de Janeiro : Globo, 1981. 
v. ilust. (EnciolopMia tbcniui unfversal Globo) 
Bibiiogmííí. 
Conteiido: -v. 1. Estnitiuas isostáticar -2. Deforma- 
ções em estruturas. Método das forps. -3. Método das 
deformaç6es Processo de Cross. 
I 1. EstruturaçAnáüse. (Engenharia) I. Tftulo. U. Tftu- 10 : Estrutu~as isostáticar IU. Sene. 
hdloes parn catálogo slstedtim: 
1. Análise estrutural : Engenharia 624.171 
2. Estruturas: Análise: Engenhada 624.171 
Enciclopédia Técnica Universal Globo 
JOSE CARLOS SUSSEKIND 
CURSO DE 
ANÁLISE ESTRUTURAL 
Volume I 
Estruturas Isostáticas 
6? Edição 
E O i I O R A GLOBO 
Porto Alegre 0 Rio de Janeiro 
1981 
l? Edição -dezembro de 1975 
2? Edição - juiho de 1977 
3? Edição - março de 1979 
4? Ediçáo -maio de 1979 
S? Edlçáo - março de 1980 
Capa: 
Ruben H e m a n n 
A primeira edição desta obra foi realizada em convênio com a 
Universidade de São Paulo 
Direitos exclusivos de edição, em língua portuguesa, 
da Editora Globo S A. 
Av. Getúlio Vagas, 1271 - 90000 P o r t o Alegre, RS 
Rua Sarg. Sllno Hollenbach, 350 - 21510 - Rio de Janeiro, R1 
I Apresentacão 
A idéia de escrever este Curso de Análise Estrutural nasceu da necessi- 
dade encontrada de um texto que nos servisse de'suporte para o ensino da 
Isosiática e da Hiperestática aos futuros engenheiros civis, idéia esta que 
cresceu com o estímulo recebido da parte de diversos colegas de magistério, 
que se vèm deparando com o mesmo problema, e cuja concretização se tomou 
possível a partir do interesse demonstrado pela Editora Globo em editá-lo. 
O Curso de Análise Estmturd será dividido em três volumes, no primei- 
ro dos quais estudaremos os esforços nas estmturas isostáticas, ficando o es- 
tudo dos esforços nas estruturas hiperestáticas e das deformações em estru- 
turas em geral para ser feito nos segundo e terceiro volumes. Nestes últimos, 
incluiremos também o estudo de alguns tbpicos especiais, cujo conhecimento 
julgamos indi~pensável ao engenheiro civil. 
Na apresentação deste Curso, é dever de gratidão mencionar o nome do 
extraordinário professor que é o Dr. Domício Falcão Moreira e Silva, a quem 
devemos nossos conhecimentos de Mecãnica Racional e de Mecânica das 
Estruturas, e por iniciativa de quem fomos lançados no magistério superior, 
I na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. 
Agradecemos antecipadamente aos nossos leitores e colegas quaisquer 
comentários, sugestões ou críticas que nos venham a enviar através da Editora 
Globo, pois, a partir deles, estaremos em condições de tentar sempre melhorar 
este trabalho, no sentido de torná-lo cada vez mais útil ao nosso estu- 
dante - objetivo final de nossos esforços. 
Rio de Janeiro, 1Q de abril de 1974 
José Carlos Sussekind 
Sumário 
CAmULO I - CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
1 - Domínio de estudo da Análise Estmtunl 1 
2 - As grandezas fundzmentais: Força e Momento 2 
2.1 - Força 2 
2.2 - Momento 3 
2.2.1 - Propriedades do momento 4 
2.2 1.1 - Momento de uma força em relaçáo a um ponto 4 
2.2.1.2 - Momentos de uma força em relação a diversos pontos 5 
2.2 1.3 - Momento de uma força em relação a um eua 6 
2.2.1.4 - Momento constante de um sistema de duas forças paralelas, 
de mesmo módulo e sentidos opostos 9 
2.3 - Redução de um sistema de forças a um ponto. Conceito físico 10 
3 - Condições de equilíbrio 10 
3.1 - Casos particulares importantes 12 
3.1.1 - Sistema de forças concorrentes no espaço 12 
3.1.2 - Sistema de forças paralelas no espaço 12 
3.1.3 - Sistema de forças coplanares 14 
4 - Graus de liberdade. Apoios. Estaticidade e Estabilidade 16 
4.1 - Graus de liberdade 16 
4.2 - Apoios 17 
4.2.1 - Estruturas planas canegadas no próprio plano 18 
4.2.2 - Cálculo das reaçóes de apoiÒ 20 
4.3 - Estaticidade e Estabilidade 23 
5 - Esforps simples 25 
5.1 - Caso particular importante: estruturas planas canegadas no próprio plano 34 
6 - Cargas 40 
6.1 - Cargas mncentradas 41 
6.2 - Cargas distribuídas 41 
6.3 - Cargas-momento 45 
CAPITULO U - ESTUDO DAS VIGAS ISOSTÁTICAS 
1 - As equações fundamentais da Estática 48 
2 - Vigas biapoiadas 50 
2.1 - Carga concentrada 50 
2.2 - Carga uniformemente distribuída 53 
2.3 - Carga triangular 55 
2.4 - Carpa-momcnto 59 
2.5 - Casa geral de carregamento 62 
3 - Vigas engastadas e livres 67 
4 - Vigas biapoiadas com balanços 69 
5 - Vigas Gerber 73 
5.L - Introdução 73 
5.2 - Exemplos de decomposição 77 
6 - Vigas inclinadas 79 
6.1 - viga submetida a carregamento distribuído vertical 79 
6.2 - Viga submetida a carregamento distribuído horizontal 81 
6.3 - Viga submetida a carregamento distribuído perpendicular a scu eixo 82 
7 - Problemas resolvidos 84 
8 - F'roblemas propostos 98 
9 - Solução dos pmblemas propostos 104 
CAPfiULO 111 - ESTUDO DOS QUADROS ISOSTATICOS PLANOS 
1 - Quadros simplm 110 
1.1 - Quadro biapoiado 110 
1.2 - Quadro engastado c livre 115 
1.3 - Quadro triarticulado 117 
1.4 - Quadro biapoiado, com articulação L tuante (ou escora) 121 
2 - Quadros com banas c u m 123 
3 - Quadros compostos 130 
3.1 - Introdução 130 
3.2 - Exemplos de decoml,osiçáo 131 
3.3 - Exemplos de resolução 135 
4 - Estudo dos arcos triarticulados 140 
4.1. - Estudo dos arcas triarticulados para carrwamanto vertical em função 
da viga de substituição 141 
4.2 - Definição e determinação da linha de pressões 143 
4.3 - Aplicações 146 
6 - Problemas propostos 156 1 i 
7 - Solução dos problemas pmps tos 170 
2 - Cbdieação das treliças 192 
2.1 - Qiianta à estatiçidde 192 
2.2 - Quanta à lei de formação 195 
3 - Método de Ritter 195 
3.1 - As bases do método 195 
3.2 - Exemplos de aplicação 198 
3.3 - Resolução das treliças de altura constante em f u n ~ ã o 
da viga de substituição 202 
3.3.1 - Treliça com uma diagonal por paiiiel 202 
3.3.2 - Treliças com duas diagonais por painel (Vi@sH:ssler) 214 
4 - Método de Cremona 220 
4.1 - Introdução 220 
4.2 - Apresentação do método 223 
4.2.1 - Notacão das cargas e dos esforço? normais 223 
4.2.2 - Roteiro do método 223 
4.3 - Exemplos 226 
5 - Treliças compostas 231 
5.1 - Conceituação 231 
5.2 - Método dc resoluqão 233 
5.3 - Aplicaçóes 236 
6 - Treliças complexas 241 
6.1 - Conceituação 241 
6.2 - Método geral de resolução das treliças complexas Método de Henneberg) 241 
6.3 - Aplicações 246 
7 - Treliças com cargas fora dos nó? 251 
7.1 - Método de resolução 251 
7.2 - Aplicações 253 
8 - Intmdufão ao estudo das treliças espaciais 258 
9 - Problemas propostos 263 
10 - &l@o dos problemas PrOPOStOS 270 
1 - Estudo das grelhas isostáticas 275 
1.1 - Introdução 275 
1.2 - Definição 276 
1.3 - Aplicações 279 
1.4 - Vigas-balcão 286 
2 - Estudo dos quadros espaciais isostáticos 289 
3 - hohlcrnas propostos 292 
4 - Solu@o dos pmblemaa prnposios 295 
CAP~TULO VI - ESTUDO DAS CARGAS M6VEIS EM 
ESTRUTURAS ISOSTATICAS 
I - lnhoduçáo 298 
1.1 - Classificação das cargas que atuam nas estruturas 298 
1.2 - Definivão das cargas móveis. Trons-tipo 299 
1.3 - O pmblcma a resolver. Forma de resolução 300 
2 - Linhas de influência 301 
2.1 - Dcfinição 301 
2.2 - Fascs dc resolução do problcma 302 
2.3 - Obtençãodos efeitos, conhecidos o trem-tipo i. a linha dc influência 302 
2.4 - Obtenção das linhas de influência para 2s estruturas isostáticas 304 
2.4.1 - Viga engastada e livre 304 
2.4.2 - Viga biapoiada 305 
2.4.2.1 - Pesquisa dos valores máximos 311 
2.4.3 - Viga biapoiada com balanços 320 
2.4.4 - Vigas Gerber 325 
2.4.5 - Sistemas triarticulados 328 
2.4.5.1 - Tcnsões nos bordos das seçõçs 330 
2.4.5.2 - Tensóes nos bordos dos encontros 332 
2.4.6 - Treliyas 342 
2.4.6.1 - Caso particular: treliças de altura constante 346 
3 - Roblemas propostos 351 
4 - solu@Q dos problemas pmpartos 357 
Introducão - ao primeiro volume 
O primeiro volume, em que fazemos o estudo estático das estruturas 
isostáticas, para cargas permmentes e móveis, foi dividido em seis capítulos, 
comentados a seguir. 
O primeiro capitulo (Conceitos Fundamentais) visa a fiwaçãodos c m 
ceitos de Mecãnica Racional que julgamos base imprescindível à boa com- 
preensão da Análise Estrutural; nele d e f k o s as condições estáticas do 
equilíbrio, introduzimos as noções de vínculos, graus de liberdade e estati- 
cidade de uma estrutura e definimos os esforços simples que a t u m numa 
seção de uma estrutura. 
No segundo capítulo (Estudo das vigas isostáticas), apresentamos as 
equações diferenciais fundamentais de Estática, estudando a seguir, para os 
diversos tipos de carregamentos que podem ocorrer na prática, as vigas 
biapoiada, engastada e livre, biapoiada com balanços e Gerber. Durante este 
estudo, são apresentadas ao leitor, pouco a pouco, as idéias básicas para o 
traçado dos diagramas solicitantes, que ao fm deste capítulo, não deverá 
mais encontrar qualquer dificuldade neste setor. 
O terceiro capitulo aborda em detalhes os quadros isostáticos simples e 
compostos. Queremos chamar a atenção para a enorme importância deste 
estudo, pois, embora os quadros isostáticos ocorram com pequena incidência 
I na prática, seu perfeito conhecimento é absolutamente indispensável ao 
estudo das estruturas hiperestáticas. (Este é um problema com o qual nos 
deparamos, constantemente, no ensino de Hiperestáticq motivo pelo quaI 
demos uma grande ênfase ao tratamento dos quadros isostáticos em nosso 
Curso.) 
O quarto capitulo trata do estudo das treliças isostáticas planas (simples, 
compostas e complexas), sendo discutida sua lei de formação è apresentados 
seus dois grandes métodos de resolução (Ritter e Cremona). São feitas 
aplicações para os tipos usuais de treliças da prática. Entre eles, ênfase 
especial mereceu o caso das treliças cujo estudo pode ser feito recair no de 
uma viga de substituição (muito comuns em pontes). 
No final do capitulo, apresentanos as idiias básicas para a geração e o 
estudo das treliças isostáticas no espaço, mostrando como obedecem às 
inesmasidéias básicas válidas para treliças planas. 
O quinto capítulo estuda os quadros isostáticos espaciais, recebendo 
ênfase maior o caso das grelhas. Este estudo não aparece, normalmente, nas 
obras clássicas sobre Estática, o que, a nosso ver, tem contribuído para criar 
quase que um tabu a respeito destas estruturas, que julgamos poder evitar 
começando a estudii-las paralelamente ao estudo das estruturas planas. Este 
procedimento vem sendo adota'do, com grande êxito, nas cadeiras de Análise 
Estrutural na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, o que nos 
levou à colocação do assunto no primeiro volume deste Curso. 
Finalmente, o sexto capítulo estuda os efeitos estáticos das cargas 
móveis atuantes nas estruturas isostáticas, através do processo das linhas de 
influência. O processo é aplicado para todos os tipos de estruturas isostáticas, 
obtendo-se as envoltórias necessárias ao projeto das pontes, viadutos, vigas 
de rolamento etc. 
Ao fun de cada capítulo apresentamos uma lista de problemas p r o 
postos, cuja resolução é indispensável à sedimentação da teoria e exemplos 
apresentados durante a exposição de cada assunto e que representam a 
parcela de trabalho individual que cada leitor precisa realiia~para atingir 
um bom domínio da Isostática- base sólida e indispensável para o prossegui- 
mento no estudo da Análise Estmtural. 
Na oportunidade, queremos deixar registrados nossos agradecimentos ao 
amigo José de Moura Villas Boas, pelo trabalho de revisão deste volume, e aos 
demais amigos que, com suas sugestões, estímulo e ajuda no traçado das figu- 
ras, colaboraram para elaboração deste trabalho. 
Rio de Janeiro, 3 de Junho de 1974 
CONCEITOS FUI NDAN 
1 - DOMmIO DE ESTUDO DA ANÁLISE ESTRUTURAL 
A Anáiise Estrutural é a parte da Mecânica que estuda as estruturas, consis- 
tindo este estudo na determinação dos esforços e das deformações a que elas 
ficam submetidas quando solicitadas por agentes externos (cargas, variações 
térmicas, movimento de seus apoios, etc.). 
As estruturas se compõem de uma ou mais peças, ligadas entre si e ao 
meio exterior de modo a formar um conjunto estável, isto é, um conjunto 
capaz de receher solicitações externas, abso~ê-Ias internamente e transmiti-las 
até seus apoios, onde estas solicitações externas encontrar50 seu sistema 
estático equilibrante. 
As peças que compõem as estruturas possuem, evidentemente, três diien- 
sões. Três casos podem ocorrer: 
a) duas dimensões são pequenas em relação à terceira; 
h) uma dimensão é pequena em relação às outras duas; 
c) as três dimens8es são consideráveis. 
No l? caso, que corresponde ao da maioria das estruturas da prática, a 
dimensão maior é o comprimento da peça, estando as duas outras dimensães 
nadas no plano a ele perpendicular (plano da seção transversal da peça). 
:ste caso, o estudo estático da peça, que será denominada barra, pode ser 
ito considerando-a unidimensional, isto é, considerando-a representada pelo 
u eixo (lugar geométrico dos centros de gravidade de suas seções trans- 
rsais). Uma barra será dita reta ou curva, conforme seu eixo seja reto ou 
INO. Conforme os eixos das diversas barras que compõem a estrutura este- 
m ou não contidos no mesmo plano, a estrutura será chamada estrutura 
ana ou espacial 
O 2P e o 39 casos são aqueles, respectivamente, das placas; das cascas 
uja espessura 6 pequena em presença da superfície da peça, superfície esta 
2 Curso de analise estrutural 
plana para as placas e curva para as cascas) e dos blocos (caso das barragens) 
e não serão abordados neste Ciifiau de Análise Estrutural; são estudados, a par- 
tir da teoria da Elasticidade, erri Cadeiras próprias (em nível & especialização 
ou pós-graduação, dependendo da Universidade). 
Nosso Curso de Análise Estrutural será, então, um curso da Análise Estni- 
tural das barras. A teoria que aqui desenvolveremos tem precisão excelen- 
te para barras cuja relação do comprimento para a altura seja superior a 
10 : 1, apresentando precisáo ainda boa para relações até 5 : 1. Estas relações 
englobam a esmagadora maioria das barras da prática (Nos casos em que esta 
relação se torne inferior, a peça não mais poder6 ser classificada como barra, 
devendo ser estudada como placa, casca ou bloco, conforme o caso.) 
2 - AS GRANDEZAS FUNDAMENTAIS: FORÇA E MOMENTO' 
..l - Força 
A noção de força é das mais intuitivas possfveis: podemos exercer uma 
força sobre um corpo por meio de um esforço muscular; uma locomotiva 
exerce força sobre os vagões que ela reboca; uma mola esticada exerce forças 
sobre as peças que fotam suas extremidades; etc. Em todos estes casos, O 
corpo que exerce a força está em contato w m aquele sobre o qual ela é exer- 
cida - tratam-se, pois, de forças de contato. Há, também, forças que a t u m 
através do espaço, sem contato, chamadas, por esta razão, forças de ação à 
distância - são as forças devidas à existência de campos agindo sobre o 
corpo. É o caso das forças elhtricas, magnéticas, das forças de gravitação e, 
no caso da Terra, das forças devidas àgravidade (que são os pesos dos corpos). 
Estas últimas serão as mais importantes da Análise Estrutural, c o n f m e 
veremos em seu desenvolvimento. E wmum chamar-se b forças que aluam 
numa estrutura de cargas, denominação esta que manteremos em nosso Curso. 
As forças são grandezas vetoriais, caracterizadas por direçáo, sentido e 
intensidade. Sua unidade, no sistema MT*S, que é o adotado em Engenharia 
Estrutural, é a tonelada-força, cujo símbolo B t*, ou, mais simpmcadarnente, 
t.2 
I Não é nosso objetivo, neste tbpiw, escrever um tratado sobre Estática Abstrata, 
já estudada nas Cadeiras de Mecânica Racional que antecedem àr de Análise Estrutural. 
Faremos, apenas, uma ~~apresentaqão, à nossa maneira, dos conceitos basiws, a respeito 
dos quais, muitas vezes, o aluno que se inicia no estudo da Análise Estrutural apresenta 
dúvidas, mnforme tem demonstrado nossa experiência, bem como a de diversos colegas 
de magistério. 
Não confunair esre Ultimo com a unidade de massa do sistema MTS. 
Conceitos fundamentais 3 
No caso mais geral, que é o das forças situadas no espaço, elas ficam de- 
fuiidas por um ponto de passagem e por suas componentes X, Y e Z segundo 
os eixos triortogonais x , y. z, a partir das quais podemos expressá-las pela 
igualdade 1.1 : 
Não nos deteremos no estudo das propriedades das forças, para as quais 
valem as propriedades dos vetores, já estudadas em Cálculo Vetorial. 
2.2 - Momento 
Seja a barra da Fig. 1-1, suportada em Cpor um cutelo sem atrito e tendo 
um peso de 10 kg suspenso em B, que se deseja contrabalançar por um peso 
suspenso em 
L 4m 2m 1 
Fig. 1-1 
E fácil ver que o peso a ser colocado em A, a fm de contrabalançar o 
efeito da rotação da barra em tomo do cutelo C, deve ser inferior a 10 kg, 
por estar mais afastado de C do que este último; por tentativas, veríamos que 
seu valor deve ser de 5 kg. Este exemplo simples foi escolhido para ilustrar o 
fato de que o efeito de rotação de uma força em torno de um ponto depende 
do valor da força e também de sua distância ao ponto, sendo diretarnente pro- 
porcional a ambos. Se desejarmos, então, criar uma nandeza física, através da 
qual queiramos representar a tendência de rotação em torno de um ponto, 
provocada por uma força, esta grandeza deverá ser função da força e de sua 
distância ao ponto. 
Esta grandeza é o momento, que será defmido da maneira a seguir. 
+ Chama-se mome$o de uma força F em relação a um ponto O ao produto 
vetorial do vetzr OM (sendo+M um ponto qualquer situado sobre a Iinlia de 
ação da força F ) pela força F, conforme indica a Fig. 1-2. 
--t -t Temos: 5 = OMA F (1.2) 
4 Cuno de análise esbutural 
Representaremos o vetor-momento 
* 
m por um vetor com seta dupla (a 
fm de não confundi-lo com uma for- 
ça). Sua direção é perpendicular ao 
plano 5 que contém a reta-suporte da 
força F e o ponto 0; seu sentido é da- 
do, a ~ a f t i r do sentidoba rotação do 
+ L - &\ 3: \ \/ vetor no mesmo, OM para a pjartir o vetor do sentido F ou, o da que rota- dá çio da força F em tomo do ponto 0, 
1 \ pela regra da mão direita, conforme 
indica a Fig. 1-2, fazendo a mão direi- 
ia girar no sentido desta rotação e 
obtendo-se o sentido do vetor-momen- 
to pela posição ocupada pelo polegar 
durante esta rotação (o polegar aponta 
para o lado em que está situada a 
seta dupla do v e t o ~ m o m ~ t o ) p u m6- 
dulo é dado por I ml = i OMi IFlsen a = 
= Fd, isto 6 , i q a l ao produto do mó- 
\ dulo da força F pela menor distância 
do ponto O à sua linha de ação. 
A unidade de momento, no sistema 
Pig. 1-2 MT*S, é o mt (ou tm). 
2.2.1 - Propriedades do momento 
Estudaremos, a seguir, algumas propriedades do momento, que conduzirão 
a conclusóes importantes no estudo da Análise Estrutural. 
2.2.1.1 - O momento m' de uma força ?em r$ação a um ponto 0' é 
igual à soma vetoribdo momento da força F em relação ao ponto O 
com o momento de F, suposta aplicada em O, em relação ao ponto 0 ' . 
Conceitos fundamentais 5 
A partir da definição de momento, temos: 
Como, a partir da Fig. 1-3, temos: 
-I-- O'A = 0 ' 0 t OA, podemos escrever: 
) + - I 
m3= (0'0 ~ O A ) A F = O ' O A F ~ GAF= iii to'Ci~? (1.9, 
ficando demonstrada nossa propriedade. 
+ 
2.2.1.2 - Os momentos de uma força F em relação a diversos pontos 
situados sobre um mesmo eixo têm projeção idêntica sobre este eixo. 
/ 
v'' 
Pig. 1-4 
-, Seja uma força F e um eixo r, definido pelos ponfps O e O', conforme 
indica a Fig. 1.4. Calculado o momento da força F em relação ao pon- 
to 0 , podemos determinar sua projecão sobre a reta r, à qu~chamaremos p 
Calculemos, agora, a projeção do momento m' da força F em relação ao 
ponto O', sobre a reta r. 
A partir da igualdade 1.3, podèmos escrever que: 
6 Cursa de anblise estrutural 
4 + * 
proj, 2 = proj, %.+ proj, (O'OAF) = P + proj, ( 0 3 ~ F) 
+ + 
Ora, sabemos, pela definição de produto vetorii&que+O'O A F é um 
vetar perpendicular à reta r e que, portanto, proj,(O'OAF) = 0. 
.. .. .. 
Com isto temos: proj, m = proj, m' = proj, m" = . . . . . . . . . = p. 
* 
2.2.1.3 - O momento iii de uma força F em relação a um ponto O pode 
ser representado por suas projeções M,, My e Mz na direção de 3 eixos 
cartesianos triortogonais, conforme indica a Fig. 1-5, a partir das quais pode 
ser definido pela igualdade L4: 
Z 
A As projeções M,, My e M, são cha- 
I madas momentos da força ?em rela- 
I ção aos eixosx, y e z, respectivamente. f:,] O um momento eixo é, então, de uma uma força grandeza em relação emi- a 
? - nentemente escalar, cujo sinal 6 posi- 
I tivo ou negativo conforme a dupla seta 
I O --- - v /' 5, do momento resultante & tenha sua I 
---L / projeção sobre o eixo acompanhando 
/Mx ou não seu sentido positivo, ou, o que 
/ dá no mesmo, verificando, pela regra 
da máo direita, se a rotação da força 
em torno do eixo d i um momento no Fig. 1-5 
sentido positivo ou negativo do eixo. 
Levando.se em conta a pypriedade 2.2.1.2 deste tópico, podemos definir 
o momento de uma força F em relação a um eixo como sendo a projeçáõ, 
sobre esse eixo, do momento desta força em relação a qualquer ponto desse 
eixo. 
Observações: a) Calculemos o momento de uma força em relação a 
um eixo que lhe seja coplanar, conforme indica a Fig. 1-6: O momento )m 
desta forç~em+relação a um ponto genérico O deste eixo, send+o dado 
por & = OMA F , é perpendicular ao plano P definido pela força F e pelo 
eixo r. Sua projeção sobre r seráentão, nula. 
Podemos, pois, afirmar que o momento de uma força em relação a um 
eixo que lhe seja concorrente ou paralelo 6 nulo (nos dois casos a forqa e o 
eixo são coplanares). Esta propriedade seri de grande importância no nosso 
estudo. 
onceitos fundamentais 
Fig. I 4 Fig. 1-7 
b) O momento resultante de um sistema de forças coplanares em relação 
a qualquer ponto situado no plano destas forças será sempre perpendicular 
a este plano, pois, a partir da obse~ação anterior, imaginando ser este plano 
o que contém os eixos x e y, leríamos M, = My = O e o momento resultante 
.. 
m ficaria dado por % = M, k, sendo z o eixo perpendicular ao plano das 
forças, conforme indica a Fig. 1-7. Usaremos esta propriedade no estudo das 
estruturas planas, carregadas no próprio plano. 
c) O m6dulo do momento resultante de uma força em relação a um eixo 
pode ser obtido diretamente, sem ser necessário calcular o momento resul- 
tante para, após, achar sua componente na direçzo do eixo: 
Fig. 1-8 
+ * Seja calcular o momento+da forpa F em relação ao eixo z. A força F pode 
:r decomposta nas forças F, e F, indicadas na Fig. 1-8, a primeira paralela 
o eixo z e a segunda situada num plano P a ele perpendicular. A componente 
8 Curso de análise estrutural 
Ex. 11; Calcular os momentos M,, M, e Mz em relaçdo aos eixosx. y z z , 
daforça F , de origem no poiito A(1, 4, O), direçáo e sentido do vetor A 5 e 
cujo mbdulo, em toneladas. é igual ao módulo da distância AB. Verificar, a 
partir de sua definição. que o inoinento % da força3eni relação ao ponto O é 
dado por: 
I F I , por ser paralela a z. não dari momeiito em relação a este eixo, sobrando + apenas o da componente F 2 , cujo módulo é igual ao do momento desta 
força em relação ao p2nto O em que o eixo iiitercepta o plano P. O módulo 
-3 
-, 
Pefa Fi&I-9,godemos ver que a força F pode ser expressa pela igualdade 
F = F, + F, + F,, em que cada uma destas últimas forças é paralela a um 
dos eixos coordenados. Calculemos os momentos de cada uma delas em 
relação aos eixos x, y e z. 
i 
Temos: Para a força Fl : Mx = O (F, 6 paralela a Ox) 
My = O (F, é concorrente com Oy) 
M, = - 4 X F i = - 1 2 m t 
do momento da foiça F em relaqáo ao eixo z será, então. igual a I M, I = F 2 d = 
= Fd sen a, sendo d a menor distância do suporte da força F ao eixo z, 
conforme indica a figura (no caso, o momento seri positivo, pela regra da 
mão direita). Podemos afirmar, então, que o módulo do momento de uma 
força em relação a um eixo é igual ao produto do módulo da força pela menor 
distincia entre a reta suporte da força e o eixo e pelo seno do ângulo 
formado pela força e o eixo: seu sinal é obtido pela regra da mão direita, 
definida anteriormente. 
A aplicação seguinte esclarecera. 
Conceitos fundamentais 9 
Para a força F, : M, = O (F2 é concorrente com Ox) 
My = O (F1 é paralela a Oy) 
M , = - l X F , = - 4 m t 
Para a força F,: M, = 4 X F, = 16 m t 
M Y = - I X F , = - 4 m t 
M, = O (F3 B paralela a Oz) 
4 
Os momentos da força F em relação aos eixos x, y e z serão, então, por 
superposição de efeitos: 
C M x = O + O + 1 6 = 1 6 m t My = O + + - 4 4 - 4 m t M, = - 1 2 - 4 + O = - 1 6 m t +. -, 
Calculemos o momento m da força F em relação ao ponto 0: 
+ ? + ' 
Temos: F = (B - A) = 31 - 4j + 4k e então: 
valor este que já sabiamos a priori, a partir dos valores já calculados para 
Mx, My e M,. 
Obsem~ o leitor a enorme simplicidade com que calculamos os momentos 
da força F em relação aos eixos x , y e z, trabalhando com suas componentes 
nas direçees dos 3 eixos coordenados (não foi necessário calcular menor 
distância entre+a reta AB e cada um dos eixos nem os senos dos ingulos 
form$os por F com cada um dos eixos, porque não trabalhamos diretamente 
com F). Tal procedimento deve ser sempre empregado, a fim de simplificar 
a resolução numérica dos problemas. 
2.2.1.4 - Um sistema de duas forças paralelas, de mesmo módulo e sen- 
tidos opostos, conforme indicado na Fig. 1-10, tem a propriedade de possuir 
momento constante em relaqão a qualquer ponto do espaço, senão vejamos. 
-+ 
O momento das duas forpas F em + 
relaçãú ao ponto genérico O será da- o F 
~ O ~ O ~ : ~ = O ~ , ~ - O ~ A P = -. 
. 
.+ 
F 
= MM'A 2 independendo, portanto, 
da posição de O. Dtzemos, neste caso, 
que as 2 forças formam um binirio, 
que é, conforme vimos, uin invariante 
em relar;ão a qualquer ponto do espa- 
++. 
'o. Fig. 1-10 
10 Curso de análise estrutural 
2.3 - Reduyão de um sistema de forças a um ponto. Conceito físico 
Seja a força indicada lia Fig. 1-1 1.1, que qucremos reduzir ao ponto 0. 
isto 6. cujos efeitos em relação ao ponto O desejamos conliecer. 
Nada se alter+a, sob+o ponto de vista estatico, se acrescentarmos, no ponto 
0. duas forças F e (- F), conforme indicado em 1-1 1.2. Analisando o esquemz 
indicado nesta figura, podemos encará-lo como constit2'do por uma força[ 
aplicada em O e pelo binário formado pelas forças (- F) a g l i c a ~ e m ~ e F 
aplicada em A , que pode ser :.ubstituidz pelo momento m = OA A F, que 
se confunde com o momento da força F em relação ao ponto 0 , conforme 
indica 1-1 1.3. Podemos, então, afirmar que, para reduzir uin sistema de forças 
a um determinado ponto do espaço, basta transferir todas as forças para 
este ponto, acrescentandc, para cada uma delas, seu momento em relação a es- 
te ponto. 
-, 
Um sistema de forças 6, então, redutivel a uma resultante H e a um 
momento resultante %em relação a qualquer ponto O do espaço, nos casos 
mais gerais, iguais, respectivamente, à soma vetorial de todas as forças e à 
soma vetorial dos momentos de todas estas forças em relação ao ponto 0. 
A resultante simboliza a tendência de translação do sistema e o momento 
resultante, sua tendência de rotação em-relação a um eixo passando por 0. 
3 - CONDIÇÓES DE EQUILíBRIO 
Para um corpo, submetido a um sistema de forças, estar em equilíbrio, 
é necessário que elas não provoquem nenhuma tendência de translação nem 
rotação a este corpo. Como a tendência de translação é dada pela resultante 
-+ 
R das forças e a tendência de rotação, em tomo de qualquer ponto, 6 dada 
pelo momento resultante % destas forças em relação a este ponto, basta que 
* 
estes dois vetores R e sejam nulos para que o corpo esteja em equilíbrio. 
A condição necessária e suficiente para que um corpo esteja em equilíbrio, 
Conceitos fundamentais 11 
submetido a um sistema de forqas, C que estas forças sattsfaçam às cquaq6es 
vetoriais: 
- 
-t 
em que R é a resultante das forças e seu momeiito resultante em relayão a 
qualquer ponto do espaço. 
Levando-se em conta que: 
r as 2 equações vetoriais de equilíbrio (1.5) podeni ser substituídas, cada uma 
delas, por trEs equações escalares de equilíürio, obtendo-se o grupo das seis 
equaçóes (I.6), que são as seis equações universais da Esthtica, regendo o 
equilibrio de um sistema de forças, o mais geral, no espaço. 
-i 3E IIcito afirmar que, se para um dado ponto O do espaço temos R = O e R = 0, 
as mesmas igualdades se repetirão para todos os demais, senão vejamos. 
Sejaum sistema de forças que, reduzido a 
uni ponto ü+ do espaço, nos forneceu uma 
resultante R e um momento resultante X , 
conforme indica a Pig. 1.12. Reduzindo es- 
tas solicitações p%,a o ponto O', teremos, 
por infi+uCncia de R, a aparecimento de uma O ' O A R 
forçaR e de um momento dado por^^^^ 
aplicados em O'e, por influência do momen- 
to E , um momento adicional de Z em O' -+ 
(iá que uma carga-momento, por poder ser R 
substitulda por uni binário, é um invariante 
em relaqão a qualquer ponto do espae). 
No ponto 0' temos então, uma força R c 
um monicntoi(Z + %'A 2). Logo, s c z e O 
"morrem nu$s num dado ponto, t;irnb&ni o 
Serão par* todos os demais, iisscgrirando o 
1:ig. 1-12 
12 Curso de análise estrutural 
3.1 - Casos particulares importalites 
3.1.1 - Sistema de forças concorrentes no espaço 
Seja o sistema de forças no espaço, concorrentes no ponto 0, indicado na 
Fig. 1-13, Seu equili%rio 6 , conforme 
sabemos, ditado pelo grupo de equa- 
I ções (1.6). Por se tratarem de forças 
I concorrentes no ponto 0, as três ú1- timas equações do grupo, que simboli- 
zam o momento resultante nulo, de- 
generam em meras identidades (pois 
uma força não dá momento em relação 
/ a um ponto situado sobre sua linha de 
/ 
-I 
qão), perdendo, pois, sua expressão 
x ~ ' Fn como equações. Tal caso será, então, 
regido apenas pelas equações que ca- 
Fig. 1-13 
racterizam a resultante nula, ou seja, 
pelas equações (1.7). 
Observação: Este caso de sistema de forças ocorrerá no estudo do equili- 
brio dos 116s das treliças espaciais, conforme veremos no Cap. IV deste 
volume. 
3.1.2 - Sistema de forças paralelas no espaço 
Seja o sistema de forças paralelas no espaço indicado na Fig. 1-14, Por 
z serem todas as forças paralelas ao eixo 
I Oz, as equações C X = O, C Y = O e ZM, = O degeneram em identidades, 
pois não há componentes de forças 
F3 1 I': 1- paralelas a um dos eixos coordenados nas direções dos dois demais, bem co- L - - - - + v mo não existe momento de uma força 
/'O emrelação a um eixo que Lhe seja 
/ ' th lh paralelo. Permanecerão válidas, então, 
X 
como equações, as indicadas no grupo 
(1.8). que regerão o equilíbrio de um 
kig. 1-14 sistema de forças paralelas ao eixo Oz. 
Conceitos fundamentais 13 
Obse~açóes: a) A equação C Z = O pode ser substituida por uma terceira 
equação de somatóno de momentos nulo em relação a um 3P eixo r, situado 
sobre o plano xy, mas não-concorrente com estes 2 eixos em 0, conforme 
indica a Fig. 1-15, senão vejamos: 
Se temos CM, = EMy = 0, isto 
1s garante que o sistema de forças 
ío apresenta um momento resultante 
em relação ao ponto O (pois CMx = 
= C M y = C M , = O). Um sistema de 
forças paralelas, que satisfaça a estas 
duas primeiras condições, poderia ser 
apenas redutível a uma resultante pas- 
sando por 0; para indicar que esta 
resultinte deve também ser nula, pode- 
mos empregar a equação C Z = O, j5 
Fig. 1-15 discutida anteriormente, ou uma equa. 
qão de somat6rio de momentos nulo 
em relação a um em0 t não-concorrente com os eixos x e y em O. O gmpo 
de equações (1.9) ,poderia ser, então, empregado para estudo do equilíbrio 
deste sistema de forças. em ve7 do grupo (1.8): 
O equilíbrio de um sistema de forças paralelas no espaço pode ser estuda- 
do, então, a partir de três equações de somat6rio de momentos nulo em tela. 
ção a 3 eixos, não-concorrentes os três no mesmo ponto, nem paralelos os 
três entre si, e situados num plano perpendicular ao das forças (não existe 
obrigação de dois desses três eixos serem ortogonais, pois basta eles serem 
>ncorreutes num ponto e termos somat6rio de momentos nulo em relação a 
es, para podermos afirmar que o momento resultante é nulo em relação a 
;se ponto, recaindo-se no raciocínio que introduziu o gmpo de equações 
1.9). 
b) Este tipo de sistema de forças ser4 abordado em detalhe no estudo das 
grelhas, que se far5 no Cap. V deste volume. 
14 Curso de análise esrutural 
3.1.3 - Sistema de forças coplanares 
Seja o sistema de forças situadas 110 plano xy indicado na Fig. 1-16, 
' t 
As equações Z Z =O, Z M , = O e 
Z M , = O se transformam em meras 
I -, + identidades, pois sabemos que um sis- F1. , 1 1 ,..).,:y tema de forças situado no plano xy 
I não possui componentes na direçáo Oz nein dá inoinentos em relação aos eixos 
I x e y , por lhe serem coplanares. Per- 
I maneceiii, então. válidas como equa- 
O C - - - - - - - x ções as duas outras equações de pmje- 
Fig. 1-16 ções Z X = O e Z Y = O e aou t ra 
equação de somatório de momentos 
nulo ZM, = O (que, no caso, coincidirá com Z m o = O, pois todos os momen- 
tos terão a direção 02). O grupo de equações (1.10) regerá, entáo, o equili- 
brio dos sistemas de forças coplanares: 
sendo M o o momento de cada uma das forças em relação a um ponto O 
inteiramente arbitrário, situado no plano das forças. 
Observações: a) As duas equações de projeções Z X = O e Z Y = O 
podem ser substituídas por duas equaçdes de somatSrio de momentos nulo 
em relaqão a dois outros pontos 0' e O" do plano xy, desde que 0 , O'e O" 
não sejam colineares, conforme indica a Fig. 1-17; ou por uma equação de 
somatório de momentos nulo em relação ao ponto 0' e outra de somatório 
de projeções nulo segundo um eixo t que não seja perpendicular a OO', 
conforme indica a Fig. 1-18: 
Fig. 1-17 ng. 1-18 
Conceitos fundamentais 15 
De fato, se temos M o = O e Mo, = 0, isto quer dizer que a única possibi- 
lidade do sistema de forças não estar em equilíbrio seria a dele ser redutível 
a uma resultante cuja linha de ação fosse 0 0 ' ; para amarrar o valor nulo 
dessa resultante, podemos empregar ou uma equação de somatório de momen- 
tos nulo emrelação a uin ponto0': situado fora da reta OO', ou uma equação 
de somat6rio de projeções nulo em relação a um eixo t que não seja per- 
pendicular à reta 00'. Sendo assim, as equações do grupo (1.1 1) (referindo-se 
ao esquema da Fig. 1-17) e do grupo (1.12) (referindo-se ao da Fig. 1-18) 
podem, tambéin, ser empregadas para reger o equilibrio dos sistemas de forças 
coplanares: 
C Z M o = O Z M o = O EMO' = o (I. 12) ZMo,v = O Z T = O 
b) O caso de sistema de forças coplanares é o mais frequente na Análise 
Estmtural, pois a grande maioria das estruturas que se nos apresentam são 
estruturas planas submetidas a carregamentos atuantes no seu próprio plano. 
c) Abordaremos, agora, dois casos particulares dos sistemas de forças 
wplanares, que são o caso de todas as forças serem concorrentes num mesmo 
ponto 0 , conforme indica a Fig. 1-19, e o de todas as forças serem paralelas 
entre si, conforme indica a Fig. 1-20. 
Fig. 1-19 Fig. 1-20 
Para o caso da Fig. 1-19. em que todas as forças passam pelo ponto 0, a 
luação EMo = O perde, evidentemente, a expressão, transformando-se nu- 
-ia identidade. Permanecem apenas, então, as duas equações de projeções 
Z X = O e Z Y = O que regerão, pois, o equilibrio de um sistema de forças 
~p lanares e concorrentes num mesmo ponto (este será o caso do estudo do 
equilíbrio dos nós de uma treliça plana, conforme veremos no Cap. IV 
:ste volume). 
1 16 Curso de análise esbutural 
Para o caso ,da Fig. 1-20, em que todas as forqas sao paralelas ao eixo 
Oy, perde a e>tpressão a equação Z X = O que se transforma em mera identi- 
dade, permanecendo válidas como equações Z:Y = O e Z M o = 0, que rege- 
rão o equilíbrio de um sistema de forças paralelas e coplanares. A equação 
Z Y = O pode ser substituída por uma equação de somatório de momenCos 
nulo em relação a um 2P ponto O', desde que a reta 00' não seja paralela à 
direção das forças (pois, caso o fosse, restaria a possibilidade do sistema ser 
redutível a unia resultante passando por esta reta). O caso de um sistema 
de forças paralelas no plano ocorre no estudo das vigas, que será feito, em 
detalhe, no Cap. I1 deste volume. 
I Resumindo:- um sistema de forças coplanares e concorrentes é regido pe- lo grupo de equações (L13), a seguir: 
I! L - um sistema de forças coplanares e paralelas 6 regido por um dos dois grupos de equações (1.14 ou I.15), a partir do esquema da Fig. 1-20: 
4 - GRAUS DE LIBERDADE. APOIOS. ESTATICIDADE 
E ESTABILIDADE 
4.1 - Graus de liberdade 
Já sabemos que a ação estitica de um sistema de forças no espaço, em 
relação a um dado ponto, &.igual a de sua resultante e $ de seu momento 
resultante em relação àquele ponto; provocando, a primeira, uma tendência 
de translação e, o segundo, uma tendência de rotação. Como, no espaço, uma 
iranslação pode ser expressa por suas componentes segundo 3 eixos triortogo- 
nais e, uma rotação, como a resultante de três rotações, cada uma em torno 
de um desses eixos, dizemos que uma estrutura no espaço possui um total de 
6 graus de liberdade (3 translações e 3 rotações, segundo 3 caos triorto- 
gonais). * 
6 evidente que- estes 6 graus de liberdade precisam ser restringidos, de 
modo a evitar toda tendência de movimento da estrutura, a fm de ser possi- 
vel seu equilíbrio. Esta restrição é dada por apoios, que devem impedir as 
diversas tendências possíveis de movimento, através do aparecimento de 
reações destes apoios sobre a estrutura, nas direções dos movimentos que 
Conceitos fundamenta* 17 
5les impedem, isto é, dos graus de liberdade que eles restringem. Estas reações 
de apoio se oporão às cargas aplicadas a estrutura, formando este conjunto de 
cargas e reações um sistema de forças em equllibrio, e regidas, portanto, pelos 
caupos de equações deduzidos no item anterior, para os diversos tipos de 
sistemas de forças que podem ocorrer na prática. 
4.2 - Apoios 
A função dos apoios, conforme vimos em 4.1,B a de restringir graus de 
liberdade das estruturas, despertando com isto reações nas direções dos 
movimentos impedidos. Eles serão classificados em função do número de 
graus de liberdade permitidos (ou do númerode movimentos impedidos), po- 
dendo ser, então, de 6 tipos diferentes (isto é, podendo permitir 5,4,3,2, 1 
ou nenhum grau de liberdade). Os exemplos seguintes esclarecerão. 
a) Seja o apoio representado na Fig. 1-21, em que temos a estrutura 
apoiada sobre uma esfera perfeitamente lubrificada. O único movimento 
que ela será capaz de Unpedir é a translação na direção vertical Oz, aparecendo 
com isto uma reação R, agindo sobre a estrutura, conforme indica a 
Fig. 1-21. O apoio será dito, então, um apoio com 5 graus de liberdade (ou 
w m I movimento impedido). 
b) Seja, agora, o apoio aa Fig. 1-22. constituído por très esferas ligadas 
?ntre si por três hastes, de modo a ficar formado um conjunto rígido. Ficam 
18 Curso de analise estrutural 
impedidas, no caso. além da translação na direção i. as rotações em torno dos 
eixos .v e y , O apoio será dito, então. um apoio com 3 graus de liberdade 
(que são. no caso, a rotação em torno do eixo Oi e as translações nas direções 
dos eixos 0.i e Oj,) ou com 3 movimentos impedidos. Aparecerão, agindo 
sobre a estrutura, as reaçóes M,, My e R, indicadas na figura. 
C) O esquema da Fig. 1-23 representa a ligação rígida entre a estrutura e 
seu apoio, de dimensões tão maiores que as da estrutura, que podem ser consi- 
deradas infinitas em presença daquelas. Neste caso, o apoio impedirá todos 
os movii~~eiitos possíveis, sendo dito um apoio sem grau de liberdade (ou 
coni todos os movin~entos impedidos). Correspondendo a cada um dos movi- 
mentos impedidos. aparecem, agindo sobre a estrutura, as reaçóes R,, Ry. R,, 
M,. M, e iZ1, indicadas na figura. Este tipo de apoio é chamado engaste. 
Fig. 1-23 
4.2.1 - Estruturas planas carregadas no próprio plano. 
Para o caso das estruturas planas carregadas no próprio plano, que é o 
mais frequente da Análise Estrutural, existem 3 graus de liberdade a combater, 
senão vejamos. 
Supondo a estrutura situada no pla- 
no xy, conforme indica a Fig. 1-24, os 
graus de liberdade a combater são as 
+ 
translaçóes nas direçóes Ox e Oy e a 
Fq rotação em torno de um eixo perpen- 
- dicular ao plano (no caso, Oz), pois L-- -- - -- estas são as iinicas tendências de movi- 
o 
mento capazes de serem produzidas 
t'ig. 1-24 pelo sistema de forças indicado. 
Conceitos fundamentais 19 
são os seguintes os apoios utilizáveis para impedir estes movimentos: 
a) Apoio do 1P gênero ou charrioi 
. que 
Rei 
pel: 
.~.. 
1-25.1 1-25.2 1-25.3 
Fig. 1-25 
O apoio do 1P genero pode ser obtido por uma das duas formas represen- 
tadas nas Figs. 1-25.1 e 1-25.2; na primeira, temos a estratura apoiada so- 
bre um rolo lubrificado que impede apenas o deslocamen& na direção y, 
permitindo livre rotação em torno dele, assim como livre deslocamento na 
direção x ; na segunda, a rotação é assegurada por um pino sem atrito e a 
translação, na direção x, pelos rolos diretamente em contato com o plano 
: serve de apoio, continuando impedido o deslocamento na direção y. 
?resentaremos esquematicamente, em nosso Curso, o apoio do 1P gênero 
a forma indicada na Fig. 1-25.3. Na direção do iinfco movimento impedido, 
aparecerá uma reação de apoio R, conforme indica 1-25.3. 
b) Apoio do 2P gênero, articulação ou rótula 
x Pino 4 V A v 
Se, no apoio da Fig. 1-25.2, substituirmos os rolos por uma chapa presa 
completamente ao plano-suporte. conforme indica 1-26.1. estaremos impedin- 
do todas as translações possíveis, permanecendo livre apenas a rotaçáo, 
assegurada pelo pino lubrificado indicado na figura. A este apoio, capaz de 
restringir todas as translações possíveis no plano, chamamos apoio do 2P 
gênero. Ele será representado esquematicamente, em nosso Curso, por uma 
20 Curro de análise estrutural 
das 2 formas indicadas em 1-26.2 e 1-26.3. Na direção das translações impe- 
didas, aparecerão as reações H e V indicadas na figura, cuja composição 
vetorial nos dará a reação de apoio resultante no apoio do ZP gênero. 
Observaçáo: Não somos obrigados a decompor a reação de apoio resul- 
tante em direções ortogonais4, conforme fizemos na Fig. 1-26; podemos 
decompô-la em duas direções quaisquer (não-paralelas, evidentemente), a 
partir das quais obteremos a reação resultante. Escolheremos sempre o ca- 
minho que mais simplifique o cálculo das reações de apoio. 
c) Apoio do 3P gênero ou engaste 
4 Y Estrutura 
Engaste 
_C H& 
t v 
1-27.1 1-27.2 
Pig. 1-27 
Se ancorarmos a estruma num bloco de dimensões que possam ser 
consideradas infmitas em presença das dimensões da estrutura, conforme 
indica a Fig. 1-27.1, na seção de contato entre ambos o bloco estará impe- 
d ido , por sua enorme rigidez, todos os movimentos possíveis da estrutura e 
dizemos então que ele engasta a estrutura. Um engaste será representado, es- 
quematicamente, da forma indicada em 1-27.2, aparecendo, na direção de 
cada um dos 3 movimentos impedidos (2 translações e 1 rotação), as reações 
de apoio H, V e M indicadas. 
4.2.2 - Cálculo das reações de apoio 
Definidos os apoios, o cálculo de suas reações B imediato, pois elas são 
forças (ou momentos) de ponto de aplicação e direção conhecidas e tais que 
equilibrem as cargas aplicadas à estrutura. Serão calculadas, então, a partir 
das equapões de equilíbrio instituidas no item 3 deste capitulo. Os exemplos 
seguintes esclarecem. 
%er explicação para esta observação no item 4.1 do Cap. iil. 
I 
I Ex. I .Z - Calcular as reaçóes de apoio para a estrutura da Fig. 1-28. 
Aplicando nos apoios do 29 gênero A e do 1P gênero D suas reações, nas 
direções que já conhecemos, e arbitrando para elas um sentido, conforme 
indica a Fig. 1-29, teremos, a partir das equações de equilíbrio 1.10, que 
:em o equilíbrio de um sistema de forças coplanares: 
A 
- 
Fig. 1-29 
Por EMA = 0: 8Vo + 8 - 6 X 4 - 4 X 6 = 0 :. VD = 5 t 
Por XY = O: VA + VD = 6 :. VA = I3 
Por Z X = O: H* = 4t 
Os sinais positivos encontrados confirmam os sentidos arbitrados para 
forças. Caso tivéssemos encontrado algum sinal negativo, isto quereria dizer 
ie o módulo da reação seria o encontrado, e o sentido correto o inverso do 
bitrado, não sendo necessário refazer qualquer cálculo. 
22 Curso de análise estrutural 
Ex. L3 - Calcula1 as reações de apoio no engaste A da estrutura espacial 
da Fie. 1-30. cujas bairas formam, em todos os nós, ângulos de 90". 
k - 3 m 4 
Fig. 1-30 
Como um engaste impede todos os movimentos possíveis, nele aparecerão 
as reações de apoio indicadas na Fig. 1-31, que serão calculadas a partir do 
grupo de equações 1.6 que regem o equilibno de um s~stema de forças no 
espaçr Teremos: 
Por XX = O : X A = I t 
Por I! Y = O: YA = -1 t 
Por X Z = O : ZA = -1 t 
Por Z M , = O : ( M x ) ~ + 2 X 4 - 4 X 3 + 5 X 3 - 3 X 4 = 0 .'. 
.'. (M,)A = 1 mt 
Por ZM,, = O: - 1 X 4 + 5 X 2 = O :. ( M y ) ~ = -6 mt 
por XM, = O: @I,),, + I x 3 - 3 X 2 = 0 :. (MZ)a = 3 mt 
nceims fundamentais 23 
As reaçóes de apoio no engaste A são, entao, as indicadas na I'ig. 1-33. 
Itk' I,, 
"Y A 
Fig. 1-32 
Ohselvações: a) Não exercitaremos mais profundamente, agora, o cálculo 
das reaçóes de apoio porque este assunto será retomado, ao longo de todo 
este volume, para cada um dos tipos estruturais que estudareinos. 
b) Os apoios sZo os vínculos externos da estrutura, isto é, seus vínculos 
em relação a seus suportes (solo o u outra estrutura). Podem existir. também. 
vínculos internos nas estruturas; preferimos não apresentá-los já. a fim de 
não confundir o leitor principiante com um excesso de conceitos tiovos, 
deixando para defini-los nos próximos capítulos, quando aparecerão de Iòrma 
espontãnea. 
4.3 - Estaticidade e Estabilidade 
Acabamos de ver que a função dos apoios 6 limitar os graus de liberdade 
de uma estrutura. Três casos podem então ocorrer: 
a) Os apoios sáo em número estritamente necessáriopara impedir todos os 
movimentos possíveis da estrutura. 
Neste caso. o número de reações de apoio a determinar B igual ao número 
de equações de equilíbrio disponíveis (isto é: número de incógnitas = número 
de equaçóes), chegando-se a um sistema de equações determinado que 
resolverá o problema. (Foi o caso dos exemplos L2 e 1.3 anteriores.) 
Diremos, entáo, que a estmtura é isostática, ocorrendo uma situação de 
equilíbrio estável. 
b) Os apoios sdo em número inferior ao necessário para impedir todos os 
~vimentos possíveis da estrutura. 
Neste caso, evidentemente, teremos mais equações que incógnitas, che- 
gando-se a um sistema de equações impossível, nos casos gerais. A estrutura 
será dita hipostática e será, entáo, instável. (Pode ocorrer uma situação de 
carregamento tal que o próprio carregamento consiga impedir os graus de 
liherdade que os apoios não forem capazes de impedir; será, entao, um 
24 CUM de an&lise estrutural 
caso de equilíbrio, mas de equilíbrio instável, pois qualquer que seja a 
deformação imposta à estrutura, ela tenderá a prosseguir até a Sua mim). 
As estrut~~ras hipostáticas são, então, inadmissíveis para as construções. 
c) Os apoios sáo em número superior ao necessário para impedir todos os 
movimentos possíveis da estrutura. 
Neste caso, teremos menor número de equações que de incógnitas, 
conduzindo a um sistema indeterminado. As equações univenais da Estática 
não serão, então, suficientes para a determinação das reaçóes de apoio, 
sendo necessárias equações adicionais de compatibilidade de deformaçóes, 
conforme veremos no Vol. I1 deste Curso. A estrutura seri dita hiierestática, 
continuando o equilibrio a ser estável (aliás, poderíamos dizer, um pouco 
impropriamente, que o equilibrio é mais que estável). 
ObservaçBes: a) A partir do exposto neste item, pode o leitor ser tentado 
a estabelecer o seguinte critério para classificar uma estrutura (sem vínculos 
internos) como externamente5 isostática, hipostática ou hiperestática: contar 
o número de apoios e ver se é igual, menor ou maior que o número de 
graus de liberdade da estrutura. Este critério 6 perfeito no caso das estruturas 
hipostáticas, mas, no caso das estruturas isostáticas e hiperestáticas, fornece 
apenas uma condição necessária, mas não suficiente, conforme esclarecem 
os exemplos das Figs. 1-33 e 1-34. 
No caso da estrutura plana da Fig. I 3 3 que, como tal, possui três graus 
de liberdade, temos um apoio do 20 gênero e um apoio do l'? gênero, dando 
um total de três reaçóes de apoio a determinar. Isto sugeriria que a estrutura 
fosse isostática, fato que não ocorre, entretanto, pois o apoio A impede 
translaçóes nas direçóes Ax e Ay e o apoio B translação também na 
'A r z ã o desta palavra "externamente" será vista quando estudarmos, no VOl. I1 
deste Curso, a determinação do grau hiperestático de uma estrutura 
Conceitos fundamentais 25 
direção Ax. A rotação do sistema não está, pois, impedida e a estrutura é, 
então, hipostdtica (embora aparentemente isostática). 
Analogamente, a estrutura plana da Fig. 1-34 é aparentemente hiperestá- 
tica, pois temos três graus de liberdade para cinco reaçóes de apoio a 
erminar. Entretanto, 6 fácil ver que nenhum dos apoios impede a 
islação na direção ABCDE; com isto, a estrutura é hipostática (embora 
rentemente hiperestática). 
Portanto, para classificar uma estrutura (sem v i n d o s internos) como 
externamente isostática ou hiperestática, não basta comparar o número de 
reaçóes de apoio a determinar com o de graus de liberdade da estrutura; 6 
necessário nos certificarmos também que os apoios restringem, de fato, 
,dos os graus de liberdade da estrutura em questão (com isto 6 que 
oderemos afastar completamente a possibilidade da estrutura ser hipostática). 
kte assunto será retomado ao longo deste volume, no estudo dos diversos 
pos estruturais que serão abordados. 
b) As estruturas isostáticas serão estudadas neste volume, ficando o 
studo da Hiperestática para os Vols. I1 e 111 deste Curso. 
5 - ESFORÇOS SIMPLES 
Já vimos como um sistema de forças, atuando sobre um corpo, encontra 
seu equilfino através das reaçóes de apoio que provocam. Vejamos, agora, 
quais os efeitos estáticos que estas cargas e reações provocam em cada uma 
das seçóes do corpo. 
Para tal, consideremos o corpo representado na Fig. 1-35, submetido ao 
Wnjunto de forças em equilibrio indicadas (não importa quais são as forças 
aplicadas e quais as reaçóes de apoio; importa, sim, que elas wnstituam 
um todo em equilibrio). Seccionemos o corpo por um plano P, que o 
intercepta segundo uma seção S, dividindo-o nas duas partes @ e @ 
indicadas nas Figs. 1-36.1 e 1-36.2. 
1-36.1 1-36.2 
Pig. 1-36 
Para ser possível esta diviso, preservando o equilibrio destas duas partes, 
basta que apliquemos, na seçáo S da parte 0, um sistema estático equi- 
valente ao das forças que ficaram na parte da direita -já que estas iiltimas 
podem ser encaradas como sendo as forças tais que equilibram as forças 
situadas na parte da esquerda, pois o conjunto de forças da esquerda e da 
direita está em equilíbrio - e, analogamente, na seção S da parte @, 
um sistema estático equivalente ao das forças situadas na parte da esquerda. 
Esses esquemas estdticos equivalentes são obtidos, evidentemente, reduzindo 
as forças à esquerda e à direita da sego S a um ponto qualquer situado 
nesta seçáo S. Este ponto, pelas raz8es que ficarão claras quando do estudo 
da Resistência dos Materiais, será sempre o centro de gravidade G da seção. 
Assim, teremos, reduzindo as forcas situadas na parte @ ao cyt ro de 
gravidade G da seção S da parte 0, o aparecimento da resultante R destas 
forças e de seu momento resultante ?I em relação ao ponto G. Reduzindo 
as forças situadas na parte @ ao c ~ t r o de gravidade G da seçãõ S da 
parte D, obteremos uma resultante R e um momento resultante de 
mesmo módulo e sentidos opostos aos encontrados pela redução &sforça+ 
situadas na parte @ ao ponto G, o que 6 evidente, pois, no I? caso, R 
um sistema estático equivalente às forças existentes na 
20 caso, um sistema equivalente às forças existentes na 
parte Q, que se equilibram, o mesmo acontecendo, então, com os 
vetores R e indicados em 1-36.1 e 1-36.2. 
-+ 
Resumindo, a resdtante R que atua na parte da esquerda foi obtida 
pelas forças da dieita, e viee-vem; o momento resultante % que atna 
na parte da esquerda foi obtido pelas f o v da direita, e vicevena 
Conceitos fundamaiais n 
Podemos, então, dizer que uma seção S de umzorpo+ern equilíbrio 
está, em equilíbrio, submetida a um par de forças R e (-R) e a um par 
de momentos % e (-m), aplicados no seu centro de gravidade e resultantes 
da redução, a este centro de gravidade, 
das forças atuantes, respectivamente, 
à esquerda e à direita da seção S. 
Na Fig. 1-37 está feita esta represen- 
tação, respeitando-se os sentidos indi- 
cados na Fig. 1-36, para um elemento 
do corpo de comprimento infhitesimal 
que contém a seçáo S como seção 
transversal Fig. 1-37 
+ Façamos um estudo detalhado dos efeitos estáticos provocados por R 
e na seção S. I 
I 
a s 
sen 
for 
dic 
vet 
1-38.1 1-38.2 
Pig. 1-36 
-+ Decompondo os vetores R e % em duas componentes,uma perpendiculac 
eção S (tendo, portanto, a direção do eixo da barra, que representaremos 
npregor x) e outra situadgno próprio plano da sego S, ob+temos as 
ças N (perpenAicular a S) e Q (pertencente a S) e osmomentos T (perpen- 
ular a S) e M (pertencente a S). Façamos a análise de cada um desses 
ores, aos quais chamaremos esforças simples atuantes na seção S. 
(Observafão: Pelo exposto, vemos que 6 indiferente calcular os esforços 
simples atuantes numa seção, entrando com as forças da parte A esquerda 
ou da parte à direita da seção. Na prática, usaremos as forças do lado que 
nos conduzir ao menor trabalhode cálculo.) 
a) 3 
Repysentando duas seçaes infmitamente próximas, a tendência das 
forças N será a de promover uma variação da distância que separa as seçdes, 
manecendo as mesmas paraleias uma à outra6, conforme indica a 
6 O esiudo do valor desta vmiaçáo de distancia é feito na Resistência dos Mate~iais. I 
28 Curso de an8lise estrutural 
Fig. 139.2, Por acarretar, entãó, uma tendência de movimento da sego 
normalmente à mesma (que é a direção do eixo), chamaremos a N de 
esforço normal atuante na seção. Podemos, então, definir esforço normal 
atuante numa seção como sendo a soma algébrica das componentes, na 
direção normal h seção, de cada uma das forças atuantes de um dos lados 
desta seção, O esforço normal ser8 positivo quando de traçáo (isto é, 
quando tender a afastar duas seçóes infiitamente próximas ou, em linguagem 
mais simples, quando estiver "saindo" da seçáo), sendo negativo em caso 
contrário (caso da compressáo). 
ObservaçZo: O sentido de esforço normal representado na Fig. 1-39 6 
o positivo, isto 6, o de tnçáo. 
b) e 
Rep~sentando duas seçóes infiitamente próximas, a tendência das duas 
forças Q 6 a de promover um deslizamento relativo de uma em relação & 
outra, conforme indica+a Fig. 1-40.2, aparecendo, então, uma tendência de 
corte. Por esta razão, Q 6 chamada de esforço cortante. 
Conceitos fundamentais 29 
NSo 6 usual, entretanto (por requerer uma soma vetorial), calcular direta- 
mente o esforço cortante atuante na sego; preferimos calcular suas compo- 
nentes Qy e Q, segundo 2 eixos ortogonais y e z arbitrários, situados no 
plano da seçáo, conforme indica a Fig. 1-41, pois que, para efetuar tal 
cAlculo, basta efetuar uma soma algarica de projeçóes, o que 6 bem mais 
cômodo que uma soma vetorial. 
Assim sendo, podemos d e f i esforço cortante atuante numa seçáo, na 
direçáo de um eixo pertencente a esta seção, como sendo igual à soma 
alg6brica das projeções das forças situadas de um dos lados da seçáo 
segundo a dueçáo deste eixo. Orientando os eixos y e z nos sentidos 
arbitrários indicados na Fig. 1-42 (o eixo x tem sempre a direçáo normal 
à seção), diremos que um esforço cortante Q,, ou Q, 6 positivo quando, 
calculado pelas forças situadas do lado esquerdo da seçáo, tiver o sentido 
positivo dos eixos y e z ou, o que dá no mesmo, quando for caleuIado 
pelas forças situadas do lado direito da sego, tiver o sentido oposto ao 
sentido positivo dos eixos y e z. Em caso contrário, diremos que o esforço 
cortante 6 negativo. 
Defmmios, então, esforço cortante atuante nnma se@o como sendo ignal 
r3 sana vetorial das componentes, sobre O piano da sepio, das forças 
situadas de um dos iados desta seção. 
30 Cuim de analise estrutural 
A razão desta coiivenção de sinais ficará clara no desenvolvimento dos 
demais capítulos deste volunie, de modo que, por ora, não faremos maiores 
coineiitários sobre ela. 
()bsrn,o@o: Note o leitor que os sinais obtidos para os esforços cor- 
tatites e,. e Q, são fuiição das sentidos que arbitramos para os e ixos j e z. 
~onhecidos Q,, e Q... O esforço cortante resultante na seção é imediatamente 
obtido a do esquema da Fig. 1-41, 
c) T 
Representando duas seções mfmita- 
mente rbximas, a tendência do mo- 
&? 
mento $ 6 a de promover umarotaçáo 
relativa destas duas seções em torno 
de um eixo que hes é perpendicular, 
passando pelo seu centro de gravidade 
- 
T (exo x, portanto). Podemos dizer, em 
linguagem simplista, que o momento ? 
está torcendo a peça e ele 4, pois, 
denominado momento torçor atuante 
Fig. 143 na seçáo. 
Defuimios, então, momento torçor atuante numa seção S como sendo 
a soma algébrica dos momentos das forças situadas de um dos lados desta 
seção em relação ao eixo nomal a seção que contém o seu centro de 
gravidade. 
A convenção de sinais que adotaremos para o momento torçor 6 inteira- 
mente análoga i do esforço nomial. Diremos que um momento torçor € 
positivo quando o vetor de seta dupla que o representa está como que 
tracionando a seção em questão, sendo negativo em caso contrário (no caso 
da Fig. 1-43, o momento torçor indicado é positivo). 
d) X 
Reprzentando duas seções infinitamente próximas, a tendência do mo- 
mento M, conforme a regra da mão direita, é a de provocar uma rotaçáo 
da seção em torno de um eixo situado no seu próprio plano. 
Como um momento pode ser substituído por um binário, vemos que O 
efeito de 2 pode ser assimilado ao do binário indicado na Fig. 1-44.2, 
que provoca uma tendência de alongamento em uma das partes da seção 
e uma tendência de encurtamento na outra parte. A peça ficará então 
fletida, sendo, por isto, denominado $de momento fletor. 
~nceitos fundamentais 31 
Fig. 144 
Definimos, então, como momento fletor atuante numa seção, à soma 
vetonal das componentes, sobre o plano da seção, dos momentos de todas 
as forças situadas de um dos lados da seção em relação ao seu centro de 
gravidade. 
Náo é usual, entretanto, por requerer uma soma vetorial, calcular direta- 
mente o momento fletor atuante numa seção; preferimos calcular suas 
componentes My e M, segundo ,2 eixos ortogonais arbitrários (os mesmos 
idotados para o cálculo de Qy e Q,) y e r , situados no plano da seção, 
:onfonne indica a Fig. 1-45. pois que, 
>ara tal cálculo, basta efetuar uma z 1 
soma algébrica de valores, ao invés de 
uma soma vetorial. Cgnhecidos My e 
M,, a obtenção de M é imediata, a 
partir do esquema da Fig. 1-45, Assim 
sendo, definimos momento fletor atn- 
ante numa seçáo, na direção de um 
eixo contém pertencente o seu centro a esta de seção gravidade, e que @Ly 
como sendo a soma algébrica dos 
momentos das forças situadas de um Fig. 145 
dos lados desta seção em relação a 
esse eixo. 
Para o momento fletor, desejamos sempre conhecer que fibras estão 
tracionadas e que fibras estão comprimidas (para, no caso das vigas de 
concreto amado, por exemplo, sabemos de que lado devemos colocar as 
barras de aço, que são o elemento resistente à traçáo). Náo terá, então, 
sentido físico algum estabelecemos uma convenção de sinais baseada em 
orientação dos eixos y e z, de modo que não agiremos desta forma, 
preferindo calcular o módulo do momento fletor, acrescendo-o da infor- 
mação de que fibras ele traciona (para obter que fibras da seção estão 
tracionadas pelo momento em questão, basta substitui-lo por um binário 
de mesmo sentido que ele, ficando a parte tracionada defuiida pela força 
do binário que tiver o sentido de traçáo). Assim, para o caso da Fig. 1-45. 
o momento MI traciona as fibras do lado esquerdo da seção (em perspec- 
tiva, na Fig. 1-46.1, correspondendo as fibras da frente) e o momento My 
traciotia as fibras da parte superior, conforme se pode verificar pelo esquema I da Fie. 1-46.2. 
(As setas, nas fmras, indicam o sentido em que as fibras da seçáo 
, tendem a se deformar.) 
Resumindo, podemos dizer que, numa seção+atuam, no caso mais ger% 
quatro esforços simples: um esforço normal N, um esforço cortante Q 
(definido por suas componentes Q.,, e Qcsegundo 2 eixos ortogonais y e z 
per t enFes ao plano da seção), um momento torçor 7 e um momento 
fletor M (definido por suas componentes My e Mr segundo estes mesmos 
eixos y e z). Estes esforços simples são obtidos pelas forças atuantes de 
um dos lados da seção, trabalhando-se, em geral, com aquele que conduzir 
ao menor trabalho de cálnilo numérico. 
EX. 1.4 - Obter os esforços simples atuantes na se@ S indicada p m a 
estrutura da Fig. 1-47, cujas barras formam, em todos OS nós, ângulos de 90"- 
~nceitos fundamentais 33 
I 
Entrando, no caso, com as forças situadas à direita da seção (o que é 
muito mais simples, pois, se quiséssemos entrar com as forças da esquerda, 
teríamos que fazer o d a d o previ0 das reaçóes de apoio no engaste A), 
obtemos, reduzindo-as à seção S, os esforços indicadosna Fig. 1-48. 
A partir do esquema da Fii. 1-48 temos, levando em conta as definiçóes 
e convenç6es de sinais dadas para esforços simples neste item, os esforços 
seguintes na sego S: . 
Esforço normal: N = -2 t (comprime a seção) 
Esforços cortantes: Qy = -1 t (calculado pelas forças da direita tem o 
mesmo sentido que o sentido positivo 
de OY) 
Q, = , 4 t (calculado pelas forças da direita tem 
sentido oposto ao sentido positivo Oz) 
Momento torçor: T = -12 mt (o vetor de dupla seta está como que 
"comprimindo" a seçáo) 
Momentos fletores: My = 8 mt, tracionando as fibras superiores 
M, = 8 mt, tracionando as fibras da frente. 
Qbsewações: a) A identificação das fibras tracionadas pelos momentos 
M, e M, 6 imediata a partir dos binários equivalentes indicados na Fig. 1-49 
tas fibras tracionadas esttio hachuradas). 
1-49.1 Pig. M 9 i-49.2 
34 Curso de análise estrutural 
b) Pela composição vetorial de Q, com Q, e de M." com M, podemas 
obter o esforço cortante Q e o momento resultante -fletbr M resultantes 
atuantes na seção, que são iguais a: 
Não d usual, entretanto, fazermos este cálculo,pois trabal!Iamos diretamente 
com as componentes Qy, Q,, MY e M,, conforme se verá no Cap. V deste 
volume e no Vol. 11 deste Curso. 
C) Recomendamos ao leitor, como exercício, refazer o cálculo destes 
esforços simples entrando com as forças do lado esquerdo (que são as 
reaçòes de apoio iio engaste). Chegar-se$, evidentemente, aos mesmos 
resultados. 
d) Como os eá ldos de esforços simples são feitos para o centro de 
gravidade das seçòes, representaremos daqui para a frente as estruturas 
compostas de barras pelo seu eixo (lugar geom6trico dos centros de gravidade 
das seçóes). 
I/ 5.1 - Caso particular importante: estmturas planas carregadas no próprio I/ 1 plano 
Seja a estrutura representada na Fig. 1-50.1, que admite um plano P de 
simetria, estando todas as cargas aplicadas nesse plano. 
I 
Destacando o traço da estrutura neste plano de simetria P, que contkn 
o eixo da estrutura, obtemos o esquema representado na Fig. 1-50.2, em 
que a linha tracejada representa o eixo da estrutura. Trata-se, então,' de 
um sistema de forças coplanares, caso partinilar de um sistema de forças 
Conceitos fundamentais 
I 35 
1 
no espaço. Os esforços simples sao, então, um caso particular do caso do 
1 espaço e teremos, chamandoxy ao plano da estrutura, os seguintes esforços 
nulos: My = O, T = O (pois ambos seriam momentos das forças situadas 
1 de um dos lados da seção em questão em relação a eixos situados no mesmo plano das forças, momentos estes nulos, conforme vimos em 2.2.13 - 
observação a) e Q, = O (po~s não há carregamento na direção 2). Sobram, 
então N, M, e Qy, que serão, respectivamente, o esforço normal, o 
momento fletor e o esforço cortante atuantes na seção em estudo. No 
I caso da estrutura plana carregada no próprio plano, o momento M, se 
confunde com o momento resultante M das forças situadas de um dos 
lados da seção em relação ao seu centro de gravidade e 6 preferível 
representá-lo por uma curva que indica seu sentido de rotação, conforme 
mostra a Fig.1-51, ao invds de um vetor de dupla seta, puis a curva 
pertence ao plano das cargas, ao passo que o vetor de dupla seta seria a 
ele perpendicular, o que nos obrigaria a representar uma terceira dimensão 
perpendinilar ao plano. O momento fletor será defmido, como sempre, 
pelas fibras que está tracionando. 
O esforço cortante Qy se confunde, também, com o esforço cortante 
iultante na seção (pois Q, = O) e representá-lo-emos, entzo, por Q. Sua 
nvenção de sinais 6 a m e w a do caso do espaço, mas, apenas para evitar 
grau de iiberdade na escolha da orientação dos eixos, orientaremos o 
:o y para cima7 (a direção x d sempre a do eixo da barra em estudo) e 
demos, então, dizer que o esforço cortante é positivo quando, calculado 
Ias forçds da esquerda, for voltado para cima, ou, quando calculado pelas 
r p da direita, for voltado para baixo. 
Quanto ao esforço normal, nada há a acrescentar, valendo tudo que foi 
dito no caso do espaço tridimensional. 
Na Fig. 1-51, representamos os esforços simples M, N, Q, que podem 
atuar numa seção S de uma estrutura plana. Notar que os esforços indicados 
como atuando na parte da direita (Fig. 1-51.2) foram calculados com as, 
I 
I 
"ver observaçáa h deste item. 
36 Cursa de análise esiruemutural 
forças existentes na parte da esquerda e vice-versa. No caso da Fig. 1-51. 
os esforços cortante e normal indicados são positivos e o momento fletor 
traciona as fibras de baixo, conforme mostra o esquema da Fig. 1-52, em 
que substituímos MS por um binário equivalente, indicado em pontilhado. 
Pig. 1-52 
Resumindo, podemos d e f ~ da maneira seguinte os esforços simples 
atuantes numa seção de uma estrutura plana, carregada em seu próprio 
plano: 
- Esforço nonnal: L! a soma algébrica das projeç6e.s das forças atuantes 
de um dos lados da seção na direção do eixo da estmtura (direção normal 
à seção); 
- Esforço cortante: B a soma alg&rica das projeçóes das forças atuantes 
de um dos lados da seção na diieção perpendicular ao eixo da estrutura; 
- Momento fletor: é a soma alg6brica dos momentos das forças atuantes 
de um dos lados da seção em relação a seu centro de gravidade. 
As convenções de sinais para esforço nomal e esforço cortante já foram 
explicadas anteriormente e o momento fletor deve ser acrescido da infor- 
mação de que fibras da seção ele traciona. 
Observações: a) Muitos autores, a de eliminar a necessidade de se 
escrever, com palavras, que fibras da seção o momento fletor traciona, 
adotam para ele a seguinte convenção de sinais: 
Pontilhando um dos fados da estru- 
tura, conforme indica a Fig. 1-53, diie- 
mos que o momento fletor é positivo l - - - - - - l 
quando traciona as fibras do lado 
pontilhado, sendo negativo em caso 1 I mntririo. de se dizer, E através m forma, de um como sinal, se quais vê, I I são as fibras tracionadas pelo momento 
fletor e que nós adotaremos também. 
Fig. 1-53 No caso de todas as barras serem 
horizontais (caso das vigas, que estuda- 
remos no Cap. 11) suporemos sempre 
Concaitoa fundamentais 37 
que o pontilhado esteja do iado de baixo, isto 6, suporemos positivo o 
momento fletor que tracionar as fibras inferiores da estmtnra.' 
Para as estruturas espaciais, não 6 interessante a adoção desses pontilhados, 
pois, devido ao fato de existirem momentos fletores em 2 planos distintos, 
seríamos obrigados a pontilhar 2 lados da estmtura, representação esta que, 
feita em perspectiva, poderia trazer o perigo de um entendimento errado 
no caso da perspectiva não ser suficientemente clara. Por esta razão d que, 
nas estmturas espaciais, preferimos dizer, com palavras, quais sáo as fibras 
tracionadas pelos momentos fletores. 
b) Na furaçffo da convenção de sinais de esforços cortantes, falamos em 
forças da esquerda, em forças da direita e em orientação do eixo perpen- 
dicular ao eixo da barra para cima. No caso de uma barra vertical, poderíamos 
ficar em dúvida quanto a esta classificação. Tal problema é, no entanto, 
facilmente solucionável, bastando que nós olhemos a barra por uma posição 
tal que ela fique horizontal (at6,no principio, caso o leitor tenha dificuldades, 
aconselhamos que ele gire o papel at6 tornar a barra horizontal), recaindo-se 
então na situação de defuiição. 
Seja, por exemplo, a estrutura da Fig. 1-54, submetida ao carregamento 
autoequilibrado indicado, para a qual desejamos determinar o esforço 
cortante em S. Olhando a barra na posição indicada pelo observador 0, a 
força P, aplicada em A, se comporta como força esquerda e o esforço 
cortante será P, para baixo, e igual, portanto, a QS = -P (cortante para 
baixo pelas forças da esquerda é negativo). Note o leitor que d inteiramente 
indiferente o lado pelo qualolhamos para a barra: se estivéssemos oihando-a 
na posição do observador O', a. força P aplicada em A seria uma força à 
direita e o cortante, para cima, calculado pelas forças A direita é negativo, 
com o que obteríamos o mesmo valor. 
8 As razões para isto ficará0 claras a partu da d h s & dos iesultados daintegração 
d=M equago diferencial 
= -q, feita no Cap. ii deste volume. 
I ds 
38 Curso de análise estrutural 
Coiicluindo. para fins de obtenção de esforço cortante, devemos olhar 
cada uma das barras de uma posição tal que elas se comportem como 
horizontais, aplicando então a convenção de sinais já definida 
Ex. 1.5 Obter os esforços simples atuantes nas seçóes SI e S2 da 
estrutura da Fig. 1-55, submetida ao carregamento indicado. 
I 
Conceitos fundamentais 
Fig. 1-55 
Para obtermos os esforços simples, necessitamos inicialmente calcular as 
reaçòes dk apoio, iudicadas na Fig. 1-55, A partir das equações de equilíbrio, 
temos: 
Por Z M A = O : 9 X 2 + 9 X 6 - 9 V g = O : V g = B t 
Por Z Y = O : V , + V D = 9 . V, = I t 
Por ZX = O : H ~ = 9 t 
(Os sinais positivos encontrados indicam que os sentidos arbitrados para as 
reações na Fig. 1-55 estão corretos.) 
Temos, então: 
a) seção SI 
Calculando pelas forças à esquerda, temos o esquema indicado na 
Fig. 1-56.1, a partir do qual, obtemos: 
Ns, = -1 t (compresGo) 
Qsi = 0 
MsI = + I R mt (o sinal positivo indica que as fibras tracionadas são as do 
lado pontilhado, conforme indica a Fig. 1-56.2). 
1x4 - 9x2=18mt 
1-56.1 Pig. 1-56 
lbservaffio: Os esforços poderiam também ser calculados pelas forças 
iireita, obtendo-se os mesmos valores, evidentemente, conforme indica 
ig. 1-57. 
Fig. 1-57 
:alculando pelas torças à esquerda temos, conforme o esquema da 
1-58: 
40 Curso de analise estrutural 
Ex. 1.6 - Calcular os esforços simples atuantes na seção S da estmtura 
da Fig. 1-59. 
+ 10m + 
Fig. 1-59 
Estando a estrutura submetida a um carregamento autoequilibrado, as 
reações de apoio são nulas (pois não 6 necessária força adicional alguma para 
equilibrar o carregamento atuante) e os esforços simples na seção S, calculados 
pelas forças à esquerda da sego valem, a partir do esquema da Fig. 1-60: 
Fig. 1-60 
\ 
(Os'sentidos dos esforços indicados na Fig. 1-60 estáo corretos; os sinais 
são negativos em obediência às nossas convenções de sinais.) 
1 Conceitos fundamentais 41 
6.1 - Cargas concentradas 
Suponhamos uma roda de um caminhão descarregando uma reação P sobre 
uma ponte, conforme simboliza a Fig. 1-61. 
Esta reação P será descarregada ao 
longo da área de contato da roda com 
1 
a ponte, que é bastante pequena (ca- 
racterizada por o ) , mas não nula. Não 
haverá, então, a aplicação, rigorosa- 
mente falando, de uma carga concen- 
trada P na estmtura; haverá, sim, a 
aplicação de uma carga distribuída, 
mas segundo uma área tão pequena u a 
que podemos considerá-la nula em Fig. 1-41 
nresença das dimensões da estmtura. 
As cargas concentradas a o , entáo, uma forma aproximada de tratar 
rgas distribuídas segundo áreas tão pequenas (em presença das dimensões 
da estmtura), que podem ser consideradas nulas. Neste caso, o erro cometido, 
por esta razão, 6 absolutamente desprovido de significado e, portanto, 
inteiramente tolerável, tendo em vista a simplificação de trabaiho de cálculo 
-"e ele possibilita. 
6.2 - Cargas distninídas 
Ate agora, só lidamos com cargas concentradas em nossos exemplos. 
Façamos, então, um estudo das diferentes leis de distribuição de cargas 
que podem ocorrer na Análise Estmtural. 
g~shidaremos neste item a classificaçáo das cargas apenas quanto B sua lei de 
distribuição. Não estudaremos, por ora, a classificação das cargas quanto à sua owirência 
em relação ao tempo (cargas permanentes e cargas andentais), nem quanto à forma com 
que carregam as estruturas (cargas diretas e cargas induetas); este estudo será feito no 
Cap. VI deste volume. 
Suponhamos que a estmtura 0, indicada na Fi. 1-62, supor4e o corpo 
@ indicado, cujo peso especifico é 7'. Este peso introduzirá, evidentemente, 
um carregamento na estmtura 0, carregamento este distribuído e contínuo, 
ja taxa de distribuição vamos calcular. 
Fig. 1-42 
42 Curso de análise estrutural 
O volume do corpo que carrega um trecho de com rimento ds da estrutura 
6 ~ d s , sendo s a área da seção determinada em 6 C por um plano perpen- 
dicular ao eixo da estrutura. O peso deste volume será: dP = ySds e a 
taxa de distribuição de carregamento q(s) ao longo do eixo da estrutura 
vale, entáo, q(s) =% = yS, conforme indica a Fig. M3, variando então 
proporcionalmente com a variaçáo do valor da área S. 
Fig. 1 6 3 
Os tipos mais usuais de cargas distribuídas que ocorrem na prática são 
as cargas uniformemente distribuídas (S = constante) e as cargas triangulares 
(casos de empuxos de terra e de água,principalmente), indicadas na Fig. 1-64. 
M A 1 -Orna uniformemente distribuída 
u 
- 
164.2 - Carga triangular 
Pig. 1-64 
Com menor frequéncia, ocorrem ainda carregamentos parab6licos e, em 
casos mais excepcionais, carregamentos de forma inteiramente aleat6ria. 
Os diversos tipos de cargas distribuídas serão estudados, em detalhe, no 
Cap. I1 deste volume. Um problema, no entanto, precisa ser resolvido desde 
já: o da determinação da resultante de um carregamento distribuído em 
módulo, direçáo e sentido, a fm de sermos capazes de calcular reaçÍ3es de 
apoio e esforços simples em estmturas submetidas a carregamentos distri- 
buídos. Sua soluçZo d simples, senáo vejamos. 
Como uma carga distribuída pode ser encarada wmo uma soma infinita 
de cargas concentradas infinitesimais, qds, conforme indica a Fig. 1-65, a 
resultante do car~egamento distripuido ser6 igual a: 
R =[ qds, 
Conceitos fundamentais 43 
ou seja, será igual à área S2 Imitada entre a curva que detine a lei de variaçáo 
do carregamento e o eixo da estmtura. 
Fig. I45 
Para obtermos a posição desta resultante, basta lembrarmos que, como 
ela 6 a força tal que d capaz de substituir estaticamente o carregamento 
distribuído atuante, ela deverá dar, em relação a qualquer ponto do espaço, 
o mesmo momento que o dasforças da qual ela 6 resultante. Assim, chamando 
-. 
s a distância da resultante a um ponto gendrico 0, temos: 
Momento da resultante = R: = X 1" qds 
B 
Soma dos momentos das componentes =i (qds)s I" qsds 
Igualando, obtemos: 7 = 
Pela expressão obtida para F, podemos encarar esta distância como sendo 
a razão entre o momento estático da área C2 em relação ao eixo z e o valor 
C2 desta área. Isto, a partir da defdçáo de centro de gravidade de uma 
área C21°, indica que S 6 a distância do centro de gravidade da área C2 ao 
eixo z e podemos escrever, ent%o, fmalmente, que a resultante de um 
carregamento distniuido é igual i área compreendida entre a linha que 
defuie este carregamento e o eixo da barra sobre a qual está aplicado, 
sendo seu ponto de apLicaçáo o centro de gravidade da referida ârea. 
''ver em livros de Cálailo Integral, Mecânica Racional ou Resistência dos Materiais. 
44 Curso de an8lise estrutural 
Ex. 1.7 - Obter as reações de apoio para a estrutura da Fig. 1-66. 
G 6 m 4 
Fig. 1-66 
Para obter as reações de apoio devemos, inicialmente, substituir as cargas 
distribuídas por suas resultantes (que produzem os mesmos efeitos estáticos 
que elas). Assim, temos, levando em conta as conclusóes obtidas para 
carregamento distribuído neste item, a partir do esquema da Fig. 1-67, as 
seguintes reaçóes de apoio: 
Por Z M A = O : 6 V ~ t l X 2 - 4 X 2 - 6 X 4 = 0 :. V B = 5 t 
Por Z Y = O : V ~ = 6 - V a = l t 
Por X = O : H A = ~ - 1 = 3 t 
(Os sinais positivos confirmam os sentidos arbitrados na Fig. 1-67,) 
Conceitos fundamentais 45 
Ex. 1.8 - Obter os esforços

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