transformada de Laplace

Prévia do material em texto

Matéria: Análise de sistemas lineares
Professora: Thamyris da Silva Evangelista
Alunos: Leynasion Marhony Nogueira Noronha - 202240607012
	 Jonathan Feitosa Martins de Sousa - 202240607023
	 Wagner Cristovão Saes Martins Filho – 202240607021
	 Julio Victor da Costa Né - 202140607016
Transformada de Laplace
1 – Transformada de Laplace / definição
	A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que transforma uma função do domínio do tempo, f(t), em uma função do domínio da frequência complexa, F(s), onde “s” é uma variável complexa. Ela é definida pela integral:
 
Aqui, “s” é uma variável complexa s = σ + jω com σ(sigma) sendo a parte real e ω(ômega) a parte imaginária.
O operados , indica a relação de transformada entre x(t) e X(s) como:
Transformada inversa: 
2 - Propriedades
	A Transformada de Laplace possui diversas propriedades que facilitam a análise e a resolução de problemas em sistemas lineares, especialmente no domínio do tempo. São elas:
Linearidade da transformada de Laplace
Deslocamento no tempo
Deslocamento no domínio s
Mudança de escala no tempo
Conjugação
Propriedade de convolução
Diferenciação no domínio do tempo
Diferenciação no domínio s
Integração no domínio do tempo
Os teoremas dos valores inicial e final
A RDC (Região de Convergência) é o conjunto de valores da variável complexa s para os quais a transformada de Laplace de uma função f(t) converge para um valor finito.
2.1 - Prop. Linearidade
	A Transformada de Laplace é linear, o que permite que ela seja aplicada a cada função separadamente em uma soma ou combinação de funções. 
Se f(t) e g(t) são duas funções com transformadas de Laplace, e a e b são constantes, então:
 
Ex: seja f(t)=t e g(t)=e-2t, calcule a transformada de Laplace para 3f(t)+2g(t).
2.2 – Prop. Deslocamento no tempo
	 A propriedade de deslocamento no tempo na Transformada de Laplace permite calcular a transformada de uma função que foi "deslocada" no tempo, ou seja, que foi adiada ou antecipada por um certo valor t0​. Quando isso ocorre, a função original é multiplicada por um fator exponencial na sua transformada de Laplace:
 
RDC = R ou seja, essa propriedade não altera a RDC da função. 
Ex: 
Deslocado t0=3: 
Aplicando a propriedade: 
2.3 – Prop. Deslocamento no domínio s
	 A Propriedade de Deslocamento em s na Transformada de Laplace trata da modificação da função no domínio de t, o que causa um deslocamento no domínio de s, dado por:		.
Ex 1: 
A RDC muda de para .
Ex 2: 
A RDC muda de para .
2.4 – Prop. Mudança de escala no tempo
	 A Propriedade de Mudança de Escala no Tempo na Transformada de Laplace refere-se a como a transformação se comporta quando a variável de tempo é escalonada por um fator de “a”, onde “a” é um número real positivo, é dado por: 	.
Ex 1: 
Escalonada em t: 
A RDC muda de para .
2.5 – Prop. Conjugação
	 A Propriedade de Conjugação na Transformada de Laplace relaciona a Transformada de uma função real com a Transformada da sua função conjugada. 
Ex: , (sendo j uma unidade imaginária).
O conjugado de , tem a transformada .
O conjugado de .
Logo podemos afirmar que : .
Ou seja: A Transformada de Laplace do conjugado de uma função é o conjugado da Transformada de Laplace original.
2.5.1 – Prop. Conjugação
Observações:
	
Funções Reais: A propriedade se aplica a funções reais f(t). Se f(t) tiver componentes imaginárias. 
Regiões de Convergência: A RDC de f(t) e f∗(t) são idênticas, pois o conjugado não afeta a convergência da integral.
2.6 – Prop. Convolução
	 A Propriedade de Convolução na Transformada de Laplace afirma que o produto de convolução de duas funções no domínio do tempo corresponde ao produto de suas Transformadas de Laplace no domínio de s, tal relação é dado por: . 
Sendo: .
.
Usando a propriedade: 
 
Aplicando a .
2.7 – Prop. Diferenciação no domínio do tempo
	 A Propriedade de Diferenciação no Tempo permite transformar derivadas no tempo em expressões simples envolvendo s no domínio de Laplace, o que facilita a análise de sistemas diferenciais. tal relação é dado por:
 . 
Considere: 
.
Obs.: para derivadas de ordem superior, temos:
 
2.8 – Prop. Diferenciação no domínio de s
	 Diferenciar a função F(s) em relação a “s” corresponde a multiplicar a função original f(t) por −t e, em seguida, aplicar a transformada de Laplace. Esta é relacionada com a propriedade da multiplicação por “t” tal relação é dado por:
 . 
Considere: .
Diferenciando em relação a s: .
Por outro lado, calculando :
.
2.9 – Prop. Integração no domínio do tempo
	 A propriedade afirma que a transformada de Laplace da integral de uma função é igual à transformada da função dividida por s, tal relação é dado por:
.
Considere: .
Usando a propriedade da integração:
Verificando a Transformada da Integral: 
2.10 – Prop. Teorema dos valores inicial e final
	 Os Teoremas dos Valores Inicial e Final fornecem uma maneira eficaz de determinar o comportamento de uma função no tempo com base em sua transformada de Laplace. 
Considere: .
Valor inicial : 
Valor final:
2.11 – Tabela de propriedades da Transformada de Laplace 
Fonte: Alan V Oppenheim – Sinais e Sistema.
3 – Aplicações
	A transformada de Laplace é uma ferramenta essencial em diversas áreas, como engenharia e ciências aplicadas. Suas principais aplicações incluem:
Análise de Sistemas de Controle: Permite estudar a estabilidade e a resposta a entradas variáveis.
Circuitos Elétricos: Facilita a resolução de equações diferenciais em circuitos com resistores, capacitores e indutores.
Teoria de Sinais: Usada em filtragem e processamento de sinais para entender como sistemas respondem a diferentes entradas.
Modelagem Física: Aplicada em fenômenos como transferência de calor e dinâmica de fluidos, descrevendo o comportamento dinâmico ao longo do tempo.
Essas aplicações destacam a versatilidade da transformada de Laplace na resolução de problemas complexos.
4 - Conclusão
	 Em resumo, a transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que não apenas simplifica a análise matemática, mas também proporciona uma compreensão profunda do comportamento dinâmico de sistemas. Seu uso eficaz em diversas aplicações a torna indispensável em campos técnicos e científicos, permitindo que engenheiros e pesquisadores desenvolvam soluções mais eficazes e eficientes para problemas complexos. A compreensão e a aplicação da transformada de Laplace são, portanto, essenciais para qualquer profissional envolvido em disciplinas relacionadas à análise de sistemas e modelagem matemática.
5 - Referencias
 OPPENHEIM, Alan V.; WILLSKY, Alan S.; NAWAB, S. Hamid. Sinais e sistemas. 2. ed. São Paulo: Prentice Hall, 1997.
REAMAT. Transformada de Laplace, Um livro colaborativo. Disponível em: https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-tl/main.html#Previous# . Acesso em: 22 set. 2024.
image2.png
image3.png
image4.png
image5.png
image6.png
image7.png
image8.png
image9.png
image10.png
image11.png
image12.png
image13.png
image14.png
image15.png
image1.jpeg