aula completa De Limite

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Noção Intuitiva 
de Limite 
Noção Intuitiva
Sucessões 
numéricas
Dizemos 
que:
1, 2, 3, 4, 5, ....
Os termos tornam-se cada vez 
maiores, sem atingir um limite x  + 
Os números aproximam-se 
cada vez mais de 1, sem 
nunca atingir esse valor
x  1
1, 0, -1, -2, -3, ...
Os termos tornam-se cada vez 
menores, sem atingir um limite x  - 
,.....
6
5
,
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
Limites
Seja y = f(x) = 2x + 1
Aproximação à direita Aproximação à esquerda
x y
1,5 4
1,3 3,6
1,1 3,2
1,05 3,1
1,02 3,04
1,01 3,02
x y
0,5 2
0,7 2,4
0,9 2,8
0,95 2,9
0,98 2,96
0,99 2,98
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
y
x
Limites
Nota-se que quando x tende para 1, pelos
dois lados, ao mesmo tempo, y tende para 3,
ou seja, (x 1) implica em (y 3). Assim,
diz-se que:
3)12(lim)(lim
11


xxf
xx
Neste caso o limite é igual ao valor da função. 
f(x) = f(1) = 3
1
lim
x
Limites
x f(x) = x + 3
2 5
1,5 4,5
1,25 4,25
1,1 4,1
1,01 4,01
1,001 4,001
1,0001 4,0001
4)(lim
1


xf
x
4)(lim
1


xf
x
Estudemos o comportamento da função f(x) quando x estiver
próximo de 1, mas não for igual a 1.
x f(x) = x + 3
0 3
0,25 3,25
0,75 3,75
0,9 3,9
0,99 3,99
0,999 3,999
Dada a função f: IR  IR, definida por f(x) = x + 3.
4
1 x
y
Pela esquerda
Pela direita
Definição de Limites
 Seja f(x) definida em um intervalo aberto
em torno de “a” (um número real), exceto
talvez em a.
c a d
 Dizemos que f(x) tem limite L quando x
tende a “a”.
Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto em
torno de x0, exceto, possivelmente em x0.
Se f(x) fica arbitrariamente próxima de L para todos os
valores de x suficientemente próximos de x0, então
dizemos que a função f tem limite L quando x tende para
x0 e escrevemos:
Definição informal de limite
0x x
lim f(x) L


x0
Cálculo - Limites
Para o cálculo do limite de uma função basta substituir o
valor para o qual x está tendendo (valor genérico “a”) na
expressão da função f(x).
No entanto, esta regra falha, algumas vezes (nem
sempre) para funções racionais. Isto acontece quando se
faz a substituição direta de x por seu valor de tendência
e encontra-se indeterminação (0/0 ou b/0 ou / ou /0).
Expressões indeterminadas:
Considere o seguinte limite:
Se fôssemos resolver de acordo com as ferramentas 
já conhecidas chegaríamos ao seguinte resultado:
0
0
33
273
3
27
lim
33
3






 x
x
x
3
27
lim
3
3 

 x
x
x
EXEMPLO
EXEMPLO
Expressões indeterminadas
Mas vejamos o gráfico desta função:
x f(x)
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
24,39
25,24
26,11
27
27,91
28,84
29,79
L
• Apesar da função não estar definida no 
ponto x = 3, quando nos aproximamos de x 
= 3, f(x) se aproxima de 27. Portanto:
• Mas como se resolve a equação algébrica 
de modo a chegar a este valor?
27
3
27
lim
3
3



 x
x
x
Exemplo:
Uma dose de um medicamento foi administrado a um paciente, por via
intravenosa.
Um modelo matemático para avaliar a quantidade q, em mg, do
medicamento, na corrente sanguínea, t horas após iniciada a
administração, é q(t) = (t²-2t-3)/(t-3).
Sabendo que uma certa quantidade indicada para este tipo de paciente foi
recomendada pelo médico e que o tempo necessário para este
medicamento fazer efeito é de aproximadamente 3 horas. Quando o tempo
tende a essas 3 horas, qual a quantidade de medicamento, em mg, que
havia na corrente sanguínea do paciente?
Algumas fórmulas que auxiliam as simplificações nos 
cálculos dos limites.
Produtos notáveis:
Fatorações:
onde x' e x'' são as raízes obtidas pela
Conjugado de radicais:
Vamos resolver...
Bibliografia
GUIDORIZZI, Luiz Hamilton. Um curso de cálculo. 5º ed. Volume 1-
LTC, São Paulo, 2001.
LARSON, Roland E. HOSTETLER, Robert P., EDWARDS, Bruce H.
Cálculo com Aplicações. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005.