Teorema da Divergência ou de Gauss

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Teorema da Divergência ou de Gauss
Referências:
http://www.mat.ufmg.br/~tcunha/CalcIII08/12Fluxo.pdf
http://www.mat.ita.br/mat36/capi/integrais_de_superficie/6asem/pdf/pdf.pdf?hc_location=ufi
https://www.youtube.com/watch?v=T3y1CKRH2rQ
https://www.youtube.com/watch?v=Hfe-yG4kltU
https://www.youtube.com/watch?v=x88n-6pLBHg
http://www.math.ist.utl.pt/~sanjos/CII/Aulas-13.pdf
http://fma.if.usp.br/~fleming/vfield/node11.html
Guidorizzi, H, L. Um curso de Cálculo, vol 3. 5ed. LTC Editora.
Exemplo 1: Calcule , onde e é a superfície do sólido Q limitado pelo cilindro parabólico z = 1 – x2 e pelos planos z = 0 , y = 0 e y + z = 2.
Deve ser extremamente difícil calcular a integral de superfície dada diretamente. (Teríamos que calcular quatro integrais de superfície, correspondentes aos quatro pedaços de 
.
)
Como o divergente de
é muito menos complicado que o próp
rio
:
div 
= 
= y + 2y = 3y.
Usaremos o teorema de Gauss para transformar a integral de superfície em integral tripla. 
Escreveremos o sólido Q como: Q = {(x, y, z) | -1 x 1, 0 z 1 – x2, 0 y 2 – z}.
Assim, temos:
===== = = .
Exemplo 2: Calcule , sendo a fronteira de B com a normal exterior , sendo:
B = e = xy + yz + .
Aplicando o teorema de divergência:
==== .
Exemplo 3: Determine o fluxo do campo vetorial sobre a esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1.
Como a esfera () é uma superfície que limita o sólido esférico Q: x2 + y2 + z2 ≤ 1, aplicando o teorema de Gauss.
 Fazendo:
= = volume de = 
Obs.: div = 0 + 1 + 0 = 1
Exemplo 4: Considere a superfície S definida por
S = {(x, y, z) ∈ R³ : x ² + y ² + z ² = 1 ; z > 0} 
e o campo vetorial
 F(x, y, z) = (−y, x, xz + y) 
Calcule o fluxo do rotacional do campo F através de S segundo a normal unitária cuja terceira componente é negativa, usando o teorema da divergência. 
Resolução: 
 Para usar o teorema da divergência, consideremos o domínio regular D definido por;
D = {(x, y, z) ∈ R³ : x² + y² + z² < 1 ; z > 0}
A fronteira de D contém as superfícies S e B, sendo B definida por;
B = {(x, y, z) ∈ R 3 : z = 0 ; x 2 + y 2 < 1} 
Então, aplicando o teorema da divergência ao campo vetorial rot F e ao domínio D, obtemos.
 = 
 =+ 
Em que ν S é a normal unitária e exterior em S e ν B é a normal unitária e exterior em B. Dado que B é uma superfície horizontal, temos.
ν B = (0, 0, −1)
Por outro lado, div(rot F) = 0 e, portanto;
 = − 
e, tendo em conta que, em B, rot F = (1, −z, 2) = (1, 0, 2)
obtemos,
 
 = − 
 = 2 Vol2(B)
 = 2π
Dado que a normal ν S é exterior a D em S, tem terceira componente positiva e, portanto, o fluxo pretendido é o simétrico do que foi calculado através do teorema da divergência, ou seja, −2π.