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Aula 2 - Potências e Raizes

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Cieˆncia e Tecnologia
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Jose´ Crisanto
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 1 / 31
Refereˆncias Bibliogra´ficas:
1. Genson Iezzi. Fundamentos de Matema´tica Elementar. Vol.
2. 7a ed, Sa˜o Paulo: Atual, 1993. (Cap´ıtulo 1).
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 2 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Poteˆncias
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 3 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Poteˆncias
Poteˆncia de expoente natural
Definic¸a˜o 1
Seja a um nu´mero real e n um nu´mero natural. Poteˆncia de base a e
expoente n e´ o nu´mero an tal que:
 a0 = 1, para a 6= 0an = an−1.a, ∀n, n ≥ 1
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 4 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Poteˆncias
Da definic¸a˜o decorre que:
a1 = a0.a = 1.a = a
a2 = a1.a = a.a
a3 = a2.a = (a.a).a = a.a.a
...
ap = a.a. · · · .a (produto de p fatores iguais a a)
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 5 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Poteˆncias
Exemplo 1
(a) 30 = 1
(b) (−2)0 = 1
(c) 51 = 5
(d)
(
1
7
)1
= 17
(e) (−3)1 = −3
(f) 32 = 3.3 = 9
(g) (−2)3 = (−2).(−2).(−2) = −8
(h)
(
2
3
)4
= 23 .
2
3 .
2
3 .
2
3 =
16
81
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 6 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Poteˆncias
Na definic¸a˜o da poteˆncia an, a base a pode ser positiva, nula ou negativa:
1o Caso: a = 0⇒
 0n = 0, ∀n ∈ N, n ≥ 100 = 1
2o Caso: a > 0⇒ an > 0, ∀n ∈ N
(Toda poteˆncia de base positiva e exponente n ∈ N e´
positiva).
3o Caso: a < 0⇒
 a2n > 0, ∀n ∈ Na2n+1 < 0, ∀n ∈ N
(A poteˆncia de base negativa e´ positiva se o expoente e´ par e
negativa se o expoente e´ ı´mpar).
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 7 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Poteˆncias
Propriedade 1
(P1) am.an = am+n
(P2) a
m
an = a
m−n, a 6= 0 e m ≥ n
(P3) (a.b)n = an.bn, com b 6= 0 ou n 6= 0
(P4)
(
a
b
)n
= a
n
bn , b 6= 0
(P5) (am)n = am.n
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 8 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Poteˆncias
Exemplo 2
Simplifique (a4.b3)3.(a2.b)2.
Soluc¸a˜o:
(a4.b3)3.(a2.b)2 = [(a4)3.(b3)3].[(a2)2.b2]
= (a4.3.b3.3)(a2.2.b2)
= a12.b9.a4.b2
= a12+4.b9+2
= a16.b11
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 9 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Poteˆncias
Poteˆncia de expoente inteiro negativo
Definic¸a˜o 2
Dado 0 6= a ∈ R e n ∈ N, define-se a−n = 1an .
Observac¸a˜o 1
Com a definic¸a˜o de poteˆncia com expoente negativo, a propriedade
am
an
= am−n, para a 6= 0, tem significado para m < n.
Se a = 0 e n ∈ N∗, a expressa˜o 0−n na˜o tem significado.
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 10 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Poteˆncias
Exemplo 3
(a) 2−1 = 12
(b) 2−3 = 1
23
= 18
(c) (−2)−3 = 1
(−2)3 =
1
−8 = −18
(d)
(−23)−2 = 1(− 23)2 = 149 = 94
(e)
(−12)−5 = 1(− 12)5 = 1− 132 = −32
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 11 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Poteˆncias
Exemplo 4
Simplifique a expressa˜o (a
3.b−2)−2
(a−4.b3)3 , sabendo que a.b 6= 0.
Soluc¸a˜o:
(a3.b−2)−2
(a−4.b3)3
=
a3.(−2).b(−2).(−2)
a−4.3.b3.3
=
a−6.b4
a−12.b9
= a−6−(−12).b4−9
= a6.b−5
=
a6
b5
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 12 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Raizes
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 13 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Raizes
Definic¸a˜o 3
Dados 0 ≤ a ∈ R e n ∈ N, existe 0 ≤ b ∈ R, tal que bn = a. O nu´mero b
e´ chamado raiz ene´zima aritme´tica de a, a e´ o radicando e n e´ o
ı´ndice e e´ va´lida a seguinte notac¸a˜o:
n
√
a = b
Observac¸a˜o 2
( n
√
a)n = (b)n = bn = a.
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 14 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Raizes
Exemplo 5
(a) 5
√
32 = 2, porque 25 = 32
(b) 3
√
8 = 2, porque 23 = 8
(c)
√
9 = 3, porque 32 = 9
(d) 7
√
0 = 0, porque 07 = 0
(e) 6
√
1 = 1, porque 16 = 1
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 15 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Raizes
Observac¸a˜o 3
Devemos estar atentos no ca´lculo da raiz quadrada de um quadrado
perfeito:
Propriedade:
√
a2 = |a|√
(−5)2 = | − 5| = 5 e na˜o √(−5)2 = −5
√
x2 = |x | e na˜o
√
x2 = x
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 16 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Raizes
Exemplo 6
Determine a raiz quadrada aritme´tica de (x − 1)2.
Soluc¸a˜o: √
(x − 1)2 = |x − 1|
=

x-1, se x > 1
0, se x = 1
1− x , se x < 1
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 17 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Raizes
Observac¸a˜o 4
Pela definic¸a˜o de raiz, temos:
√
36 = 6 e na˜o
√
36 = ±6
Na˜o confunda com a resoluc¸a˜o da equac¸a˜o:
x2 = 36
⇒
√
x2 =
√
36
⇒ |x | =
√
36
⇒ x =
√
36 ou x = −
√
36
⇒ x = ±
√
36 = ±6
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 18 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Raizes
Propriedade 2
Se a, b ∈ R+, m ∈ Z e n, p ∈ N∗, temos:
(R1) n
√
am = n.p
√
am.p, para a 6= 0 ou m 6= 0
(R2) n
√
a.b = n
√
a. n
√
b
(R3) n
√
a
b =
n√a
n√b , (b 6= 0)
(R4) ( n
√
a)m = n
√
am, para a 6= 0 ou m 6= 0
(R5) p
√
n
√
a = pn
√
a
(R6) b. n
√
a = n
√
a.bn
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 19 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Raizes
Exemplo 7
Simplifique os radicais:
(a) 3
√
64 (b)
√
576 (c)
√
12 (d)
3
√
27
Soluc¸a˜o:
(a) 3
√
64 =
3
√
26 = 3
√
(22)3 = (
3
√
22)3 = 22 = 4
(b)
√
576 =
√
26.232 =
√
26.
√
32 =
√
(22)3.
√
32 =
(
√
23)2.(
√
3)2 = 23.3 = 24
(c)
√
12 =
√
22.3 =
√
22.
√
3 = 2.
√
3
(d)
3
√
27 =
3
√
26.2 =
3
√
26. 3
√
2 = 22. 3
√
2 = 4 3
√
2
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 20 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Raizes
Exemplo 8
Reduza ao mesmo ı´ndice
√
3, 3
√
2 e 4
√
5.
Soluc¸a˜o: Para reduzir os radicais acima ao mesmo ı´ndice, usaremos a
propriedade (R1) n
√
am = n.p
√
am.p, onde o produto n.p devera´ ser o m´ınimo
mu´ltiplo comum entre 2, 3 e 4. Sabendo que n.p = 12, temos:
√
3 = 2
√
3 =
2.6
√
36 =
12
√
36
3
√
2 =
3.4
√
24 =
12
√
24
4
√
5 =
4.3
√
53 =
12
√
53
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 21 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Raizes
Exemplo 9
Efetue as operac¸o˜es indicadas com as raizes:
(a) 3
√
24 : 3
√
3 (b)
√
3. 3
√
2 (c) 3
√
4 : 4
√
2 (d) 3
√
5
2 :
5
√
1
2
Soluc¸a˜o:
(a) 3
√
24 : 3
√
3 =
3√24
3√3 =
3
√
24
3 =
3
√
8 = 2
(b)
√
3. 3
√
2 =
6
√
33.
6
√
22 =
6
√
33.22 = 6
√
108
(c) 3
√
4 : 4
√
2 = 12
√
(22)4 :
12
√
23 =
12
√
(28
12√
23
= 12
√
28
23
=
12
√
25 = 12
√
32
(d) 3
√
5
2 :
5
√
1
2 =
15
√
55
25
: 15
√
1
23
= 15
√
55
25
: 1
23
= 15
√
55
22
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 22 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Raizes
Exemplo 10
Racionalize os denominadores das frac¸o˜es:
(a) 1√
3
(b) 13√2 (c)
5
3−√7 (d)
1
1+
√
2−√3
Soluc¸a˜o:
(a) 1√
3
= 1√
3
.
√
3√
3
=
√
3
(
√
3)2
=
√
3
3
(b) 13√2 =
1
3√2 .
3√
22
3√
22
=
3√4
2
(c) 5
3−√7 =
5
3−√7 .
3+
√
7
3+
√
7
= 5(3+
√
7)
32−(√7)2 =
5(3+
√
7)
2
(d) 1
1+
√
2−√3 =
1
1+
√
2−√3 .
(1+
√
2)+
√
3
(1+
√
2)+
√
3
= 1+
√
2+
√
3(1+
√
2)2−(√3)2 =
1+
√
2+
√
3
1+2
√
2+2−3 =
1+
√
2+
√
3
2
√
2
= 1+
√
2+
√
3
2
√
2
.
√
2
2 =
(1+
√
2+
√
3).
√
2
4
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 23 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Poteˆncias e Raizes
Poteˆncia de expoente racional
Definic¸a˜o 4
Dados a ∈ R∗+ e pq ∈ Q(p ∈ Z e q ∈ N∗), define-se poteˆncia de base a e
expoente pq pela relac¸a˜o:
a
p
q =
q
√
ap
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 24 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Poteˆncias e Raizes
Observac¸a˜o 5
0
p
q = 0 para pq > 0.
0
p
q na˜o tem significado para pq < 0.
a
p
q > 0 para a > 0.
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 25 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Poteˆncias e Raizes
Exemplo 11
(a) 3
1
2 =
√
3
(b) 7
−2
3 =
3
√
7−2 = 3
√
1
49
(c)
(
2
3
) 1
3 =
3
√(
2
3
)−1
= 3
√
3
2
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 26 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Poteˆncias e Raizes
Propriedade 3
Se a, b ∈ R∗+, pq , rs ∈ Q, enta˜o valem as seguintes propriedades:
(P1) a
p
q .a
r
s = a
p
q
+ r
s
(P2) a
p
q
a
r
s
= a
p
q
− r
s
(P3) (a.b)
p
q = a
p
q .b
p
q
(P4)
(
a
b
) p
q = a
p
q
b
p
q
(P5) (a
p
q )
r
s = a
p
q
. r
s
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 27 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Notac¸a˜o Cient´ıfica
Todo nu´mero positivo pode ser escrito em notac¸a˜o cient´ıfica:
c × 10m, onde 1 ≤ c < 10 e m e´ um nu´mero inteiro
Essa notac¸a˜o pode ser uma alternativa para representar nu´meros muito
grandes ou muito pequenos.
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 28 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Notac¸a˜o Cient´ıfica
Exemplo 12
A distaˆncia entre a Terra e o Sol e´ de 149.597.870, 691 quiloˆmetros.
Representando essa distaˆncia em notac¸a˜o cient´ıfica, temos:
149.597.870, 691km ∼= 1, 49597870691.108km
O expoente 8 indica que, ao mover a v´ırgula do nu´mero decimal 8 casas
para a direita, temos a forma original dele.
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 29 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Notac¸a˜o Cient´ıfica
Exemplo 13
A massa de uma mole´cula de oxigeˆnio e´ de aproximadamente
0, 000 000 000 000 000 000 000 053 gramas. Representando essa distaˆncia
em notac¸a˜o cient´ıfica, temos:
0, 000 000 000 000 000 000 000 053g = 5, 3× 10−23g
O expoente negativo −23 indica que, ao mover a v´ırgula do nu´mero
decimal 23 casas para a esquerda, temos a forma original dele.
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 30 / 31
Aula 2 - Poteˆncias e Raizes
Notac¸a˜o Cient´ıfica
Exemplo 14
Simplifique a expressa˜o
(370.000)(4.500.000.000)
18.000
usando a notac¸a˜o
cient´ıfica.
Soluc¸a˜o:
(370.000)(4.500.000.000)
18.000
=
(3, 7× 105)(4, 5× 109)
1, 8× 104
=
(3, 7)(4, 5)
1, 8
× 105+9−4
= 9, 25× 1010
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 31 / 31
	Aula 2 - Potências e Raizes

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