Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Universidade Federal do Rio Grande do Norte Escola de Cieˆncia e Tecnologia Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Jose´ Crisanto Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 1 / 31 Refereˆncias Bibliogra´ficas: 1. Genson Iezzi. Fundamentos de Matema´tica Elementar. Vol. 2. 7a ed, Sa˜o Paulo: Atual, 1993. (Cap´ıtulo 1). Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 2 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Poteˆncias Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 3 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Poteˆncias Poteˆncia de expoente natural Definic¸a˜o 1 Seja a um nu´mero real e n um nu´mero natural. Poteˆncia de base a e expoente n e´ o nu´mero an tal que: a0 = 1, para a 6= 0an = an−1.a, ∀n, n ≥ 1 Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 4 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Poteˆncias Da definic¸a˜o decorre que: a1 = a0.a = 1.a = a a2 = a1.a = a.a a3 = a2.a = (a.a).a = a.a.a ... ap = a.a. · · · .a (produto de p fatores iguais a a) Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 5 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Poteˆncias Exemplo 1 (a) 30 = 1 (b) (−2)0 = 1 (c) 51 = 5 (d) ( 1 7 )1 = 17 (e) (−3)1 = −3 (f) 32 = 3.3 = 9 (g) (−2)3 = (−2).(−2).(−2) = −8 (h) ( 2 3 )4 = 23 . 2 3 . 2 3 . 2 3 = 16 81 Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 6 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Poteˆncias Na definic¸a˜o da poteˆncia an, a base a pode ser positiva, nula ou negativa: 1o Caso: a = 0⇒ 0n = 0, ∀n ∈ N, n ≥ 100 = 1 2o Caso: a > 0⇒ an > 0, ∀n ∈ N (Toda poteˆncia de base positiva e exponente n ∈ N e´ positiva). 3o Caso: a < 0⇒ a2n > 0, ∀n ∈ Na2n+1 < 0, ∀n ∈ N (A poteˆncia de base negativa e´ positiva se o expoente e´ par e negativa se o expoente e´ ı´mpar). Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 7 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Poteˆncias Propriedade 1 (P1) am.an = am+n (P2) a m an = a m−n, a 6= 0 e m ≥ n (P3) (a.b)n = an.bn, com b 6= 0 ou n 6= 0 (P4) ( a b )n = a n bn , b 6= 0 (P5) (am)n = am.n Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 8 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Poteˆncias Exemplo 2 Simplifique (a4.b3)3.(a2.b)2. Soluc¸a˜o: (a4.b3)3.(a2.b)2 = [(a4)3.(b3)3].[(a2)2.b2] = (a4.3.b3.3)(a2.2.b2) = a12.b9.a4.b2 = a12+4.b9+2 = a16.b11 Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 9 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Poteˆncias Poteˆncia de expoente inteiro negativo Definic¸a˜o 2 Dado 0 6= a ∈ R e n ∈ N, define-se a−n = 1an . Observac¸a˜o 1 Com a definic¸a˜o de poteˆncia com expoente negativo, a propriedade am an = am−n, para a 6= 0, tem significado para m < n. Se a = 0 e n ∈ N∗, a expressa˜o 0−n na˜o tem significado. Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 10 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Poteˆncias Exemplo 3 (a) 2−1 = 12 (b) 2−3 = 1 23 = 18 (c) (−2)−3 = 1 (−2)3 = 1 −8 = −18 (d) (−23)−2 = 1(− 23)2 = 149 = 94 (e) (−12)−5 = 1(− 12)5 = 1− 132 = −32 Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 11 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Poteˆncias Exemplo 4 Simplifique a expressa˜o (a 3.b−2)−2 (a−4.b3)3 , sabendo que a.b 6= 0. Soluc¸a˜o: (a3.b−2)−2 (a−4.b3)3 = a3.(−2).b(−2).(−2) a−4.3.b3.3 = a−6.b4 a−12.b9 = a−6−(−12).b4−9 = a6.b−5 = a6 b5 Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 12 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Raizes Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 13 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Raizes Definic¸a˜o 3 Dados 0 ≤ a ∈ R e n ∈ N, existe 0 ≤ b ∈ R, tal que bn = a. O nu´mero b e´ chamado raiz ene´zima aritme´tica de a, a e´ o radicando e n e´ o ı´ndice e e´ va´lida a seguinte notac¸a˜o: n √ a = b Observac¸a˜o 2 ( n √ a)n = (b)n = bn = a. Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 14 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Raizes Exemplo 5 (a) 5 √ 32 = 2, porque 25 = 32 (b) 3 √ 8 = 2, porque 23 = 8 (c) √ 9 = 3, porque 32 = 9 (d) 7 √ 0 = 0, porque 07 = 0 (e) 6 √ 1 = 1, porque 16 = 1 Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 15 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Raizes Observac¸a˜o 3 Devemos estar atentos no ca´lculo da raiz quadrada de um quadrado perfeito: Propriedade: √ a2 = |a|√ (−5)2 = | − 5| = 5 e na˜o √(−5)2 = −5 √ x2 = |x | e na˜o √ x2 = x Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 16 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Raizes Exemplo 6 Determine a raiz quadrada aritme´tica de (x − 1)2. Soluc¸a˜o: √ (x − 1)2 = |x − 1| = x-1, se x > 1 0, se x = 1 1− x , se x < 1 Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 17 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Raizes Observac¸a˜o 4 Pela definic¸a˜o de raiz, temos: √ 36 = 6 e na˜o √ 36 = ±6 Na˜o confunda com a resoluc¸a˜o da equac¸a˜o: x2 = 36 ⇒ √ x2 = √ 36 ⇒ |x | = √ 36 ⇒ x = √ 36 ou x = − √ 36 ⇒ x = ± √ 36 = ±6 Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 18 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Raizes Propriedade 2 Se a, b ∈ R+, m ∈ Z e n, p ∈ N∗, temos: (R1) n √ am = n.p √ am.p, para a 6= 0 ou m 6= 0 (R2) n √ a.b = n √ a. n √ b (R3) n √ a b = n√a n√b , (b 6= 0) (R4) ( n √ a)m = n √ am, para a 6= 0 ou m 6= 0 (R5) p √ n √ a = pn √ a (R6) b. n √ a = n √ a.bn Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 19 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Raizes Exemplo 7 Simplifique os radicais: (a) 3 √ 64 (b) √ 576 (c) √ 12 (d) 3 √ 27 Soluc¸a˜o: (a) 3 √ 64 = 3 √ 26 = 3 √ (22)3 = ( 3 √ 22)3 = 22 = 4 (b) √ 576 = √ 26.232 = √ 26. √ 32 = √ (22)3. √ 32 = ( √ 23)2.( √ 3)2 = 23.3 = 24 (c) √ 12 = √ 22.3 = √ 22. √ 3 = 2. √ 3 (d) 3 √ 27 = 3 √ 26.2 = 3 √ 26. 3 √ 2 = 22. 3 √ 2 = 4 3 √ 2 Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 20 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Raizes Exemplo 8 Reduza ao mesmo ı´ndice √ 3, 3 √ 2 e 4 √ 5. Soluc¸a˜o: Para reduzir os radicais acima ao mesmo ı´ndice, usaremos a propriedade (R1) n √ am = n.p √ am.p, onde o produto n.p devera´ ser o m´ınimo mu´ltiplo comum entre 2, 3 e 4. Sabendo que n.p = 12, temos: √ 3 = 2 √ 3 = 2.6 √ 36 = 12 √ 36 3 √ 2 = 3.4 √ 24 = 12 √ 24 4 √ 5 = 4.3 √ 53 = 12 √ 53 Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 21 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Raizes Exemplo 9 Efetue as operac¸o˜es indicadas com as raizes: (a) 3 √ 24 : 3 √ 3 (b) √ 3. 3 √ 2 (c) 3 √ 4 : 4 √ 2 (d) 3 √ 5 2 : 5 √ 1 2 Soluc¸a˜o: (a) 3 √ 24 : 3 √ 3 = 3√24 3√3 = 3 √ 24 3 = 3 √ 8 = 2 (b) √ 3. 3 √ 2 = 6 √ 33. 6 √ 22 = 6 √ 33.22 = 6 √ 108 (c) 3 √ 4 : 4 √ 2 = 12 √ (22)4 : 12 √ 23 = 12 √ (28 12√ 23 = 12 √ 28 23 = 12 √ 25 = 12 √ 32 (d) 3 √ 5 2 : 5 √ 1 2 = 15 √ 55 25 : 15 √ 1 23 = 15 √ 55 25 : 1 23 = 15 √ 55 22 Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 22 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Raizes Exemplo 10 Racionalize os denominadores das frac¸o˜es: (a) 1√ 3 (b) 13√2 (c) 5 3−√7 (d) 1 1+ √ 2−√3 Soluc¸a˜o: (a) 1√ 3 = 1√ 3 . √ 3√ 3 = √ 3 ( √ 3)2 = √ 3 3 (b) 13√2 = 1 3√2 . 3√ 22 3√ 22 = 3√4 2 (c) 5 3−√7 = 5 3−√7 . 3+ √ 7 3+ √ 7 = 5(3+ √ 7) 32−(√7)2 = 5(3+ √ 7) 2 (d) 1 1+ √ 2−√3 = 1 1+ √ 2−√3 . (1+ √ 2)+ √ 3 (1+ √ 2)+ √ 3 = 1+ √ 2+ √ 3(1+ √ 2)2−(√3)2 = 1+ √ 2+ √ 3 1+2 √ 2+2−3 = 1+ √ 2+ √ 3 2 √ 2 = 1+ √ 2+ √ 3 2 √ 2 . √ 2 2 = (1+ √ 2+ √ 3). √ 2 4 Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 23 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Poteˆncias e Raizes Poteˆncia de expoente racional Definic¸a˜o 4 Dados a ∈ R∗+ e pq ∈ Q(p ∈ Z e q ∈ N∗), define-se poteˆncia de base a e expoente pq pela relac¸a˜o: a p q = q √ ap Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 24 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Poteˆncias e Raizes Observac¸a˜o 5 0 p q = 0 para pq > 0. 0 p q na˜o tem significado para pq < 0. a p q > 0 para a > 0. Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 25 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Poteˆncias e Raizes Exemplo 11 (a) 3 1 2 = √ 3 (b) 7 −2 3 = 3 √ 7−2 = 3 √ 1 49 (c) ( 2 3 ) 1 3 = 3 √( 2 3 )−1 = 3 √ 3 2 Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 26 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Poteˆncias e Raizes Propriedade 3 Se a, b ∈ R∗+, pq , rs ∈ Q, enta˜o valem as seguintes propriedades: (P1) a p q .a r s = a p q + r s (P2) a p q a r s = a p q − r s (P3) (a.b) p q = a p q .b p q (P4) ( a b ) p q = a p q b p q (P5) (a p q ) r s = a p q . r s Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 27 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Notac¸a˜o Cient´ıfica Todo nu´mero positivo pode ser escrito em notac¸a˜o cient´ıfica: c × 10m, onde 1 ≤ c < 10 e m e´ um nu´mero inteiro Essa notac¸a˜o pode ser uma alternativa para representar nu´meros muito grandes ou muito pequenos. Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 28 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Notac¸a˜o Cient´ıfica Exemplo 12 A distaˆncia entre a Terra e o Sol e´ de 149.597.870, 691 quiloˆmetros. Representando essa distaˆncia em notac¸a˜o cient´ıfica, temos: 149.597.870, 691km ∼= 1, 49597870691.108km O expoente 8 indica que, ao mover a v´ırgula do nu´mero decimal 8 casas para a direita, temos a forma original dele. Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 29 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Notac¸a˜o Cient´ıfica Exemplo 13 A massa de uma mole´cula de oxigeˆnio e´ de aproximadamente 0, 000 000 000 000 000 000 000 053 gramas. Representando essa distaˆncia em notac¸a˜o cient´ıfica, temos: 0, 000 000 000 000 000 000 000 053g = 5, 3× 10−23g O expoente negativo −23 indica que, ao mover a v´ırgula do nu´mero decimal 23 casas para a esquerda, temos a forma original dele. Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 30 / 31 Aula 2 - Poteˆncias e Raizes Notac¸a˜o Cient´ıfica Exemplo 14 Simplifique a expressa˜o (370.000)(4.500.000.000) 18.000 usando a notac¸a˜o cient´ıfica. Soluc¸a˜o: (370.000)(4.500.000.000) 18.000 = (3, 7× 105)(4, 5× 109) 1, 8× 104 = (3, 7)(4, 5) 1, 8 × 105+9−4 = 9, 25× 1010 Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 31 / 31 Aula 2 - Potências e Raizes
Compartilhar