Aula 3 - Polinômios e Produtos Notáveis

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Cieˆncia e Tecnologia
Aula 3 - Polinoˆmios e Produtos Nota´veis
Jose´ Crisanto
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 1 / 1
Polinoˆmios e Produtos Nota´veis
Refereˆncias Bibliogra´ficas:
1 Franklin D. Demana (e outros). Pre´-Ca´lculo. Sa˜o Paulo :
Addison Wesley, 2009. (Cap´ıtulo 3 e 4)
2 Gelson Iezzi. Fundamentos de Matema´tica Elementar, Vol. 6
- 2a ed - Sa˜o Paulo: Atual Editora, 1977. (Algumas
definic¸o˜es e teoremas)
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Polinoˆmios
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Polinoˆmios
Definic¸a˜o 1
Um polinoˆmio na varia´vel real x e´ uma func¸a˜o p : R→ R, definida por
p(x) = anx
n + an−1xn−1 + . . . + a2x2 + a1x + a0
onde n ∈ N∗ define o grau do polinoˆmio, a0, a1, . . . .an−1, an ∈ R sa˜o constantes
chamadas de coeficientes do polinoˆmio e as parcelas anxn, . . . , a1x , a0 sa˜o os
termos do polinoˆmio.
Exemplo 1
(a) p1(x) = 2x
3 − 3x2 + 4x − 1 e´ um polinoˆmio de grau 3
(b) p2(x) = 4x
5 − 2x3 + 1 e´ um polinoˆmio de grau 5
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Polinoˆmios
Observac¸a˜o 1
Podemos usar a notac¸a˜o
p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . . + anx
n =
n∑
i=0
aix
i
para representar o polinoˆmio.
Exemplo 2
(a) p(x) =
3∑
i=0
aix
i = a0x
0+a1x
1+a2x
2+a3x
3 = a0+a1x +a2x
2+a3x
3
e´ um polinoˆmio de grau 3.
(b) f (x) =
2∑
j=0
bjx
j = b0x
0 + b1x
1 + b2x
2 = b0 + b1x + b2x
2 e´ um
polinoˆmio de grau 2.
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Polinoˆmios
Observac¸a˜o 2
Um polinoˆmio com um, dois e treˆs termos e´ chamado de monoˆmio, binoˆmio e
trinoˆmio, respectivamente.
Exemplo 3
(a) p(x) = 3 e´ um monoˆmio.
(b) f (x) = 2− x e´ um binoˆmio.
(c) g(x) = x2 − 2x + 1 e´ um trinoˆmio.
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Polinoˆmios
Definic¸a˜o 2
O polinoˆmio nulo e´ aquele que possui todos os coeficientes iguais a zero,
isto e´, O(x) = 0 + 0x + 0x2 + 0x3 + . . . + 0xn.
Exemplo 4
Determine os nu´meros reais a, b e c para que o polinoˆmio
p(x) = (a− 2)x3 + (b + 3)x + (1− c) seja nulo.
Soluc¸a˜o: Para que o polinoˆmio seja nulo devemos ter a = 2, b = −3 e
c = 1.
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Polinoˆmios
Teorema 1
Dois polinoˆmios p1(x) =
∑n
i=0 aix
i e p2(x) =
∑n
i=0 bix
i sa˜o iguais se seus
coeficientes correspondentes sa˜o iguais, isto e´, se ai = bi para todo
i = 0, 1, . . . , n.
Exemplo 5
Determine as condic¸o˜es para que os polinoˆmios
p1(x) = (a− 1)x2 + bx + c e p2(x) = 2x2 + 3x − 4 sejam iguais.
Soluc¸a˜o: Para que p1 = p2 devemos ter: a− 1 = 2, b = 3 e c = −4, isto
e´, a = 3, b = 3 e c = −4.
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Polinoˆmios
Operac¸o˜es com polinoˆmios
Definic¸a˜o 3
Sejam p1(x) =
∑n
i=0 aix
i e p2(x) =
∑n
i=0 bix
i polinoˆmios de grau n.
Define-se a adic¸a˜o e subtrac¸a˜o de polinoˆmios adicionando-se ou
subtraindo-se os coeficientes correspondentes, isto e´:
(a) p1(x) + p2(x) =
∑n
i=0(ai + bi )x
i
(b) p1(x)− p2(x) =
∑n
i=0(ai − bi )x i
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Polinoˆmios
Exemplo 6
Sejam p1(x) = 2x
3 − 3x2 + 4x − 1 e p2(x) = 4x2 + 3x − 4. Calcule:
(a) p1(x) + p2(x)
(b) p1(x)− p2(x)
Soluc¸a˜o:
(a) p1(x) + p2(x) = 2x
3 + (−3 + 4)x2 + (4 + 3)x + (−1− 4) =
2x3 + x2 + 7x − 5
(b) p1(x)− p2(x) = 2x3 + (−3− 4)x2 + (4− 3)x + (−1 + 4) =
2x3 − 7x2 + x + 3
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Polinoˆmios
Definic¸a˜o 4
Dados dois polinoˆmios p1(x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . . + amx
m e
p2(x) = b0 + b1x + b2x
2 + . . . + bnx
n, definimos o produto p1p2 pela
propriedade distributiva, isto e´:
p1p2(x) = (a0 + a1x + a2x
2 + . . . + amx
m).(b0 + b1x + b2x
2 + . . . + bnx
n)
⇒ p1(x)p2(x) = a0b0 + (a0b1 + a1b0)x + (a2b0 + a1b1 + a0b2)x2
+ · · ·+ ambnxm+n
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Polinoˆmios
Exemplo 7
Calcule o produto p1p2 para os polinoˆmios abaixo:
(a) p1(x) = 3x + 2 e p2(x) = 4x − 5
(b) p1(x) = x
2 − 4x + 3 e p2(x) = x2 + 4x + 5
Soluc¸a˜o:
(a) p1(x).p2(x) = (3x + 2).(4x − 5) = 3x .4x + 3x .(−5) +
2.4x + 2.(−5) = 12x2 − 15x + 8x − 10 = 12x2 − 7x − 10
(b) Exerc´ıcio
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Polinoˆmios
Definic¸a˜o 5
Dados dois polinoˆmios p1 (dividendo) e p2 6= O (divisor), dividir p1 por p2
e´ encontrar outros dois polinoˆmios q e r , tais que:
(a) p1 = p2q + r
(b) O grau de r e´ menor que o grau de p2 ou r = O.
dividendo ← p1(x) p2(x) → divisor
. . . q(x) → quociente
r(x) → resto
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Polinoˆmios
Exemplo 8
Determine q e r na divisa˜o de p1 por p2 sendo p1(x) = 3x
4 − 2x3 + 7x + 2
e p2(x) = 3x
3 − 2x2 + 4x − 1.
Soluc¸a˜o:
3x4 − 2x3 + 7x + 2 3x3 − 2x2 + 4x − 1
−3x4 + 2x3 − 4x2 + x x ← q(x)
−4x2 + 8x + 2 ← r(x)
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Polinoˆmios
Exemplo 9
Determine q e r na divisa˜o de p1 por p2 sendo
p1(x) = 5x
3 + x2 − 10x − 24 e p2(x) = x − 2.
Soluc¸a˜o:
5x3 + x2 − 10x − 24 x − 2
−5x3 + 10x2 5x2 + 11x + 12 ← q(x)
11x2 − 10x − 24
−11x2 + 22x
12x − 24
−12x + 24
0 ← r(x)
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Polinoˆmios
Teorema 2
Dado um polinoˆmio p, se p(a) = 0, enta˜o a e´ raiz de p.
Teorema 3
Um polinoˆmio p e´ divis´ıvel por x − a se, e somente se, a e´ raiz de p.
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Polinoˆmios
Exemplo 10
Verifique que x = 1 e´ raiz de p(x) = x5 − 4x4 − 3x2 + 7x − 1.
Soluc¸a˜o: Substituindo x por 1 no polinoˆmio, temos:
p(1) = 15 − 4.14 − 3.12 + 7.1− 1 = 0
Como p(1) = 0, x = 1 e´ raiz de p(x) = x5 − 4x4 − 3x2 + 7x − 1.
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Polinoˆmios
Exemplo 11
Verifique que p(x) = x5 − 4x4 − 3x2 + 7x − 1 e´ divis´ıvel por x − 1. Isto e´, mostre
que a divisa˜o de p(x) por x − 1 tem resto igual a zero.
Soluc¸a˜o:
x5 − 4x4 − 3x2 + 7x − 1 x − 1
−x5 + x4 x4 − 3x3 − 3x2 − 6x + 1 ← q(x)
−3x4 − 3x2 + 7x − 1
3x4 − 3x3
−3x3 − 3x2 + 7x − 1
3x3 − 3x2
−6x2 + 7x − 1
6x2 − 6x
x − 1
−x + 1
0 ← r(x)
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Polinoˆmios
Teorema 4 (Teorema da decomposic¸a˜o)
Seja p : R→ R um polinoˆmio de grau n (n ≥ 1) definido por
p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . . + anx
n, (an 6= 0).
Se p tem n raizes reais (r1, r2, . . . , rn), enta˜o p pode ser decomposto (ou
fatorado) como:
p(x) = an(x − r1)(x − r2)(x − r3) . . . (x − rn).
Se p tem k (k < n) raizes reais (r1, r2, . . . , rk), enta˜o p pode ser decomposto (ou
fatorado) como:
p(x) = f (x)(x − r1)(x − r2) . . . (x − rk),
onde f e´ um polinoˆmio de grau n − k sem raiz real.
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Polinoˆmios
Definic¸a˜o 6 (Polinoˆmiosirredut´ıveis)
Seja f : R→ R. Um polinoˆmio f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn e´
irredut´ıvel se na˜o pode ser decomposto em polinoˆmios de graus menores.
No teorema anterior, diremos que o polinoˆmio
p(x) = f (x)(x − r0)(x − r1) . . . (x − rk)
esta´ na forma fatorada, onde f e´ um polinoˆmio irredut´ıvel de grau n − k
e os demais fatores sa˜o polinoˆmios de grau 1.
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Polinoˆmios
Exemplo 12
O polinoˆmio p(x) = x3 − x2 − x − 2 so´ tem a raiz real x = 2.
Como p(2) = 0, temos que:
x3 − x2 − x − 2 x − 2
−x3 + 2x2 x2 + x + 1 ← q(x)
x2 − x − 2
−x + 2x
x − 2
−x + 2
0 ← r(x)
Assim, p(x) = (x − 2)(x2 + x + 1) e observe que, f (x) = x2 + x + 1 na˜o tem raiz
real, pois ∆ = −3 < 0 (f e´ irredut´ıvel pois na˜o pode ser decomposto em
polinoˆmios de graus menores).
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Polinoˆmios
Teorema 5
Seja P(x) = anx
n + . . . + a2x
2 + a1x + a0. Se a equac¸a˜o P(x) = 0, com
coeficientes inteiros e a0 6= 0, admite uma raiz inteira r , enta˜o r e´ divisor
de a0.
Exemplo 13
As poss´ıveis raizes inteiras de 7x5 + x4 − x3 − x2 − x + 6 = 0 sa˜o:
±1,±2,±3,±6.
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Polinoˆmios
Exemplo 14
Encontre as raizes inteiras de p(x) = x3 − 5x2 + 8x − 4 e decomponha o
polinoˆmio em polinoˆmios de grau um.
Soluc¸a˜o: As raizes inteiras do polinoˆmio dividem o termo independente 4.
Assim, os divisores de 4, que sa˜o ±1,±2,±4 sa˜o poss´ıveis raizes. Vamos
substituir esses valores em x e verificar qual deles ira´ zerar o polinoˆmio.
p(1) = 13 − 5.12 + 8.1− 4 = 0⇒ x = 1 e´ raiz do polinoˆmio
p(−1) = . . .
p(2) = . . .
Quando se encontra uma raiz, na˜o e´ necessa´rio fazer as outras substituic¸o˜es.
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Polinoˆmios
Continuac¸a˜o...
Com as substituic¸o˜es anteriores, vimos que x = 1 e´ raiz de
x3 − 5x2 + 8x − 4 = 0, logo x3 − 5x2 + 8x − 4 e´ divis´ıvel por x − 1.
x3 − 5x2 + 8x − 4 x − 1
−x3 + x2 x2 − 4x + 4 ← q(x)
−4x2 + 8x − 4
4x2 − 4x
4x − 4
−4x + 4
0 ← r(x)
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Polinoˆmios
Continuac¸a˜o...
Com a divisa˜o anterior, podemos escrever
p(x) = x3 − 5x2 + 8x − 4 = (x − 1)(x2 − 4x + 4)
Agora, iremos encontrar as raizes do trinoˆmio x2 − 4x + 4. Resolvendo a
equac¸a˜o x2 − 4x + 4 = 0 pela fo´rmula de Ba´skara, temos:
x =
−b ±√∆
2a
=
−(−4)±√(−4)2 − 4.1.4
2.1
=
4± 0
2
= 2
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Polinoˆmios
Continuac¸a˜o...
Como x = 2 e´ uma raiz dupla de x2 − 4x + 4, podemos escrever
x2 − 4x + 4 = (x − 2).(x − 2) = (x − 2)2. (Veremos este produto nota´vel
em seguida).
Portanto,
p(x) = x3 − 5x2 + 8x − 4 = (x − 1)︸ ︷︷ ︸
grau1
(x − 2)︸ ︷︷ ︸
grau1
2
e suas raizes sa˜o x = 1 e x = 2 (Observe que x = 2 e´ uma raiz dupla).
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Produtos Nota´veis
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Produtos nota´veis
Os produtos nota´veis sa˜o recursos alge´bricos utilizados para decompor
ou fatorar um polinoˆmio ou expressa˜o alge´brica.
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Produtos nota´veis
Para u e v nu´meros reais, varia´veis ou expresso˜es alge´bricas, temos os seguintes
produtos nota´veis:
(a) Produto de uma soma e uma diferenc¸a: (u + v)(u − v) = u2 − v 2
(b) Quadrado de uma soma de dois termos: (u + v)2 = u2 + 2uv + v 2
(c) Quadrado de uma diferenc¸a de dois termos:
(u − v)2 = u2 − 2uv + v 2
(d) Cubo de uma soma de dois termos:
(u + v)3 = u3 + 3u2v + 3uv 2 + v 3
(e) Cubo de uma diferenc¸a de dois termos:
(u − v)3 = u3 − 3u2v + 3uv 2 − v 3
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Produtos nota´veis
(f) Soma de dois cubos: u3 + v 3 = (u + v)(u2 − uv + v 2)
(g) Diferenc¸a de dois cubos: u3 − v 3 = (u − v)(u2 + uv + v 2)
Para a, b, c , d reais, temos:
(h) Agrupamento: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
(i) Trinoˆmio: ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x1), onde x1 e x2 sa˜o
raizes da equac¸a˜o ax2 + bx + c = 0
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Produtos nota´veis
Exemplo 15
Utilize produtos nota´veis para fatorar os polinoˆmios abaixo:
(a) 9x2 − 64
9x2 − 64 = (3x)2 − 82 = (3x + 8)(3x − 8)
(b) 25y 2 − 40y + 16
25y2 − 40y + 16 = (5y)2 − 2.5.4.y + 42
= (5y)2 − 2.(5y).4 + 42
= (5y − 4)2
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Produtos nota´veis
(c) 8x3 − 36x2y + 54xy 2 − 27y 3
Vamos comparar a expressa˜o acima com o produto nota´vel
(u − v)3 = u3 − 3u2v + 3uv2 − v3:
8x3 − 36x2y + 54xy2 − 27y3 = (2x)3 − 3.12x2y + 3.18xy2 − (3y)3
= (2x)3 − 3.(2x)2.(3y) + 3.(2x).(3y)2 − (3y)3
= (2x − 3y)3
(d) 2x2 + 7x − 4
Para 2x2 + 7x − 4 = 0, temos que ∆ = (7)2 − 4.2.(−4) = 81, x ′ = 1
2
e
x ′′ = −4. Pelo produto nota´vel ax2 + bx + c = a(x − x ′)(x − x ′′), temos que:
2x2 + 7x − 4 = 2(x − 1
2
)(x + 4) = (2x − 1)(x + 4)
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Produtos nota´veis
(e) x3 + x2 + x + 1
Vamos colocar fatores comuns em evideˆncia e agrupar os termos semelhantes:
x3 + x2 + x + 1 = x2(x + 1) + x + 1
= x2(x + 1) + (x + 1)
= (x + 1)(x2 + 1)
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Produtos nota´veis
(f) 2x3 + 2x2 + 6x
Colocando os fatores comuns em evideˆncia, temos
2x3 + 2x2 + 6x = 2x(x2 + x + 3)
Fazendo x2 + x + 3 = 0, temos que ∆ = 1− 4.1(3) = −11 na˜o tem raiz real.
Enta˜o, x2 + x + 3 e´ irredut´ıvel e 2x3 + 2x2 + 6x = 2x(x2 + x + 3).
(g) u3v + uv 3
Colocando os fatores comuns em evideˆncia, temos
u3v + uv3 = uv(u2 + v2)
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Produtos nota´veis
(h) 4x2 − (y + 3)2
Comparando a expressa˜o dada com o produto nota´vel
a2 − b2 = (a + b)(a− b), temos:
4x2 − (y + 3)2 = (2x)2 − (y + 3)2
= (2x + y + 3)(2x − y − 3)
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Produtos nota´veis
(i) 9x2 + 6x + 1
Utilizaremos o produto nota´vel ax2 + bx + c = a(x − x ′)(x − x ′′) para fatorar
a expressa˜o dada.
Resolvendo a equac¸a˜o 9x2 + 6x + 1 = 0, temos:
∆ = b2 − 4ac = 36− 4.9.1 = 0
x =
−b ±√∆
2a
=
−6± 0
2.9
⇒ x ′ = x ′′ = −1
3
Logo,
9x2 + 6x + 1 = 9(x − x ′)(x − x ′′) = 9(x + 1
3
)(x +
1
3
)
= 3.(x +
1
3
).3.(x +
1
3
)
= (3x + 1)(3x + 1) = (3x + 1)2
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Produtos nota´veis
(j) 4x2 − 12xy + 9y 2
Utilizando o produto nota´vel (a− b)2 = a2 − 2ab + b2, temos:
4x2 − 12xy + 9y2 = (2x)2 − 12xy + (3y)2
= (2x)2 − 2.2x .3y + (3y)2
= (2x − 3y)2
(l) x3 − 64
Utilizando o produto nota´vel u3 − v3 = (u − v)(u2 + uv + v2), temos:
x3 − 64 = x3 − 43 = (x − 4)(x2 + 4x + 16)
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Produtos nota´veis
(m) 8x3 + 27
Utilizando o produto nota´vel u3 + v3 = (u + v)(u2 − uv + v2), temos:
8x3 + 27 = (2x)3 + 33 = (2x + 3)(4x2 − 6x + 9)(n) 35x2 − x − 12
Utilizando o produto nota´vel ax2 + bx + c = a(x − x ′)(x − x ′′), temos:
35x2 − x − 12 = 0
⇒ ∆ = b2 − 4ac = 1− 4.35.(−12) = 1681 = (41)2
⇒ x = −b ±
√
∆
2a
⇒ x ′ = 42
2.45
=
3
5
ou x ′′ = − 40
2.35
= −4
7
⇒ 35x2 − x − 12 = 35(x − 3
5
)(x +
4
7
) = (5x − 3)(7x + 4)
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Aula 3 - Polinoˆmios e Produtos Nota´veis
Produtos nota´veis
(o) 3x2 − 7xy + 2y 2
Utilizando o produto nota´vel ax2 + bx + c = a(x − x ′)(x − x ′′), temos:
3x2 − 7xy + 2y2 = 0
⇒ 3.x2 + (−7y).x + (2y2) = 0⇒ a = 3, b = −7y , c = 2y2
⇒ ∆ = b2 − 4ac = (−7y)2 − 4.3.2y2 = 49y2 − 24y2 = 25y2
⇒ x = −b ±
√
∆
2a
=
7y ±
√
25y2
6
⇒ x = 7y ± 5y
6
⇒ x ′ = 2y ou x ′′ = y
3
Logo,
3x2 − 7xy + 2y2 = 3(x − x ′)(x − x ′′)
= 3(x − 2y)(x − y
3
)
= (x − 2y)(3x − y)
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Aula 3 - Polinoˆmios e Produtos Nota´veis
Produtos nota´veis
(q) 3x3 + x2 − 6x − 2
Utilizando o agrupamento dos fatores comuns, temos:
3x3 + x2 − 6x − 2 = x2(3x + 1)− 2(3x + 1)
= (3x + 1)(x2 − 2)
= (3x + 1)(x +
√
2)(x −
√
2)
(r) 2ac − 2ad + bc − bd
Utilizando o agrupamento dos fatores comuns, temos:
2ac − 2ad + bc − bd = 2a(c − d) + b(c − d)
= (c − d)(2a + b)
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Aula 3 - Polinoˆmios e Produtos Nota´veis
Expresso˜es Fraciona´rias
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Aula 3 - Polinoˆmios e Produtos Nota´veis
Expresso˜es Fraciona´rias
Exemplo 16
Efetue as operac¸o˜es abaixo deixando os resultados na forma fatorada ou
como quociente de polinoˆmios na forma fatorada:
(a)
2x2 + 11x − 21
x3 + 2x2 + 4x
.
x3 − 8
x2 + 5x − 14
(b)
x3 + 1
x2 − x − 2 .
x2 − x + 1
x2 − 4x + 4
(Pa´gina 35 - Demana)
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Aula 3 - Polinoˆmios e Produtos Nota´veis
Expresso˜es Fraciona´rias
Exemplo 17
Efetue as operac¸o˜es abaixo deixando os resultados na forma fatorada ou
como quociente de polinoˆmios na forma fatorada:
(a)
x
3x − 2 +
3
x − 5
(b)
2
x2 − 2x +
1
x
− 3
x2 − 4
(c)
3− 7
x + 2
1− 1
x − 3
−
3(x + 2)− 7
x + 2
(x − 3)− 1
x − 3
(Pa´gina 35, 36 e 37- Demana)
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	Aula 3 - Polinômios e Produtos Notáveis