Apostila Inicial - apostila 1 de Cál. Num..-Notas e aula

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PROF. REGINALDO TUDEIA DOS SANTOS
CÁLCULO NUMÉRICO
ROTEIRO DE AULA
 JI-PARANÁ – RO
2014
CÁLCULO NUMÉRICO
O que é e para que serve o Cálculo Numérico? 
O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter à solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente. 
A importância do curso de Cálculo Numérico 
Ao resolver um problema matemático numericamente, o mais comum é o profissional utilizar um pacote computacional. Porém, ele terá que tomar uma série de decisões antes de resolver o problema. E para tomar essas decisões, é preciso ter conhecimento de métodos numéricos. O profissional terá que decidir: 
- Pela utilização ou não de um método numérico (existem métodos numéricos para resolver este problema?); 
- Escolher o método a ser utilizado, procurando aquele que é mais adequado para o seu problema. Que vantagens cada método oferece e que limitações eles apresentam; 
- Saber avaliar a qualidade da solução obtida. Para isso, é importante ele saber exatamente o que está sendo feito pelo computador ou calculadora, isto é, como determinado método é aplicado.
Raizes de uma função
Dada uma funçao , os valores de x para os quais está satisfeita a equação , são chamadas raízes ou zeros da função.
Para calcular uma raiz, duas etapas devem ser seguidas:
1º) Isolar a raiz determinando um intervalo [a, b], o menor possível, que contenha uma raiz da equação ;
2º) Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refina-la até o grau de exatidão desejada.
Exemplo: Isolamento da raiz de 
	x
	y
	0
	-1
	 1
	-3
	 2
	1
Pela troca de sinal sabemos que a função corta o eixo das abscissas entre 1 e 2
[1, 2]
Fazer um esboço do gráfico
	Atividade
Isole as raízes de 
Proposição de Bolzano
	Seja uma função continua no intervalo [a, b].
1 ) se o número de raízes reias compreendidas entre a e b será pelo menos uma ou de ordem ímpar.
 
 f(a)
f(b)
a
b
x
y
f(a)
f(b)
a
b
y
x
f(a)
f(b)
a
b
y
x
2) Se o número de raízes reias de em [a, b] será par ou não há nenhuma raiz real.
 a
b
f(b)
f(a)
x
y
a
b
x
y
f(a)
f(b)
Método de Briot Ruffini
 Método utilizado para determinar o valor da função em um determinado ponto.
Exemplo: Determinar P(2) para 
	
	1 -7 16 -10
	2
	1 -5	 6 2
	P(2) = 2
Exercícios
Determinar P(3) para 
Determinar P(5) para 
Determinar P(3) para 
ERRO
 Ao resolver um problema numericamente, se comete erros ao processar as operações por aproximação.
- Cota superior do erro é o valor aproximado que substitui o valor exato, é um valor superior ao módulo da diferença de ambos.
E = 8, 4194 valor exato
A = 8,4152 valor aproximado erro
 	= 0,005 cota superior do erro, aproximação para cima. = 0,01
Erro absoluto
 É a diferença entre o valor exato de uma grandeza (E) e o valor aproximado (A) em módulo.
Erro relativo
 É a relação entre o erro absoluto e a grandeza cuja determinação se cometeu o erro
Obs.: Quando multiplicado por 100, da o erro relativo percentual 
 O erro relativo tem a finalidade de dar a ideia do grau de influencia do erro no valor desejado pois o erro absoluto simplesmente não traduz nada, se não soubermos a ordem da grandeza do valor calculado.
Exemplo: Em 1862, o físico Foucault calculou a velocidade da luz como sendo 298000km/s. Adotando como exata a velocidade de 299726km/s determinada por Anderson, analise o erro cometido.
Erro absoluto é 
Erro relativo = 
Para isolamento de raízes
 Segundo o teorema de Abel Ruffini, as equações algébricas até grau 4 tem solução analítica, de grau superior a 4, salvo alguns casos especiais, so tem solução numérica, ou seja, só podem ser resolvidas numericamente. As equações transcendentes não apresentam solução analítica,
 Nestes casos, podemos isolar as raízes em um intervalo fechado [a, b] onde f(x) deve ser contínua e exista pelo menos um x ao qual f(x) = 0. 
Formas de isolamento de raízes
 Método gráfico
 Nesses, basta que se faça o esboço da função e se verifique a posição onde a função corta o eixo x, ou seja, a função se anule.
Exemplo: 
Isolar uma raiz de 
 
	x
	y
	0
	-1
	 1
	-0,123
	 1,5
	1,48
 
f(b)
1
1,5
x
y
O zero esta entre 1 e 1,5
 Outra maneira
 Substituir f(x) = 0 por uma equação g(x) – h(x) = 0 equivalente, ou seja, uma equação que tem as mesmas raízes de F(x) = 0.
 Fazendo os gráficos de g(x) e h(x) onde as funções se interceptarem é onde se encontra as raízes de F(x) no eixo x.
Exemplo: Isolar uma raiz de h(x)
g(x)
	
g(x) - h(x) = 0 g(x) = h(x) onde as duas se interceptam é a raiz
 
Para g(x) = e para h(x) 
	x
	Y
	0
	1
	 1
	2,71
	 1,5
	4,48
	2
	7,3
	x
	y
	0
	2
	 1
	2,84
	 1,5
	2,99
	2
	2,909
 
 
1
1,5
x
y
2
g(x)
h(x)
Os gráficos se interceptam entre 1 e 1,5, então a raiz está no intervalo [1; 1,5]
Exercícios
Isolar as raízes das equações usando os dois métodos
Método Bissecção 
 Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a, b] e com f(a).f(b) < 0.
 O objetivo do método é reduzir a amplitude do intervalo que contem a raiz, até atingir a precisão desejada. Para alcançar esse objetivo será feita sucessiva divisão de [a, b].
Processo
Determina-se o intervalo [a, b];
determina-se , onde n = 0, 1, 2, ...;
verifica se f(x0) = 0, caso positivo ;
determina-se [a, x0] e [x0, b];
se f(a).f(x0) < 0 [a, x0], se não f(x0).f(b) < 0 [x0, b].
e assim sucessivamente até que se obtenha uma aproximação para a raiz exata , com a tolerância desejada (E).
Critério de parada: 
Exemplo: Calcular a raiz positiva da equação f(x) = x2 – 3 com E ≤ 0,01.
f(0) = -3; f(1) = -2; f(2) = 1 
Obs.: Houve troca de sinal, de x aplicado na função, entre 1 e 2. Logo a raiz está no intervalo [1, 2].
Começar as iterações
n = 0
 como f(1,5) = - 0,75 e f(1,5).f(2) < 0
o novo intervalo é [1,5; 2]
n = 1
 
Como já temos dois resultados para x, fazer p critério de parada
 , falso, continuar as iterações.
f(1,75) = 0,065, como f(1,5).f(1,75) < 0 o novo intervalo é [1,5; 1,75]
n =2 
, critério de parada , falso
E assim, continuar as iterações até que chegue próximo da raiz com o erro desejado. 
n = 6
x6 = 1,72675
 verdade
A raiz com o erro desejado é 
Atividades
 com E 0,01. Resposta 0,6484
 com E 0,001. Resposta 0,3232
 com E 0,001 no intervalo [1,5; 3]. Resposta 2,2507
 com E 10-3 em [1,4; 2,2]. Resposta = 2
 com E 10-4 . Resposta 1,447418
 com E 10-4 . Resposta 0,370558
Método de Cordas
 Seja f(x) uma função contínua que tenha segunda derivada com sinal constante no intervalo [a, b], sendo que f(a).f(b) < 0 e que exista somente um número pertencente a [a, b] tal que f() = 0.
 Função iteração : 
n = 0, 1, 2, ..., e c é o outro extremo do intervalo [a, b] onde a função apresenta o mesmo sinal de ou seja .
Critério de parada: 
Representação gráfica do método de cordas
Obs.: Definido C e X0, começa a traçar cordas para obter X1, X2, ..., Xn até chegar tão próximo da raiz o quanto desejar.
x
y
b = x0
a = c
x1
x2
f(b) = f( x0) 
 f(a)
f( x1) 
f( x2) 
Figura1: Gráfico do método de cordas
Exemplo: Calcular a raiz da equação com E = 0, 001.
Resolução
	x
	Y
	 0
	- 1
	 1
	- 0,123
	 1,5
	1,48
f(0) = - 1, f(1) = - 0, 123, f(1,5) = 1,48
houve troca de sinal da função entre 1 e 1,5. Logo o intervalo é [1; 1,5]
Para definir quem é c, fazer .
, , 
Fazer o teste com os elementos do intervalo, para escolher c. Ou seja .
, não serve
 obedece a condição, então
C = 1,5 e o outro elemento do intervalo é x0, ou seja, x0 = 1
Começar as iterações
n = 0
 
Critério de parada . Falso, continuar as iterações
n = 1 
f(x1) = - 0, 0374
 
Critério de parada . Falso, continuar as iterações
n = 2 
f(x2) = - 0,0109
 
Critério de parada . Falso, continuar as iterações
n = 3 
f(x3) = - 0,0031
 
Critério de parada . Verdade
Logo, a raiz com o erro desejado é 
Atividades
As mesmas da bissecção, quando existir as derivadas primeira e segunda.
Método de Newton
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] e suas derivadas primeira e segunda também contínuas neste intervalo, e o seu único zero neste intervalo.
Esboço gráfico
 a
b = x0 
x1
f(b)
f(a)
f(x0)
 x0 - x1
x2
 
 
 Fórmula do Método de Newton
 , n = 0, 1, 2, ...
Onde é uma aproximação de .
Escolha de x0: A condição suficiente para que haja convergência é que e sejam não nulos e preservem o sinal em [a, b] e x0 seja igual a .
Critério de parada 
Exemplo: Calcular a raiz de , com E 0,001.
Método da Secante
Sabendo que (1)
levando (1) na fórmula de Newton 
 (2)
Critério de parada 
Deve-se determinar [x0, x1] e a partir de (2), para n = 1, 2, 3, ... encontra-se a aproximação de desejada.
Exemplo: Calcular a raiz de , com E 0,001 no intervalo [1, 2].
Método da Iteração Linear
	Seja F(x) uma função continua no intervalo [a, b] e um número pertencente a este intervalo tal que F() = 0.
	Por um artifício algébrico pode-se transformar F(x) = 0 em x = F(x) função de iteração.
	Sendo x0 um valor inicial, onde é o mais próximo de 1, faz então
 
com n = 0, 1, 2, ...
Para convergência 
Critério de parada 
Obs.: Se a função isolada tiver derivada no intervalo com valor maior que 1, o método não deve ser aplicado. Deve-se então, trocar a função .
Exemplo: Determine a raiz da função com E 0, 01 no intervalo de [0, 1].
Resolução
Fazendo x = F(x)
Para [0, 1]
 e , como e o mais próximo de 1, então a escolha de Logo, a função de iteração é
 , Falso
 , Falso
 , Falso
 , Verdade
Logo a raiz com o erro desejado é 
Atividades
Calcular a raiz positiva de f(x) = x3 – x – 1 com E 10-3 no intervalo de [1, 2]. Usar o método da iteração linear.
Calcular a raiz de f(x) = 5 – xex pelo método da iteração linear.
Calcular a raiz de f(x) = 2x3 – 2x – 4 para [1, 2] e E 10-3.
Resolução de Sistemas Lineares
Métodos diretos < 10 000 equações
	São todos aqueles que, a menos de erros de arredondamento, fornecem a solução exata do sistema linear, caso exista, após um número finito de operações.
	Método da Eliminação de Gauss
	Este método evita o cálculo direto da matriz inversa e não apresenta problema com tempo e execução.
	Consideremos o sistema Ax = b em que A é uma matriz n x n na forma.
As operações elementares são as seguintes:
1 – permutação entre linhas;
2 – multiplicação de linhas por um escalar diferente de zero;
3 – adição de linhas do sistema.
	Para encontrar as expressões de cálculo, utilizaremos uma matriz de ordem 3. O objetivo do método de Gauss é transformar a matriz A em uma matriz triangular superior.
K = 1 
 
	 
K = 2
 
A solução é:
 
De maneira geral 
Para k = 1, 2, ..., n – 1 e i = k + 1, ..., n
 
Teremos a fórmula da retro-substituição
 k = n, ..., 1
Exemplo: Resolva o sistema linear pelo método de Gauss 
Matriz ampliada 
primeira etapa, eliminar x1 da equações 2 e 3
k = 1
 
 
k = 2
 
Assim o sistema equivalente ao sistema inicial é:
 a solução do sistema é o vetor 
Atividades
Resolver o sistema pelo método de Gauss
 Resposta 
Resolver o sistema pelo método de Gauss
 Resposta 
Método de Gauss – Jordan ou Jordan
Esse método consiste em transformar a matriz do sistema em uma matriz identidade.
Exemplo: Resolver o sistema pelo método de Gauss – Jordan 
 e 
 
 e 
 e 
 
Reescrevendo o sistema, teremos o qual é a solução do sistema S {1, 1, 1} 
Atividades
Resolver o sistema pelo método de Gauss - Jordan
 Resposta 
Resolver o sistema pelo método de Gauss - Jordan
 Resposta 
Método de Pivotação
Dado um sistema Ax = b, escolhe-se o elemento aij ≠ 0 de maior módulo e não pertencente a coluna dos termos independentes e calcula-se , 
 Pivotação parcial: Escolhe-se o elemento por coluna.
 Pivotação completa: Escolhe-se o elemento da matriz A, o maior em módulo.
Exemplo: Resolver o sistema 
Pivotação parcial
Resolução: Escolher o maior elemento, da primeira coluna, como pivor.
Obs.: Escolhida a linha pivotal, nos próximos passos não poderá mais ser escolhida a mesma linha.
 e 
Na coluna dois, escolher o maior elemento em módulo, exceto da linha que já foi pivotal. 
 
Reescrevendo o sistema teremos 
Portanto x3 = 1, x2 = 1, x1 = 1
S = {1, 1, 1}
Pivotação completa
Resolução : Escolher o maior elemento em módulo exceto da coluna dos elementos independentes.
 e 
Em outras colunas, escolher o maior elemento em módulo, exceto da linha que já foi pivotal e da coluna dos termos independentes. 
 
Reescrevendo o sistema teremos 
Portanto x2 = 1, x3 = 1, x1 = 1 S = {1, 1, 1}
Resolver o sistema pelo método de Gauss - Jordan
 Resposta 
Resolver o sistema pelo método de Gauss - Jordan
 Resposta 
Metodo de LU – Decomposição (Fatorização)
Nesse método representa-se a matriz A do sistema inicial na forma de produto das matrizes L triangular inferior e U triangular superior.
Ax = b A = LU
LUx = b logo faz – se Ux = d, então:
 Ld = b
Ux = d
Condição para L e U
Se i < j, então Lij = 0
Se k > j, então Ukj = 0 e se k = j, então Ukj = 1
Então LU = A
 
 
 
Exemplo: Resolver o sistema por LU – Decomposição.
Resolução
 eLogo as matrizes L e U são:
 , 
Encontrar a matriz d fazendo Ld = b e a matriz x utilizando Ux = d
 , resolvendo chegaremos a d1 = 2, d2 = -1, d3 = 1
, o sistema fica , então a solução é
S = {2, - 1, 1}
Resolver o sistema pelo método LU. 
 Resposta 
Resolver o sistema pelo método de LU.
 Resposta 
Métodos Iterativos para resolver sistemas (Indiretos)
Métodos iterativos fornecem solução aproximada dos sistemas lineares.
Método de Jacobi
Seja D = diag{aij} matriz diagonal com os elementos aij da matriz A do sistema Ax = b função iteração
Critério de parada 
Para que haja convergência , ou seja, tenha diagonal dominante.
O método de Jacobi consiste em, dado x(0), aproximação inicial, obter x(1) , ..., x(k) , ... através da função iteração .
Exemplo: Resolver o sistema pelo método de Jacobi com E ≤ 0, 01.
Resolução
Obs.: Antes de iniciar as operações devemos permutar linhas de modo que os maiores elementos fiquem na diagonal principal, para que o sistema convirja. 
 , de tal forma que 
Fazer então 
Dada uma aproximação inicial 
, , 
Tempo k = 0
, falso
, falso
, falso
Tempo k = 1
 falso
 falso
 falso
Continuando nesse procedimento chegaremos a solução desejada
Tempo k = 5
 verdade
 verdade
 verdade
Logo a solução aproximada é S = {1,9999; - 0,9998; 0,9998}
Atividades
Resolva o sistema por Jacobi, com E ≤ 10-2.
Resposta no tempo k = 6; S = {1,10443; 1,002061; 0,99526; 0,99578}
Resolva o sistema pelo método de Jacobi com (x(0), y(0) , z(0)) = ( 0,7; -1,6; 0,6) e E ≤ 0,05.
, Resposta {0,9994; -1,9888; 0,9984}
Método de Gauss – Seidel
Seja o sistema Ax = b, o método de Gauss-Seidel consiste em transformar Ax = b no sistema do tipo Bx(k + 1) + cx(k) = d
Critério de parada 
Para que haja convergência , ou seja, tenha diagonal dominante.
O método de Gauss-Seidel consiste em, dado x(0), aproximação inicial, obter x(1) , ..., x(k) , ... através da função iteração Bx(k + 1) + cx(k) = d.
Exemplo: Resolver o sistema pelo método de Gauss-Seidel com E ≤ 0, 01.
Resolução
Obs.: Antes de iniciar as operações devemos permutar linhas de modo que os maiores elementos fiquem na diagonal principal, para que o sistema convirja. 
 , de tal forma que 
Fazer então 
Dada uma aproximação inicial 
, , 
Tempo k = 0
, falso
, falso
, falso
Tempo k = 1
 falso
, falso
, falso
Tempo k = 2
 falso
 
 
Tempo k = 3
 verdade
 verdade
 verdade
A solução com a aproximação desejada é S = {1, 9997; -0,9999; 0,9999}