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1
Matemática Básica
Aula 1
Prof. Nelson Pereira Castanheira
Teoria dos Conjuntos
Conjuntos
 Conceito primitivo: sentido 
usual de coleção
 Definição: um conjunto é 
todo agrupamento de “objetos” 
(flores, números, animais, 
pessoas etc.), cujos 
componentes têm alguma 
característica em comum
 Os objetos que constituem 
um conjunto são chamados 
de elementos do conjunto
 Os conjuntos são indicados, 
em geral, pelas letras 
maiúsculas do nosso alfabeto 
e seus elementos pelas letras 
minúsculas ou algarismos
Notação de Conjuntos
 A notação usual consiste 
em escrever os elementos 
separados por vírgulas e 
entre chaves
 O conjunto A, cujos elementos 
são as vogais do alfabeto, é 
indicado por:
A = { a, e, i, o, u}
2
 Outra forma de se representar 
um conjunto é pelo Diagrama 
de VENN (representação por 
meio do desenho de uma linha 
poligonal fechada, dentro da 
qual se escrevem, em qualquer 
ordem, os elementos do 
conjunto
 O conjunto A, das vogais 
do nosso alfabeto, representado 
por um Diagrama de VENN é:
A
a
u i e
o
Relação de Pertinência
 É indicada através dos 
símbolos:
•   pertence
•   não pertence 
Exemplo
 Seja o conjunto 
A = {a, e, i, o, u}
 Podemos dizer que:
• a  A
• g  A
 Seja o conjunto 
B = {2, 4, 6, 8, 10}
 Podemos dizer que:
• 4  A
• 7  A
Subconjunto
 Dados dois conjuntos A e B, 
pode-se dizer que o conjunto 
A é subconjunto do conjunto 
B quando todo elemento 
do conjunto A for também 
elemento do conjunto B
3
 Para expressar a relação 
existente entre um conjunto 
e seus subconjuntos existe 
a relação de inclusão, que 
utiliza os símbolos:
•   está contido
•   não está contido
Exemplo
 Seja o conjunto 
A = { a , b , c} 
e o conjunto 
B = {a , b , c , d , e}
 Verifica-se que: A  B
 Verifica-se que: B  A
Igualdade de Conjuntos
 Dois conjuntos são iguais 
quando possuírem os 
mesmos elementos
Exemplo
 Os conjuntos A = {1, 2, 3} 
e B = {3, 2, 1} são iguais
Subconjunto Definido 
por uma Propriedade
1. Seja o conjunto 
A = {1, 2, 3, 4, 5} 
 O conjunto B = {2, 4} é o 
subconjunto de A constituído 
pelos elementos de A que são 
números pares
 Escrevemos:
• B = { x  A | x é par }
4
Operações com Conjuntos
1. União de Conjuntos 
 Representamos a união de 
conjuntos pelo símbolo 
 A união de dois ou mais 
conjuntos é um conjunto 
cujos elementos pertencem 
aos conjuntos dados
A  B = { x | x  A ou x  B }
Exemplo
 Seja o conjunto 
A = {a, b, c, d, e}
 E o conjunto 
B = {a, e, i, o, u}
 Temos que:
A  B = {a, b, c, d, e, i, o, u}
2. Interseção de Conjuntos
 Representamos a interseção 
de conjuntos pelo símbolo 
 A interseção de dois ou mais 
conjuntos é o conjunto cujos 
elementos são comuns aos 
conjuntos dados
A  B = { x | x  A e x  B } 
Exemplo
 Seja o conjunto 
A = {a, b, c, d, e}
 E o conjunto 
B = {a, e, i, o, u}
 Temos que:
A  B = {a, e}
3. Diferença de Conjuntos
 É um novo conjunto formado 
pelos elementos do primeiro 
conjunto que não pertencem 
ao segundo conjunto
 A – B = { x | x  A e x  B }
5
Exemplo
 Sendo os conjuntos 
A = { 0 , 1 , 2 } 
e B = { 2 , 3 , 4 }
 A diferença entre o conjunto A
e o conjunto B será dada por:
A – B = { 0, 1 }
• Observação: B – A = { 3, 4 }
4. Complementação entre 
Conjuntos
 É um caso especial da diferença 
entre conjuntos
 Assim, se A  B, a diferença 
B – A recebe o nome de 
complementar de A em 
relação a B
 Representamos por:
= B – A = { x | x  B e x  A } CB
A
Exemplo
 Sendo os conjuntos 
A = {1, 2, 3, 4, 5} 
e B = {2, 3, 5}
 O complementar de B em 
relação a A será dada por:
= A – B = { 1 , 4 }CA
B
Produto Cartesiano
 Dados os conjuntos A e B,
o objeto (a, b), em que 
a  A e b  B, recebe 
o nome de par ordenado
 O conjunto de todos os pares 
ordenados (a, b), com a  A 
e b  B, recebe o nome de 
produto cartesiano de A e B, 
indicado por:
A x B = { (a, b) | a  A e b  B}
6
Exemplo
 Qual o produto cartesiano entre 
os conjuntos A = { 2, 5 } e 
B = { 1, 4 }?
A x B = { (2, 1), (2, 4), (5, 1), (5, 4) }
Referências de Apoio
 CABRAL, L. C.; NUNES, M. C. 
Raciocínio Lógico passo a passo 
ESAF. 2a. ed. Rio de Janeiro: 
Elsevier, 2012.
 CASTANHEIRA, N. P.; LEITE, E. 
Desmistificando a matemática. 
v. I. Curitiba: Intersaberes, 2014.
 CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. 
D. de; ROCHA, A. Tópicos de 
matemática aplicada. Curitiba: 
Intersaberes, 2006.
 SÁ, I. P. de. Raciocínio lógico: 
concursos públicos/formação de 
professores (teoria, questões 
comentadas, exercícios propostos).Rio 
de Janeiro: Ciência Moderna, 2008.
1
Matemática Básica
Aula 2
Prof. Nelson Pereira Castanheira
Teoria dos Números
Contextualização
Classificação
 Conjunto dos números naturais
 Conjunto dos números inteiros
 Conjunto dos números racionais
 Conjunto dos números 
irracionais
 Conjunto dos números reais
 Conjunto dos números 
complexos
Números Naturais
 O conjunto dos números 
naturais é representado 
pela letra N
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
2
Números Inteiros
 O conjunto dos números 
inteiros é representado 
pela letra Z
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 
2, 3, ... }
Números Racionais
 O conjunto dos números 
racionais é representado 
pela letra Q
Q = {... ; 5/8; 0; –8; 
4; 5; ...}
Importante
 Q = { x | x = a/b, com 
a  Z, b  Z e b  0}
Números Irracionais
 O conjunto dos números 
irracionais é representado 
pela letra I
I = { nos decimais infinitos 
e não periódicos }
Exemplo
 I = { 2; 3;  }
Números Reais
 O conjunto dos números reais 
é representado pela letra R
R = Q  I = { x | x  Q 
ou x  I}
Exemplo
 R = { –4; 5/8; 3;  }
3
Números Complexos
 O conjunto dos números 
complexos é representado pela 
letra C
C = { todos os números 
que podem ser 
representados da forma 
(a + b ∙ i) }, onde i = –1}
Representação dos 
Conjuntos de Números
Instrumentalização
Operações com Números 
Relativos
Adição
 Na adição de dois números 
relativos com:
a) mesmo sinal – soma-se 
os módulos e atribui-se ao 
resultado o sinal comum
b) sinais contrários –
subtrai-se os módulos 
e atribui-se ao resultado 
o sinal do nº de maior 
módulo
Exemplos
 (+4) + (+3) = +7
 (–4) + (+9) = +5 
 (–7) + (–5) = –12 
4
Subtração
 Para a subtração de dois 
números relativos, soma-se 
o primeiro número com o 
simétrico do segundo número
Exemplos
 (+8) – (+4) = (+8) + (–4) = +4
 (–8) – (+4) = (–8) + (–4) = –12
 (+8) – (–4) = (+8) + (+4) = +12
 (–8) – (–4) = (–8) + (+4) = –4
Multiplicação (ou divisão)
 Na multiplicação (ou na divisão) 
de dois números relativos com:
a) mesmo sinal – multiplica-se 
(ou divide-se) os módulos 
e atribui-se ao resultado 
o sinal positivo
b) sinais contrários –
multiplica-se (ou divide-se) 
os módulos e atribui-se ao 
resultado o sinal negativo
Exemplos
 (+5) ∙ (+2) = +10
 (+5) ∙ (–2) = –10 
 (–5) ∙ (–2) = +10
 (–5) ∙ (+2) = –10
 (+15) : (+3) = +5
 (–15) : (–3) = +5
 (+15) : (–3) = –5
 (–15) : (+3) = –5
5
Potenciação
 A potenciação é um caso 
especial de multiplicação, 
em que todos os fatores 
são iguais
 an = a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ ... ∙ a
Exemplo
 85 = 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 
Propriedades da Potenciação
a) A potência de um número 
positivo é sempre positiva
Exemplo
 (+4)3 = 4 ∙ 4 ∙ 4 = +64
b) A potência de um nº negativo é 
positiva se o expoente for par
Exemplos 
 (–5)2 = (–5) ∙ (–5) = +25
c) A potência de um nº negativo 
é negativa se o expoentefor 
ímpar
Exemplo
 (–2)3 = (–2) ∙ (–2) ∙ (–2) = –8
Aplicação
Operações com Potências
1. Produto de potências de 
mesma base:
am ∙ an = am+n
Exemplo
 42 ∙ 43 = 45
6
2. Quociente de potências de 
mesma base:
am / an = am : an = am–n
Exemplo
 57 : 73 = 54
3. Potência de potência:
(am)n = am∙n 
Exemplos
 (103)4 = 1012
 (33)–2 = 3–6
Radiciação
 Denomina-se raiz de índice n
de A o número (ou expressão) 
que elevado à potência n
reproduz A
ܣ೙ ൌ ݔ	 ⇒ 	ݔ௡ 	ൌ ܣ, ݁݉	ݍݑ݁	
ܣ → ݎܽ݀݅ܿܽ݊݀݋
݊ → í݊݀݅ܿ݁								
ݔ	 → ݎܽ݅ݖ											
→ ݎ݈ܽ݀݅ܿܽ			
Exemplos
 16 = 4, pois 42 = 16
 8య = 2, pois 23 = 8
1. Os números negativos não
têm raiz de índice par no 
campo dos números reais
Exemplo
 −9 = Não existe no campo 
dos números reais
7
2. Se o índice do radical é par, 
os números positivos têm 
sempre duas raízes reais 
diferentes e simétricas
Exemplo
 25 =  5
Operações com Radicais
1. Adição e subtração de 
radicais semelhantes:
ܽ	 ܾ೙ ൅ ܿ ܾ೙ ൌ ܽ ൅ ܾ ܾ೙
Exemplo
 5 7 + 8 7 = 13 7
2. Multiplicação (ou divisão) de 
radicais de mesmo índice:
ܽ೙ · ܾ೙ ൌ ܽ · ܾ೙
ou
ܽ೙ ∶ ܾ೙ ൌ ܽ ∶ ܾ೙
 5 · 10 ൌ 50
Exemplo
 40 ∶ 8 ൌ 5
3. Potenciação de radicais
Exemplo
ܽ೙ ௠ ൌ ܽ௠೙
8య ସ ൌ 8ସయ
4. Radiciação de radicais
Exemplo
ܽ೘೙ ൌ ܽ೘	·	೙
9రయ ൌ 9భమ
8
5. Expoente fracionário
Exemplo
ܽ௠/௡ ൌ ܽ௠೙
6ଷ/ସ ൌ 6ଷర
Síntese
O que estudamos?
 Conjunto dos números naturais
 Conjunto dos números inteiros
 Conjunto dos números racionais
 Conjunto dos números 
irracionais
 Conjunto dos números reais
 Conjunto dos números 
complexos
 Operações com números 
relativos
 Potenciação
 Radiciação
Referências de Apoio
 CABRAL, L. C.; NUNES, M. C. 
Raciocínio Lógico passo a passo 
ESAF. 2a. ed. Rio de Janeiro: 
Elsevier, 2012.
 CASTANHEIRA, N. P.; LEITE, E. 
Desmistificando a matemática. 
v. I. Curitiba: Intersaberes, 2014.
9
 CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. 
D. de; ROCHA, A. Tópicos de 
matemática aplicada. Curitiba: 
Intersaberes, 2006.
 SÁ, I. P. de. Raciocínio lógico: 
concursos públicos/formação de 
professores (teoria, questões 
comentadas, exercícios propostos).Rio 
de Janeiro: Ciência Moderna, 2008.
1
Matemática Básica
Aula 3
Prof. Nelson Pereira Castanheira
Contextualização
Frações
Frações
� Uma fração ou número fracionário 
representa um número racional e 
é expressa da seguinte forma:
� Onde “a” e “b” são números 
inteiros, com b ≠ 0
a numerador
b denominador
Fração Irredutível
� A fração pode ser 
simplificada, dividindo-se 
numerador e denominador 
por 2. Obtemos 
� Como os dois valores são 
pares, podemos dividir 
novamente por 2. Obtemos 
� Novamente observamos que 
os dois valores são pares. 
Dividindo numerador e 
denominador por 2 obtemos 
� Essa é a forma irredutível 
da fração
2
Instrumentalização
Múltiplos de um 
Número Natural
� Uma pessoa adulta percorre 
5 km por hora, a pé. Com 
base nessas informações, 
observe a tabela:
Horas 0 1 2 3 4
Km 0 5 10 15 20
� Os números que representam 
os quilômetros percorridos são 
múltiplos naturais do número 
5, uma vez que foram obtidos 
pela multiplicação de um 
número natural pelo número 5
Mínimo Múltiplo Comum
� O MMC de dois ou mais 
números é o menor múltiplo 
desses números, diferente 
de zero
� Consideremos, por exemplo, 
os conjuntos dos números 
múltiplos de 3 e de 4
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18...}
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24...}
� Os múltiplos comuns a 3 e a 4 
são: {0, 12, 24...}
� Então, MMC (3 , 4) = 12
Números Primos
� Um número natural é 
denominado número primo 
quando ele tem exatamente 
dois divisores: o número 
1 e ele mesmo
� Observar que o 2 é o único 
número par que é primo
3
� Então, o conjunto dos 
números primos é infinito 
e é assim representado: 
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 
19, 23, 29, 31, ...}
Fatoração
� Quando um número possui 
mais de dois divisores, ele 
é denominado de número 
composto
� Um número composto 
pode ser escrito como um 
produto de números primos
� Fatorar o número 24
24 2
12 2
6 2
3 3
1 2 x 2 x 2 x 3
� Fatorar os números 24 e 60
24 60 2
12 30 2
6 15 2
3 15 3
1 5 5
1 1 2 x 2 x 2 x 3 x 5
� Qual é o MMC desses dois 
números, o 24 e o 60?
MMC (24, 60) = 
2 X 2 X 2 X 3 X 5 = 120
Aplicação
4
Adição e Subtração 
de Frações
� Precisamos transformar 
as frações de tal forma 
que passem a ter o mesmo 
denominador. Para isso, 
precisamos calcular o MMC 
dos denominadores das 
frações a somar ou subtrair
Multiplicação de Frações Divisão de Frações
Divisores de um 
Número Natural
� Vamos dividir o número 6 por 
outro número de tal forma que 
a divisão seja exata
6 ÷ 1 = 6
6 ÷ 2 = 3
6 ÷ 3 = 2
6 ÷ 6 = 1
� Então, dizemos que os números 
1, 2, 3 e 6 são os divisores do 
número 6. O conjunto desses 
divisores é representado por:
D (6) = {1 , 2 , 3 , 6}
� Observar que o menor divisor 
de um número é 1
5
Máximo Divisor Comum
� Consideremos os conjuntos dos 
números divisores de 24 e de 60:
D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 
12, 15, 20, 30, 60}
� Os divisores comuns a 24 e 
a 60 são: {1, 2, 3, 4, 6, 12}
� Dizemos então que o máximo 
divisor comum de 24 e 60 é 
o 12. Representamos por:
MDC (24, 60) = 12
� Lembrar que ao fatorarmos 
o 24 e o 60, tivemos:
24 = 23 x 3 
60 = 22 x 3 x 5
� Então, o MDC de 24 e 60 
será obtido multiplicando-se 
os fatores comuns e elevados 
ao menor expoente
� Assim:
MDC (24 , 60) = 22 x 3 = 12
Potências de Frações
Síntese
6
Frações
� Uma fração ou número fracionário 
representa um número racional e 
é expressa da seguinte forma:
� Onde “a” e “b” são números 
inteiros, com b ≠ 0
a numerador
b denominador
Operações com Frações
� Soma e subtração
� Multiplicação e divisão
� Potências de frações
� MMC
� MDC
Referências de Apoio
� CABRAL, Luiz Claudio; NUNES, 
Mauro César. 2. ed. Raciocínio 
lógico passo a passo ESAF. 
Rio de Janeiro: Elsevier, 2012.
� CASTANHEIRA, N. P.; LEITE, A. E. 
Desmistificando a matemática. 
v. I. Curitiba: Intersaberes, 2014.
� CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. 
R. D. de; ROCHA, Alex. Tópicos 
de matemática aplicada.
Curitiba: Intersaberes, 2006.
� SÁ, Ilydio Pereira de. Raciocínio 
lógico: concursos públicos/ 
formação de professores (teoria, 
questões comentadas, exercícios 
propostos). Rio de Janeiro: 
Ciência Moderna, 2008.
1
Matemática Básica
Aula 4
Prof. Nelson Pereira Castanheira
Contextualização
Expressões Algébricas
� São indicações de operações 
envolvendo variáveis ou 
variáveis e números
� Exemplos:
• 5ax – 4b
• ax2 + bx + c
• 7a2b
Equação
� Definição: equação é uma 
sentença matemática aberta, 
expressa por uma igualdade
� Exemplos: 
• x – 2 = 5
• 3x + y = 9
� Os valores atribuídos às 
variáveis que tornam a 
equação uma sentença 
verdadeira são denominados 
de raízes da equação
Equação do 1º Grau
� Definição: uma equação é dita 
do 1º grau quando contiver 
apenas uma variável e se o 
expoente maior dessa variável 
for a unidade, ou seja, o no 1
2
� Resolver uma equação 
é determinar sua raiz, 
aquele valor que a 
torna uma sentença 
matemática verdadeira
Equação do 2º Grau
� Definição: é toda equação 
que pode ser escrita na forma 
ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0
� Se a equação tiver todos 
os coeficientes (a, b e c), 
ela é dita completa
� Se estiver faltado b ou c 
(ou ambos), ela será 
dita incompleta
Instrumentalização
Operações com 
Expressões Algébricas
� Soma algébrica: somenteé 
possível somar ou subtrair 
termos semelhantes e, para 
fazê-lo, repete-se a parte literal 
e somam-se ou subtraem-se 
os seus coeficientes
� Exemplo:
3x2y – 4xy2 + 7x2y + 5xy2
= 10x2y + xy2
3
� Multiplicação: multiplicam-se 
os termos do primeiro fator 
por todos os termos do 
segundo fator e reduzem-se 
os termos semelhantes
� Exemplo:
(a + b) . ( a + b + c ) = 
a2 + ab + ac + ba + b2 + bc =
a2 + 2ab + b2 + ac + bc
� Divisão: dividem-se (ou 
simplificam-se) os coeficientes 
numéricos do dividendo e do 
divisor e, para a parte literal, 
obedece-se às regras da divisão 
de potências de mesma base
Exemplo:
(42 x3 y z4) : (7 x y z2) =
(42/7) x3 – 1 y1 – 1 z4 – 2
= 6 x2 y0 z2 = 6 x2 z2
Produtos Notáveis
� Quadrado da soma de dois 
termos:
(a + b)2 = a2 + 2 . a . b + b2
� Exemplo:
(x + 3)2 = x2 + 2 . x . 3 + 32
= x2 + 6 x + 9
� Quadrado da diferença de dois 
termos:
(a – b)2 = a2 – 2 . a . b + b2
� Exemplo:
(x – 4)2 = x2 – 2 . x . 4 + 42
= x2 – 8 x + 16
4
� Produto da soma pela 
diferença de dois termos:
(a + b) . (a – b) = a2 – b2
� Exemplo:
(x + 3) . (x – 3) = x2 – 32
= x2 – 9
Fatoração
� Fatorar um polinômio é 
escrevê-lo sob a forma de 
um produto indicado
� O caso mais comum de 
fatoração é o caso do fator 
comum. Nesse caso existe 
um monômio que é comum a 
todos os termos do polinômio
� Exemplo:
4 a x2 + 8 a2 x3 =
2 . 2 . a . x . x + 2 . 2 . 2 . a . a . x . x . x =
2 . 2 . a . x . x . (1 + 2 . a . x) =
4 a x2 . ( 1 + 2 a x )
Equação do 2º Grau
� Resolução de uma equação 
do segundo grau, completa 
� Utiliza-se a fórmula de Bháskara:
Aplicação
Equação do 1º Grau
� Exemplos:
1. x + 2 = 7
x = 7 – 2
x = 5
2. x – 5 = 11
x = 11 + 5
x = 16
5
� Observação: se o coeficiente 
da incógnita for negativo, 
convém, em primeiro lugar, 
multiplicar toda a equação 
pelo fator (– 1), isto é, trocar 
de sinal todos os seus termos
– 2x = 26 . (– 1)
2 x = – 26
x = – 26 / 2
x = – 13
� Se a equação envolver 
simultaneamente denominadores 
e adição (ou subtração), 
o 1º passo será eliminar os 
denominadores, o que se faz 
tirando-se o M.M.C. dos mesmos 30x – 20 – 15x – 15 = 12x – 30
30x – 20 – 15x – 15 = 12x – 30
30x – 15x – 12x = – 30 + 20 + 15
30x – 27x = – 30 + 35
3x = 5
Sistemas de Equações do 
1º Grau com Duas Incógnitas
� Uma equação com 
duas incógnitas admite 
infinitas soluções
6
� Exemplo:
2 x – y = 4 é verdadeira para
x = 4 e y = 4
x = 2 e y = 0
x = – 1 e y = – 6
etc.
� Resolver um sistema de duas 
equações com duas incógnitas é 
determinar os valores das variáveis 
que satisfaçam simultaneamente 
as duas equações
� Há três métodos para a resolução 
de sistemas de equações. Veremos 
os dois mais utilizados: método da 
substituição e método da adição
� Isolando a variável “x” na 
1a equação: x = 10 – 3y
� Substituindo o valor de “x” 
na 2a equação: 
2 . ( 10 – 3y ) – 5y = – 2
� Resolvendo a equação obtida:
20 – 6y – 5y = – 2
– 6y – 5y = – 2 – 20
– 11y = – 22 . (– 1)
11y = 22
y = 2
� Substituindo o valor de “y” 
encontrado na equação onde 
“x” está isolado:
x = 10 – 3y
x = 10 – 3 . ( 2 )
x = 10 – 6
x = 4
� A solução do sistema será dada 
através do par ordenado (4, 2)
� Resolver o sistema:
2x – 3y = 1
3x + 2y = 8
� Multiplica-se as equações 
por números de maneira a 
obter coeficientes opostos 
em uma das variáveis
7
2x – 3y = 1 . (2)
3x + 2y = 8 . (3)
4x – 6y = 2
9x + 6y = 24
� Somamos as duas equações
4x – 6y = 2
9x + 6y = 24
13x = 26 � x = 2
� Substituindo esse valor 
em qualquer das equações 
do sistema, temos:
4x – 6y = 2
4 . 2 – 6y = 2
8 – 2 = 6y
y = 1
Equação do 2º Grau
� Resolução de equação do 
2º grau, incompleta
� 1º caso: b = 0
x2 = 4
x = 4
x = ± 2 
x1 = 2 ; x2 = –2 
� 2º caso: c = 0
x2 + 3x = 0
x . (x + 3) = 0
x = 0 
(x + 3) = 0 � x = –3 
x1 = 0 ; x2 = –3 
Equação do 2º
Grau Completa
x2 – 8x + 15 = 0
� Na equação temos: 
a = 1 ; b = – 8 e c = 15
8
1.2
15.1.48)(8)(
x
2
−−±−−
=
� Substituindo na fórmula 
de Bháskara:
� As raízes são x1 = 5 e x2 = 3 
1.2
15.1.48)(8)(
x
2
−−±−−
=
2
60648
x
−±
=
2
48
x
±
=
5x12
28
x1 =⇒
+
=
3x22
28
x2 =⇒
−
=
Síntese
O que estudamos?
� Expressões algébricas
� Operações com expressões 
algébricas
� Equação do 1º grau
� Sistemas de equações do 1º grau
� Equação do 2º grau
Referências de Apoio
� CABRAL, Luiz Claudio; 
NUNES, Mauro César. 
Raciocínio Lógico passo 
a passo ESAF. 2. ed. Rio 
de Janeiro: Elsevier, 2012.
� CASTANHEIRA, N. P.; 
MACEDO, L. R. D. de; 
ROCHA, Alex. Tópicos de 
matemática aplicada. 
Curitiba: Intersaberes, 2006.
� CASTANHEIRA, N. P.; LEITE, 
A. E. Desmistificando a 
matemática. v. I. Curitiba: 
Intersaberes, 2014.
9
� SÁ, Ilydio Pereira de. 
Raciocínio lógico: concursos 
públicos/formação de 
professores (teoria, questões 
comentadas, exercícios 
propostos). Rio de Janeiro: 
Ciência Moderna, 2008.
1
Matemática Básica
Aula 5
Prof. Nelson Pereira 
Castanheira
Contextualização
� Perímetros de figuras planas
� Áreas de figuras planas
Perímetro de um Polígono
� Perímetro (P) de um 
polígono é a soma das 
medidas dos seus lados
� Obs.: sua unidade no 
Sistema Internacional de 
Unidades é o metro (m)
Área de um Polígono
� Área (S) de um polígono 
é a extensão de uma porção 
limitada da superfície ocupada 
por um polígono qualquer
� Obs.: sua unidade no Sistema 
Internacional de Unidades é o 
metro quadrado (m2)
Instrumentalização
2
Perímetro e Área
� Retângulo é um quadrilátero 
que possui lados opostos 
paralelos, distintos dois a dois, 
e os quatro ângulos retos
b
h
� Área ⇒⇒⇒⇒ S = b . h
� Perímetro ⇒⇒⇒⇒ P = 2 . b + 2 . h
� Quadrado é um polígono 
fechado que possui os lados 
paralelos iguais e os quatro 
ângulos retos. É um caso 
particular de retângulo cujo 
comprimento da base é igual 
ao comprimento da altura
llll
llll
� Área ⇒⇒⇒⇒ S = llll2
� Perímetro ⇒⇒⇒⇒ P = 4 . llll
� Um quadrilátero é classificado 
como paralelogramo se, 
e somente se, possuir os 
lados opostos paralelos
llll
b
h
� Área ⇒⇒⇒⇒ S = b . h
� Perímetro ⇒⇒⇒⇒ P = 2 . b + 2 . llll
3
� Triângulos são polígonos 
fechados de três lados e três 
ângulos. É o polígono que tem 
o menor número de lados
a
b
c
A
B
C^^
^
� Área ⇒⇒⇒⇒
� Perímetro ⇒⇒⇒⇒ P = a + b + c
S =
2
c.b
� Losango ou rombo
é um quadrilátero que 
possui quatro lados iguais 
sem que os ângulos 
sejam retos (iguais a 90°)
llll
llll
llll
llll
D
d
� Área ⇒⇒⇒⇒ S = D . d
2
� Perímetro ⇒⇒⇒⇒ P = 4 . llll
� Trapézio é um quadrilátero 
que possui dois lados opostos 
paralelos, chamados de base 
do trapézio � Área ⇒⇒⇒⇒
� Perímetro ⇒⇒⇒⇒ P = 2 . llll + B + b
B
b
hllll llll
2
h.b)(B+
S =
4
� Círculo é a porção de 
um plano limitada por 
uma circunferência
O
r
d
� Área ⇒⇒⇒⇒ S = pipipipi . r2
� Perímetro ⇒⇒⇒⇒ P = 2 . pipipipi . r
Aplicação
Perímetro e Área
� Um empresário comprou 
um terreno retangular para 
construir um barracão. 
O terreno possui 48m de 
frente e uma lateral de 80m. 
Quais são a área e o 
perímetro deste terreno?
� Dados do enunciado: 
b = 48 m; h = 80 m
� Cálculo da área:
S = b . H
S = 48m . 80m
S = 3841 m2
� Cálculo do perímetro:
P = 2 . b + 2 . h
P = 2 . 48m + 2 . 80m
P = 96m + 160m 
P = 256m
5
� Uma caixa destinada a 
embalar um determinado 
produto tem o formato 
quadrado com 25 cm de 
lado. Calcule a área eo 
seu perímetro desta caixa
� Dados do enunciado: l = 25 cm
� Cálculo da área:
S = llll2
S = (25 cm)2 = 625 cm2
� Cálculo do perímetro:
P = 4 . llll
P = 4 . 25cm = 100cm
� Uma lâmina de estilete 
fabricada por uma empresa 
tem o formato de um 
paralelogramo indicado na 
figura. Quais são a área e 
o perímetro dessa lâmina?
� Dados: 
b = 10,3 cm
h = 1,0 cm
llll = 1,2 cm
1,2 cm
10,3 cm
0,8 cm
� Cálculo da área:
S = b . h 
S = 10,3cm . 0,8cm = 8,24 cm2
� Cálculo do perímetro:
P = 2 . b + 2 . l
P = 2 . 10,3cm + 2 . 1,2cm
P = 20,6cm + 2,4cm = 23cm
� Uma empresa fabrica 
esquadros para desenho 
técnico. Um dos esquadros 
fabricados tem o formato 
triangular cujas medidas estão 
indicadas na figura. Quais 
são a área e o perímetro 
de um desses esquadros?
6
12 cm
5
 c
m
� Dados: 
a = 12 cm
h = 1,0 cm
llll = 1,2 cm
2
cm5.cm12S
2
b.h
S =Þ=
22
cm30S
2
cm60S =Þ=
� Cálculo do perímetro:
P = a + b + c
P = 13 cm + 12 cm + 5 cm
P = 30 cm
Área do Losango
� Uma empresa vai fabricar bandejas 
metálicas em forma de losangos, 
de tal forma que as diagonais 
meçam 75cm e 50cm. Nessas 
condições, quantos centímetros 
quadrados de metal serão 
utilizados para cada bandeja?
2
D . d
S= ⇒
2
cm50.cm75
S=
2
cm3750
S
2
=
S = 1875 cm2
Dados: D = 75 cm; d = 50 cm
� Um terreno tem a forma de 
um trapézio com 35m de 
frente e 24 m de fundos. Se 
a profundidade deste terreno 
mede 42m, qual é a área 
desse terreno?
� Dados: B = 35cm; b = 24m; 
h = 42m
S = 1239 m2
2
b) . h(B
S
+
=
2
m24m) . 42m(35
S
+
=
7
Círculo
� Calcular a área e o perímetro de 
uma bobina de papel (formato 
circular) sabendo-se que o raio 
é 95 cm. Use pi = 3,14
� Dados: r = 95 cm; pi = 3,14
� Cálculo da área:
S = pi . r2
S = 3,14 . (95 cm)2
S = 3,14 . 9025 cm2
S = 28338,5 cm2
� Cálculo do perímetro:
S = 2 . pi . r
S = 2 . 3,14 . 95 cm
S = 596,6 cm
Síntese
Perímetro de um Polígono
� Perímetro (P) de um 
polígono é a soma das 
medidas dos seus lados
� Obs.: sua unidade no 
Sistema Internacional de 
Unidades é o metro (m)
Área de um Polígono
� Área (S) de um polígono é 
a extensão de uma porção 
limitada da superfície ocupada 
por um polígono qualquer
� Obs.: sua unidade no Sistema 
Internacional de Unidades é 
o metro quadrado (m2)
8
Referências de Apoio
� CABRAL, Luiz Claudio; NUNES, 
Mauro César. Raciocínio Lógico 
passo a passo: ESAF. 2. ed. 
Rio de Janeiro: Elsevier, 2012.
� CASTANHEIRA, N. P.; LEITE, E. 
Desmistificando a matemática. 
v. I. Curitiba: Intersaberes, 2014.
� CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. 
R. D. de; ROCHA, Alex. Tópicos 
de matemática aplicada. 
Curitiba: Intersaberes, 2006.
� SÁ, Ilydio Pereira de. Raciocínio 
lógico: concursos públicos/ 
formação de professores (teoria, 
questões comentadas, exercícios 
propostos). Rio de Janeiro: 
Ciência Moderna, 2008.
1
Matemática Básica
Aula 6
Prof. Nelson Pereira 
Castanheira
Contextualização
� Volumes de sólidos geométricos
� Logaritmos
Volume de um Sólido
� Sólidos geométricos são corpos 
limitados por polígonos situados 
em planos distintos
� Tipos:
• sólidos geométricos regulares
• sólidos geométricos de revolução
� Volume (V) é a quantidade de 
espaço ocupado por um corpo
� Obs.: sua unidade no Sistema 
Internacional de unidades é 
o metro cúbico (m3)
Logaritmos
� Definição: logaritmo de um 
número N, real e positivo, 
numa base a, positiva e 
diferente da unidade, é 
o expoente x, ao qual se 
eleva a base para obter uma 
potência igual ao número N
2
logaritmando ou antilogaritmo
loga N = x ⇔⇔⇔⇔ a
x = N
base logaritmo de
N na base a
Simbolicamente:
Instrumentalização
Volume de um Sólido
Cubo ou hexaedro regular
� Cubo é um sólido geométrico 
regular limitado por seis 
faces iguais e quadradas
� Também é chamado de 
hexaedro regular
a
a
a
V = a3
Paralelepípedo retângulo
� É um sólido geométrico de seis 
faces, duas a duas paralelas, 
todas com formato retangular. 
É também chamado de ortoedro
ou de bloco retangular
V = a . b . c
a
b
c
3
Cilindro
� É um sólido geométrico obtido 
a partir do giro de uma volta 
completa de um retângulo por 
um de seus lados, que será 
o eixo de rotação V = SB . h
SB = área da base do cilindro 
r
h
eixo de rotação
Logaritmo
loga N = x ⇔⇔⇔⇔ ax = N
� Logaritmo decimal: é o 
logaritmo de base 10. 
Normalmente o logaritmo 
decimal não tem a sua 
base especificada
log10 a = log a
� Logaritmo natural: também 
chamado de logaritmo 
neperiano. Sua base é o 
número e = 2,71828... 
(número de Euler)
loge a = Ln a
Aplicação
4
Volume de um Sólido
� Qual é o volume de uma caixa 
quadrada que tem por lado 25 
cm? Expresse esse volume 
também em metros cúbicos
Dados: a = 25 cm = 0,25 m
� Cálculo em cm3:
V = a3
V = (25 cm)3
V = 15625 cm3
� Cálculo em m3:
V = a3
V = (0,25 cm)3
V = 0,015625 m3
� Um engenheiro deseja 
construir uma caixa d’água 
em um prédio. As dimensões 
internas projetadas são:
• comprimento = 6m
• largura = 5 m
• altura = 2,5 m
� Calcule o volume desta 
caixa d’água em metros 
cúbicos e em litros
� Dados: 
a = 6 m 
b = 5 m 
c = 2,5 m
� Cálculo em m3:
V = a . b . c
V = 6 m . 5 m . 2,5 m
V = 75 m3
5
� Cálculo da capacidade em litros:
• Para o cálculo da 
capacidade em litros deve-
se lembrar que 1l = 1 dm3
• Dados: 
a = 60 dm 
b = 50 dm 
c = 25 dm
� Cálculo em litros:
V = a . b . c
V = 60 dm . 50 dm . 25 dm
V = 75000 l
� Uma lata de refrigerante tem 
formato cilíndrico com 6,5 cm 
de diâmetro e 12 cm de 
altura. Qual a capacidade 
máxima de líquido que as 
latas de refrigerante podem 
armazenar, em mililitros?
� Dados: 
d = 6,5 cm 
h = 12 cm 
pi = 3,14
� Como d = 6,5 cm ⇒ r = 3,25 cm
� Cálculo da área da base:
SB = pi . r2
SB = 3,14 . (3,25 cm)2
SB = 3,14 . 10,5625 cm2
SB = 33,16625 cm2
� Cálculo do volume (em cm3):
V = SB . h
V = 33,16625 cm2 . 12 cm
V = 397,995 cm3
6
� Cálculo do volume (em ml):
• como 1 ml = 1 cm3, vem:
V = 397,995 cm3
V = 397,995 ml
Logaritmos
� Calcular o valor dos logaritmos 
dados
1. log2 8 = x 8 2
2x = 8 4 2
2x = 23 2 2
x = 3 1 23
Logaritmos – Propriedades
1. O logaritmo da unidade em 
qualquer base é nulo
loga 1 = 0 ⇔⇔⇔⇔ a
0 = 1
2. O logaritmo da base é sempre 
igual a 1
loga a = 1 ⇔⇔⇔⇔ a
1 = a
3. O logaritmo de uma potência 
da base é igual ao expoente
logb b
x = x ⇔⇔⇔⇔ bx = bx
4. Dois logaritmos em uma mesma 
base são iguais se, e somente se, 
os logaritmandos forem iguais
logb a = logb c ⇔⇔⇔⇔ a = c
1. Logaritmo de um produto:
logb (a . c) = logb a + logb c
2. Logaritmo de um quociente:
logb (a : c) = logb a – logb c
3. Logaritmo de uma potência:
logb a
n = n . logb a
Exemplos:
�Sendo log 2 = 0,3010 calcule:
log 200 = log (2 . 100) = 
log 2 + log 100 = 0,3010 + 2 
= 2,3010
�Obs.: log10 100 = x
10x = 100 → 10x = 102 → x = 2
7
Síntese
Volume de um Sólido
� Sólidos geométricos são corpos 
limitados por polígonos situados 
em planos distintos
� Tipos:
• sólidos geométricos regulares
• sólidos geométricos de revolução
� Volume (V) é a quantidade de 
espaço ocupado por um corpo
� Obs.: sua unidade no Sistema 
Internacional de unidades é 
o metro cúbico (m3)
Logaritmos
� Definição: logaritmo de um 
número N, real e positivo, 
numa base a, positiva e 
diferente da unidade, é o 
expoente x, ao qual se eleva 
a base para obter uma 
potência igual ao número N
logaritmando ou antilogaritmo
loga N =x ⇔⇔⇔⇔ a
x = N
base logaritmo de
N na base a
Simbolicamente: Referências de Apoio
� CABRAL, Luiz Claudio; NUNES, 
Mauro César. Raciocínio Lógico 
passo a passo: ESAF. 2. ed. 
Rio de Janeiro: Elsevier, 2012.
� CASTANHEIRA, N. P.; LEITE, E. 
Desmistificando a matemática. 
v. I. Curitiba: Intersaberes, 2014.
8
� CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. 
R. D. de; ROCHA, Alex. Tópicos 
de matemática aplicada. 
Curitiba: Intersaberes, 2006.
� SÁ, Ilydio Pereira de. Raciocínio 
lógico: concursos públicos/ 
formação de professores (teoria, 
questões comentadas, exercícios 
propostos). Rio de Janeiro: 
Ciência Moderna, 2008.
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