Trigonometria e Números complexos

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Universidade do Sul de Santa Catarina
Palhoça
UnisulVirtual
2007
Trigonometria e 
Números Complexos
Disciplina na modalidade a distância
Créditos
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Aprendizagem
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Cristina Klipp de Oliveira
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Pesquisa e Desenvolvimento
Dênia Falcão de Bittencourt 
(Coordenadora)
Núcleo de Acessibilidade
Vanessa de Andrade Manuel
Apresentação
Este livro didático corresponde à disciplina Trigonometria e 
Números Complexos.
O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma, 
abordando conteúdos especialmente selecionados e adotando uma 
linguagem que facilite seu estudo a distância. 
Por falar em distância, isso não significa que você estará 
sozinho. Não esqueça que sua caminhada nesta disciplina 
também será acompanhada constantemente pelo Sistema 
Tutorial da UnisulVirtual. Entre em contato sempre que sentir 
necessidade, seja por correio postal, fax, telefone, e-mail ou 
Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem - EVA. Nossa equipe 
terá o maior prazer em atendê-lo, pois sua aprendizagem é nosso 
principal objetivo.
Bom estudo e sucesso!
Equipe UnisulVirtual.
Rosana Camilo da Rosa
Eliane Darela 
Paulo Henrique Rufino
Palhoça
UnisulVirtual
2007
Design Instrucional
Karla Leonora Dahse Nunes
2ª edição revista e atualizada
Trigonometria e 
Números Complexos
Livro didático
Copyright © UnisulVirtual 2007 
Nenhum a parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição. 
 
 
 
 
 
Edição --- Livro Didático 
 
Professores Conteudistas 
Rosana Cam ilo da Rosa 
Eliane Darela 
Paulo Henrique Ru.no 
 
Design Instrucional 
 Karla Leonora Dahse Nunes 
 
ISBN 978-85-60694-32-7 
 
Projeto Gráfico e Capa 
Equipe UnisulVirtual 
 
Diagram ação 
Fernando Roberto Dias Zimmerm ann 
 
Revisão Ortográfica 
B2B 
 
 
 
 
516.24 
R69 Rosa, Rosana Camilo da 
 Trigonometria e números complexos : livro didático / Rosana Camilo 
 da Rosa, Eliane Darela, Paulo Henrique Rufino ; design instrucional Karla 
 Leonora Dahse Nunes. – 2. ed. rev. e atual. – Palhoça : UnisulVirtual, 2007. 
 326 p. : il. ; 28 cm. 
 
 Inclui bibliografia. 
 ISBN 978-85-60694-32-7 
 
 1. Trigonometria. 2. Números complexos. I. Darela, Eliane. II. Rufino, 
 Paulo Henrique. III. Nunes, Karla Leonora Dahse. IV. Título. 
 
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca U niversitária da U nisul 
 
 
Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Palavras dos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
UNIDADE 1 – Estudando a Trigonometria nos Triângulos . . . . . . . . . . . . . 17
UNIDADE 2 – Conceitos Básicos da Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
UNIDADE 3 – Estudando as Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . 95
UNIDADE 4 – Estudando as Relações, Equações e Inequações 
 Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
UNIDADE 5 – Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 
Sobre os professores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação . . . . . . . . . . . . 251
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
Sumário
Palavras dos professores
Estamos apresentando os conteúdos relativos à disciplina 
Trigonometria e Números Complexos. Os assuntos 
apresentados são de fundamental importância para sua 
formação profissional e são abordados de forma clara 
e objetiva, sempre salientando aspectos da História da 
Matemática, conforme preconiza o Projeto Pedagógico 
do Curso de Matemática Licenciatura.
É indiscutível que o uso das tecnologias deve estar 
presente na sala de aula, logo a formação de um 
profissional com competência para desenvolver atividades 
didáticas num contexto informatizado torna-se 
necessária. No decorrer desta disciplina, vamos incentivá-
lo e orientá-lo para o uso de diferentes softwares 
matemáticos.
Utilizamos uma linguagem acessível, pois estamos 
inseridos num contexto de Educação a Distância, e uma 
linguagem mais técnica poderia prejudicar o andamento 
das atividades.
Você terá a oportunidade de desenvolver atividades e 
leituras num ambiente virtual, e poderá refletir sobre 
aspectos didáticos na abordagem dos tópicos estudados 
com a utilização de recursos tecnológicos.
Finalizando, gostaríamos de desejar um ótimo trabalho, 
e dizer que nossa relação didática será no ambiente 
virtual, mas estaremos sempre em contato para sanar 
suas dúvidas. Procure manter suas atividades em dia e 
conte conosco.
Profª. Eliane Darela, Msc. 
Prof . Paulo Henrique Rufino. 
Profª. Rosana Camilo da Rosa, Msc.
Plano de estudo
O plano de estudos visa a orientá-lo/a no desenvolvimento 
da disciplina. Nele, você encontrará elementos que 
esclarecerão o contexto da disciplina e sugerirão formas de 
organizar o seu tempo de estudos. 
O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual 
leva em conta instrumentos que se articulam e se 
complementam. Assim, a construção de competências se dá 
sobre a articulação de metodologias e por meio das diversas 
formas de ação/mediação.
São elementos deste processo:
o livro didático; 
o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA); 
as atividades de avaliação (auto-avaliação, a 
distância e presenciais).
Carga Horária
60 horas – 4 créditos.
Ementa
Arcos e ângulos. Funções trigonométricas. Relações 
trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas. 
Números Complexos. Operações e representações dos 
números complexos. Trigonometria e os números complexos.



12
Universidade do Sul de Santa Catarina
Objetivo(s)
Geral
A disciplina objetiva a reflexão e construção de conhecimentos 
no contexto da Trigonometria e dos Números Complexos, 
propiciando ao universitário a oportunidade de: investigar, 
observar, analisar e delinear conclusões testando-as na resolução 
de problemas, formando uma visão ampla e científica da 
realidade.
Específicos
Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no triângulo 
retângulo.
Resolver problemas aplicando as relações fundamentais entre as 
razões trigonométricas.
Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senos na 
resolução de triângulos.
Expressar e converter a medida de um ângulo de graus para 
radianos e vice-versa.
Introduzir o conceito das funções circulares. 
Reduzir arco ao 1º quadrante.
Construir, ler e interpretar gráficos das funções 
trigonométricas utilizando, corretamente, procedimentos e 
ferramentas tecnológicas.
Resolver equações e inequações trigonométricas.
Resolver e simplificar expressões trigonométricas, aplicando as 
relações trigonométricas.
Aplicar as fórmulas da adição, subtração e arco duplo.
Compreender o conceito de números complexos.
Identificar um número complexo na sua forma algébrica e 
representá-lo no plano de Argand-Gauss.












13
 Trigonometria e Números Complexos
Compreender os conceitos de módulo e argumento de um 
número complexo z. Apresentar a forma trigonométrica de z.
Operar com números complexos na forma algébrica e 
trigonométrica.
Conteúdo programático/objetivos 
Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de 
conhecimentos que você deverá deter para o desenvolvimento de 
habilidades e competências necessárias a sua formação. Neste 
sentido, veja a seguir as unidades que compõem o Livro Didático 
desta disciplina, bem como os seus respectivos objetivos.
Unidades de estudo: 5
Unidade 1 - Estudando a Trigonometria nos Triângulos
Nesta unidade, apresentam-se as razões trigonométricas nos 
triângulos retângulos, bem como as leis dos senos e cossenos 
em triângulos quaisquer. O estudo desta unidade nos permite a 
resolução de problemas que envolvem situações reais.
Unidade 2 - Conceitos Básicos da Trigonometria
Nesta unidade, são apresentados conceitos relativos à 
trigonometria na circunferência. Estes conceitos são 
fundamentais para definir o seno e o cosseno na circunferência 
trigonométrica, o que também será abordado nesta unidade. 
Unidade 3 - Estudando as Funções Trigonométricas 
As funções trigonométricas, também conhecidas como funções 
circulares, serão discutidas nesta unidade, possibilitando a 
leitura gráfica e a modelagem de problemas práticos. Os recursos 
tecnológicos serão indispensáveis, pois facilitam as representações 
gráficas.


14
Universidade do Sul de Santa Catarina
Unidade 4 - Estudando as Relações, Equações e Inequações Trigonométricas
O estudo das relações e transformações trigonométricas 
será abordado nesta unidade, salientando-se que as relações 
trigonométricas são decorrentes do seno e cosseno de um arco, 
estudados na unidade 2. Amplia-se o estudo, nesta unidade, 
abordando equações e inequações trigonométricas.
Unidade 5 - Números Complexos
Nesta unidade, apresenta-se um novo conjunto, chamado 
conjunto dos números complexos. Serão abordadas as operações 
na forma algébrica e trigonométrica, bem como a representação 
gráfica desse número.
Agenda de atividades/ Cronograma 
Verifique com atenção o EVA. Organize-se para acessar 
periodicamente o espaço da Disciplina. O sucesso nos 
seus estudos depende da priorização do tempo para a 
leitura; da realização de análises e sínteses do conteúdo; e 
da interação com os seus colegas e tutor. 
Não perca os prazos das atividades. Registre as datas no 
espaço a seguir, com base no cronograma da disciplina 
disponibilizado no EVA.
Use o quadro para agendar e programar as atividades 
relativas ao desenvolvimento da Disciplina.



15
 Trigonometria e Números Complexos
Atividades
Avaliação a Distância 
Avaliação Presencial
Avaliação Final (caso necessário)
Demais atividades (registro pessoal)
UNIDADE 1
Estudando a Trigonometria nos 
Triângulos
Objetivos de aprendizagem
 Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no 
triângulo retângulo.
 Resolver problemas aplicando as relações fundamentais 
entre as razões trigonométricas.
 Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senos 
na resolução de triângulos.
Seções de estudo
Seção 1 Introdução à Trigonometria
Seção 2 Definindo as razões trigonométricas no 
triângulo retângulo
Seção 3 Relações trigonométricas em um triângulo 
qualquer: lei dos senos e lei dos cossenos
1
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa
Sabe-se que algumas medidas podem ser obtidas diretamente, 
outras são obtidas de modo indireto. A largura de uma sala, 
por exemplo, pode ser medida com uma trena, o comprimento 
de uma estrada pode ser medido, por meio de um hodômetro 
instalado em um automóvel que percorra a estrada do início 
ao fim. Em ambos os casos essa medida é encontrada de modo 
direto. Já a distância da Terraaté a Lua só pode ser obtida de 
modo indireto.
A Trigonometria é uma ferramenta importante para a resolução 
de problemas que envolvem grandes distâncias como os de 
engenharia, navegação e astronomia. 
Nesta unidade, você estudará a trigonometria no triângulo 
retângulo, bem como as leis dos senos e cossenos em triângulos 
quaisquer. A contextualização da trigonometria, por ser de suma 
importância, será abordada no desenvolvimento das atividades.
SEÇÃO 1 – Introdução à trigonometria
O que é trigonometria?
Tri = três
gonos = ângulos
metria = medição
Logo, trigonometria significa medição de três ângulos.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Você sabia...
Triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo 
reto (90º).
O estudo da trigonometria foi impulsionado pela necessidade 
de evolução da Agrimensura, Navegação e Astronomia, já que 
as dimensões do universo sempre fascinaram os cientistas. O 
astrônomo grego Aristarco de Samos (310 a.C. - 230 a.C.) foi 
um dos primeiros a calcular as distâncias que separam a Terra, 
a Lua e o Sol. Para isso, ele usou relações entre as medidas dos 
lados dos triângulos retângulos com seus ângulos internos. 
Acredita-se que, como ciência, a trigonometria nasceu com 
o astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C. - 125 a.C.), 
também conhecido como o Pai da Trigonometria por ter 
estudado e sistematizado algumas relações entre os elementos 
de um triângulo.
A relação entre as medidas dos lados de um triângulo com as 
medidas de seus ângulos é de grande utilidade na medição de 
distâncias inacessíveis ao homem, como a altura de montanhas, 
torres e árvores, ou a largura de rios e lagos.
Também encontra-se aplicações da trigonometria na Engenharia, 
na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina e até na 
Música.
Para compreender, acesse 
o site sugerido na seção 
‘saiba mais’ ao final desta 
unidade.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
SEÇÃO 2 - Definindo as razões trigonométricas no 
triângulo retângulo
Do ponto de vista matemático, o desenvolvimento da 
trigonometria está associado à descoberta de constantes nas 
relações entre os lados de um triângulo retângulo.
Suponha que a Figura 1.1 represente uma rampa, em uma pista 
de skate, que forma um ângulo de α graus com o solo:
Quando o skatista percorre 50m sobre a rampa, o mesmo 
fica a uma altura de 30 metros e o seu deslocamento na 
horizontal é de 40 metros;
Quando o skatista percorre 75m sobre a rampa, o mesmo 
fica a uma altura de 45 metros e o seu deslocamento na 
horizontal é de 60 metros;
Quando o skatista percorre 100m sobre a rampa, 
o mesmo fica a uma altura de 60 metros e o seu 
deslocamento na horizontal é de 80 metros.
Figura 1.1: Representação da situação problema
Na figura 1.2, tem-se os triângulos retângulos ABS, ACT e 
ADU semelhantes entre si. Escreva a razão entre a altura que o 
skatista atinge e a distância percorrida sobre a rampa, para os três 
momentos considerados.



21
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Figura 1.2: Representação da distância percorrida e da altura
Temos: ∆ ABS ~ ∆ ACT ~ ∆ ADU
Logo: 
BS
AS
CT
AT
DU
AU
= = → = = =30
50
45
75
60
100
0 6, (valor
constante).
Você pode observar que, em qualquer um dos triângulos 
retângulos considerados, a razão entre a medida dos lados BS, 
CT e DU, opostos ao ângulo α, e a medida dos lados AS, AT e 
AU, opostos ao ângulo reto é igual a 0,6, independentemente das 
medidas dos lados considerados.
Esse valor constante é chamado seno do ângulo α e simbolizamos 
por sen α.
Agora, vamos escrever a razão entre o deslocamento na 
horizontal e a distância percorrida sobre a rampa pelo skatista, 
para os três momentos considerados.
Figura 1.3: Representação da distância percorrida e do deslocamento na horizontal
 
 
Temos: 
AB
AS
AC
AT
AD
AU
= = → = = =40
50
60
75
80
100
0 8, (valor 
constante).
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Você pode observar que, em qualquer um dos triângulos 
retângulos da figura 1.3, a razão entre a medida dos lados AB, 
AC e AD, adjacentes ao ângulo α, e a medida dos lados AS, AT e 
AU, opostos ao ângulo reto é igual a 0,8, independentemente das 
medidas dos lados considerados.
Esse valor constante é chamado cosseno do ângulo α e 
simbolizamos por cos α.
Ainda há uma terceira igualdade que podemos estabelecer: a 
razão entre a medida da altura que o Skatista atinge e o seu 
deslocamento na horizontal.
 
Figura 1.4: Representação da altura e do deslocamento na horizontal
 
Temos: 
BS
AB
CT
AC
DU
AD
= = → = = =30
40
45
60
60
80
0 75, (valor 
constante).
Você pode observar, na figura 1.4, que em qualquer um 
dos triângulos retângulos, a razão entre a medida dos 
lados BS, CT e DU, opostos ao ângulo α, e a medida dos 
lados AB, AC e AD, adjacentes ao ângulo α é igual a 0,75, 
independentemente das medidas dos lados considerados.
Esse valor constante é chamado tangente do ângulo α e 
simbolizamos por tg α.
Os números que expressam o seno, cosseno e tangente do ângulo 
agudo α, são denominados razões trigonométricas do triângulo 
retângulo.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Generalizando, tem-se:
 
Figura 1.5: Triângulo retângulo
Na figura, 1.5 tem-se:
O triângulo ABC é retângulo em A;
O lado oposto ao ângulo reto denomina-se 
hipotenusa (a);
Os lados b e c denominam-se catetos;
O cateto b é oposto ao ângulo β e adjacente ao ângulo α;
O cateto c é oposto ao ângulo α e adjacente ao ângulo β.
Você lembra do Teorema de Pitágoras?
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos 
quadrados dos catetos:
a2=b2+c2





24
Universidade do Sul de Santa Catarina
Desta forma, tem-se:
sen
b
a
β
β
= =
=
cateto oposto
hipotenusa
cateto adjacente
hipote
cos
nnusa
cateto oposto
 cateto adjacente
=
= =
c
a
tg
b
c
β
De modo análogo, pode-se estabelecer as razões para o ângulo α. 
Que tal você rever agora alguns aspectos que 
caracterizaram a vida de Pitágoras e a história da 
matemática?
Retrospectiva histórica
Pitágoras viveu há 2.500 anos e não deixou obras 
escritas. O que se sabe de sua biografia e de suas 
idéias é uma mistura de lenda e história real.
Acerca de 50 Km de Mileto, na ilha Jônia de Samos, 
por volta de 589 aC. nasceu Pitágoras, que também 
esteve no Egito e, por desavenças com o tirano 
Polícrates, de Samos, mudou-se para Crotona ao 
sul da Península Itálica onde fundou uma sociedade 
voltada ao estudo da Filosofia, das Ciências Naturais 
e da Matemática, chamada Escola Pitagórica. 
Rapidamente, os membros desta sociedade passaram 
a ver números por toda a parte concluindo que o 
Universo era regido por uma inteligência superior 
essencialmente matemática.
25
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Figura 1.6 – Pitágoras
Fonte: http://centros5.pntic.mec.es/ies.sierra.minera/dematesna/demates45/op-
ciones/sabias/escuela%20pitagorica/escuela%20pitagorica.htm. 
Capturado em 09/04/2006
Atualmente não há documentos que justifiquem a afirmação 
de que o Teorema de Pitágoras foi demonstrado pela primeira 
vez pelos Pitagóricos. Conjetura-se que os membros da mais 
antiga escola pitagórica conheciam muito bem a geometria dos 
babilônios, portanto, as idéias básicas do teorema poderiam ter 
suas origens em outras épocas bem mais remotas.
O maior feito teórico dos pitagóricos foi a descoberta dos 
irracionais, mas seu mérito máximo consiste em haverem 
provocado uma verdadeira epidemia de interesse pela matemática, 
quecontagiou a maioria das cidades-estado da Grécia.
Saiba mais
Você poderá enriquecer mais esta leitura, lendo: 
Boyer, Carl Benjamin, 1906- História da Matemática.
Ângulos notáveis
Os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis uma 
vez que aparecem freqüentemente nos problemas de geometria. 
Apresentamos a dedução dos valores do seno, do cosseno e da 
tangente do ângulo de 45º. Os outros dois ângulos você mesmo 
fará resolvendo o exercício 1 das atividades de auto-avaliação ao 
final da unidade.
26
Universidade do Sul de Santa Catarina
Podemos resumir as razões trigonométricas dos ângulos notáveis 
em uma única tabela:
27
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Considerando as definições das razões trigonométricas e 
utilizando processos mais sofisticados de medidas de ângulos 
e segmentos, podemos construir uma tabela de valores 
trigonométricos para consultar quando encontrarmos situações 
que não envolvam ângulos notáveis. Em anexo encontra-se uma 
tabela que fornece as razões trigonométricas dos ângulos de 1º a 
89º. 
Você pode, também, obter diretamente valores trigonométricos 
utilizando as funções de uma calculadora científica ou softwares 
matemáticos.
Você sabia...
Nas calculadoras científicas, o seno que abreviamos por sen é 
identificado por sin e a tangente, tg, é identificada por tan.
28
Universidade do Sul de Santa Catarina
Nos exemplos a seguir você irá utilizar as razões trigonométricas 
para descobrir as medidas desconhecidas indicadas por x. Será 
um bom exercício para verificar a sua compreensão do assunto até 
o presente momento.
1) Calcule o valor de x:
Figura 1.7: Triângulo retângulo
Na figura 1.7, você pode observar que a medida desconhecida x 
é o cateto oposto ao ângulo de 55º e que 3 cm corresponde ao 
cateto adjacente. Logo, a razão trigonométrica que iremos utilizar 
será a tangente.
tg 
tg 
55
55
3
1 428
3
4
º
º
,
,
=
=
=
=
cateto oposto
cateto adjacente
x
x
x 2284cm
2) Determine o valor de x:
Figura 1.8: Triângulo retângulo
29
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Agora você observa na figura 1.8, que a medida desconhecida é o 
cateto oposto ao ângulo de 30º e a hipotenusa vale 
16 cm. Portanto, utilizaremos a razão trigonométrica seno para 
encontrar a medida x.
sen
cateto oposto
hipotenusa
sen
 
 
30
30
16
1
2 16
2 16
8
º
º
=
=
=
=
=
x
x
x
x cmm
3) Encontre o valor de x:
Figura 1.9: Triângulo retângulo
Na figura 1.9 você pode observar que o cateto adjacente mede 10 
cm e a medida desconhecida x é a hipotenusa. Assim, usaremos a 
razão cosseno para descobrir o valor de x.
cos 
cateto adjacente
hipotenusa
cos 
60
60
10
1
2
10
20
º
º
=
=
=
=
x
x
x cm
30
Universidade do Sul de Santa Catarina
E então? 
Você sentiu dificuldade para compreender os 
exemplos?
Se sim, retorne à leitura buscando sanar suas dúvidas. 
Caso não compreenda, entre em contato com o(a) 
professor(a) tutor(a), via EVA (Espaço UnisulVirtual de 
Aprendizagem).
Se não sentiu dificuldades quanto à compreensão dos exemplos, 
observe os problemas abaixo:
P1) Um eletricista deseja conhecer a altura de um poste, sabendo 
que quando o ângulo de elevação do sol é de 68º, a sombra do 
mesmo projetada no solo, mede 2,4 m.
Modelo real Modelo matemático
 
Figura 1.10: Modelo real e matemático do problema P1
Solução:
A partir da figura 1.10, você pode observar a situação apresentada 
no problema P1 e perceber que a solução será encontrada por 
meio da razão trigonométrica tangente. Observe que a altura do 
poste, representada por x, é o cateto oposto ao ângulo de 68º e 
a medida do cateto adjacente ao mesmo ângulo é de 2,4 m, que 
corresponde a sombra do poste.
31
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
tg
cateto oposto
cateto adjacente 
tg
 68º 
 68º 
=
= x
2 4
2 475
,
, ==
=
x
x
2 4
5 94
,
, m
Lembre-se:
A tg 68º= 2,475 é obtida pela calculadora ou pela tabela 
trigonométrica.
Resposta: A altura do poste é de 5,94 m.
P2) Uma família desejando realizar um passeio de fim de 
semana, parte da sua cidade situada no nível do mar seguindo por 
uma estrada em aclive de 36º. Após percorrer 80 m a que altitude 
esta família estará?
Modelo real Modelo matemático
Figura 1.11: Modelo real e matemático do problema P2
Solução:
Observando a figura 1.11, você observa a situação apresentada 
no problema P2 e percebe que a solução será encontrada por 
meio da razão trigonométrica seno. A altitude em que a família 
se encontra, está representada por x, sendo denotada por 
cateto oposto ao ângulo de 36º. A medida da hipotenusa, que 
corresponde a distância percorrida pelo carro é de 80 metros.
32
Universidade do Sul de Santa Catarina
sen
cateto oposto
hipotenusa
sen
 36º 
 36º 
80
=
=
=
=
x
x
x
0 588
80
,
447 04, m
Resposta: A família estará a uma altitude 47,04 metros.
P3) Desejando saber qual a altura de uma torre, uma empresa 
de telefonia utilizou um teodolito, aparelho óptico de precisão 
utilizado para medir ângulos. O teodolito foi colocado a uma 
distância de 50 m da base da torre, num nível de observação de 
1,50 m e o ângulo marcado foi de 20º. 
Modelo real Modelo matemático
Figura 1.12: Modelo real e matemático do problema P3
Solução:
A situação apresentada no problema P3 está representada na 
figura 1.12 e você pode perceber que a solução será encontrada 
por meio da razão trigonométrica tangente. A altura da torre está 
representada por x, é denotada por cateto oposto ao ângulo de 
20º. A medida do cateto adjacente, que corresponde a distância 
entre o teodolito e a base da torre é de 50 metros.
tg 20º 
cateto oposto
cateto adjacente
tg 
50
=
=
=
20
0 364
º
,
x
xx
x
50
18 20= , m
33
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Note que o nível de observação do teodolito é de 1,50 metros, 
logo devemos acrescentá-lo ao resultado encontrado: h= 18,20 + 
1,50 = 19,70 metros. 
Resposta: A altura da torre é de 19,70 metros.
Você sabia...
Teodolito é um instrumento óptico de precisão para medir 
ângulos horizontais e verticais.
Em áreas de grande extensão, o topógrafo precisa, muitas 
vezes imaginar triângulos em pontos inacessíveis. Medindo 
três elementos desses triângulos, sendo que pelo menos um 
deles é um lado, ele pode encontrar as demais dimensões 
necessárias para uma aplicação prática. 
Veja a seguir, alguns aspectos históricos sobre Hiparco...
Retrospectiva Histórica
Acredita-se que, como ciência, a Trigonometria nasceu com o 
astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C. - 125 a.C.). Este 
grande astrônomo criou uma matemática aplicada para prever os 
eclipses e os movimentos dos astros, permitindo a elaboração de 
calendários mais precisos e maior segurança na navegação.
Hiparco estudou e sistematizou algumas relações entre os 
elementos de um triângulo, foi ele o primeiro a construir a tabela 
trigonométrica.
34
Universidade do Sul de Santa Catarina
Da vida de Hiparco sabe-se apenas que nasceu em Nicéia, em 
data desconhecida, e que trabalhou em Alexandria e Rodes. 
No tempo de Hiparco a filosofia pitagórica havia estabelecido 
um preconceito meramente especulativo: o de que os astros 
descrevem movimentos circulares perfeitos. E havia também o 
preconceito aristotélico, segundo o qual a natureza dos corpos 
celestes é imutável. Meteoritos e cometas não eram tidos como 
fenômenos astronômicos,mas atmosféricos, coisas deste mundo 
imperfeito e não da eterna impassividade celeste.
Foram idéias como essa que Hiparco refutou, com base nas 
observações efetuadas ao longo de uma carreira científica de 
mais de trinta anos, provavelmente entre os anos 161 e 127 a.C. 
No curso desses trabalhos, Hiparco viria a desvendar um novo 
campo da matemática, a trigonometria.
Infelizmente, é impossível avaliar hoje toda a extensão e o 
valor da obra deixada por Hiparco. Admite-se que tenha 
sido importante, pela influência que exerceu sobre cientistas 
posteriores.
SEÇÃO 3 - Relações trigonométricas em um triângulo 
qualquer: lei dos senos e lei dos cossenos
As razões trigonométricas estudadas até agora foram utilizadas 
em triângulos retângulos. Esta seção tem por finalidade mostrar 
outras relações que valem para quaisquer triângulos, assim, você 
estudará a seguir, valores de senos e cossenos de ângulos obtusos. 
Como esse assunto ainda não foi abordado, você aprenderá neste 
momento apenas como lidar com eles na prática e deixaremos a 
parte teórica, desses ângulos, para a próxima unidade.
Você sabia...
Ângulo obtuso é um ângulo cuja medida é maior que 90º.
35
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Lei dos senos
Um fazendeiro deseja instalar energia elétrica em uma parte de 
sua fazenda que é cortada por um rio. Para tanto, precisa colocar 
dois postes em lados opostos deste rio para permitir a passagem 
do fio. 
Para fazer este projeto é necessário saber a distância entre 
os postes, e a presença do rio impede a sua medição direta. 
Utilizando um aparelho apropriado, o teodolito, o fazendeiro 
posicionou-se em um local em que era possível visualizar os dois 
postes e medir a distância entre eles, o ângulo obtido entre a 
linha de visão dele e os postes foi de 120º. Seu ajudante mediu a 
distância entre o poste mais afastado e o fazendeiro obteve 100 
metros. Mediu também o ângulo entre a linha do poste mais 
próximo do fazendeiro e a linha entre os postes, obtendo 45º. 
Modelo real Modelo matemático
Figura 1.13: Modelo real e matemático do problema enunciado
Note que no modelo matemático da figura 1.13, temos o 
triângulo AÔB obtusângulo e descobrir a medida do lado AB é 
a resolução do problema. Para encontrarmos esta medida vamos 
estudar a lei dos senos cujo teorema é enunciado abaixo.
Teorema
Em todo o triângulo, as medidas dos lados são 
proporcionais aos senos dos ângulos opostos:
a b c
sen A sen B sen C
^ ^ ^= =
36
Universidade do Sul de Santa Catarina
Considere o triângulo ABC representado na figura 1.14:
 
Figura 1.14: Lei dos senos
Agora observe a resolução do problema!
100
45 120
100
2
2
3
2
2
2
100 3
2
100 3
2
100 3
2
2
2
100
sen
d
sen
d
d
d
d
d
º º
.
=
=
=
=
=
= 66
4
100 6
2
50 6
122 47
d
d
d m
=
=
= ,
 
Resposta: A distância entre os postes é de aproximadamente 
122,47 metros.
Na seqüência, acompanhe a demonstração dessa lei.
37
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Existem três casos a considerar:
O triângulo ABC é retângulo;
O triângulo ABC é obtusângulo;
O triângulo ABC é acutângulo.
Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo. Os 
outros dois casos você irá demonstrar na resolução do exercício 19 
das atividades de auto-avaliação ao final desta unidade.
Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na figura 
1.15:
 
Figura 1.15: Representação do triângulo para demonstração
Sejam AH
1
 e BH
2
 as alturas relativas aos lados BC e AC 
respectivamente.
No triângulo retângulo AH
1
C, temos que
sen C sen C
^
1
^
= ⇒ =h
b
h b1 .
. [1]
No triângulo retângulo AH
1
B, temos que
sen B sen B
^
1
^
= ⇒ =h
c
h c1 .
. [2]
Comparando [1] e [2], temos:
b.sen C
^
 = c.sen B
^
 ⇒ = 
sen B sen C
^ ^
b c
 [A]



38
Universidade do Sul de Santa Catarina
No triângulo retângulo BH
2
C, temos que
sen C sen C
^
2
^
= ⇒ =h
a
h a2 . . [3]
No triângulo retângulo AH
2
B, temos que
sen A sen A
^
2
^
= ⇒ =h
c
h c2 . . [4]
Comparando [3] e [4], temos:
a.sen C
^
 = c.sen A
^
 ⇒ = 
sen A sen C
^ ^
a c
 [B]
De [A] e [B] podemos concluir que:
a b c
sen A sen B sen C
^ ^ ^= =
Lei dos cossenos
Na duplicação da BR-101, em um dos pontos do trecho sul, é 
necessário a construção de uma ponte que una os pontos A e 
B conforme a figura a seguir. O engenheiro responsável pela 
obra só conseguiu as seguintes medidas: AC=30m, BC=50m e a 
medida do ângulo entre esses lados 120º. Ele necessita descobrir 
qual a extensão da ponte. 
Modelo real Modelo matemático
Figura 1.16: Modelo real e matemático do problema enunciado no exemplo.
39
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Perceba agora que, no modelo matemático temos o triângulo 
ABC obtusângulo representado na figura 1.16, e descobrir a 
medida do lado AB é a resolução do problema. A aplicação da 
lei dos cossenos é a solução deste problema. Observe o que diz o 
teorema:
Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado 
é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros 
dois lados, menos duas vezes o produto das medidas 
desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto 
àquele lado, ou seja:
a b c b c A
b a c a c B
c a b a b
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
= + −
= + −
= + −
. . .cos
. . .cos
. . .cos
^
^
CC
^
Figura 1.17: lei do cossenos
Voltando ao problema inicial, de acordo com o triângulo na 
figura 1.17, para encontrar o comprimento da ponte, precisamos 
encontrar a medida d. Para isso, utilizaremos a lei dos cossenos: 
AB AC BC AC BC
d
d
2 2 2
2 2 2
2
2 120
30 50 2 30 50 0 5
900
= + −
= + − −
=
. . .cos º
. . .( , )
++ +
=
=
=
2500 1500
4900
4900
70
2d
d
d m
Resposta: A extensão da ponte deve ser de 70 metros.
Na seqüência, acompanhe a demonstração dessa lei.
40
Universidade do Sul de Santa Catarina
Existem três casos a considerar:
O triângulo ABC é retângulo;
O triângulo ABC é obtusângulo;
O triângulo ABC é acutângulo.
Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo. 
Na seleção das atividades de auto-avaliação, você resolverá a 
atividade 18 que contempla o segundo e o terceito caso onde, Â é 
reto e  é obtuso respectivamente.
Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na figura 
1.18:
Figura 1.18: Representação do triângulo para demonstração
Demonstração:
O segmento CH representa a altura relativa ao lado AB do 
triângulo ABC, logo CH é perpendicular a AB.
Perceba que a altura CH divide o triângulo ABC em dois 
triângulos retângulos de acordo com a figura 
1.19.



41
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Figura 1.19: Representação dos triângulos para demonstração.
Aplicando o Teorema de Pitágoras em ambos os triângulos, 
temos:
b2 = m2 + h2 a2 = h2 +(c-m)2 
h2 = b2 - m2 [1] a2 = h2 + c2 -2.c.m + m2 [2]
Substituindo [1] em [2], temos:
a2 = b2 - m2 + c2 -2.c.m + m2 
a2 = b2 + c2 -2.c.m [3]
Note no triângulo A H C 
^
 que temos: cos A
m
b
^
=
Logo m = b.cos [4]
Substituindo [4] em [3], temos:
a2 = b2 + c2 -2.b.c. cosÂ
De forma análoga, você demonstra que:b2 = a2 + c2 -2.a.c. cos B
^
.
c2 = a2 + b2 -2.a.b. cos C
^
.
42
Universidade do Sul de Santa Catarina
Retrospectiva Histórica
Considerado o mais eminente matemático do século 
XVI, François Viète (1540-1603) contribuiu bastante 
para o avanço do estudo da trigonometria. A forma 
atual da expressão do teorema dos cossenos foi 
estabelecida por ele.
Figura 1.20 - Fonte: http://www.sulinet.hu/ematek/html/images/arckepek/viete.jpg.
Capturado em 16/04/06.
Utilizando recursos tecnológicos na trigonometria
O uso de softwares no ensino é importante. No ensino da 
trigonometria pode ser muito interessante no que diz respeito 
à visualização de vários conceitos explorados no triângulo 
retângulo e em triângulos quaisquer. Como sugestão, indicamos 
o software Thales. 
Síntese
Nesta unidade você estudou as razões trigonométricas, as leis 
do seno e cosseno, bem como suas aplicações. Você deve ter 
observado que os conteúdos abordados são muito úteis para 
calcular distâncias inacessíveis. Você deverá ter resolvido os 
Você poderá encontrar o software 
acessando o site: 
http://www.unifra.br/cursos/
downloads.asp?curs=25&grad=M
atem%C3%A1tica&endereco=ma
tematica
43
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
exercícios da auto-avaliação e esclarecido todas as suas dúvidas 
com o professor-tutor para prosseguir seus estudos. Na próxima 
unidade, trabalharemos com a trigonometria na circunferência. 
Atividades de auto-avaliação
1) Considerando o triângulo eqüilátero ABC de lado a, deduza os valores 
do seno, do cosseno e da tangente de 30º e 60º.
2) Qual o valor de a e c no triângulo ABC?
3) Calcule as medidas desconhecidas indicadas nos triângulos abaixo:
a)
 
44
Universidade do Sul de Santa Catarina
b)
4) Considere o trapézio retângulo ABCD da figura e determine as medidas 
x e y indicadas:
 
5) Observando a seguinte figura, determine:
a) O valor de a;
45
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
b) O valor de b;
c) A medida do segmento AD.
6) Calcule o valor de x e y indicados na figura abaixo:
7) Observe o triângulo a seguir, sabendo que a medida do lado AD é 
40 cm, encontre a medida do lado BC.
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
8) Duas pessoas A e B estão situadas na mesma margem de um rio, 
distante 60 3 m uma da outra. Uma terceira pessoa C, na outra 
margem, está situada de tal modo que AB seja perpendicular a AC e a 
medida do ângulo seja 60º. Determine a largura do rio.
9) Uma árvore projeta uma sombra de 30 m quando o sol se encontra a 
64º acima da linha do horizonte. Qual a altura da árvore?
10) (VUNESP/99) Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando 
um ângulo de 45º. Um posto de gasolina se encontra na rodovia A, 
a 4 Km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea C, 
perpendicular a rodovia B. Qual a distância, em Km, do posto de 
gasolina a rodovia B, indo através de C?
11) Um estudante de matemática vê um prédio, do Campus da UNISUL 
de Tubarão SC, construído em um terreno plano, sob um ângulo de 
30º. Aproximando-se do prédio por mais 20 metros, passa a vê-lo sob 
um ângulo de 60º. Considerando que a base do prédio está no mesmo 
nível do olho do estudante, determine a altura do prédio e a que 
distância está o estudante do mesmo.
12) Determine na figura a seguir, a medida do lado AB, sabendo-se a 
medida do lado AC é 3 3cm .
47
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
13) No triângulo RPM determine o valor de x sabendo que: MP= 10 2 cm; 
med( )=60º e med( )=75º.
 
14) Determine o valor de x na figura abaixo:
15) Qual o perímetro do quadrilátero ABCD?
16) Dois ângulos de um triângulo medem 60º e 75º. Se o lado oposto ao 
menor ângulo mede 18 2 cm, qual é o comprimento do lado oposto 
ao ângulo de 60º do triângulo?
48
Universidade do Sul de Santa Catarina
17) Os lados de um paralelogramo medem cada um 8 cm, e o menor 
ângulo que eles formam mede 60º. Calcule a medida em cm da menor 
das diagonais deste paralelogramo.
18) Prove a lei dos cossenos quando:
a) o ângulo  for reto.
b) o ângulo  for obtuso.
19) Prove a lei dos senos quando:
a) o ângulo  for reto.
b) o ângulo  for obtuso.
Desafios na Trigonometria
1)(ITA-SP) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual o 
valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a 
cm, se forem satisfeitos as relações 3a=7c e 3b=8c?
49
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
2) (Unicamp-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e 
bombeada do rio para uma caixa d’água a 50 m de distância. A 
distância da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa 
d’água/bomba e caixa d’água/casa é de 60º. Se pretendemos bombear 
água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de 
encanamento são necessários?
Saiba mais
Como você estudou, o uso da trigonometria não se limita apenas 
a estudar triângulos. Sua aplicação é bastante difundida em 
vários setores tais como Engenharia, Astronomia, Topografia, 
Mecânica, etc. 
Para saber mais sobre estas aplicações, consulte o site:
http://www.mat.ufpr.br/~licenciar/links/f-trig.htm onde você 
verá o cálculo de distâncias entre a Terra e o Sol, a Terra e a Lua 
e também a aplicação da trigonometria na construção de um 
túnel.
UNIDADE 2
Conceitos Básicos da 
Trigonometria
Objetivos de aprendizagem
 Expressar e converter a medida de um ângulo de graus 
para radianos e vice-versa.
 Calcular a primeira determinação positiva de arcos 
maiores que 360º.
 Introduzir o conceito de seno e cosseno para ângulo de 
0º a 360º. 
 Reduzir arco ao 1º quadrante.
Seções de estudo
Seção 1 Arcos e Ângulos 
Seção 2 Conhecendo a Circunferência Trigonométrica
Seção 3 Seno e Cosseno na Circunferência 
Trigonométrica
Seção 4 Simetrias
Seção 5 Redução ao primeiro Quadrante
2
52
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa
Nesta unidade, você ampliará os estudos de seno e cosseno. A 
Trigonometria estudada na unidade 1 passará a ocupar toda 
uma circunferência, ou seja, o objeto de estudo desta unidade 
é definir as razões seno e cosseno, estudadas anteriormente, 
na circunferência trigonométrica, também conhecida como 
circunferência unitária.
Na unidade anterior, você estudou a Trigonometria com 
o objetivo de resolver problemas utilizando os triângulos 
retângulos, isto é, utilizou a Trigonometria na forma com a 
qual ela apareceu há milhares de anos. Nas seções a seguir, 
serão abordados o seno e o cosseno de forma mais acentuada, 
trabalhando a Trigonometria como uma necessidade atual da 
Matemática.
SEÇÃO 1 - Arcos e Ângulos
Considere a circunferência na figura 2.1.
Figura 2.1: Arco de circunferência
Observe que os pontos A e B dividem a circunferência 
em duas partes. Estas partes são denominadas arcos de 
circunferência.
53
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Temos:
O arco , em que o ponto A é a origem e B é a 
extremidade do arco;
o arco , em que o ponto B é a origem e A é a 
extremidade do arco.
Você sabia...
Arco nulo é o ponto;
Arco de uma volta é a 
circunferência. 


Ângulo Central
Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro da 
circunferência. 
Observe a figura 2.2:
Figura 2.2: Ângulo Central
A medida de AÔB é α e denotamos por med(AÔB)= α.
A medida do arco AB é α e denotamos por med( )= α.


54
Universidade do Sul de Santa Catarina
Note que a medida de um arco não representa a medida do 
comprimento desse arco. 
Observe a figura 2.3:
Figura 2.3: Arcos de circunferência
Os arcos e possuem a mesma medida α, porém, possuem 
comprimentos diferentes, m e n respectivamente.
Unidades de medida de arcos e ângulos
Conheça agora asunidades mais utilizadas para medir arcos e 
ângulos de circunferência. São elas: o grau e o radiano.
Grau
Você já sabe que uma circunferência é dividida em 360 partes 
iguais. O grau é uma dessas 360 partes:
1
1
360
º = da circunferência.

55
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Você sabia...
Existe uma terceira unidade de medida de arco que é o 
grado. Grado é a medida de um arco igual a 1/400 do arco 
completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.
Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo.
1
1`
60
=
 
do grau.
1
1` `
60
= do minuto.
Radiano
Radiano é um arco cujo comprimento é igual ao raio da 
circunferência que o contém, cuja notação é rad. Observe a figura 
2.4:
Figura 2.4: Radiano
Note que, esticando o arco , a medida do segmento obtido 
será igual à do raio.
56
Universidade do Sul de Santa Catarina
Relação entre grau e radiano
Lembre-se que o comprimento de uma circunferência 
é calculado pela fórmula 2C rπ= , onde r é o raio da 
circunferência.
Como cada raio r equivale a 1 rad, fica claro que o arco de uma 
volta de circunferência corresponde a 2π rad. Então, tem-se a 
seguinte relação:
360º → 2π rad ou 180º → π rad
É possível estabelecer os seguintes resultados entre as três 
unidades:
Desenho
Grau 90 180 270 360
Grado 100 200 300 400
Radiano π/2 π 3π/2 2π
Observação: 
0 graus = 0 grado = 0 radianos
Veja alguns exemplos de como é feita a conversão entre o grau e o 
radiano:
1) Vamos converter 300º em radianos.
180
300
180
300
18
30
3
5
3 5
5
3
rad
x
rad
x
rad
x
rad
x
x rad
x rad
π
π
π
π
π
π
→
→
=
=
=
=
=




57
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Note que você deverá usar a simplificação até transformar a 
fração na forma irredutível, pois o resultado é expresso na forma 
de fração e não em forma decimal.
2) Transforme 
3
4
rad
π
 em graus.
Como já se viu que π rad → 180º, tem-se:
3 3.180 540
135
4 4 4
rad
π = = =
 

3) Vamos transformar 15º 30 ’ em radianos.
Primeiro, transforma-se 15º 30 ’ em minutos:
1º = 60’
15º 30’ = 15.60’ + 30’ = 900’ + 30’ = 930’
Agora, transforma-se 180º também em minutos:
180º = 180.60’ = 10800’
Então, tem-se:
10800
930
10800
930
1080
93
360
31
360 31
31
360
'
'
'
rad
x
rad
' x
rad
x
rad
x
x rad
x rad
π
π
π
π
π
π
→
→
=
=
=
=
=
58
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tudo com você!
Vá até a página de auto-avaliação e resolva as 
atividades referentes a este assunto.
Comprimento de arco de circunferência
Como você estudou anteriormente, a medida de um arco não 
representa o seu comprimento, pois este depende do raio da 
circunferência em que esteja contido. 
Por exemplo, um arco 1 de 60º tomado sobre uma 
circunferência de raio 15 cm, tem comprimento maior que um 
arco 2 também de 60º, tomado sobre uma circunferência de 
7cm de raio.
Então, tem-se:
Sendo AÔB um ângulo central de medida α rad e o arco de 
comprimento 

, pode-se estabelecer:
Comprimento do arco Medida do arco
 r _________________________ 1 rad
  _________________________ α rad
que fornece a relação  =α . r
Essa relação permite calcular o comprimento de um arco 
de circunferência em função do raio e do ângulo central 
correspondente, medido em radianos.
59
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Acompanhe alguns exemplos que envolvem o comprimento de 
arco de circunferência.
1) Considere a circunferência representada na figura 2.5:
Figura 2.5: Comprimento de arco de circunferência
Determine, em cm, o comprimento  do arco , sabendo que 
α =3 rad.
Resolução:

=α.r

=3.6

=18 cm
2) Qual o valor, em rad, do arco de uma circunferência de 3m de 
raio, sabendo-se que o comprimento desse arco é de 4,5 metros?
3
4 5
3
1 5
.r
4,5 .
,
, rad
α
α
α
α
=
=
=
=

3) O pêndulo de um relógio, cujo comprimento é de 25 cm, 
executa o movimento de A para B, conforme mostra a figura 2.6. 
Determine o comprimento do arco descrito pela extremidade 
do pêndulo. Use π=3,14.
60
Universidade do Sul de Santa Catarina
Figura 2.6: Pêndulo
Resolução:
O raio r é representado pelo pêndulo, então, r = 25 cm. 
O ângulo α =2.35º = 70º. 
Agora, veja a conversão de grau para radianos, pois, como você 
sabe, para o cálculo do comprimento de um arco, não é possível 
utilizar a medida em graus.
180
70
180
70
18
7
18 7
7
18
º rad
º x
º rad
º x
rad
x
x rad
x rad
π
π
π
π
π
→
→
=
=
=
=
Na seqüência, calcula-se o comprimento do arco .

=α.r
7
25
18
175
18
175 3 14
18
30 53
.
. ,
, cm
π
π
=
=
=
=




61
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Verifique se você realmente compreendeu esta seção, 
resolvendo os exercícios propostos na auto-avaliação. 
Em caso afirmativo, passe para a seção 2, onde será 
abordado o ciclo trigonométrico. Se você percebeu 
dificuldade em resolver os exercícios, procure 
sanar suas dúvidas com o tutor, ou retome a seção 
novamente.
SEÇÃO 2 - Conhecendo a circunferência trigonométrica
Quando se fala em ‘ciclo trigonométrico’, fala-se da mesma 
circunferência que conhecemos, só que com características 
específicas. O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio 
unitário (r = 1), cujo centro é a origem do sistema cartesiano. Ele 
é orientado positivamente no sentido anti-horário. Observe a 
figura 2.7:
Figura 2.7: Ciclo Trigonométrico
O centro da circunferência é O(0,0).
O raio da circunferência é unitário, r = 1. 
O ponto A(1,0) é a origem dos arcos, isto é, os arcos são 
medidos a partir de A.
O sistema de coordenadas cartesianas divide a 
circunferência em quatro regiões, chamadas quadrantes.
Dizemos que um arco pertence ao quadrante no qual se 
encontra sua extremidade.





62
Universidade do Sul de Santa Catarina
Veja alguns exemplos:
1) Identifique a que quadrantes pertencem os arcos cujas medidas 
são:
a) 130º
Como você pode observar, o arco de 130º, partiu do ponto A no 
sentido positivo e sua extremidade está no 2º quadrante, logo, ele 
pertence a este quadrante.
b) -120º
Agora, observe que o arco de -120º partiu do ponto A, no 
sentido negativo e sua extremidade está no 3º quadrante, logo, ele 
pertence a este quadrante.
63
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
c) 
5
)
3
c rad
π
Neste exemplo, você observa que o arco de 5
3
rad
π partiu 
do ponto A no sentido positivo, e sua extremidade está no 4º 
quadrante, logo, ele pertence a este quadrante.
Arcos Côngruos
Observe as circunferências representadas na figura 2.8:
Figura 2.8: Arcos Côngruos
Você pode observar que o arco permanece com a mesma 
extremidade, independentemente do número de voltas completas 
na circunferência.
Assim sendo, é possível definir arcos côngruos como:
Arcos que possuem a mesma extremidade e diferem, 
apenas, pelo número de voltas completas na 
circunferência.
64
Universidade do Sul de Santa Catarina
Na figura 2.9, marcamos um arco de 60º.
Figura 2.9: Arcos côngruos a 60º
É fácil observar que os arcos de 60º, 420º e 780º têm a mesma 
extremidade e, ainda, que poderíamos encontrar infinitos outros 
arcos com origem em A e a mesma extremidade. Para isso, basta 
descrevermos voltas completas na circunferência.
Dessa forma, podemos escrever:
60º = 60º + 0.360º
420º = 60º + 1.360º
780º = 60º + 2.360ºAssim:
Se um arco mede α graus, a expressão geral dos arcos côngruos a 
ele é:
α + k. 360º, k ∈ Z
Se um arco mede α radianos, a expressão geral dos arcos 
côngruos a ele é:
α +2kπ, k ∈ Z
É importante que você saiba que, se o arco for negativo, basta 
fazer o percurso das voltas no sentido negativo e também ter-se-á 
infinitos arcos côngruos com medidas negativas. 



65
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Faça a mesma representação gráfica 2.9 para 
este caso. É uma boa forma de verificar se você 
compreendeu o assunto. Não esqueça que o sentido 
negativo, no ciclo trigonométrico, é o sentido horário.
Como visto, a cada ponto da circunferência, podem estar 
associados infinitos arcos côngruos. Chamamos, então, de 
primeira determinação positiva de um arco, a medida α do arco 
côngruo a ele, tal que 0 ≤ α < 360º ou 0 ≤ α < 2 π rad.
Acompanhe alguns exemplos:
1) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão 
geral dos arcos côngruos a 1240º.
Solução:
Os arcos côngruos diferem apenas pelo número de voltas 
completas. Logo, deve-se fazer a divisão do arco de 1240º por 
360º. Dessa forma, obtém-se o número de voltas completas e a 
sua primeira determinação positiva.
Logo, 160º é a primeira determinação positiva e 3 representa o 
número de voltas completas.
A expressão geral dos arcos côngruos a 1240º será: 
β = 160º+ k. 360º, k ∈ Z
2) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão 
geral dos arcos côngruos a -1352º.
Solução:
Daí, -272º + 360º = 88º. 
66
Universidade do Sul de Santa Catarina
Logo, 88º é a primeira determinação positiva de -1352º.
A expressão geral dos arcos côngruos a -1352º será:
β = 88º+ k. 360º, k ∈ Z
3) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão 
geral dos arcos côngruos a 
11
3
rad
π
.
Solução:
Para resolver este exercício, deve-se escrever o arco considerado 
desmembrando-o de forma conveniente:
Observe que, para desmembrar a fração de forma conveniente, é 
necessário pensar em um número que seja imediatamente menor 
que o numerador, tal que, dividido pelo denominador, resulte em 
um número par.
Logo, 
5
3
rad
π
 é a primeira determinação positiva de 
11
3
rad
π
.
A expressão geral dos arcos côngruos a 
11
3
rad
π
 será:
β = 5
3
π
 + 2 ,kπ, k ∈ Z.
67
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
4) Determine, na circunferência trigonométrica, o quadrante 
onde está a extremidade dos seguintes arcos:
a) 1720º
Solução:
Para solucionar esta questão, primeiramente, divida o número 
apresentado no problema por 360º. Assim, você encontrará o arco 
de 280º, que é côngruo ao arco de 1720º.
Logo, eles possuem a mesma extremidade e estão, dessa 
forma, no mesmo quadrante que, neste caso, é o quarto, pois 
270º < 280º < 360º.
b) 19
4
π
Solução:
Veja que, novamente, encontramos a primeira determinação 
positiva do arco, que é 
3
4
rad
π
.
Como você percebe, este arco é côngruo a 19
4
π rad e, portanto, 
ambos possuem a mesma extremidade.
Logo, o arco de 19
4
π rad está é no 2º quadrante. 
Para entender melhor, note que 3
4
rad
π é equivalente a 135º.
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
Você sabia...
Normalmente, as pessoas justificam que o raio da 
circunferência é r=1, porque nas definições dadas para 
tangente e secante, bem como nas definições de seno e 
cosseno, figura sempre o raio r do círculo no denominador. 
Se supusermos r=1, as fórmulas se simplificarão bastante. 
Tal explicação deve ser complementada com a observação 
de que tomar r=1 corresponde a escolher o comprimento 
do raio como unidade de medida. Como todas as linhas 
trigonométricas são quocientes entre duas medidas, o 
valor de cada uma delas se mantém inalterado quando elas 
passam de uma unidade para outra. Por isso, é interessante 
convencionar r=1.
(Fonte adaptada do livro Matemática Ensino Médio 2ª Luiz Roberto Dante, São Paulo, 
Ática, 2004)
SEÇÃO 3 - Seno e Cosseno na Circunferência 
Trigonométrica
Na unidade anterior, os valores do senα e cosα foram definidos 
apenas para ângulos agudos, ou seja, para 0
2
πα< < .
Agora, nesta seção, você estudará o seno e cosseno de arcos ou 
ângulos maiores que 
2
π rad, algo impensável quando se trabalhava 
com triângulos retângulos. Você também poderá trabalhar com 
senos e cossenos de ângulos negativos. Veja só que interessante!!!
Definindo Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica
Considere a figura 2.10:
69
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Figura 2.10: Seno e Cosseno na Circunferência
Então:
Seno do arco cuja medida é x é a ordenada do ponto M, 
ou seja: senx=OM”;
Cosseno do arco cuja medida é x é a abscissa do ponto 
M, ou seja: cosx=OM’.
Veja por que:
Figura 2.11: Seno e Cosseno


70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Observe o triângulo retângulo OM’M da figura 2.11. Neste 
triângulo podem-se aplicar as razões trigonométricas, estudadas 
na unidade 1.
Para isso, retira-se o triângulo do ciclo trigonométrico para 
melhor visualização. Observe a figura 2.12: 
Figura 2.12: Triângulo Retângulo
Aplicando-se as razões trigonométricas nesse triângulo, tem-se:
'
'
1
'
''
cateto oposto
sen x
hipotenusa
MM
sen x
OM
MM
sen x
sen x MM
sen x OM
=
=
=
=
=
 
cos
'
cos
'
cos
1
cos '
cateto adjacente
x
hipotenusa
OM
x
OM
OM
x
x OM
=
=
=
=
Observe, no ciclo trigonométrico, que MM’=OM”.
Dessa forma, mostramos que o seno de um arco é a 
ordenada do ponto que representa a extremidade 
deste arco e o cosseno é a abscissa desse ponto.
Podemos nos referir aos valores dos arcos em graus ou radianos. 
Também podemos pensar em seno e cosseno de arcos maiores 
que 90º, algo impensável quando trabalhávamos com triângulos 
retângulos. É possível, ainda, pensar em senos e cossenos de 
ângulos negativos.
71
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Na unidade 1, você viu que alguns ângulos são considerados 
notáveis por serem mais utilizados na resolução de problemas, 
são eles: 30º ou 
6
π
 rad, 45º ou 
4
π
rad e 60º ou 
3
π
 rad. Observe a 
representação geométrica do seno e do cosseno de cada um deles:
1
sen
6 2
3
6 2
cos
π
π
=
=
2
sen
4 2
2
cos
4 2
π
π
=
=
3
sen
3 2
1
cos
3 2
π
π
=
=
Agora, serão acrescentados outros arcos que também podem ser 
considerados notáveis: 0º ou 0 rad, 90º ou 
2
π rad, 180º ou π rad,
270º ou 
3
2
π
 rad e 360º ou 2π rad. Geometricamente, cada um
deles, representa o seno e o cosseno. Observe:
72
Universidade do Sul de Santa Catarina
73
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Veja a tabela 2.1, onde estão reunidos os valores do seno e 
cosseno representados geometricamente. 
Tabela 2.1: Valores Notáveis
x 0 (30º)
6
π
 (45º)
4
π
 (60º)
3
π
 (90º)
2
π
 (180º)π 3 (270º)
2
π
2 (360º)π
senx 0
1
2
2
2
3
2
1 0 -1 0
cosx 1
3
2
2
2
1
2
0 -1 0 1
Você sabia...
Criada por Edmund Gunter, a palavra cosseno surgiu no 
século XVII como sendo o seno do complemento de um 
ângulo. Gunter sugeriu combinar os termos “complemento” 
e “seno” em co-sinus, que logo foi modificado para cosinus 
e, em português “co-seno”. Os conceitos de seno e cosseno 
tiveram origem nos problemas relativos à Astronomia.
Acompanhe alguns exemplos, onde serão calculados os senos e 
cossenos de arcos maiores que 360º.
74
Universidade do Sul de Santa Catarina
1) Calcule o valor de sen1845º.
Solução:
Primeiramente, calcula-se a1ª determinação positiva:
Então, sen1845º = sen45º =
2
2
.
Logo, 
2
1845º
2
sen = .
2) Calcule o valor de cos(-900º).
Solução:
Deve-se calcular a primeira determinação positiva de (-900º).
Perceba que -180º é a primeira determinação negativa, e precisa-
se da primeira determinação positiva. 
Assim: -180º + 360º = 180º. 
Logo, a primeira determinação positiva é 180º.
Tem-se, então, que:
cos(-900º)=cos180º=-1
Logo, cos(-900º)=-1
3) Calcule o valor de 
19
sen .
3
π
.
Solução: Vamos calcular a primeira determinação positiva.
19 18
6
3 3 3 3
π π π ππ= + = +
Assim, temos que 3
π
 é a primeira determinação positiva de 
19
3
π
.
75
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Dessa forma, 
19 3
sen sen
3 3 2
π π= = .
Logo, 19 3sen
3 2
π = .
Que tal conhecer mais sobre a história do seno?
Retrospectiva histórica
Enquanto na obra de Ptolomeu, intitulada “Almagesto”, a 
“Trigonometria” era fundamentada no estudo da relação entre 
um arco arbitrário e sua corda, os hindus apresentaram uma 
trigonometria que relacionava a metade da corda e a metade do 
ângulo central correspondente a esta corda. Uma vez conhecido o 
valor do comprimento de uma corda, pode-se calcular o seno da 
metade do arco correspondente, pois a metade do comprimento 
da corda dividido pelo comprimento do raio do círculo é, 
justamente, esse valor, ou seja, para um círculo de raio unitário, o
comprimento da corda subtendida por um ângulo x é x2sen
2
 
  
.
Observe a figura 2.13:
Figura 2.13: Meia corda
76
Universidade do Sul de Santa Catarina
^
2
2
2 2
OB r
AO B x
AB
x
sen
r
x AB
sen
r
=
=
=
=
Os hindus chamaram esta meia corda de jiva.
O matemático indiano Aryabhata, por volta do ano 500, 
elaborou tabelas envolvendo metades de cordas que, atualmente, 
são reconhecidas como tabelas de senos. Ele usou jiva no lugar de 
seno. Não é incrível? 
Figura 2.14: Aryabhata. Extraído do site: www.freeindia.org/dynamic_includes/images/aryabhata.jpg 
Acesso em 28/06/06.
Durante algum tempo, os matemáticos árabes oscilaram entre o 
Almagesto e a Trigonometria de jiva. O conflito chegou ao final 
quando, entre 850 e 929, o matemático árabe Al-Battani, adotou 
a Trigonometria hindu, introduzindo uma preciosa inovação - o 
círculo de raio unitário. Surgiu então, o nome da função seno. 
77
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Figura 2.15: Al-Battani www.islamonline.com/cgi-bin/news_service/prof... (acesso em 28/06/06)
A palavra hindu jiva (meia corda), dada ao seno, foi traduzida 
para o árabe que o chamou de jiba. Tal palavra tem o mesmo som 
que jiva. Daí, jiba se tornou jaib nos escritos árabes. A palavra 
árabe adequada que deveria ter sido traduzida seria jiba, que 
significa a corda de um arco, em vez de jaib, pois foi o estudo das 
cordas de arcos numa circunferência que originou o seno.
O nome seno vem do latim sinus que significa seio, volta, curva, 
cavidade. Muitas pessoas acreditam que este nome se deve ao fato 
de o gráfico da função correspondente ser bastante sinuoso. Mas, 
na verdade, sinus é a tradução latina da palavra árabe jaib, que 
significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta que não tem 
nada a ver com o conceito matemático de seno. Trata-se de uma 
tradução defeituosa que dura até hoje.
SEÇÃO 4 - Simetrias 
Considere a circunferência trigonométrica representada na figura 
2.16:
Figura 2.16: Simetria
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
Os pontos M
1
, 
 
M
2
, M
3
 e M
4
, vértices do retângulo 
M
1
M
2
M
3
M
4
, estão associados a arcos com origem no ponto A.
Os pontos M
2
, M
3
 e M
4
, são ditos simétricos de M
1
, no 2º, 3º e 
4º quadrantes, respectivamente.
Os arcos AM
1
, A’M
2
, A’M
3
 e AM
4
 são congruentes de medida 
α, em grau ou radiano. 
Conhecendo-se a medida de um deles, é possível, pela simetria 
existente, calcular a medida dos outros. Observe as figuras 2.17 e 
2.18.
Em Grau:
Figura 2.17: Simetria em graus
Em Radiano:
Figura 2.18: Simetria em radianos
79
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Utilizando as unidades indicadas em cada 
circunferência trigonométrica, determine as medidas 
dos arcos trigonométricos simétricos na primeira volta 
positiva:
a) 
 
Solução:
Veja que o arco mede 60º, e que os pontos C, D 
e E são simétricos a B. Portanto, os arcos , , e 
 são congruentes de medida 60º.
Logo, os arcos , e , serão determinados 
do seguinte modo:
 =180º - 60º
 =120º.
 
 = 180º + 60º
 = 240º.
 
 = 360º - 60º
 = 300º.
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 
Solução:
Veja que o arco é 
17
12
π
 rad, e que os pontos B, C
e E são simétricos a D. Portanto, os arcos , e 
 são congruentes de medida 17
12
π rad.
 
Logo, os arcos , e serão determinados do 
seguinte modo:
81
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
SEÇÃO 5 - Redução ao primeiro quadrante
Nesta seção, você vai constatar que, utilizando a simetria 
estudada, poderá determinar os valores do seno e cosseno 
de arcos, de qualquer quadrante, com os valores do primeiro 
quadrante. 
Para isso, use a redução ao primeiro quadrante, que trabalha com 
os sinais das funções seno e cosseno indicadas nas figuras 2.19 e 
2.20:
Figura 2.19: Sinal do cosseno Figura 2.20: Sinal do seno
Observe a tabela 2.2:
Tabela 2.2: Sinal do seno e cosseno
Quadrante cos α sen α
1º + +
2º - +
3º - -
4º + -
Note que os sinais do seno e do cosseno de um arco x dependem 
do quadrante a que pertence a extremidade do arco.
Quando reduzimos um arco dado ao primeiro quadrante, 
estamos determinando um arco do primeiro quadrante cujo seno 
e o cosseno são iguais em valor absoluto aos do seno e cosseno do 
arco dado.
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
Observe como se faz esta redução:
Redução do segundo quadrante para o primeiro 
quadrante:
Figura 2.21: 2º Quadrante 
Perceba que, na figura 2.21, falta x para 180º. Logo, podemos 
afirmar que x e (180º-x) têm senos iguais e cossenos simétricos.
Redução do terceiro quadrante para o primeiro 
quadrante:
Figura 2.22: 3º Quadrante 
Agora, perceba que, na figura 2.22, x e (180º+x) têm senos e 
cossenos simétricos.


83
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante:
Figura 2.23: 4º Quadrante 
Veja que, na figura 2.23, os arcos x e (360º-x) têm senos 
simétricos e cossenos iguais.
De modo análogo, estas reduções valem para arcos em radianos.
Acompanhe os exemplos a seguir:
1) Calcule sen150º e cos150º.
Solução:
O arco de 150º pertence ao 2º quadrante. Logo, usa-se o primeiro 
caso da redução:
x = 180º - 150º
x = 30º
Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que auxilia a 
obter o seno e cosseno procurado.
Como 150º é um arco do segundo quadrante, usa-se o sinal do 
seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.
Assim, tem-se:
1
150º 30º
2
sen sen= =
3
cos150º cos30º
2
= − = −

84
Universidade do Sul de Santa Catarina
Logo, 1150º
2
sen = e 3cos150º
2
= −
2) Obtenha sen 240º e cos 240º.
Solução:
O arco de 240º pertence ao 3º quadrante. Logo, usa-se o segundo 
caso da redução:
x = 240º - 180º
x = 60º
Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que auxilia a 
obter o seno e cosseno procurado.
Como 240º é um arco do terceiro quadrante, usa-se o sinal do 
seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.
Assim, tem-se:
3
240º 60º
2
sen sen= − = −
1
cos 240º cos 60º
2
= − = −
Logo,
3
240º
2
sen = − e 1cos 240º .
2
= − .3) Determine sen 315º e cos 315º.
Solução:
O arco de 315º pertence ao 4º quadrante. Logo, usa-se o terceiro 
caso da redução:
x = 360º - 315º
x = 45º.
Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que auxilia a 
obter o seno e cosseno procurado.
85
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Como 315º é um arco do quarto quadrante, usa-se o sinal do 
seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.
Assim, tem-se:
2
315º 45º
2
sen sen= − = −
2
cos315º cos 45º
2
= =
Logo, 
2
315º
2
sen = − e 2cos315º .
2
= .
4) Determine 
7 7
sen e cos
6 6
π π
.
Solução:
O arco de 7
6
π pertence ao 3º quadrante. Logo, usa-se o segundo
caso da redução:
7
 
6
x
π π= −
7 6
6
x
π π−=
.
6
x
π= .
Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que vai nos 
auxiliar na obtenção do seno e cosseno procurados.
Como 7
6
π é um arco do terceiro quadrante, usa-se o sinal do
seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.
Assim, temos:
7 1
6 6 2
sen sen
π π= − = −
7 3
cos cos
6 6 2
π π= − = −
Logo: 7 1 7 3cos
6 2 6 2
sen e 
π π= − = − .
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
5) Determine 2460ºsen e cos 2460º..
Solução:
É necessário conhecer a primeira determinação positiva de 2460º.
O arco de 300º, primeira determinação positiva, pertence ao 4º 
quadrante. Logo, usa-se o terceiro caso da redução:
x = 360º - 300º
x = 60º
Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que nos auxilia 
a obter o seno e cosseno procurado.
Como 300º é um arco do quarto quadrante, usa-se o sinal do 
seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.
Assim, temos:
3
2460º 300º 60º
2
sen sen sen= = − = −
1
cos 2460º cos300º cos 60º
2
= = =
Logo, 
3
2460º
2
sen = − e 1cos 2460º
2
= .
87
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
6) Calcule o valor de 
45 90 135
270 2. 315
sen º sen º sen º
M
sen º sen º
+ +=
+
.
Solução: 
Calcula-se, separadamente, cada um dos senos.
2
45º
2
90º 1
2
135º 45º
2
270º 1
2
315º 45º
2
sen
sen
sen sen
sen
sen sen
=
=
= =
= −
= − = − .
Substituindo os valores encontrados na expressão M, tem-se:
2 2 2 2
1 1 2 12 2 2
1 2 1 22
1 2.
2
M
+ + + += = =
  − − − −
− + − 
 
 .
Racionalizando o denominador, tem-se:
2 1 1 2 2 2 1 2 1
. 1
1 2 11 2 1 2
M
+ − + − + − += = = = −
− −− − − +
.
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de auto-avaliação
1) Expresse em graus (º):
a) 
5
3
π
 rad 
 
b) 
4
3
π
 rad
c) 
7
6
π
 rad
 
d) 
9
π rad
2) Expresse em radianos (rad):
a) 20º
89
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
b) 315º
c) 120º
d) 67º30´
 
3) Encontre o comprimento de uma circunferência de raio 10 cm. Adote 
π = 3,14.
4) A roda de uma bicicleta tem 100 cm de diâmetro. Determine o número 
de voltas efetuadas pelas rodas quando a bicicleta tiver percorrido 
14,13 km.
90
Universidade do Sul de Santa Catarina
5) O comprimento do arco , na circunferência abaixo, é:
6) Determine em que quadrante está a extremidade de cada arco:
a) 1550º
b) 
95
6
π
rad
c) –
65
6
π
rad
7) Ache a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos 
côngruos a:
a) -760º
91
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
b) 3120º
c) 
15
2
π
 rad
d) 
25
4
π
 rad
8) Dada a expressão geral EG = 30º + 360ºk, calcule a 2ª determinação 
positiva e a 3ª determinação negativa. 
9) Dê a expressão geral dos arcos côngruos a 
15
2
π
 rad.
10) Identifique quais pares de arcos são côngruos:
 a) 
3
π
 rad e 
30
3
π
 rad
 b) – 30º e 330º
92
Universidade do Sul de Santa Catarina
 c) 2º e 1082º
11) Determine:
) 390º
) cos 1845º
5
)
3
) 600º
) cos 480º
a sen
b
c sen
d sen
e
π
=
=
=
=
=
12) Determine o valor da expressão:
a) A= sen330º-2.cos0º+sen60º
b) B= sen 3x + cos 8x - cos 2x para x= 
2
π
.
c) C = 
7
sen cos 3
3
13
sen 
6
π π
π
−
93
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Desafio na Trigonometria
 Um aro circular de arame tem 2 cm de raio. Esse aro é cortado e o 
arame é estendido ao longo de uma polia circular de 9 cm de raio. 
Qual é o ângulo central, em graus, que o arco formado pelo arame 
determina na polia?
Síntese
Nesta unidade, você estudou o seno e o cosseno de arcos maiores 
que 90º. Estes conceitos foram ampliados, pois a trigonometria 
foi abordada em toda a circunferência e não apenas no triângulo 
retângulo.
Também conheceu uma nova medida de ângulo - o radiano, 
que será muito importante nas próximas unidades. Nelas, você 
estudará as funções trigonométricas onde os arcos trabalhados 
terão que estar inseridos no radiano.
Saiba mais
Sugerimos que você utilize o software Thales para visualizar, 
com maior precisão, as projeções do seno e cosseno na 
circunferência trigonométrica conforme a variação dos arcos.
Você poderá encontrar 
o software Thales 
acessando o site: 
http://www.unifra.
br/cursos/downloads.
asp?curs=25&grad=Mat
em%C3%A1tica&endere
co=matematica
UNIDADE 3
Estudando as Funções 
Trigonométricas
Objetivos de aprendizagem
 Definir as funções trigonométricas seno, cosseno, 
tangente, cotangente, secante e cossecante.
 Aplicar as funções seno e cosseno em diferentes 
situações problemas.
 Construir o gráfico das funções trigonométricas.
 Ler e interpretar gráficos das funções trigonométricas. 
 Utilizar procedimentos e ferramentas tecnológicas para 
a construção dos gráficos das funções trigonométricas.
 Desenvolver leituras gráficas envolvendo funções 
trigonométricas inversas.
Seções de estudo
Seção 1 Estudando as Funções Seno e Cosseno 
Seção 2 Estudando as Funções Tangente, Cotangente, 
Secante e Cossecante
Seção 3 Estudando as funções trigonométricas inversas
3
96
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa
Durante o desenvolvimento desta unidade, você observará que 
as funções circulares são periódicas e que elas podem representar 
fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura 
terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão 
sangüínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.
Esses fenômenos periódicos podem ser descritos por gráficos 
denominados senóides e cossenóides, que serão abordados na 
seção 1, onde você aprenderá a esboçá-los e interpretá-los.
Você construirá e fará as interpretações dos gráficos das demais 
funções trigonométricas, definidas em termos de seno e cosseno, 
bem como das funções trigonométricas inversas.
O uso de ferramentas computacionais será de grande utilidade 
na construção e análise de gráficos desenvolvidos nesta unidade. 
É importante que você reconheça a tecnologia, tão presente 
no nosso cotidiano, como uma ferramenta que nos auxilia no 
desenvolvimento de atividades, tais como construções de gráficos 
e cálculos sistemáticos. 
SEÇÃO 1 - Estudando as Funções Seno e Cosseno
Nesta seção, você estudará as funções seno e cosseno na 
circunferência trigonométrica. Estas funções são periódicas 
de variáveis reais, por isso, são adequadas para descreverem 
fenômenos de natureza periódica oscilatória ou vibratória.
As aplicações destas funções não se restringem apenas aos 
estudos da matemática. Na Cinemática e na Dinâmica, ramos 
da Física que analisam os movimentos, são utilizadas