exercPE0910_regressao_linear

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8 Regressão Linear
Exercício 8.1 Indique, justificando, qual dos valores abaixo indicados se
aproxima mais do coeficiente de correlação dos dados descritos nas seguintes
nuvens de pontos,
X X XX X X
1. rxy = 0.
2. rxy = 1.
3. rxy = −0.5.
4. rxy = 2.
Exercício 8.2 Uma amostra de alunos , seleccionados ao acaso, de entre os
inscritos nas unidades curriculares PE e AMII na ESTSetúbal, produziu as
seguintes classificações num teste efectuado a meio do ano lectivo (em %):
AMII (xi) 56 50 72 67 31 50 65 40 80 61
PE (yi) 60 50 67 75 44 56 72 48 76 62
P
xi = 572
P
x2i = 34716
P
xiyi = 36335P
yi = 610
P
y2i = 38394
1. Analise os dados e comente a possibilidade de existir uma relação linear
entre as variáveis em estudo.
2. A Joana e o António obtiveram, respectivamente, as seguintes notas
no teste de AMII: 60% e 20%. Tendo ambos faltado ao teste de PE,
sugira valores para as notas esperadas nos testes destes alunos. Indique,
justificando, se os valores sugeridos são de confiança.
3. A Maria obteve 70% no teste de PE e ainda não conhece a nota do
teste de AMII. Indique, justificando, uma estimativa da nota do teste
de AMII da Maria.
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Exercício 8.3 Na tabela seguinte está registada a percentagem da popu-
lação com mais de 65 anos e a taxa de mortalidade (em permilagem) por
distritos (dados de 1990):
Distrito Pop. com mais de 65 anos (%) Tx. Mortalidade (%◦)
Aveiro 11.0 8.3
Beja 18.2 13.7
Braga 9.1 7.4
C. Branco 19.8 13.3
Évora 16.3 12.2
Guarda 19.0 13.4
Portalegre 20.1 13.8
Setúbal 10.7 7.2
Vila Real 13.0 10.6
Viseu 14.6 10.9
10P
i=1
xi = 151.8
10P
i=1
yi = 110.8
10P
i=1
xiyi = 1776.14
10P
i=1
x2i = 2454.44
1. Identifique a variável dependente e independente e represente os dados
através de um diagrama de dispersão. Comente o diagrama com vista
a um possível ajustamento de uma recta de regressão linear simples.
2. Ajuste uma recta de regressão aos dados.
3. Qual a taxa de mortalidade prevista para um distrito em que a per-
centagem de população com mais de 65 anos é igual a 20? Comente,
justificando, a qualidade da previsão efectuada.
Exercício 8.4 A tabela seguinte constitui uma amostra aleatória referente
às alturas, em centímetros, de 10 raparigas e respectivas mães:
Altura das mães 165 169 166 158 172 160 167 155 169 166
Altura das filhas 168 170 168 160 172 164 165 158 172 164
1. Defina, justificando qual a variável explicativa e explicada.
2. Represente as observações num diagrama de dispersão e comente a
possível existência de correlação linear.
3. Calcule o coeficiente de correlação linear empírico e comente-o.
4. Preveja a altura de uma rapariga cuja mãe tenha 150 cm de altura.
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5. Calcule os resíduos, analise-os graficamente e conclua acerca da quali-
dade do ajustamento efectuado.
Exercício 8.5 Relativamente a um conjunto de 10 dados bidimensionais,
(X,Y ), sabe-se queP
xi = 160
P
x2i = 2874
P
xiyi = 3496P
yi = 198
P
y2i = 4324
1. Calcule a média e a variância de X.
2. Calcule o coeficiente de correlação entre X e Y . Comente o resultado.
3. Caso se justifique, determine a equação da recta de regressão de X
sobre Y .
4. Apresente um valor admissivel para y quando x = 16 e comente-o.
Exercício 8.6 Suponha que um médico está interessado em estudar a re-
lação entre as despesas mensais com a saúde e os rendimentos dos portugue-
ses. Recolheu-se informação (em milhares de euros) relativa a 15 famílias,
tendo-se obtido os seguintes dados:
Rendimento Despesa
2.5 0.14
1.7 0.106
1.3 0.1
2.3 0.12
2.7 0.15
1.8 0.11
1.3 0.106
1.5 0.1
2.1 1.4
2.8 0.15
1.9 0.14
1.4 0.11
1.7 0.106
2.1 0.15
1.8 0.14
1. Represente as observações num diagrama de dispersão. Esta represen-
tação sugere a existência de alguma relação linear entre as variáveis em
estudo?
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2. Calcule o coeficiente de correlação linear empírico e obtenha a expressão
da recta dos mínimos quadrados. Comente o resultado obtido.
3. Calcule os resíduos, analise-os graficamente e conclua acerca da quali-
dade do ajustamento efectuado.
4. Substitua na amostra a observação (2.1, 1.4) por (2.1, 0.14). Repre-
sente novamente os dados através de uma nuvem de pontos e obtenha
a correspondente recta dos mínimos quadrados. Indique, justificando,
como classifica a observação substituída.
5. Calcule, utilizando a nova observação, o coeficiente de correlação linear
empírico e proceda a uma análise de resíduos.
6. Obtenha uma estimativa (com base no último modelo linear) para os
gastos com a saúde de uma família cujos rendimentos mensais são de
1500 euros e comente a sua qualidade.
Exercício 8.7 O quadro seguinte é o resultado de observações feitas num
túnel rodoviário durante períodos de 5 minutos, para o estudo da fluidez do
tráfego,
Densidade (Veíc./ km) Velocidade (km / hora)
43 27
55 23
40 31
52 24
39 35
33 41
50 27
33 40
44 32
21 51
1. Calcule a variância de cada um dos conjuntos de dados observados.
Qual dos conjuntos de dados apresenta maior dispersão? Justifique.
2. Calcule o coeficiente de correlação linear entre as duas variáveis. Que
conclusões pode retirar?
3. Determine a equação da recta de regressão, caso se justifique.
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Exercício 8.8 Considere X e Y duas variáveis discretas; para um conjunto
de 6 observações foram determinados os seguintes valores,P
xi = 2981
P
x2i = 1934523
P
xiyi = 1855853P
yi = 2875
P
y2i = 1780659
Sabendo que um dos valores observados para a variável X foi 333 diga,
justificando, se é possível obter uma estimativa do correspondente valor de
Y .
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Soluções
8.1.1: 3a nuvem de pontos. 8.1.2: 1a nuvem de pontos. 8.1.3: 2a nuvem de
pontos. 8.1.4: Valor impossível para rxy.
8.2.1: rxy = 0.94. 8.2.2: by = 19.681 + 0.722x; Joana: by = 63.001; António:by = 34.121. 8.2.3: by = −17.144 + 1.2187x; by = 68.2.
8.3.1: −. 8.3.2: yˆ = 1.5547 + 0.6275x. 8.3.3: yˆ = 14.105 e rxy = 0.97313.
8.4.1: −. 8.4.2: −. 8.4.3: rxy = 0.9196. 8.4.4: 154.1 cm. 8.4.5: Bom.
8.5.1: x = 16 e s2X = 34.889. 8.5.2: rxy = 0.9214.
8.5.3: by = 3.0866 + 1.044586x. 8.5.4: by = 19.6.
8.6.1: −. 8.6.2: rxy = 0.1466 e by = 0.01548 + 0.1002x. 8.6.3: −.
8.6.4: by = 0.06019 + 0.033397x. 8.6.5: rxy = 0.8084. 8.6.6: by = 0.11029
mil euros por mês.
8.7.1: s2X = 104.8889 e s2Y = 77.6556; Densidade. 8.7.2: rxy = −0.9726.
8.7.3: by = 67.4114− 0.83686x.
8.8: rxy = 0.99986 e by = 324.729.
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