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Para provarmos propriedades dos números naturais, podemos também formular o Principio da Indução como: Se P é uma propriedade dos números naturais tal que: i) P é válida para um número natural n0 ∈ N. ii) A validade de P para n ∈N implica na validade de P para o sucessor n + 1 ∈ N. Então, a propriedade P vale para todos os números naturais n ∈N tais que: Marque a alternativa que prova corretamente por indução que ∀ a ∈N, a > 0, temos que Lnan = nLna. CEL0505_EX_A2_201201377803 » 18:33 de 50 min. Lupa Aluno: CELSO MUNIZ RODRIGUES Matrícula: 201201377803 Disciplina: CEL0505 - FUNDAM.DE ANÁLISE I Período Acad.: 2015.3 EAD (G) / EX Prezado (a) Aluno(a), Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3). Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS. 1. n > n0 n ≠ n0 n ≥ n0 n < n0 n ≤ n0 2. Seja P(n): Lnan = nLna. Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln (aka). Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna. Mostramos que a propriedade foi verificada. Seja P(n): Lnan = nLna. Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka). Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna Seja P(n): Lnan = nLna . P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka). Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna. Mostramos que a propriedade foi verificada. Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka). Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna. Mostramos que a propriedade foi verificada. Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna. Mostramos que a propriedade foi verificada. Página 1 de 3Exercício 18/09/2015http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp?p0=670166784&p1=1774190... Marque a alternativa que prova corretamente que todo número é diferente do seu sucessor. Marque a alternativa onde o enunciado do Princípio da indução está correto. 3. Dado o número natural n, seja P(n): n s(n). P(1) é verdadeira. De fato: 1 s(1), já que 1 não é sucessor de número algum; em particular, 1 não é sucessor de si próprio. Hipótese de Indução. Supor P(n) verdadeira, ou seja, n s(n). Assim, a verdade de P(n) acarreta a verdade de P(s(n)). Dado o número natural n, seja P(n): n s(n). Etapa Indutiva. s(n) = s(s(n)), pois a função s : N N é injetiva. Mas a afirmação s(n) s(s(n) significa que P(s(n)) é verdadeira. Assim, a verdade de P(n) acarreta a verdade de P(s(n)). Pelo Princípio da Indução, todos os números naturais gozam da propriedade P, ou seja, são diferentes de seus sucessores. 4. Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições: (1) Para todo inteiro positivo k, se P(k) é verdadeira, então P (k+1) também é verdadeira. Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n. Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições: (1) P(1) é verdadeira. (2) Para todo inteiro positivo k, P(k) é verdadeira. Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n. Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições: (1) P(1) é verdadeira. Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n. Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições: (1) P(1) é verdadeira. P(k+1) é verdadeira. Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n. Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições: (1) P(1) é verdadeira. (2) Para todo inteiro positivo k, se P(k) é verdadeira, então P(k+1) também é verdadeira. Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n. Página 2 de 3Exercício 18/09/2015http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp?p0=670166784&p1=1774190... Marque a alternativa que enuncia corretamente o Teorema (Princípio da Boa Ordenação) Marque a alternativa que apresenta corretamente a demonstração do Teorema: Se p é elemento mínimo de X, então esse elemento é único. 5. Todo conjunto possui um menor elemento. Todo subconjunto não-vazio A contido em N possui um menor elemento. Alguns conjuntos possuem um menor elemento. Nenhum subconjunto não-vazio A contido em N possui um menor elemento. Todo subconjunto não-vazio A contido em N possui um maior elemento. 6. Dado X contido em N, suponhamos por absurdo que existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X e q ∈X. Como p ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é maior do que qualquer elemento de X, e já que q ∈X, temos que p ≤ q. Da mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q. Como p ∈X por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X. q ∈X é elemento máximo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q. Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X e q ∈X. Como p ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈X, temos que p > q. Da mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos que q ≤ p. Portanto, p = q. Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X e q ∈X. Como p ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈X , temos que p ≤ q. Da mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X , temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q. Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X e q ∈X . Como p ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈X temos que p = q. Da mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos então esse elemento é único. FINALIZAR AVALIANDO O APRENDIZADO Legenda: Questão não respondida Questão não gravada Questão gravada Exercício inciado em 18/09/2015 21:33:33. Página 3 de 3Exercício 18/09/2015http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp?p0=670166784&p1=1774190...
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