Todo semestre Análise de Circuitos [Modo de Compatibilidade]

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Números Complexos
1 onde bja −=+= jZ
1Revisão
Exemplo. Escreva na forma polar.
=
=
=−
=+
jd
c
jb
ja
2
3
25
23
)
)
)
)
2Revisão
Exemplo. Escreva na forma retangular.
=∠
=∠
=−∠
=∠
º)
º)
º)
º)
27015
9010
508
307
d
c
b
a
3Revisão
Operações com 
números complexos.
Adição
djc ZbjaZ 21 +=+=
=+ 21 ZZ
4Revisão
Multiplicação
djc ZbjaZ 21 +=+=
=21 ZZ .
222111 rdjc ZrbjaZ θθ ∠=+=∠=+=
=21 ZZ .
Em polar
Em retangular
5Revisão
Divisão
djc ZbjaZ 21 +=+=
222111 rdjc ZrbjaZ θθ ∠=+=∠=+=
=
2
1
Z
Z
Em polar
Em retangular
=
2
1
Z
Z
6Revisão
Fórmula de Euler
)jsen()cos(e jθ θθ +=
jsen(y))(cos(y)eeee xjyxjyx +==+
7Revisão
Aula 01 8
Relação entre fasores
Vamos determinar a relação entre os fasores de tensão e 
de corrente num indutor, num capacitor e num resistor.
IV Ljω=
Indutor
Aula 01 9
IV
C
j
ω
−=
Capacitor
Aula 01 10
Exemplo. Determine as grandezas indicadas em regime 
permanente.
Aula 01 11
Aula 01 12
Aula 01 13
Impedância e Admitância
Num circuito em regime senoidal, a razão entre os fasores 
é um número complexo denominado impedância.
I
V
)( bja
I
VZ Ω+==
Aula 01 14
O número complexo dado pela razão é denominado 
admitância. V
I
 MjG
Z
1
V
IY +=== (Ƒ)
Aula 01 15
Exemplo. Considere o circuito em regime permanente e 
determine i(12s) e v(14s). 
Faça o diagrama dos fasores associados a v, i e à tensão 
da fonte. 
Aula 01 16
Exemplo. Determine i usando o teorema de Thevenin.
Aula 01 17
Exemplo. Determine i(15s).
Aula 01 18
Exemplo. Determine vR, vL e vC. Construa os gráficos de 
i, vR, vL e vC em sincronismo.
Aula 01 19
Potência
A potência elétrica instantânea absorvida por um 
dispositivo qualquer em função do tempo, é dada pelo 
produto da tensão (v(t)) pela corrente (i(t)).
Potência instantânea
)().()( titvtp =
Aula 01 20
Potência Média
Seja p(t) uma função periódica de período T. O valor 
médio de p(t) é definido por:
∫
+
=
Ta
a
dttp
T
P )(1
Aula 01 21
Potência Média em 
Regime senoidal
Dado um circuito em regime senoidal, a potência 
média absorvida por um dispositivo é dado por:
)cos(
2
φθ −= VIP
Aula 01 22
Exemplo. Determine a potência absorvida por ZL no 
circuito abaixo.
Aula 01 23
Exemplo. Determine, nos circuitos a seguir, as potências 
absorvidas por cada elemento de circuito.
Aula 01 24
Máxima transferência de energia
Considerando uma fonte prática de tensão senoidal, 
qual deve ser o valor de ZL que absorve a máxima 
potência da fonte?
Aula 01 25
Exemplo. Determine a potência absorvida por ZL 
considerando que a mesma absorve a máxima potência 
do circuito.
Aula 01 26
Aula 01 27
Valores eficazes
Seja uma fonte de tensão independente definida pela 
função v(t) fornecendo energia a um resistor R. 
Definimos o valor eficaz da fonte sendo o valor de 
tensão constante que fornece a mesma potência média 
ao resistor R.
Aula 02 28
Superposição e Potência
Considere um resistor submetido a uma corrente 
dada pela soma de duas senoides em frequências 
diferentes.
A potência média 
absorvida por R é 
dada por:
Aula 02 29
Exemplo. Determine a potência média absorvida pelo 
resistor e por cada fonte.
Aula 02 30
Exemplo. Determine a potência média absorvida pelo 
resistor.
Aula 02 31
Potência Complexa
Seja ZL uma impedância submetida a uma tensão 
senoidal conforme a figura abaixo.
jQPS +=
potência) de(Fator 
S
Pfp =
Aula 02 32
Exemplo. Considerando o circuito abaixo, determine 
a potência complexa, a potência aparente, a potência 
real e a potência reativa absorvida pela carga. 
Construa o triângulo de potência da carga.
Aula 02 33
Exemplo. Calcule a potência complexa entregue a 
uma carga que tem fator de potência de 0,85 
(adiantado) e absorve:
a)P = 10kW
b)|Q| =10 kvar
c)|S| = 1kVA 
Aula 02 34
Exemplo. Calcule o fator de potência da carga 
equivalente quando temos duas cargas conectadas em 
paralelo. Z1 representa uma carga de 10kW com fator 
de potência fp1= 0,9 (atrasado) e Z2 uma carga de 5kW 
com fator de potência fp2= 0,95 (adiantado) .
Aula 03 35
Medição de potência
O instrumento utilizado para medir a potência real 
absorvida ou fornecida por um dispositivo 
denomina-se Wattímetro. Abaixo vemos a 
simbologia adotada para um wattímetro:
B1 é uma bobina de tensão. 
Bobina de alta resistência.
B2 é uma bobina de corrente. 
Baixa resistência.
Wattímetro
Aula 03 36
O wattímetro está calibrado para indicar o valor da 
potência real considerando a tensão senoidal em B1 
e a corrente senoidal em B2.
( )φθ −= cos
2
IV
P
Aula 03 37
Exemplo. Determine o valor da potência indicada 
pelos wattímetros a seguir:
Aula 03 38
Aula 03 39
Fonte monofásica a três fios
Duas fontes senoidais 
conectadas conforme 
diagrama onde as fontes tem 
mesma amplitude e mesmo 
ângulo de fase é denominado 
uma fonte monofásica a três 
fios balanceada.
Aula 03 40
Considerando o circuito 
abaixo
Aula 03 41
Exemplo. No circuito abaixo, determine as 
potências absorvidas pelas cargas e a potência 
fornecida pela fonte monofásica a três fios.
Aula 03 42
Fonte trifásica
Uma fonte trifásica é 
composta de quatro terminais 
e três fontes senoidais 
conforme a figura ao lado. A 
conexão é denominada 
conexão Y ou estrela.
As fontes são senoidais e operam numa mesma 
frequência. Numa fonte trifásica balanceada os fasores 
associados a cada uma delas são :
120ºVV ,120ºVV ,0ºVV pcnpbnpan ∠=−∠=∠=
Sequência positiva
Aula 03 43
Van, Vbn e Vcn são 
chamadas de tensões de 
fase.
Diagrama 
fasorial
Aula 03 44
Exemplo. Mostre que num sistema trifásico 
balanceado, a soma das tensões de fase é zero.
Exemplo. Determine Vab, Vbc e Vca sendo Vp = 120 v 
(eficaz) 
Aula 04 45
Sistemas trifásicos Y-Y
Analisemos o circuito trifásico abaixo, sistema Y-Y.
Aula 04 46
Exemplo. Determine as correntes de linha e a 
potência média fornecida à carga trifásica. 
Represente num mesmo diagrama de fasores as 
tensões de linha e as correntes de linha
Aula 04 47
Exemplo. Determine as correntes de linha.
Aula 04 48
Exemplo. Determine as correntes de linha do 
circuito anterior retirando a ligação do neutro.
Aula 04 49
Exemplo. Determine as correntes de linha.
Aula 04 50
Sistema trifásico Y-∆
Analisemos o circuito trifásico abaixo.
Aula 04 51
Exemplo. Uma carga equilibrada conectada em ∆ tem
impedância Zp=4 + j3 Ω alimentada por uma fonte trifásica
equilibrada com Van=200∠0º v (eficaz). Calcule a energia
consumida pela carga em 8 horas de atividade.
Exemplo. Uma carga equilibrada conectada em ∆ alimentada 
por uma fonte trifásica equilibrada com |Vab |=100 v (eficaz) 
absorve uma potência total de 4,8kW. Se o fator de potência 
da carga é 0,8 adiantado encontre a impedância por fase.
Aula 04 52
Transformações Y-∆
Vamos determinar as
relações que existem entre 
as admitâncias dos dois
circuitos para que uma
carga trifásica conectada
em Y seja equivalente a
uma carga conectada em 
∆.
Aula 04 53
cba
ca
z
cba
cb
y
cba
ba
x
YYY
YYY
YYY
YYY
YYY
YYY
++
=
++
=
++
=
Aula 04 54
zyx
zy
c
zyx
yx
b
zyx
zx
a
ZZZ
ZZ
Z
ZZZ
ZZ
Z
ZZZ
ZZZ
++
=
++
=
++
=
Aula 04 55
Exemplo. Determine i no circuito abaixo.
Aula 04 56
Medindo potência em
carga trifásica
Considerando uma carga trifásica conectada em Y. A 
potência ativa total é a soma das potências ativas 
absorvidas por cada fase da carga trifásica.
Aula 04 57
É possível mostrar que a potência total pode ser obtida 
medindo-se as tensões em relação a qualquer ponto X.
Aula 04 58
A potência pode ser medida utilizando somente dois 
medidores.
Aula 04 59
Exemplo. O circuito abaixo é equilibrado com 
sequência positiva e Vab=300∠0º v (eficaz). Calcule as 
leituras dos medidores 1 e 2 e a potência ativa entregue 
à carga, se Zp= 10 ∠30º Ω.
Aula 05 60
Transformadores
Considerando duas bobinas acopladas 
magneticamente, isto é, o campomagnético gerado 
por uma das bobinas interfere no comportamento da 
outra bobina e vice-versa.






+=
+=
dt
diL
dt
diRv
dt
diS
dt
diLv
2
2
1
2
21
11
Aula 05 61
Simbologia






+=
+=
dt
diL
dt
diMv
dt
diM
dt
diLv
2
2
1
2
21
11
Aula 05 62
Exemplo. Dado o transformador linear abaixo, 
estabeleça o sistema de equações envolvendo v1, v2, i1
e i2.
Aula 05 63
Exemplo. No circuito abaixo, determine v1 e v2 . 
Sabe-se que :
sA
dt
di
sA
dt
di
/1
/2
2
1
=
−=
Aula 05 64
Exemplo. No circuito abaixo, determine as potências 
fornecidas pelas fontes.
Aula 05 65
Exemplo. Determine a potência fornecida pela fonte.
Aula 05 66
Armazenamento de energia
Considerando duas bobinas acopladas 
magneticamente (transformador linear), vamos 
determinar a energia armazenada por este elemento 
em função de seus parâmetros. Ao final, vamos 
mostrar que S=R.






+=
+=
dt
diL
dt
diRv
dt
diS
dt
diLv
2
2
1
2
21
11
Aula 05 67
Fazendo as correntes no primário e no secundário 
do transformador variarem conforme o gráfico 
abaixo, temos:
Aula 05 68
Impondo as correntes conforme o gráfico abaixo, 
temos:
Aula 05 69
Impedância refletida
Vamos determinar no 
circuito ao lado, a 
impedância vista pela 
fonte senoidal.
( )
2
2
11 LjZ
MLjZ
ω
ω
ω
+
+=
( )
2
2
LjZ
MZr ω
ω
+
=
Aula 05 70
Exemplo. No circuito da figura abaixo, determine:
a) Zr b)Zeq c)i1 d)k (coeficiente de acoplamento) 
Aula 05 71
Transformador Ideal
Um transformador ideal é 
um transformador sem 
perdas, com acoplamento 
unitário (k = 1) e 
indutâncias próprias do 
primário e do secundário tendendo a infinito.
Simbologia
Onde é a razão entre o 
número de espiras do secundário e o 
número de espiras do primário.
1
2
N
N
n =
Aula 05 72
n
V
V
=
1
2
Relações entre 
tensões e correntes
Tendo as tensões e correntes adotadas 
conforme a figura ao lado, é possível 
mostrar que as relações entre tensões e 
correntes do primário e do secundário 
são:
n
I
I
=
2
1
Aula 05 73
Exemplo. Determine a potência fornecida pela fonte 
de tensão e a potência absorvida por cada resistor.
Aula 05 74
Exemplo. Determine i1, i2 e v2.
Aula 06 75
Impedância refletida
A impedância vista pela 
fonte é dada por:
Aula 06 76
Série Trigonométrica de Fourier
Seja f uma função periódica tal que f(t)=f(t+T), 
podemos escrever f como uma soma infinita de 
senos e cossenos conforme a expressão abaixo:
[ ]∑
+∞
=
++=
1
00
0 )()cos(
2
)(
n
nn tnsenbtna
a
tf ωω
T
pi
ω
2
0 =
Aula 06 77
∫
∫
∫
+
+
+
=
=
=
Tt
t
n
Tt
t
n
Tt
t
dttnsentf
T
b
dttntf
T
a
dttf
T
a
0
0
0
0
0
0
)()(2
)cos()(2
)(2
0
0
0
ω
ω
Onde:
Aula 06 78
Exemplo. Determine a série de Fourier da tensão 
periódica definida por:
)2()( e
t- para )(
pi
pipi
+=
<<=
tvtv
ttv
Aula 06 79
)5(
5
2)4(
2
1
 
)3(
3
2)2(1)(2)(
 temos5n para
tsentsen
tsentsentsentv
+−
+−=
≤
Traçando o gráfico das senóides separadamente:
Aula 06 80
Vemos abaixo o gráfico da soma das senoides e sua 
aproximação à função original:
Aula 06 81
Gráfico com 200 termos da série:
Aula 06 82
Exemplo. Determine a série de Fourier da tensão 
periódica definida por:
)2()(
2t para 0
t0 para 10)(
pi
pipi
pi
+=



≤<
≤<
=
tvtv
tv
Aula 06 83
Resposta a funções periódicas
Usando o teorema da superposição, vamos 
determinar a tensão no capacitor no circuito a seguir 
onde:
)2()(
2t para 0
t0 para 10)(
pi
pipi
pi
+=



≤<
≤<
=
tvtv
tv
Aula 08 84
Resposta em frequência
Seja um circuito linear dotado de uma entrada e uma 
saída. Restringindo a entrada e a saída a funções 
senoidais, definimos H(jω) a função de transferência 
do circuito em regime senoidal por:
X
YjH =)( ω
Onde:
X é o fasor de 
entrada
Y é o fasor de saída
Aula 08 85
Exemplo. Determine |H(jω)| e ϕ(ω) do circuito abaixo 
considerando v1 entrada e v2 saída.
Aula 08 86
Exemplo. Determine |H(jω)| e ϕ(ω) do circuito abaixo 
considerando v1 entrada e v2 saída.
Aula 08 87
Nos dois exemplos anteriores vemos que o ganho de tensão 
|H(jω)| varia em função da frequência da senoide de 
entrada. Circuitos com este tipo de comportamento são 
chamados de circuitos seletivos ou simplesmente de filtros.
Filtro passa-baixa
Um filtro passa baixa ideal possui gráfico ωx|H(jω)| 
conforme figura abaixo.
Aula 08 88
Vamos analisar o comportamento do circuito abaixo 
determinando H(jω).
Aula 08 89
A frequencia de corte ω0 é 
definida por:
2
|||)(| 0 MáxHjH =ω
RC
1
0 =ω
Aula 08 90
Exemplo. Dimensione um filtro RC passabaixa com 
frequência de corte de 1kHz.
Aula 08 91
Exemplo. Um filtro tem função de transferência dada 
por:
( )2
1)(
jRC
jH
−
=
ω
ω
a) Verifique se o filtro é passabaixa.
b) Determine a frequência de corte do filtro em função de 
R e C.
c) Dimensione este filtro para uma frequência de corte de 
1kHz.
Aula 08 92
Filtro passa-alta
Um filtro passa alta ideal possui gráfico ωx|H(jω)| 
conforme figura abaixo.
Aula 08 93
Determinemos a frequência de corte do circuito abaixo 
em função dos parâmetros dados.
Aula 08 94
Filtro passa-faixa
Um filtro passa-faixa ideal possui gráfico ωx|H(jω)| 
conforme figura abaixo.
O intervalo [ω1, ω2] é 
chamado de faixa de 
passagem. ω1, ω2 são 
chamadas de 
frequências de corte 
inferior e superior. O 
comprimento da faixa 
de passagem é denominado de Banda ou largura de faixa.
B = ω1 - ω2
Aula 08 95
Determinemos as frequências de corte do circuito 
abaixo em função dos parâmetros dados.