Notas de aula sobre construcoes de graficos e problemas de otimizacao

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Notas de Aula - Cálculo I - Valores Extremos de Funções 1
Va
m
os
 Começar
Valores extremos de uma função 
 
 
 principal objetivo dessa aula é apresentar os conceitos para encontrar 
os valores máximo e mínimo de funções além das técnicas para 
construção de gráficos. Vamos começar com a definição de máximos 
e mínimos de funções, intervalos de crescimento e decrescimento, testes das derivadas 
primeira e segunda e calcularemos as assíntotas do gráfico da função.Apresentaremos 
também as técnicas de construção de gráficos. Exercícios sobre como calcular extremos 
de funções e esboço de gráfico de uma função são apresentados. 
 
Ao final dessa aula, o estudante deve ser capaz de: 
 
• Entender o que são máximos e mínimos relativos de uma função; 
• Entender o que são máximos e mínimos globais de uma função; 
• Calcular os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função; 
• Estudar a concavidade de uma função; 
• Encontrar os valores que maximizam ou minimizam funções; 
• Esboçar o gráfico de funções. 
 
 
Vimos que a interpretação geométrica da derivada de uma função 
em um ponto é a inclinação da reta tangente naquele ponto. 
Usaremos esse fato para determinarmos os valores extremos, 
intervalos de crescimento e decrescimento de funções, que nos auxiliarão no esboço de 
gráficos. 
 
Definição: Uma função f tem um máximo absoluto (ou máximo global) em um ponto c, 
se ( ) ( )xfcf ≥ para todo x em D, onde D é o domínio de f. O número ( )cf é chamado 
valor máximo de f em D. Analogamente, f tem um mínimo absoluto (ou mínimo global) 
em c, se ( ) ( )xfcf ≤ para todo x em D, e o número ( )cf é denominado valor mínimo de 
f em D. Os valores máximo e mínimo de f são chamados valores extremos de f. 
O
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Exemplo
Exemplo
 
 
 
 Observe, no gráfico acima, que a função tem máximo absoluto no ponto d e 
mínimo absoluto no ponto a. 
 Se nessa função, considerarmos somente o intervalo ( )ca, , veremos que b 
também será máximo, porém esse valor é chamado máximo relativo. Se considerarmos 
o intervalo ( )fd , , o ponto e será chamado mínimo relativo. 
 
Definição: Uma função f terá um valor máximo relativo (ou máximo local) em c se 
existir um intervalo aberto contendo c, no qual ( )xf esteja definida, tal que ( ) ( )xfcf ≥ 
para todo x nesse intervalo. Analogamente, f terá um valor mínimo relativo (ou mínimo 
local), se existir um intervalo aberto contendo c, no qual ( ) ( )xfcf ≤ para todo x nesse 
intervalo. 
 
A função ( ) xxf cos= assume seu valor máximo (local e absoluto) em 1, 
um número infinito de vezes, uma vez que ( ) 12cos =πn para todo n e 1cos1 ≤≤− x 
para todo x. Da mesma forma, ( )[ ] 112cos −=+ πn é seu valor mínimo, onde n é 
qualquer inteiro. 
 
Se ( ) 2xxf = , temos que ( ) ( )0fxf ≥ , pois 02 ≥x para todo x. Logo, 0 é 
ponto de mínimo local e global. ( )xf não assume valor máximo. 
 
y 
x f e d c b 0 a 
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Exemplo
Proposição: Suponhamos que ( )xf existe para todos os valores de ( )bax ,∈ e que f 
tem um extremo relativo em c, onde bca << . Se ( )cf ' existe, então ( ) 0' =cf . 
 
 Observe os gráficos abaixo: 
 
 
 
 Note que a proposição acima nos dá uma condição necessária, mas não 
suficiente para que c seja um extremo relativo, isto é, se ( ) 0' =cf , a função pode ou 
não ter um extremo no ponto c. 
 Da mesma forma, o gráfico (b) mostra que quando ( )cf ' não existe, f pode ter 
extremo relativo. 
Definição: Se c for um número do domínio da função f e se ( ) 0' =cf ou ( )cf ' não 
existe, então c será chamado número crítico de f. 
 
 Portanto, uma condição necessária para a existência de um extremo relativo em 
um ponto c é que c seja um ponto crítico. 
 
Ache os pontos críticos da função f definida por ( ) xxxf cossen = . 
 
 Solução: Temos que xxx cossen 22sen ⋅= . Logo, podemos escrever a função 
dada como: 
( ) xxf 2sen 
2
1
= 
 Dessa forma, tem-se: 
y y 
x x c 
(a) (b) 
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Exemplo
( ) xxf 2cos' = 
 Desde que ( )xf ' exista para todo x, os pontos críticos serão aqueles tais que 
02cos =x . Isso acontece quando π
π
kx +=
2
2 , onde ℜ∈k . Logo, os pontos críticos 
da função dada serão ππ k
2
1
4
1
+ , ℜ∈k . 
 
 
Teorema do Valor Extremo: Se a função f for contínua no intervalo fechado [ ]ba, , 
então f terá um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto em [ ]ba, . 
 
 
 Esses valores podem ser determinados da seguinte forma: 
 
1. Ache os valores da função nos pontos críticos de f em ( )ba, . 
2. Ache os valores de ( )af e ( )bf . 
3. O maior dentre os valores das etapas 1 e 2 será o valor máximo absoluto e o 
menor será o valor mínimo absoluto. 
 
 
Ache os extremos absolutos de f em 


−
2
1
,2 se ( ) 123 +−+= xxxxf . 
 
 Solução: Como f é contínua em todo seu domínio, por ser uma função 
polinomial, temos que f é contínua em 


−
2
1
,2 . Logo, o teorema do valor extremo pode 
ser aplicado. Assim, 
( ) 123' 2 −+= xxxf 
 Como ( )xf ' existe para todo ℜ∈x , temos que os pontos críticos serão aqueles 
x tais que ( ) 0' =xf . 
 Dessa forma, 
( )( ) 0113
0123 2
=+−
=−+
xx
xx
 
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 Temos, então que os pontos críticos são: 
3
1
=x e 1−=x 
 Assim, aplicando a função f nos extremos do intervalo e nos pontos críticos 
encontrados, temos: 
 
x 2− 1− 
3
1
 
2
1
 
( )xf 1− 2 
27
22
 
8
7
 
 
 O valor máximo absoluto de f em 


−
2
1
,2 é, portanto, ( ) 2=xf , o que ocorre 
em 1−=x e o valor mínimo absoluto de f em 


−
2
1
,2 é ( ) 1−=xf , que ocorre em 
2−=x . 
 
 
Teorema de Rolle: Seja f uma função, tal que: 
 
i. Seja contínua no intervalo fechado [ ]ba, 
ii. Seja derivável no intervalo aberto ( )ba, 
iii. ( ) 0=af e ( ) 0=bf 
 
 Então, existe um número c no intervalo aberto ( )ba, , tal que ( ) 0' =cf . 
 
 
 
y 
x 
b c a 
P 
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Exemplo
Exemplo
 Mostre que a equação 0133 =++ xx tem exatamente uma única solução 
real. 
 Solução: Seja ( ) 133 ++= xxxf . Então a derivada ( ) 33' 2 += xxf nunca é 
igual a zero, pois é sempre positiva. Agora, se houvesse exatamente dois pontos ax = e 
bx = , onde ( )xf fosse igual a zero, o teorema de Rolle garantiria a existência de um 
ponto cx = entre eles onde 'f seria igual a zero. Portanto, f não tem mais de um zero. 
Tem, na realidade, um único zero, pois o teorema do valor intermediário nos diz que o 
gráfico de ( )xfy = cruza o eixo x em algum lugar entre 1−=x e 0=x . 
 
 
Teorema do Valor Médio: Seja f uma função, tal que: 
 
i. Seja contínua no intervalo fechado [ ]ba, 
ii. Seja derivável no intervalo aberto ( )ba, 
 
 Então, existirá um número c no intervalo aberto ( )ba, , tal que 
( ) ( ) ( )
ab
afbf
cf
−
−
=' 
 
 
 
 
A função ( ) 2xxf = é contínua para 20 ≤≤ x e derivável para 20 << x . 
Como ( ) 00 =f e ( ) 42 =f , o teorema do valor médio diz que, em algum ponto c no 
intervalo, a derivada ( ) xxf 2' = deve ter o valor 2
02
04
=
−
−
. Nesse caso (excepcional), 
podemos identificar c resolvendo a equação 22 =c para obter 1=c . 
y 
x 
b c a 
( )af 
( )bf 
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Funções crescentes e decrescentes 
 
 Uma função é dita crescente em um intervalose, e somente se, ( ) ( )21 xfxf < 
sempre que 21 xx < , onde 1x e 2x são quaisquer números nesse intervalo. 
 Uma função é dita decrescente em um intervalo se, e somente se, ( ) ( )21 xfxf > 
sempre que 21 xx < , onde 1x e 2x são quaisquer números nesse intervalo. 
 
 
 
 
Proposição: Seja f uma função contínua em um intervalo [ ]ba, e derivável no intervalo 
( )ba, : 
i. Se ( ) 0' >xf para todo ( )bax ,∈ , então f é crescente em [ ]ba, ; 
ii. Se ( ) 0' <xf para todo ( )bax ,∈ , então f é decrescente em [ ]ba, . 
 
 
Critérios para determinar os extremos de 
uma função 
 
 
Teste da derivada primeira: Seja f uma função contínua em um intervalo fechado 
[ ]ba, e que possui derivada em todo o ponto do intervalo ( )ba, , exceto possivelmente 
em um ponto c. 
 
y y 
x x 
( )1xf 
( )1xf 
( )2xf 
( )2xf 
2x 1x 2x 1x 
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Exemplo
i. Se ( ) 0' >xf para todo cx < e ( ) 0' <xf para todo cx > , então f tem 
um máximo relativo em c; 
ii. Se ( ) 0' <xf para todo cx < e ( ) 0' >xf para todo cx > , então f tem um 
mínimo relativo em c. 
 
 Em suma, para determinar os extremos relativos de f: 
 
1. Ache ( )xf ' ; 
2. Ache os pontos críticos de f, isto é, os valores de x para os quais ( ) 0' =xf ou 
para os quais ( )xf ' não existe; 
3. Aplique o Teste da derivada primeira. 
 
Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos e 
esboce o gráfico de ( ) 196 23 ++−= xxxxf . 
 
 Solução: Seguindo os passos acima: 
 
1. ( ) 9123' 2 +−= xxxf 
2. Como ( )xf ' existe para todos os valores de x, os pontos críticos serão aqueles 
tais que ( ) 0' =xf . Assim, 
( )( ) 013309123 2 =−−⇔=+− xxxx 
 Temos então, que os pontos críticos de f são: 3=x e 1=x . 
3. Teste da derivada primeira: 
 
x ( )xf ( )xf ' Conclusão 
1<x + f é crescente 
1=x 5 0 f tem um valor máximo relativo 
31 << x _ f é decrescente 
3=x 1 0 f tem um valor mínimo relativo 
3>x + f é crescente 
 
 A partir da tabela acima, podemos ter uma idéia do esboço do gráfico de f: 
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Concavidade do gráfico de uma função 
 
 Vimos que o sinal algébrico da derivada primeira de uma função determina se o 
gráfico é crescente ou decrescente. Agora, veremos que o sinal algébrico da segunda 
derivada determina quando o gráfico é curvado para cima ou para baixo. 
 
Definição: Se o gráfico de f estiver acima de todas as suas tangentes no intervalo I, 
então ele é chamado côncavo para cima em I. Se o gráfico de f estiver abaixo de todas 
as suas tangentes em I, é dito côncavo para baixo em I. 
 
 
 
 
Proposição: Seja f uma função contínua no intervalo [ ]ba, e derivável até 2a ordem no 
intervalo ( )ba, : 
 
Côncavo para cima 
y y 
x x 
Côncavo para baixo 
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Exemplo
i. Se ( ) 0'' >xf para todo ( )bax ,∈ , então f é côncava para cima em ( )ba, ; 
ii. Se ( ) 0'' <xf para todo ( )bax ,∈ , então f é côncava para baixo em ( )ba, ; 
 
Definição: Um ponto ( )( )cfc, do gráfico de uma função contínua f será um ponto de 
inflexão, se existir um intervalo aberto I contendo c, tal que se x estiver em I, então: 
 
i. ( ) 0'' <xf se cx < e ( ) 0'' >xf se cx > , ou 
ii. ( ) 0'' >xf se cx < e ( ) 0'' <xf se cx > . 
 
 
 
 
 
Proposição: Se a função f for derivável em algum intervalo aberto contendo c e se 
( )( )cfc, for um ponto de inflexão do gráfico de f, então, se ( )cf '' existe, ( ) 0'' =cf . 
 
Seja a função do exemplo anterior ( ) 196 23 ++−= xxxxf . Ache o ponto 
de inflexão do gráfico de f e onde o gráfico de f é côncavo para cima e para baixo. 
 
 Solução: Temos que ( ) 9123' 2 +−= xxxf e ( ) 126'' −= xxf . 
 Observe que o único ponto de inflexão possível será 2=x . Verifiquemos se 
2=x é ponto de inflexão: 
 
x ( )xf ( )xf ' ( )xf '' Conclusão 
2<x – Côncavo para baixo 
2=x 3 3− 0 Ponto de inflexão 
2>x + Côncavo para cima 
Ponto de inflexão 
c 
( )cf 
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Exemplo
 Vimos até agora que, para determinar se uma função tem um valor máximo ou 
mínimo relativo em um número crítico c, basta verificarmos o sinal algébrico de 'f em 
números contidos em intervalos à direita e à esquerda de c. Outro teste para extremos 
relativos envolve somente o número crítico c. 
 
 
Teste da derivada segunda: Seja c um número crítico de uma função f, no qual 
( ) 0' =cf e suponhamos que 'f exista para todos os valores de x em algum intervalo 
aberto contendo c. Se ( )cf '' existe e, 
 
i. Se ( ) 0'' <cf , então f tem um valor máximo relativo em c; 
ii. Se ( ) 0'' >cf , então f tem um valor mínimo relativo em c. 
 
 
 
Dada ( ) 42212 xxxf −+= , use o teste da derivada segunda para 
determinar os extremos relativos de f. Discuta a concavidade, ache os pontos de 
inflexão, os intervalos de crescimento e decrescimento e esboce o gráfico de f: 
 
 Solução: Derivando a função dada duas vezes, temos: 
( ) ( )
( ) ( )22
23
314124''
1444'
xxxf
xxxxxf
−=−=
−=−=
 
 Para encontrarmos os pontos críticos de f, igualamos 'f a zero: 
( ) ( )2140' xxxf −⇔= 
 Temos então, que os pontos críticos são: 
0=x , 1=x e 1−=x 
 Para acharmos os possíveis pontos de inflexão, igualamos ''f a zero: 
( ) ( )23140'' xxf −⇔= 
 Temos então, os candidatos a ponto de inflexão: 
3
3
=x e 
3
3
−=x 
 Assim, 
 
 
 
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x ( )xf ( )xf ' ( )xf '' Conclusão 
1−<x + – f é crescente; côncava para baixo 
1−=x 13 0 –8 Máximo relativo 
331 −<<− x – – f é decrescente; côncava para baixo 
33−=x 12,5 – 0 f é decrescente; ponto de inflexão 
033 <<− x – + f é decrescente, côncava para cima 
0=x 12 0 4 Mínimo relativo 
330 << x + + f é crescente; côncava para cima 
33=x 12,5 + 0 f é crescente; ponto de inflexão 
133 << x + – f é crescente; côncava para baixo 
1=x 13 0 –8 Máximo relativo 
1>x – – f é decrescente; côncava para baixo 
 
 Analisando a tabela acima, temos condições de esboçar o gráfico da função 
dada: 
 
 
Assíntotas Verticais e Horizontais 
 
 Limites envolvendo infinito são úteis no traçado de gráficos, pois podem ser 
usados para a localização de assíntotas dos gráficos. 
 
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Exemplo
Definição: A reta ax = será uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos uma 
das alternativas for verdadeira: 
 
i. ( ) +∞=
+→
xf
ax
lim iii. ( ) +∞=
−→
xf
ax
lim 
ii. ( ) −∞=
+→
xf
ax
lim iv. ( ) −∞=
−→
xf
ax
lim 
 
Definição: A reta by = é denominada uma assíntota horizontal do gráfico da função f 
se pelo menos uma das afirmações abaixo for verdadeira: 
 
i. ( ) bxf
x
=
+∞→
lim e para um número N, se Nx > , então ( ) bxf ≠ ; 
ii. ( ) bxf
x
=
−∞→
lim e para um número N, se Nx < , então ( ) bxf ≠ . 
 
 
Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico de f, se 
( )
53
12 2
−
+
=
x
x
xf . 
 
 Solução: Temos que: 





 −





 +⋅
=





 −





 +
=
−
+
+∞→+∞→+∞→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx 5
3
1
2
lim
5
3
1
2
lim
53
12
lim
22
2
2
 
 Se +∞→x , temos que x é igual a x, logo, 
3
2
53
12
lim
2
=
−
+
+∞→ x
x
x
 
 Analogamente, temos que: 





 −





 +⋅
=





 −





 +
=
−
+
−∞→−∞→−∞→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx 5
3
1
2
lim
5
3
1
2
lim
53
12
lim
22
22
 
 Se −∞→x , temos que x é igual a x− , logo, 
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Exemplo
3
2
53
12
lim
2
−=
−
+
−∞→ x
x
x
 
 Assim, as assíntotas horizontais são as retas 
3
2
=y e 
3
2
−=y . 
 Uma assíntota vertical ocorre, provavelmente, quando o denominador 53 −x é 
igual a zero. Dessa forma: 
3
5
053 =⇔=− xx 
+∞=
−
+
+
→ 53
12
lim
2
3
5 x
x
x
 e −∞=
−
+
−
→ 53
12
lim
2
3
5 x
x
x
 
 Logo, a reta 
3
5
=x é uma assíntota vertical. 
 
Esboço do gráfico de uma função 
 
 Utilizando todos os itens citados na análise do comportamento de uma função, 
podemos fazer um resumo das atividades que nos levarão ao esboço de gráficos: 
 
1. Encontre o domínio de f. 
2. Calcule os pontos de interseção com os eixos, se possível. 
3. Encontre os pontos críticos de f 
4. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f. 
5. Encontre os máximos e mínimos relativos. 
6. Determine a concavidade e os pontos de inflexão de f. 
7. Encontre as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de f, se existirem. 
8. Esboce o gráfico de f. 
 
Dada a função ( )
2
2
9
2
x
x
xf
−
= , esboce o gráfico de f. 
 
 Solução: Seguindo os passos acima: 
 
1. O domínio será { }3,3−−ℜ=fD 
2. Os pontos de interseção são dados por: 
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( )
( ) 00
000
=⇒=
=⇒=
xxf
fx
 
3. Vamos encontrar os pontos críticos de f: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )22
22
33
22
22
9
36
9
4436
9
2249
'
x
x
x
xxx
x
xxxx
xf
−
=
−
+−
=
−
−⋅−⋅−
=
 
 Os pontos críticos são dados quando ( ) 0' =xf ou quando ( )xf ' não existe. 
Dessa forma, temos que: 
( ) 00360' =⇒=⇒= xxxf 
 Note que ( )xf ' não existe para 3−=x e 3=x , mas esses não são números 
críticos, pois não pertencem ao domínio de f. Logo, o único ponto crítico de f é 0=x . 
 Derivando f novamente, temos: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )42
222
9
29236369
''
x
xxxx
xf
−
−⋅−⋅⋅−⋅−
= 
 Colocando o termo comum ( )29 x− em evidência no numerador e simplificando 
com o denominador, temos: 
( )
( )
( )
( )
( )32
2
32
2
32
22
9
3108
9
108324
9
14436324
''
x
x
x
x
x
xx
xf
−
+⋅
=
−
+
=
−
+−
=
 
 Como o numerador de ( )xf '' é sempre positivo, o sinal de ( )xf '' será dado por 
( )329 x− : 
 
 
 
 
 
 
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4. 5. 6. 
x ( )xf ( )xf ' ( )xf '' Conclusão 
3−<x – – f é decrescente; côncava para baixo 
3−=x Não existe Não existe Não existe 
03 <<− x – + f é decrescente; côncava para cima 
0=x 0 0 
9
4
 Ponto de mínimo 
30 << x + + f é crescente; côncavo para cima 
3=x Não existe Não existe Não existe 
3>x + – f é crescente; côncava para baixo 
 
 Como f não é contínua em 3−=x e 3=x , não há pontos de inflexão. 
1. Encontrando as assíntotas verticais e horizontais: 
2
1
9
2
lim
9
2
lim
2
2
2
2
2
−=





 −
=
− +∞→+∞→
x
x
x
x
x
xx
 
2
1
9
2
lim
9
2
lim
2
2
2
2
2
−=





 −
=
− −∞→−∞→
x
x
x
x
x
xx
 
 Logo, a reta 2−=y é uma assíntota horizontal do gráfico de f. 
 As assíntotas verticais correspondem aos zeros do denominador que são 3−=x 
e 3=x . Dessa forma: 
+∞=
−−→ 2
2
3 9
2
lim
x
x
x
 −∞=
−−−→ 2
2
3 9
2
lim
x
x
x
 
 
−∞=
−+→ 2
2
3 9
2
lim
x
x
x
 +∞=
−+−→ 2
2
3 9
2
lim
x
x
x
 
 
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 Logo, as retas 3=x e 3−=x são assíntotas verticais do gráfico de f. 
 
2. Esboço do gráfico 
 
 Com base nas informações obtidas até aqui, poderemos esboçar o gráfico de f: 
 
 
 
Problemas de Otimização 
 
 Problemas de otimização são problemas que envolvem máximos e mínimos de 
funções. 
 Para resolver problemas de otimização: 
 
1. Ler cuidadosamente o problema várias vezes, meditando sobre os fatos apresentados 
e as quantidades desconhecidas a serem determinadas; 
2. Se possível, fazer um diagrama e identificar as quantidades dadas e pedidas no 
diagrama; 
3. Determinar qual variável deve ser maximizada ou minimizada, e expressar esta 
variável como função de uma das outras variáveis; 
4. Determinar os pontos críticos da função obtida acima; 
5. Determinar os extremos da função; 
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Notas de Aula - Cálculo I - Valores Extremos de Funções 18
Exemplo Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as 
dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata. 
 
 Solução: Vamos desenhar o que esta sendo pedido no problema: 
 
 
 
 
 Para minimizar o custo do metal, minimizaremos a área da superfície total do 
cilindro. A área total do cilindro será: 
hrrAT ⋅⋅+⋅= ππ 22
2 
 onde r = raio e h = altura estão em cm. Como o volume é igual a 1 litro, que é 
igual a ³ 1000 cm , temos: 
10002 =⋅⋅= hrV π 
2
1000
r
h
⋅
=
π
 
 
 Logo, substituindo o valor de h na equação da área total: 
( ) 0 ,20002 2 >+⋅= r
r
rrAT π 
 
 Para achar os pontos críticos, derivamos a função acima em relação a r: 
( )
( )
2
3
2
5004
2000
4'
r
r
r
rrA T
−⋅⋅
=
−⋅=
π
π
 
 
 Igualando 0' =TA , encontramos o ponto crítico da função: 
05000' 3 =−⋅⇒= rA T π 
r 
h 
r 
Área: 22 r⋅π 
r⋅π2 
Área: hr ⋅⋅π2 
h 
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Exemplo
4,5
500
3
≈
=
r
r
π 
 
 Temos, por inspeção, que se 3
500
π
<r , ( ) 0' <rA T e se 3
500
π
>r , ( ) 0' >rA T . 
Logo, ( )rAT é decrescente à esquerda do número crítico e crescente à direita do número 
crítico. Logo, 3
500
π
=r é ponto de mínimo de ( )rAT . 
 O valor de h correspondente à 3
500
π
=r é: 
r
r
h
⋅=⋅=




⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=





⋅
=








⋅
=
⋅
=
−−
− 2
500
2
500
2
500
250025005002
500
5002
500
5002
500
1000
500
10001000
3
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
2
13
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
22
3
2
ππ
π
πππ
π
π
π
ππ
π
π
π
π
 
 Logo, para minimizar o custo da lata, o raio deve ser 3
500
π
=r cm e a altura, 
igual a duas vezes o raio. 
 
Um fio de comprimento 4m será cortado em dois pedaços. Com um deles 
se fará um círculo e com o outro um quadrado. 
 
a) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas compreendidas pelas 
figuras seja mínima? 
 
 Solução: Veja a figura: 
 
 
 
x 4 – x 
4m 
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Notas de Aula - Cálculo I - Valores Extremos de Funções 20
 Com o pedaço de x m, faremos o círculo e com o pedaço (4 – x)m, faremos o 
quadrado. 
 Temos que 2rAc ⋅= π . Como rx ⋅⋅= π2 , temos que π2
x
r = . Logo, 
ππ
π
π
ππ
442
2
2
22
2 xxxrAc =
⋅
=




⋅=⋅= 
 Temos então: 
π4
2x
Ac = 
 Por outro lado, a área de um quadrado de lado 
4
4 x−
 será: 
16
816
4
4 2
2
xxx
Aq
+−
=




 −= 
 A área a ser minimizada será: 
qcT AAA += 
 Assim, 
π
πππ
π 16
1684
16
168
4
2222 +⋅−⋅+
=
+−
+=
xxxxxx
AT 
 Ou, 
( )
π
πππ
16
1684 2 +⋅−+
=
xx
AT 
 Para derivar a equação acima em relação à x, aplicamos a regra da cadeia: 
( )
π
ππ
16
842
'
−+
=
x
A T 
 Igualando a derivada acima a zero, encontramos os pontos críticos de AT: 
( )
( )
( )
π
π
π
π
ππ
ππ
+
=
+
=
=+
=−+
=
4
4
42
8
842
0842
0'
x
x
x
x
A T
 
 Logo, 
π
π
+
=
4
4
x é um ponto crítico de AT. 
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Notas de Aula - Cálculo I - Valores Extremos de Funções 21
 Como o fio dado tem comprimento 4m, temos que [ ]4,0∈x e TA é contínua 
nesse intervalo, porser uma função polinomial, podemos aplicar o Teorema do Valor 
Extremo: 
 
Para x = 0, temos que 1=TA . (basta substituir na equação de TA dada acima) 
Para 
π
π
+
=
4
4
x , temos: 
( )
( )
( )
( )ππ
πππ
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
+
++−
=
+
+
−
=
+
+
−
+=
+
+
−
+
=
+





+
−





+
+
=
416
16416
16
16
4
16
16
16
4
32
4
16
16
16
4
32
4
16
16
16
4
4
8
4
4
4
2
2
22
2
2
2
2
TA
 
( )
π
ππ
πππ
+
=
+
−+
=
4
4
416
166416 22
 
Para x = 4, temos: 
( )( ) ( )
( )
π
π
π
πππ
π
πππ
π
πππ
4
16
64
16
16321664
16
1632164
16
164844 2
=
=
+−+
=
+−⋅+
=
+⋅−+
=TA
 
 Assim, 
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Notas de Aula - Cálculo I - Valores Extremos de Funções 22
x 0 
π
π
+4
4
 4 
( )xAT 1 π+4
4
 
π
4
 
 
 Temos então, que o mínimo relativo de TA se dará por TA = π+4
4
 , o que ocorre 
quando 
π
π
+
=
4
4
x . 
 E dessa forma, 
( )
ππ
ππ
π
π
+
=
+
−+⋅
=
+
−=−
4
16
4
444
4
4
44 x 
 
 Logo, devemos ter um pedaço com 
π
π
+4
4
m e outro com 
π+4
16
m para que a 
soma das áreas pedidas seja mínima. 
 
b) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas compreendidas seja 
máxima? 
 
 Solução: Para a área ser máxima, temos x = 4. Logo, teremos apenas o círculo 
de raio 
π
2
=r . 
2rAc ⋅= π 
 Sabemos da letra anterior, que a área máxima é dada por 
π
4
. Logo, 
π
π
π
π
2
4
4
2
2
2
=
=
⋅=
r
r
r
 
 
 
 
 
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Notas de Aula - Cálculo I - Valores Extremos de Funções 23
 
 
 
1. Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 
40 cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado de cada 
canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. 
Determine o tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de 
volume máximo (desprezar a espessura da cartolina). 
 Resposta: 7,47 cm 
 
2. Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que seu 
volume seja 32500m . O material da base vai custar R$ 1200,00 por m² e o 
material dos lados R$ 980,00 por m². Encontre as dimensões da caixa de modo 
que o custo do material seja mínimo. 
Resposta: 15,98 m² e 9,78 m² 
 
3. Um campo retangular à margem de um rio deve ser cercado, com exceção do 
lado ao longo do rio. Se o custo do material for de R$ 12,00 por metro linear no 
lado paralelo ao rio e de R$ 8,00 por metro linear nos dois extremos, ache o 
campo de maior área possível que possa ser cercado com R$ 3600,00 de 
material. 
Resposta: Lado paralelo: 150 m e extremos: 112,5 m 
 
4. Esboce o gráfico das seguintes funções: 
 a) ( )
( )2
2
2−
=
x
x
xf b) ( )
1
2
2 +
=
x
x
xf c) ( )
( )2
3
2−
=
x
x
xf 
 
 
 
 
Resolva os exercícios abaixo para você compreender melhor a aula 
sobre Valores Extremos de Funções e sanar suas dúvidas. 
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Notas de Aula - Cálculo I - Valores Extremos de Funções 24
 
Para saber mais sobre Valores Extremos de Funções, consulte as 
referências listadas abaixo... 
 
 
Para você começar ! 
• G. THOMAS, Cálculo, vol. 1, Addison Wesley, 2003. 
• J. STEWART, Cálculo, vol. 1, São Paulo, Thomson Learning, 2002. 
• H. ANTON, Cálculo um novo horizonte, vol. 1, Porto Alegre, Bookman, 2007. 
 
Quer aprof undar mai s um pouco? 
• L. LEITHOLD, O Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, São Paulo, Harbra, 
1994 
• E. D. PENNEY e Jr. C. H. EDWARDS, Cálculo com Geometria Analítica, vol. 
1, Ed. Prentice-Hall, 1997. 
• E. W. SWOKOWSKI, Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, Makron Books, 
2ª edição, 1994 
 
 Gost a de desaf i os?? 
• H. L. GUIDORIZZI, Um Curso de Cálculo, vols. 1 e 2, Rio de Janeiro, LTC, 
2001. 
• P. BOULOS, Introdução ao Cálculo, vols. 1 e 2, São Paulo, Edgard Blücher, 
1974. 
• G. F. SIMMONS, Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, São Paulo, Ed. 
McGraw-Hill, 1987 
 
Para os amant es da net ... 
• http://ecalculo.if.usp.br/