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Notas de Aula - Calculo I - Funções 1 
Va
m
os
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Funções 
 
 principal objetivo dessa aula é apresentar o conceito de funções. 
Vamos começar com a definição de uma função e vamos analisar a sua 
representação gráfica. O domínio e a imagem de uma função são 
também definidos; exercícios sobre como localizar o domínio de uma função são 
apresentados. 
 
Ao final dessa aula, o estudante deve ser capaz de: 
 
• Compreender a representação de uma função graficamente; 
• Reconhecer cada tipo de função apresentado; 
• Calcular o domínio de uma função; 
• Determinar o conjunto imagem de uma função; 
• Definir se uma função é injetora, sobrejetora ou bijetora; 
• Encontrar a composta de funções e, 
• Encontrar a inversa de uma função. 
 
 
 
 
Definição: Sejam A e B subconjuntos de ℜ . Uma função 
BAf →: é uma lei ou regra que a cada elemento de A faz 
corresponder um único elemento de B. O conjunto A é chamando 
domínio de f e é denotado por ( )fD . B é chamado contradomínio de f. 
 
NOTAÇÃO: ( )xfx
BAf
→
→:
 
 
 
 
O 
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Notas de Aula - Calculo I - Funções 2 
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Sejam A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}. 
 
i. BAf →: definida pelo diagrama abaixo é uma função de A em B. 
 
 
 
 
ii. BAf →: dada pelo diagrama a seguir não é uma função de A em B , pois o 
elemento A∈2 , tem dois correspondentes em B. 
 
 
 
 
 
Definição: Seja BAf →: . 
i. Dado Ax∈ , o elemento ( ) Bxf ∈ é chamado o valor da função f no ponto x ou 
imagem de x por f. 
ii. O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado conjunto 
imagem de f e é denotado por ( )fIm . 
 
Seja ℜ→ℜ:f definida por ( ) 2xxf = . Então, o domínio de f é dado por 
( ) ℜ=fD e o conjunto imagem de f é dado por ( ) [ )+∞= ,0Im f 
 
Seja ( )
x
xf
1
= . Essa função só não é definida para x=0. Logo, o domínio de f 
é dado por ( ) { }0−ℜ=fD e o conjunto imagem dessa função é ( ) { }0Im −ℜ=f . 
 
Seja ( ) xxf = . Para x < 0, f(x) não está definida. Então, ( ) [ )+∞= ,0fD e 
( ) [ )+∞= ,0Im f . 
2. .2
1.
.43.
.3
2. .2
1.
.43.
.3
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Notas de Aula - Calculo I - Funções 3 
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
 
Se ( ) xxf = , então ( ) ℜ=fD e ( ) [ )+∞= ,0Im f 
 
Gráfico de Funções 
Definição: Seja f uma função. O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos ( )( )xfx, de 
um plano coordenado, onde x pertence ao domínio de f. 
 
O gráfico da função ( ) 2xxf = consiste em todos os pares tais que 2xy = . 
Observe isso no gráfico abaixo: 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 
Consideremos a função ( ) xxf = . Os pontos de seu gráfico são os pares 
( ) 2, ℜ∈yx tais que xy = . 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 
Seja f a função definida por ( )
x
xf
1
= . O domínio de f será ( ) { }0−ℜ=fD e 
seu gráfico será dado por: 
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Exemplo
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 
 Note os gráficos abaixo: 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 
 
 Sabemos que, se f é uma função, um ponto de seu domínio pode ter somente uma 
imagem. Assim, uma curva só representa o gráfico de uma função quando qualquer reta 
vertical corta a curva no máximo em um ponto. Logo o gráfico ( II ) não representa uma 
função. 
 
Tipos de Funções 
a) Funções pares e ímpares 
 
i. Uma função f é par se, para todo x no domínio de f, ( )x− pertence 
também ao domínio de f e ( ) ( )xfxf =− . 
ii. Uma função f é ímpar se, para todo x no domínio de f, ( )x− pertence 
também ao domínio de f e ( ) ( )xfxf −=− . 
 
A função ( ) 4xxf = é par, pois ( ) ( ) ( )xfxxxf ==−=− 44 . 
Observação
( I ) ( II ) 
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Exemplo
Exemplo
Exemplo
A função ( ) 5xxf = é ímpar, pois ( ) ( ) ( )xfxxxf −=−=−=− 55 
 
A função ( ) 43 += xxf não é par nem ímpar, pois ( ) 43 +−=− xxf , que é 
diferente de ( )xf e ( )xf− . 
 
Observe os gráficos abaixo: 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 
 
 Note que o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y, enquanto 
que o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. 
 
b) Função constante: Uma função constante é toda função do tipo ( ) kxf = que 
associa a qualquer número real x um mesmo número real k. O domínio da função 
( ) kxf = é ( ) ℜ=fD e o conjunto imagem é o conjunto unitário ( ) { }kf =Im . 
 
Se 2=k , temos ( ) ℜ=fD e ( ) { }2Im =f 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
Observação
( ) 6xxf = , par ( ) 7xxf = , ímpar 
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Exemplo
c) Função identidade: Uma função identidade é a função ℜ→ℜ:f definida por 
( ) xxf = . O domínio de f é ( ) ℜ=fD e o conjunto imagem é ( ) ℜ=fIm . O 
gráfico dessa função é a reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 
d) Função do 1º grau ou Função afim: Uma função do 1º grau é toda função que 
associa a cada número real x, o número real 0, ≠+ abax . Os números reais a e b 
são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e coeficiente linear. 
Quando 0>a , a função ( ) baxxf += é crescente. Quando 0<a , a função 
( ) baxxf += é decrescente. 
 
O gráfico da função ( ) baxxf += é uma reta não paralela aos eixos coordenados. 
O domínio de f é ( ) ℜ=fD e o conjunto imagem de f é dado por ( ) ℜ=fIm . 
 
( ) 32 += xxf é uma função do 1º grau crescente porque 0>a . 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 
 
 
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Notas de Aula - Calculo I - Funções 7 
Exemplo ( ) 13 +−= xxf é uma função do 1º grau decrescente porque 0<a . 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
e) Função modular: A função definida por ( ) xxf = chama-se função módulo. O 
seu domínio é o conjunto ( ) ℜ=fD e o conjunto imagem é ( ) [ )+∞= ,0Im f . O 
gráfico da função modular é dado por: 
 
 
 
f) Função quadrática ou Função do 2º grau: A função ℜ→ℜ:f definida por 
( ) 0,2 ≠++= acbxaxxf é chamada função do 2º grau ou função quadrática. 
Seu domínio é ( ) ℜ=fD . O gráfico de uma função quadrática é uma parábola 
com eixo de simetria paralelo ao eixo y. Se 0>a , a parábola tem concavidade 
voltada para cima. Se 0<a , a parábola tem concavidade voltada para baixo. 
Temos as seguintes possibilidades para o gráfico de uma função do 2º grau: 
 
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Exemplo
Exemplo
 
 
 Observe que se acb 42 −=∆ , temos as seguintes possibilidades: 
 
 
 
 
 
 
• Se 0=∆ , a função tem somente uma raiz real. 
• Se 0>∆ , a função tem duas raízes reais e distintas; 
• Se 0<∆ , a função não possui raízes reais. 
 
Se a função do 2º grau tiver raízes reais, essas raízes são dadas pela Fórmula de 
Báskara: 
a
b
x
2
∆±−
= 
Temos ainda que o vértice da parábola é dado no ponto 




 ∆−−
aa
b
4
,
2
. 
 
g) Função polinomial: Uma função polinomial é a função ℜ→ℜ:f definida por 
( ) 012211 axaxaxaxaxf nnnn +++++= −− K , onde 0,,,, 01 ≠− nnn aaaa K , são 
números reais chamados de coeficientes e n, inteiro não-negativo, determina o 
grau da função. O gráfico de uma função polinomial é uma curva que pode 
apresentar pontos de máximos e mínimos. Esses gráficos serão vistos 
posteriormente. O domínio de uma função polinomialé sempre o conjunto dos 
números reais. 
 
A função constante ( ) kxf = é uma função polinomial de grau zero. 
 
A função ( ) 133 ++= xxxf é uma função polinomial de grau 3. (n = 3) 
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Exemplo
Exemplo
Exemplo
A função ( ) ( )32 5−= xxf é uma função polinomial de grau 6. 
 
h) Função racional: Uma função racional é a função definida como o quociente de 
duas funções polinomiais, isto é, ( ) ( )
( )xq
xp
xf = , onde ( )xp e ( )xq são polinômios 
e ( ) 0≠xq . O domínio da função racional é o conjunto dos números reais, 
excluindo aqueles x tais que ( ) 0=xq . 
 
A função ( )
1
1
+
−
=
x
x
xf é uma função racional de domínio ( ) { }1−−ℜ=fD . 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 
i) Função algébrica: Uma função algébrica é uma função que pode ser expressa em 
termos de somas, diferenças, produtos, quocientes ou potências racionais de 
polinômios. 
 
( ) ( )
xx
xxx
xxxf
+
+
+−=
5
4
52 335 
 
j) Função exponencial: Chamamos de função exponencial de base a, a função 
ℜ→ℜ:f , que associa cada x real ao número real xa , sendo a um número real e 
10 ≠< a . O domínio da função exponencial é ( ) ℜ=fD e o conjunto imagem é 
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Notas de Aula - Calculo I - Funções 10 
( ) ( )+∞= ,0Im f . O gráfico da função exponencial será crescente se 1>a e 
decrescente se 1<a . 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 
 
 Um caso especial da função exponencial é quando temos ea = . Neste caso, 
teremos a função exponencial natural ( ) xexf = . 
 
k) Função logarítmica: Dado um número real a, 10 ≠< a , chamaremos de função 
logarítmica de base a, a função de *+ℜ em ℜ que associa cada x ao número 
xalog . O domínio da função logarítmica é ( )
*
+ℜ=fD e o conjunto imagem é 
( ) ℜ=fIm . O gráfico da função logarítmica será crescente se 1>a e decrescente 
se 1<a . 
 
 
 
( ) 1, >= aaxf x ( ) 10, ≠<= aaxf x 
( ) 1,log >= axxf a ( ) 10,log ≠<= axxf a 
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Notas de Aula - Calculo I - Funções 11 
 Um caso especial da função logarítmica é quando temos ea = . Neste caso, 
teremos a função ( ) xxf elog= , que denotaremos por ( ) xxf ln= . 
 
l) Função seno: Definimos a função seno como a função f de ℜ em ℜ que a cada 
ℜ∈x faz corresponder o número real xseny = . O domínio da função seno é 
( ) ℜ=fD e o conjunto imagem é ( ) [ ]1,1Im −=f . A função xseny = é periódica e 
seu período é π2 , já que ( ) xsensen 2x =+ π . O gráfico da função ( ) xsenxf = 
é denominado senóide. 
 
 
 
 
m) Função cosseno: Definimos a função cosseno como a função f de ℜ em ℜ em 
que a cada ℜ∈x faz corresponder o número real xy cos= . O domínio da função 
cosseno é ( ) ℜ=fD e o conjunto imagem é ( ) [ ]1,1Im −=f . A função xy cos= é 
periódica e seu período é π2 , já que ( ) xc cos2x os =+ π . O gráfico da função 
( ) xxf cos= é denominado cossenóide. 
 
 
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Notas de Aula - Calculo I - Funções 12 
Exemplo
n) Função tangente: A função tangente é a função real de variável real que a cada 
ℜ∈x faz corresponder ao número real xtgy = . O domínio da função tangente é 
( )





 ∈+−ℜ= ZkkD f ,
2
π
π
e o conjunto imagem é ( ) ℜ=fIm . O gráfico da 
função ( ) xtgxf = é dado por: 
 
 
 
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras 
 
Definição: Dizemos que uma função BAf →: é injetora se e somente se, para 
quaisquer elementos 21 e xx de A, se ( ) ( )21 xfxf = , então 21 xx = . Em outras palavras, 
se 
21 xx ≠ , então ( ) ( )21 xfxf ≠ . 
 
Sejam as funções definidas pelos diagramas abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 Somente as funções f e g são injetoras, pois a função h é tal que ( ) ( )21 hh = , logo 
não é injetora. 
 
1 
 
2 
 
3 
1 
 
2 
 
3 
1 
 
2 
 
3 
1 
 
2 
 
3 
1 
 
2 
 
3 
1 
 
2 
 
3 
f g 
4 
h 
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Notas de Aula - Calculo I - Funções 13 
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
A função afim ( ) 0, ≠+= abaxxf é injetora. De fato, para todo 
ℜ∈21 , xx , temos: 
( ) ( ) ( ) 00 2121212121 =−⇔=−⇔=⇔+=+⇔= xxaaxaxaxaxbaxbaxxfxf 
Como ( ) 021 =− xxa e 0≠a , temos que ( ) 021 =− xx . Logo, 21 xx = . 
 
A função }2{}1{: −ℜ→−ℜf definida por ( )
1
12
−
+
=
x
x
xf é injetora. De 
fato, para todo }1{, 21 −ℜ∈xx , temos: 
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
12121221
21211221
2
2
1
1
21
33122
122112112
1
12
1
12
xxxxxxxx
xxxxxxxx
x
x
x
x
xfxf
=⇔=⇔−+−=
=−+−⇔−+=−+⇔
−
+
=
−
+
⇔=
 
Definição: Dizemos que uma função BAf →: é sobrejetora se e somente se, para todo 
By∈ , existe pelo menos um Ax∈ tal que ( ) yxf = . 
Considere as funções f, g e h definida pelos diagramas abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 As funções f e g são sobrejetoras, pois em ambas o conjunto imagem é igual ao 
contradomínio. O mesmo não ocorre com a função h, logo ela não é sobrejetora. 
 
A função afim ( ) 0, ≠+= abaxxf é sobrejetora. De fato, dado ℜ∈y , 
temos que encontrar um número ℜ∈x tal que ( ) yxf = . Assim, se ℜ∈y , então 
a
by
x
−
= é um número real tal que ( ) yb
a
by
axf =+




 −= . 
 
1 
 
2 
 
3 
1 
 
2 
 
3 
1 
 
2 
 
3 
-1 
 
2 
 
-3 
1 
 
2 
 
3 
1 
 
2 
 
3 
f g 
4 
h 
-4 
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Notas de Aula - Calculo I - Funções 14 
Exemplo
Exemplo
Exemplo
A função ℜ→−ℜ }1{:f definida por ( )
1
12
−
+
=
x
x
xf não é sobrejetora. De 
fato, se y está no conjunto imagem de f, então existe }1{−ℜ∈x tal que 
1
12
−
+
=
x
x
y e 
consequentemente, 
( ) ( ) 1212121 +=−⇔+=−⇔+=− yxyxyyxxxy 
 Fazendo y = 2 na igualdade acima, temos que 0 = 3, que é uma contradição. Logo 
( )fIm2∉ . Observe que a função }2{}1{: −ℜ→−ℜf definida por ( )
1
12
−
+
=
x
x
xf é 
sobrejetora. 
 
Definição: Dizemos que uma função BAf →: é bijetora se ela é injetora e sobrejetora 
ao mesmo tempo. 
 
Considere as funções f, g e h definida pelos diagramas abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 A função f é bijetora, pois é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. A função g 
não é bijetora, pois não é sobrejetora e a função h não é bijetora por não ser injetora. 
 
A função afim ( ) 0, ≠+= abaxxf é bijetora, pois vimos que ela é injetora 
e sobrejetora. 
 
 
 
1 
 
2 
 
3 
1 
 
2 
 
3 
1 
 
2 
 
3 
-1 
 
2 
 
-3 
1 
 
2 
 
3 
1 
 
 
 
3 
f g h 
-4 
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Notas de Aula - Calculo I - Funções 15 
Translação, Rotação e Reflexão 
 
Definição: Translação é a transformação em que todos os pontos de uma figura se 
deslocam numa mesma direção, sentido e de uma mesma distância. Essa direção pode ser 
horizontal, vertical ou uma combinação delas. 
 
Definição: Reflexão em relação a alguma reta m, é a transformação que a cada ponto P 
associa o seu simétrico P’ em relação a m, isto é, m é a mediatriz do segmento PP’. 
 
Definição: Rotação é o giro da figura em torno de algum ponto e de um determinado 
ângulo. 
 
 
 
 Considere que uma função ℜ→ℜ:f possui uma representação gráfica como 
segue, e vejamos o que ocorre quando tomamos y = f (x), y = f (–x), y = –f (x), 
e y = –f (–x). 
Translação 
Reflexão 
Rotação 
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Notas de Aula - Calculo I - Funções 16 
 
 Observe a figura abaixo. Nela estão desenhados os gráficos de y = f (x), y = f (–x), 
y = –f (x), e y = –f (–x). 
 
 
 Dado o gráfico de uma função, podemos fazer translações, rotações e reflexões. O 
que ocorre com o gráfico de uma função se somamos ou subtraímos a ela umaconstante? 
Em y = f (x), se somamos ou subtraímos uma constante à variável dependente y, faremos 
seu gráfico deslocar-se pelo plano cartesiano. 
 
 
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Notas de Aula - Calculo I - Funções 17 
 Observe agora o que ocorre quando somamos ou subtraímos uma constante à 
variável independente em y = f (x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dado o gráfico abaixo, diga o que tem que ser feito com a função f(x) para 
que se tenha a função g(x). 
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Notas de Aula - Calculo I - Funções 18 
Exemplo
Operações sobre funções 
 
 A partir de agora, veremos como as funções podem ser combinadas a fim de 
obtermos novas funções. Essa combinação envolve operações de soma, subtração, 
multiplicação, divisão e composição de funções. 
 
Definição: Sejam f e g duas funções cujos domínios se sobreponham. Definem-se as 
funções f + g, f – g, f.g e f/g da seguinte forma: 
 
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )xg
xf
x
g
f
xgxfxgf
xgxfxgf
xgxfxgf
=





⋅=⋅
−=−
+=+
 
 
 Em cada caso, o domínio da função definida consiste em todos os valores de x 
comuns aos domínios de f e g, exceto que no quarto caso os calores para os quais 
( ) 0=xg serão excluídos. 
 
 Sejam ( ) 12 += xxf e ( ) 52 −= xxg . Então: 
 
 a) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 42521 22 −+=−++=+=+ xxxxxgxfxgf 
 b) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 62521 22 +−=−−+=−=− xxxxxgxfxgf 
 c) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5252521 232 −+−=−⋅+=⋅=⋅ xxxxxxgxfxgf 
 d) ( ) ( )
( ) 52
12
−
+
==





x
x
xg
xf
x
g
f
 
 
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Notas de Aula - Calculo I - Funções 19 
Exemplo
Composição de Funções 
Definição: Sejam f e g duas funções que satisfazem a condição de que pelo menos um 
número da imagem de g pertence ao domínio de f. Então a composição de f e g, 
simbolizada por gf o , é a função definida pela equação 
( )( ) ( )[ ]xgfxgf =o 
 
 O domínio da função composta gf o consiste no conjunto de todos os valores de 
x no domínio de g, tais que g(x) pertence ao domínio de f. A imagem de gf o é o 
conjunto de todos os números da forma ( )[ ]xgf , construída à medida que x percorre o 
domínio de gf o . 
 
Sejam ( ) 22 2 += xxf e ( ) 5+= xxg . Assim, temos: 
 
( )( ) ( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )
52202 
225102252 
22 
2
22
2
++=
+++=++=
+==
xx
xxx
xgxgfxgf o
 
 
( )( ) ( )[ ] ( )[ ]
[ ] 72522 
5 
22 +=++=
+==
xx
xfxfgxfg o
 
 
( )( ) ( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )
10168 
248422222 
22 
24
2422
2
++=
+++=++=
+==
xx
xxx
xfxffxff o
 
 
( )( ) ( )[ ] ( )[ ]
[ ] 1055 
5 
+=++=
+==
xx
xgxggxgg o
 
 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
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Notas de Aula - Calculo I - Funções 20 
Exemplo
Composição de funções definidas por partes 
 
Sejam f e g funções reais definidas por ( )



<+
≥++
=
1 se ,43
1 se ,422
xx
xxx
xf e 
( ) 3−= xxg . Obter a lei que define gf o . 
 
 Solução: Fazendo ( ) yxg = , temos ( )( ) ( )[ ] ( )yfxgfxgf ==o . Temos que 
examinar dois casos: 
 Para 1≥y , temos: 
( ) 4131 ≥⇔≥−⇔≥ xxxg 
 Além disso, 
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) 43234242 222 +−+−⇒+⋅+=⇒++= xxxgxgxgfyyyf 
 Logo, 
( )( ) 742 +−= xxxgf o 
 Para 1<y , temos: 
( ) 4131 <⇔<−⇔< xxxg 
 Além disso, 
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) 4334343 +−⇒+⋅=⇒+= xxgxgfyyf 
 Logo, 
( )( ) 53 −= xxgf o 
 Dessa forma, 
( )( )



<−
≥+−
=
4 se ,53
4 se ,742
xx
xxx
xgf o 
 
Funções Inversas 
Definição: Duas funções f e g são inversas, se as quatro condições seguintes são 
satisfeitas: 
 
i. A imagem de g está contida no domínio de f; 
ii. Para todo número real x no domínio de g, ( )( ) xxgf =o ; 
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Notas de Aula - Calculo I - Funções 21 
Exemplo
iii. A imagem de f está contida no domínio de g; 
iv. Para todo número x no domínio de f, ( )( ) xxfg =o 
 
Uma função f para qual exista a tal função g é dita invertível. 
 
Suponha que f e g sejam definidas por ( ) 22 −= xxf e ( ) 2+= xxg . 
Temos que f e g são funções inversas, pois o conjunto imagem de f é dado por 
( ) { }2|Im −>= xxf e o domínio de g é dado por ( ) { }2| −>= xxD g , logo, a imagem de f 
está contida no domínio de g e, a imagem de g, dada por ( ) +ℜ=gIm está contida no 
domínio de f dado por ( ) ℜ=fD . Logo as condições i. e iii. são satisfeitas. Além disso, 
 
 ( )( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) xxxxgxgfxgf =−+=−+=−== 22222 22o e, 
 
( )( ) ( )[ ] ( )[ ] xxxxxfxfgxfg ===+−=+== 22 222o . 
 
 
Definição: Suponha que f seja uma função invertível. Define-se a inversa da função f, 
denotada por 1−f , como a função cujo gráfico é simétrico do gráfico de f em relação a 
reta xy = . A função 1−f é denominada a inversa de f. 
 
 
 
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Notas de Aula - Calculo I - Funções 22 
Exemplo
Método algébrico para se determinar 1−f 
 
1. Escreva a equação ( )xfy = que define f. 
2. Troque x por y. 
3. Isole y na equação encontrada no passo anterior. Depois de isolada a variável y 
define a função inversa 1−f . 
 
Encontre a inversa da função ( ) 83 −= xxf . 
 Solução: Seguindo os passos acima, temos: 
 
 
8.2
8.1
3
3
−=
−=
yx
xy
 
 Isolando y na equação acima, obteremos a função inversa procurada: 
 
 8.3 3 += xy , logo 3 8+= xy 
 
 Assim, temos que 1−f é definida pela equação ( ) 31 8+=− xxf . 
 
 
 
1. Qual dos diagramas abaixo se encaixa na definição de função de A em B, onde 
A={a,b,c} e B={1,2,3}. 
 
 
 
 
 
 
a 
 
b 
 
c 
1 
 
2 
 
3 
a 
 
b 
 
c 
1 
 
2 
 
3 
a 
 
b 
 
c 
1 
 
2 
 
3 
( a ) ( b ) ( c ) 
Resolva os exercícios abaixo para você compreender melhor a aula 
sobre funções e sanar suas dúvidas. 
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Notas de Aula - Calculo I - Funções 23 
2. Qual dos diagramas abaixo não representa uma função de A em B, onde 
A={a,b,c} e B={1,2,3}. 
 
 
 
 
 
 
3. Dada a função real f(x) = 3x+5 definida sobre o conjunto A = {1,2,3,4}, apresente 
o conjunto de todos os pares ordenados pertencentes à função f. 
 
4. Dada a função ℜ→ℜ:f definida por: 
 
( )



≤
>+
=
3 se ,3
 3 se ,24
x
xx
xf 
 Determine ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 e 4 ,3 ,0 ,1 −fffff . 
 
 
5. Dados os gráficos abaixo, relacione cada um com sua respectiva função: 
 
 
 
 
 a) ( ) 43 −= xxf 
 b) ( ) 5=xg 
 c) ( ) 32 += xxh 
 d) ( ) 22 −= xxt 
 
a 
 
b 
 
c 
1 
 
2 
 
3 
a 
 
b 
 
c 
1 
 
2 
 
3 
a 
 
b 
 
c 
1 
 
2 
 
3 
( a ) ( b ) ( c ) 
( I ) ( II ) ( III ) ( IV ) 
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Notas de Aula - Calculo I - Funções 24 
6. Dadas as funções ( ) ( )32+= xxf e ( ) 3 2 3xxxg += , ache ( )( )xgf o e ( )( )xfg o . 
 
7. Se ( ) 3xxf = e ( ) 4xxg = , mostre que ( )( ) ( )( ).xfgxgf oo = 
 
8. Dadas as funções ( ) mxxf += 2 e ( ) 2+= axxg , qual a relação que a e m devem 
satisfazer para que se tenha ))(())(( xfgxgf oo = ? 
 
9. Considere as funções ( ) 32 += xxf e ( ) baxxg += . Determine o conjunto C dos 
pontos ( ) 2, ℜ∈ba tais que ))(())(( xfgxgf oo = . 
 
10. Verifique se as funções f e g, definidas por ( )
x
x
xf
−
+
=
1
1
 para 0≥x e 
( )
2
1
1






+
−
=
x
x
xg para 1±≠x , são inversas uma da outra. 
 
11. Seja f a função definida por ( ) 15 2 −= xxf e ( ) 75 += xxg . Determine cada 
expressão pedida: 
 
 a) ( )( )4gf + b) ( )( )35gf + c) ( )( )23gf − d) ( )( )2gf ⋅ 
 
 e) ( )3





g
f
 f) ( )( )xgf 2+ g) ( )x
f
g






2
 h) ( )( )xff ⋅ 
 
 i) 
( ) ( )
h
xfhxf −+
 j) 
( ) ( )
h
xghxg −+12. Seja f a função definida por ( )
4
25
2 −
−
=
x
x
xf . Determine constantes A e B tais que 
( )
22 +
+
−
=
x
B
x
A
xf . 
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Notas de Aula - Calculo I - Funções 25 
 
Para saber mais sobre funções, consulte as referências listadas 
abaixo... 
 
 
Para você começar ! 
• G. THOMAS, Cálculo, vol. 1, Addison Wesley, 2003. 
• J. STEWART, Cálculo, vol. 1, São Paulo, Thomson Learning, 2002. 
• H. ANTON, Cálculo um novo horizonte, vol. 1, Porto Alegre, Bookman, 2007. 
 
Quer aprof undar mai s um pouco? 
• L. LEITHOLD, O Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, São Paulo, Harbra, 
1994 
• E. D. PENNEY e Jr. C. H. EDWARDS, Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, 
Ed. Prentice-Hall, 1997. 
• E. W. SWOKOWSKI, Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, Makron Books, 
2ª edição, 1994 
 Gosta de desaf i os?? 
• H. L. GUIDORIZZI, Um Curso de Cálculo, vols. 1 e 2, Rio de Janeiro, LTC, 
2001. 
• P. BOULOS, Introdução ao Cálculo, vols. 1 e 2, São Paulo, Edgard Blücher, 
1974. 
• G. F. SIMMONS, Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, São Paulo, Ed. 
McGraw-Hill, 1987 
 
Para os amant es da net ... 
• http://ecalculo.if.usp.br/