II UNIDADE - TEORIA-RESUMO DE GEOMETRIA ANALITICA

Prévia do material em texto

Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 1 
CAP 14 – EQUAÇÕES DE RETA E PLANO 
 
Equação vetorial da reta 
 
Seja r uma reta que passa pelo ponto ( )ooo zyxA ,, e 
tem direção de um vetor não nulo ( )cbav ,,=r . 
 ( ) ( ) ( )cbatzyxzyx ooo ,,,,,, += 
 
A equação acima é denominada equação vetorial 
da reta r. O vetor ( )cbav ,,=r ou um paralelo a ele é 
chamado de vetor diretor da reta r e t (real) é 
denominado parâmetro. 
 
 
Equações paramétricas da reta 
 
 
As equações acima são denominadas equações 
paramétricas da reta. 
 
OBS: Qualquer vetor vk r , 0≠k , é também vetor 
diretor da reta. 
 
 
Equações simétricas da reta 
 
Das equações paramétricas, supondo 0≠abc , vem: 
 
a
xx
t o
−
= 
b
yy
t o
−
= 
c
zz
t o
−
= 
 
Logo: 
c
zz
b
yy
a
xx ooo −
=
−
=
−
 
 
Equação vetorial do plano 
 
Seja ( )ooo zyxA ,, um ponto do plano pi e 
( )111 ,, cbau =r e ( )222 ,, cbav =r dois vetores 
(diretores) linearmente independentes paralelos a 
pi . 
 
( ) ( ) ( ) ( )222111 ,,,,,,,, cbacbazyxzyx ooo βα ++= 
 
 
OBS: Sendo wAP r= , o produto misto [ ] 0,, =uvw rrr 
 
Equações paramétrica do plano 
 
 
 
Equação cartesiana do plano 
(Equação geral do plano) 
 
Seja ( )ooo zyxA ,, um ponto pertencente a um plano 
pi e ),,( cban =r um vetor normal (ortogonal) ao 
plano. 
 
0=+++ dczbyax
 � Equação cartesiana do 
plano 
Onde ooo czbyaxd −−−= 
 
OBS: Qualquer vetor nk r , 0≠k , é também vetor 
normal ao plano. 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 2 
OBS: Sendo a um número positivo, o esboço dos 
planos descritos pelas equações: (a) ax = 
(b) ayx =+ 
(c) azyx =++ 
 
 (a) (b) (c) 
 
 
CAP 15 – INTERSEÇÃO DE RETAS E PLANOS 
 
Interseção de retas 
 
Duas retas no espaço podem ser concorrentes, reversas 
ou paralelas. As retas 
 





−=
+−=
+=
tz
ty
tx
r
35
1
21
: 





−=
+=
=
sz
sy
sx
s
68
22
4
: 
 
por exemplo, são paralelas porque ambas são paralelas 
ao vetor (2, 1, 3− ). Já as retas 
 





+=
−=
+=
′
tz
ty
tx
r
41
2
3
: 





+=
+−=
+=
′
sz
sy
sx
s
21
23
2
: 
 
não são paralelas, visto que os vetores (1, 1− , 4) e (1, 2, 
2) não tem a mesma direção. Logo r ′ e s′ são 
concorrentes ou reversas. São concorrentes se o sistema 










+=
+−=
+=
+=
−=
+=
sz
sy
sx
tz
ty
tx
21
23
2
41
2
3
 
tiver solução, e reversas em caso contrário. 
 
Interseção de dois planos 
 
Consideremos os planos não paralelos 
0725:1 =++− zyxpi 
04332 =++−= zyxpi 
 
Sabemos que a intersecção de dois planos não paralelos é 
uma reta r cujas equações se deseja determinar. Uma reta 
está determinada quando se conhece dois de seus pontos 
ou um ponto e um vetor diretor da mesma. Um ponto 
pertence à reta interseção se suas coordenadas satisfazem 
simultaneamente a equações dos dois planos, isto é, ele 
constitui uma solução do sistema: 



=++−
=++−
0433
0725
zyx
zyx
 
O sistema é indeterminado e, em termos de x, sua 
solução é: 





−−=
−−=
=
tz
ty
tx
913
23 , IRt ∈ 
Essas são as equações paramétricas da reta interseção. 
 
Outra solução é 
lembrar que uma 
reta é definida por 
um ponto e por 
um vetor diretor. 
Determinamos 
primeiramente 
um ponto da reta 
de abscissa zero, 
por exemplo. 
Então, fazendo x 
= 0 nas equações do sistema inicial, resulta o sistema: 
 



=++−
=++−
043
072
zy
zy
 
Cuja solução é y = 3− e z = 13− . Logo, um ponto da 
reta interseção é ( )13,3,0 −−A . 
 
Como o vetor diretor vr desta reta é simultaneamente 
ortogonal aos vetores ( )1,2,51 −=nr e ( )1,3,32 −=nr , 
normais aos planos 1pi e 2pi , respectivamente, v
r
 será 
dado pelo produto vetorial de 1n
r
 e 2n
r
, isto é: 
( )9,2,1
133
12521 −−=
−
−=∧=
kji
nnv
rrr
rrr
 
Tendo o vetor diretor vr da reta r e um ponto A 
pertencente a r, podemos escrever as equações 
paramétricas da reta. 
 
OBS: Como a interseção de dois planos não paralelos é 
sempre uma reta, é muito comum apresentar uma reta 
através de um sistema cujas equações representam 
planos (equação da reta na forma planar). No caso 
presente, se r é esta reta, temos: 
 



=++−
=++−
0433
0725
:
zyx
zyx
r 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 3 
Interseção de retas e planos 
 
Vamos determinar a interseção da reta 





+=
+=
−=
tz
ty
tx
32
1
23
 com 
o plano 24 −=+− zyx 
Dizer que um ponto ( )zyxI ,, pertence à interseção da 
reta com o plano dado significa que ele satisfaz 
simultaneamente as equações 
 







−=+−
+=
+=
−=
24
32
1
23
zyx
tz
ty
tx
 
 
Substituindo as três primeiras equações do sistema na 
última, obtemos 
0232)1(423 =++++−− ttt 
e daí 
1=t . 
Logo, 





=⋅+=
=+=
=⋅−=
5132
211
1123
z
y
x
 
 
Portanto, ( )5,2,1I é o ponto de intersecção. Pode 
acontecer que o sistema formado pelas equações 
paramétricas da reta e a equação do plano não tenha 
solução. Neste caso, a reta é paralela ao plano. Quando o 
sistema admite infinitas soluções, a reta está contida no 
plano. 
 
 
 
CAP 16 – POSIÇÃO RELATIVA DE RETAS E 
PLANOS 
 
Posição relativa de retas 
 
Sejam rr o vetor diretor da reta r, sr o vetor diretor 
da reta s, A um ponto da reta r e B um ponto da reta 
s. 
 
• Se ( )sr rr, é LD, r e s são paralelas. Para 
constatar se são distintas ou coincidentes, 
basta verificar se A pertence a s. Nestes casos: 
sr
rr
α= 
• Se ( )sr rr, é LI, as retas não são paralelas, 
podendo ser concorrentes ou reversas. Se ( )ABsr ,, rr é LI, são reversas e, se ( )ABsr ,, rr é 
LD, concorrentes. 
 
 Retas reversas Retas concorrentes 
 
OBS: Considere que ( )sr rr, é LI. Se o produto misto 
expresso por [ ]ABsr ,, rr for nulo, as retas r e s serão 
coplanares e concorrentes; se o produto [ ]ABsr ,, rr for 
diferente de zero as retas r e s serão reversas. 
 
OBS: A condição de paralelismo das retas 1r e 2r é a 
mesma dos vetores ( )1111 ,, cbav =r e ( )2222 ,, cbav =r , 
que definem as direções dessas retas (vetores diretores), 
isto é: αα ===⇒=
2
1
2
1
2
1
21
c
c
b
b
a
a
vv
rr
 
 
Posição relativa de reta e plano 
 
Sejam ur e vr vetores diretores do plano 
0: =+++ dczbyaxpi e ( )pnmr ,,=r o vetor 
diretor da reta r. 
 
1º método (baseado no produto escalar entre 
( )cban ,,=r e ( )pnmr ,,=r ) 
• Se 0≠++ cpbnam , r e pi são transversais. 
• Se 0=++ cpbnam , r e pi não são transversais. 
Para esclarecer se r está contida em pi ou é 
paralela a pi , basta escolher um ponto A de r e 
verificar se ele pertence a pi . 
 
2º método (baseado na dependência linear) 
• Se ( )rvu rrr ,, é LI, r e pi são transversais. 
• Se ( )rvu rrr ,, é LD, r e pi não são transversais, e, 
como antes, saberemos se r está contida em pi 
ou se r e pi são paralelos verificando se um 
ponto escolhido em r pertence ou não a pi . 
 Transversais r contida em pi Paralelos 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 4 
Posição relativa de planos 
 
Sejam os planos 0: 11111 =+++ dzcybxapi e 
0: 22222 =+++ dzcybxapi , e seus respectivos 
vetores normais ),,( 1111 cban =
r
 e ),,( 2222 cban =
r
. 
 
Baseado no fato que 
21 //pipi , 
2
1
2
1
2
1
21 //
c
c
b
b
a
a
nn ==∴
rr
 
 
Podemos afirmar: 
• 1pi e 2pi são paralelos distintos, e somente se, 
2
1
2
1
2
1
2
1
d
d
c
c
b
b
a
a
≠== . 
• 1pi e 2pi são paralelos coincidentes, e somente 
se, 
2
1
2
1
2
1
2
1
d
d
c
c
b
b
a
a
=== . Os planos 1pi e 2pi serão 
coincidentes porque, nesse caso, a equação de 2pi é 
obtida de 1pi mediante a multiplicação por um 
número, o que não altera a equação de 1pi 
• 1pi e 2pi são transversais, se e somente se, 
111 ,, cba e 222 ,, cba não são proporcionais. 
 
Feixes de planos 
 
Feixe deplanos paralelos a um plano 
Dado o plano 0: =+++ dczbyaxpi , a equação 
0=+++ αczbyax
 
descreve, quando α percorre IR, o feixe de planos 
paralelos a pi . 
 
Feixe de planos que contêm uma reta 
Seja r a reta de equações planares 



=+++
=+++
0
0
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
 
O feixe de planos que contêm r pode ser descrito pela 
equação 
( ) ( ) 022221111 =+++++++ dzcybxadzcybxa βα
Em que α e β percorrem o conjunto dos números 
reais, sob a condição de que não sejam simultaneamente 
nulos (é claro que, se 0== βα não é equação do 
plano). 
CAP 17 – PERPENDICULARIDADE E 
ORTOGONALIDADE 
 
 
Perpendicularidade e ortogonalidade entre retas 
 
A diferença entre os termos retas ortogonais e 
retas perpendiculares é que duas retas ortogonais 
podem ser concorrentes ou reversas e duas retas 
perpendiculares são obrigatoriamente concorrentes. 
 
A condição de ortogonalidade das retas 1r e 2r é a 
mesma dos vetores ( )1111 ,, cbav =r e 
( )2222 ,, cbav =r ,que definem as direções dessas 
retas, isto é 
021 =• vv
rr
 
 
0212121 =++ ccbbaa 
OBS: Qualquer reta r, simultaneamente ortogonal 
às retas 1r e 2r , terá um vetor diretor paralelo ou 
igual ao vetor 21 vv
rr
∧ . 
 
Perpendicularidade entre reta e plano 
 
Se nr é um vetor normal ao plano pi e rr é um vetor 
diretor da reta r, então r e pi são perpendiculares se, 
e somente se, r
r
 e n
r
 são paralelos, isto é nr rr α= . 
 
 
Perpendicularidade entre planos 
 
Se 1n
r
 e 2n
r
 são vetores normais aos planos 1pi e 2pi , 
então os planos são perpendiculares se, e somente 
se, 1n
r
 e 2n
r
 são ortogonais, isto é, 021 =• nn
rr
. 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 5 
CAP 19 – MEDIDA ANGULAR 
 
Ângulo entre duas retas 
 
Sejam as retas r1, que passa pelo ponto ( )1111 ,, zyxA 
e tem a direção de um vetor ( )1111 ,, cbav =r , e r2, que 
passa pelo ponto ( )2222 ,, zyxA e tem a direção de um 
vetor ( )2222 ,, cbav =r . Chama-se ângulo entre duas 
retas r1 e r2 o menor ângulo de um vetor diretor de r1 
e de um vetor diretor de r2. Logo, sendo θ este 
ângulo, tem-se 
 
21
21
cos
vv
vv
rr
rr
⋅
•
=θ
 com 2/0 piθ ≤≤ 
 
Ou, em coordenadas 
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
cos
cbacba
ccbbaa
++⋅++
++
=θ 
 
OBS: Na figura, o ângulo α é suplementar de θ e, 
portanto, θα coscos −= . O ângulo α é o ângulo 
formado por 1v
r
− e 2v
r
 ou 1v
r
 e 2v
r
− . 
 
Ângulo entre reta e plano 
 
Seja uma reta r com vetor diretor vr e um plano pi , 
sendo nr um vetor normal a pi . 
 
O ângulo φ da reta r com o plano pi é o 
complemento do ângulo θ que a reta r forma com 
uma reta normal ao plano. Tendo em vista que 
2
piφθ =+ e, portanto, φθ sincos = , vem, de acordo 
com a fórmula: 
 
nv
nv
rr
rr
⋅
•
=φsin
 com 2/0 piφ ≤≤ 
 
 
Ângulo entre planos 
 
Sejam os planos 0: 11111 =+++ dzcybxapi e 
0: 22222 =+++ dzcybxapi . Então, ( )1111 ,, cban =r e 
( )2222 ,, cban =r são vetores normais a 1pi e 2pi , 
respectivamente. 
Chama-se ângulo entre dois planos 1pi e 2pi o menor 
ângulo que um vetor normal de 1pi forma com o vetor 
normal de 2pi . Sendo θ este ângulo, tem-se: 
 
21
21
cos
nn
nn
rr
rr
⋅
•
=θ
 com 2/0 piθ ≤≤ 
 
Ou, em coordenadas 
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
cos
cbacba
ccbbaa
++⋅++
++
=θ 
 
 
Semi-espaço 
 
Cada uma das inequações 
0>+++ dczbyax 0<+++ dczbyax 
descreve um dos semi-espaços abertos determinados 
por pi . Para uma descrição dos semi-espaços 
fechados (que incluem pi ), basta substituir os 
símbolos > e < , respectivamente por ≥ e ≤ . 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 6 
CAP 20 – DISTÂNCIA 
 
Distância entre dois pontos 
 
Sejam ),,( 111 zyxA e ),,( 222 zyxB . A distância entre 
os pontos A e B é dada por: 
 
( ) ( ) ( )221221221),( zzyyxxBAd −+−+−= 
 
Pois uBAd r=),( , onde BAu =r . 
 
Distância de um ponto a uma reta 
 
Seja a reta r definida por um ponto ( )1111 ,, zyxP e 
pelo vetor diretor ( )cbav ,,=r e seja ( )oooo zyxP ,, 
um ponto qualquer do espaço. Os vetores vr e oPP1 
determinam um paralelogramo cuja altura 
corresponde â distância d de oP a r que pretendemos 
calcular. 
 
(a) Sabe-se que a área A de um paralelogramo é dada 
pelo produto da base pela altura 
 
dvA r= 
 
(b) Ou de acordo com a interpretação geométrica do 
módulo do produto vetorial, por 
 
oPPvA 1∧=
r
 
 
Comparando (a) com (b), vem: 
 
oPPvdv 1∧=
rr
 
 
( )
v
PPv
rPdd
o
o r
r
1
,
∧
==
 
 
Distância de ponto a plano 
 
Basta escolher um ponto A de pi e um vetor nr , 
normal a pi , e calcular a norma da projeção ortogonal 
de AP sobre nr . 
n
nAP
AP r
r
r
•
=nproj 
Logo, 
n
nAP
Pd r
r
•
=),( pi
 
 
Será útil conhecer a versão em coordenadas da 
fórmula de distância de ponto a plano. 
 
( )
222
,
cba
dczbyax
Pd ooo
++
+++
=pi
 
 
OBS: Cálculo da distância de um ponto a um plano 
através da altura de um tetraedro 
Escolher três pontos não-colineares, A, B e C, de pi , 
calcular o volume do tetraedro PABC, e a área de sua face 
ABC. A partir desses valores, calcular a altura do tetraedro 
relativa a essa face, que é ( )pi,Pd . O resultado que se 
obtém é 
( )
ACAB
ACABAP
Pd
∧
∧•
=pi,
 
 
Distância entre retas 
 
Retas concorrentes 
 
 
Sejam as retas r e s concorrentes. Neste caso, 
( ) 0, =srd , pois ∅≠∩ sr 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 7 
Retas paralelas 
 
Sejam as retas r e s paralelas. Para calcular ( )srd , , 
escolhemos um ponto qualquer de uma delas e 
calculamos a distância deste ponto à outra reta. 
 
Retas reversas 
 
Sejam as retas r e s reversas. Existe um único plano 
pi que contém r e é paralelo a s; se B é um ponto 
qualquer de s, então ( ) ( )pi,, Bdsrd = . Um vetor 
normal a pi é sr rr ∧ ; escolhendo um ponto A qualquer 
de r e aplicando a fórmula de distância entre ponto a 
plano, obtemos 
 
sr
srAB
srd rr
rr
∧
∧•
=),(
 
 
 
Distância entre reta e plano 
 
Para calcular a distância entre uma reta r e um plano 
pi não precisamos de uma fórmula específica: 
escolhemos um vetor diretor rr da reta e um vetor 
normal nr ao plano, calculamos nr rr • , e então: 
 
• Se 0≠• nr rr , r é transversal a pi e, portanto, 
∅≠∩ sr . Neste caso, ( ) 0, =pird . 
 
 r transversal a pi 
 
 
• Se 0=• nr rr , r está contida em pi , e neste 
caso ( ) 0, =pird , ou r é paralela a pi e ( )pi,rd 
é a distância de um ponto qualquer de r ao 
plano. 
 
 r contida em pi r paralela a pi 
 
OBS: Note que todos os pontos de r estão a igual 
distância de pi , mas os pontos de pi não estão todos a 
mesma distância de r. 
 
 
Distância entre planos 
 
Nesta seção, como na anterior, não precisamos de 
uma fórmula específica: para calcular a distância 
entre os planos 1pi e 2pi , analisamos inicialmente a 
dependência linear de seus vetores normais 1n
r
 e 2n
r
. 
 
• Se ( )21 , nn rr é LI, então 1pi e 2pi são 
transversais e sua interseção é não-vazia. 
Logo, ( ) 0, 21 =pipid 
 
• Se ( )21 , nn rr é LD, então 1pi e 2pi são paralelos 
e ( )21 ,pipid é a distância de um ponto 
qualquer de um deles ao outro. 
 
 
 
 
 
* Geometria Analítica – Um tratamento vetorial – 
Ivan de Camargo e Paulo Boulos – 3ª edição 
 
* Geometria Analítica – Reis/Silva – 2ª edição 
 
* Geometria Analítica – Steinbruch e Winterle – 
2ª edição