Matrizes: Operações e Definições

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DA FEI 
CURSO DE ENGENHARIA 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
Matrizes. Operações. Matriz 
Transposta. Matriz Inversa 
 
Bibliografia Básica: 
Vetores e Geometria Analítica. Loreto e Loreto Júnior. LCTE Editora. 
Definição de Matrizes 
• Uma matriz é uma tabela com m.n elementos, 
dispostos em m linhas e n colunas, com m e n 
pertencente ao conjunto {1, 2, 3, 4, ...}. 
 
Exemplo: 
 
A matriz A tem 2 linhas e 3 colunas e, 
consequentemente, 6 elementos. 
 










4
1
10
121
A
Notação e Representação 
• Uma matriz A do tipo mn pode ser indicada 
por A = (aij), com 1  i  m e 1  j  n, em que i 
indica o número da linha e j indica número da 
coluna em que o elemento a está localizado. 
• A representação de uma matriz é feita 
utilizando-se parênteses ou colchetes. Sendo 
assim, o exemplo anterior também poderia 
ser apresentado como 










4
1
10
121
A
Igualdade de matrizes 
 
• As matrizes A = (aij) e B = (bij), com 1  i  m e 
1  j  n, são iguais quando (aij) = (bij), para 
todo i e j. 
 
• Note que a igualdade entre matrizes somente pode 
ocorrer em matrizes do mesmo tipo, ou seja, com o 
mesmo número de linhas e o mesmo número de 
colunas. 
Definições gerais 
• Matriz linha: tem apenas uma linha e n 
colunas. 
 
• Matriz coluna: tem m linhas e apenas uma 
coluna. 
 naaaaA 1131211 ...

















1
31
21
11
ma
a
a
a
A
...
Definições gerais 
• Matriz quadrada: tem o número de linhas 
igual ao número de colunas, ou seja, m = n. 
Nesse caso, m (ou n) é a ordem da matriz. 
 
No exemplo, temos uma matriz de ordem 2. 







40
31
A
Definições gerais 
• Matriz retangular: tem o número de linhas 
diferente do número de colunas, ou seja, 
m  n. 
 
No exemplo, temos uma matriz do tipo 23. 










4
1
10
121
A
Definições gerais 
• Matriz nula: tem todos os elementos iguais a 
zero. 
 
 
• Matriz oposta: dada a matriz A = (aij), com 
1  i  m e 1  j  n, a sua oposta será a matriz 
B = –A = –( aij), com 1  i  m e 1  j  n. 
Exemplo: 







000
000
A
















93
21
93
21
AA
Definições gerais 
• Matriz identidade: é uma matriz quadrada Im 
em que todos os elementos da diagonal 
principal são unitários e os demais elementos 
são nulos, ou seja, Im = (aij), de ordem m, em 
que (aij) = 1 quando i = j, e (aij) = 0, quando 
i  j, para todo 1  i  m e 1  j  m. 
 
Exemplo: 











100
010
001
3I
Definições gerais 
• Matriz diagonal: é uma matriz quadrada Dm 
em que todos os elementos da diagonal 
principal são diferentes de zero e os demais 
elementos são nulos, ou seja, Dm = (aij), de 
ordem m, em que (aij)  0 quando i = j, e 
(aij) = 0 quando i  j, para todo 1  i  m e 
1  j  m. 
Exemplo: 







50
02
2D
Adição de matrizes 
• Somente ocorre em matrizes do mesmo tipo, ou seja, 
com o mesmo número de linhas e o mesmo número de 
colunas; 
 
• Dadas as matrizes A e B, do tipo mn, em 
que A = (aij) e B = (bij), com 1  i  m e 
1  j  n, a matriz soma A+B será a matriz 
C = (cij), em que (cij) = (aij) + (bij). 
Adição 
















































mnmnmmmm
nn
nn
mnmm
n
n
mnmm
n
n
bababa
bababa
bababa
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
...
............
...
...
...
............
...
...
2211
2222222121
1112121111
21
22221
11211
21
22221
11211
Propriedades da adição de matrizes 
Sendo A, B e C matrizes com m linhas e n 
colunas, são válidas as seguintes 
propriedades: 
 
A1) A + (B + C) = (A + B) + C (associativa) 
A2) A + B = B + A (comutativa) 
A3) 0| A + 0 = A (elem. neutro) 
A4) A,  –A| A +(–A) = 0 (elem. oposto) 
Exemplos de adição de matrizes 

















 
811
13
34
21
57
12



































015
371
353
402
821
540
413
550
213
Observação 





 













 












 
83
31
34
21
57
12
34
21
57
12
A – B = A + (–B) 
Logo: 
Multiplicação de uma matriz por 
um número real 
• Dados um número real  e uma matriz A = (aij) 
com 1  i  m e 1  j  n, o produto .A será a 
matriz B = (bij), em que (bij) = .(aij) = .aij 





























mnmm
n
n
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
......
............
......
......
...
............
...
...
.




21
22221
11211
21
22221
11211
Propriedades da Multiplicação de 
uma matriz por um número real 
Sendo A e B matrizes com m linhas e n 
colunas, e 1 e 2 dois números reais, são 
válidas as seguintes propriedades: 
 
M1) 1.(2.A) = (1. 2).A 
M2) 1.(A + B) = 1.A + 1.B 
M3) (1 + 2).A = 1.A + 2.A 
M4) 1.A = A 
Exemplo de Multiplicação de uma 
matriz por um número real 







46
32
A







2030
1510
5A
Dado: 
 
 
 
Tem-se: 
Multiplicação de Matrizes 
• Somente ocorre quando o número de colunas da 
primeira matriz é igual ao número de linhas da 
segunda matriz. 
• Dadas as matrizes A, do tipo mn, e B do tipo 
np, em que A = (aij) com 1  i  m e 1  j  n, 
e B = (bjk) com 1  j  n e 1  k  p, o produto 
A.B é a matriz C = (cik) do tipo mp, em que cik 
será igual a 
ai1.b1k + ai2.b2k + ... + ain.bnk 































npnn
p
p
pntipo
mnmm
n
n
nmtipo
bbb
bbb
bbb
Be
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
...
............
...
...
)()(
21
22221
11211
21
22221
11211
npmnpmpmmp
nn
mpmm
p
p
pmtipo
bababac
bababac
ccc
ccc
Ccc
CBA
......
...
......
...
............
...
...
.
)(


















2211
112112111111
21
22221
11211
Exemplo 


















 14151210
86911
54
72
31
4223 )()( tipotipo
BeA
É possível fazer o produto A.B? 
Exemplo 
Resposta: SIM, pois o número de colunas 
da primeira matriz é igual ao número de linhas da 
segunda matriz 


















 14151210
86911
54
72
31
4223 )()( tipotipo
BeA
Exemplo 

















 
14151210
86911
54
72
31
4223 BeA
Como será o tipo da matriz produto? 
Exemplo 






























34333231
23232221
14131211
43
4223 14151210
86911
54
72
31
cccc
cccc
cccc
CBA
BeA
tipo
tipotipo
)(
)()(
.
Calculando os elementos da matriz 
produto 
1021458410212792
991556492107112
96125945014381
941051145115361
114147824512391
1171576241103111
14151210
86911
54
72
31
3422
3321
3214
3113
2412
2311
4223























 
....
....
....
....
....
....
cc
cc
cc
cc
cc
cc
BeA
Resultado 











102999694
11411710292
50514541
BA.


















14151210
86911
54
72
31
BeA
Propriedades da multiplicação de 
matrizes 
Supondo que existam os produtos e as somas 
abaixo, são válidas as seguintes propriedades: 
 
1) A.(B.C) = (A.B).C 
2) A.(B + C) = A.B + A.C 
3) (A + B).C = A.C + B.C 
 
• Observação: não é válida a propriedade 
comutativa na multiplicação de matrizes! 
Matriz transposta 
• Dada a matriz A do tipo mn em que A = (aij), 
com 1  i  m e 1  j  n, define-se a matriz 
transposta de A, indicada como At ou AT, a 
matriz B = (bij) do tipo nm, em que bij = aji. 
Exemplo: 







654
321
A











63
52
41
tA
Matriz transposta 
 






























mnnn
m
m
t
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
...
............
...
...
21
22212
12111
21
22221
11211
Propriedades da matriz transposta 
Supondo que existam a soma A+B e o 
produto A.B, e sendo  um número real, são 
válidas as seguintes propriedades: 
 
T1) (A + B)t = At + Bt 
T2) (.A)t = .At 
T3) (At)t = A 
T4) (A.B)t = Bt.At 
Matriz simétrica 
• Uma matriz quadrada A é simétrica, se A = At. 
 
Exemplo: 











067
613
732
A
Característica de uma matriz simétrica: aij = aji 
Matriz antissimétrica 
• Uma matriz quadrada A é antissimétrica, se 
A = –At. 
 
Exemplo: 
 














034
302
420
A
Características de uma matriz antissimétrica: 
• aij = 0, se i = j 
• aij = –aji 
Matriz invertível 
• Uma matriz quadrada A, de ordem n, é 
invertível se existe a matriz A-1, tal que 
A.A-1 = A-1.A = In 
– Uma matriz quadrada A, de ordem n, é invertível 
se, e somente se, o determinante da matriz A é 
diferente de zero. 
• Se A é uma matriz invertível, a matriz A-1 é 
denominada matriz inversa da matriz A. 
Propriedades da matriz inversa 
Sendo A uma matriz quadrada cujo 
determinante é diferente de zero e supondo 
existentes os produtos abaixo, são válidas as 
seguintes propriedades, com  real: 
 
1) (A-1)-1 = A 
2) (A.B)-1 = B-1.A-1 
3) (.A)-1 = -1.A-1 = (1/).A-1 
4) (A-1)t = (At)-1 
Determinando uma matriz inversa 
• Exemplo 1: Determinar, se existir, a inversa da 
matriz 







31
21
A
invertíveléALogoA ,..)det( 11231 
• Resolução: 
• Como A é invertível, existe a matriz inversa de 
A, a qual indicaremos por 







dc
ba
A 1
Determinando uma matriz inversa 
• Aplicando a definição, temos: 


















10
01
31
21
dc
ba
.
• Resolvendo a multiplicação de matrizes, 
encontramos: 














10
01
33
22
dbca
dbca
Determinando uma matriz inversa 
• Da igualdade anterior, temos os seguintes 
sistemas: 
• Resolvendo os sistemas, chegamos a: 
a = 3, b = –2, c = –1, e d = 1 
Logo: 










13
02
03
12
db
db
e
ca
ca









11
231A
Determinando uma matriz inversa 
• Exemplo 2: Determinar, se existir, a inversa da 
matriz 
4219136 )det(A
• Existe a matriz inversa de A: 











ihg
fed
cba
A 1











11-3
131-
112
A
• Resolução: 
Determinando uma matriz inversa 
























100
010
001
333
333
222
ifchebgda
ifchebgda
ifchebgda































100
010
001
ihg
fed
cba
.
11-3
131-
112
Determinando uma matriz inversa 
• Resolvendo os sistemas, chegamos a: 
 




















4
7
4
5
2
4
3
4
1
1
2
1
2
1
1
1A
























13
03
02
03
13
02
03
03
12
ifc
ifc
ifc
heb
heb
heb
gda
gda
gda
Processo prático – Fórmula de Binet 
• Sendo A uma matriz quadrada invertível, 
podemos encontrar sua matriz inversa A-1 
utilizando a seguinte relação: 
 tAcof
A
A ..
)det(
11 
onde det(A) é o determinante da matriz A e 
cof.A é a matriz dos cofatores da matriz A. 
Matriz dos cofatores de uma matriz 
• Considere a seguinte matriz quadrada A = (aij), 
de ordem n: 















nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
Matriz dos cofatores de uma matriz 
• A matriz dos cofatores da matriz A é a 
matriz quadrada C = (cij), de mesma 
ordem da matriz A, em que cij = (-1)
i+j.Dij, 
sendo Dij o determinante da matriz que 
se obtém excluindo-se a linha i e a coluna 
j da matriz A. 
Matriz dos cofatores de uma matriz 















nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
CAcof
...
............
...
...
.
21
22221
11211
nn
nn
nn Dc
Dc
Dc
.)(
...
.)(
.)(






1
1
1
12
21
12
11
11
11
Aplicando a fórmula de Binet 
• Determinar, se existir, a inversa da matriz 
40121603 )det(A
• Existe a matriz inversa de A. 











331
012
121
A
• Resolução: 
Aplicando a fórmula de Binet 
• Determinando a matriz dos cofatores de A 
   
   
    5161
31
12
1
6061
31
02
1
3031
33
01
1
4
13
3
12
2
11
















































..det.
..det.
..det.
c
c
c











331
012
121
A











333231
232221
131211
ccc
ccc
ccc
Acof.
Aplicando a fórmula de Binet 
   
   
   
   
   
    3411
12
21
1
2201
02
11
1
1101
01
12
1
1231
31
21
1
2131
31
11
1
3361
33
121
6
33
5
32
4
31
5
23
4
22
3
21
































































































..det.
..det.
..det.
..det.
..det.
..det.
c
c
c
c
c
c











331
012
121
A
Aplicando a fórmula de Binet 














321
123
563
Acof.
• Aplicando a relação: 





























315
226
133
4
1
315
226
133
4
11 ..A