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FTC – CURSO DE ENGENHARIA 
Geometria Analítica – EPR 404 
Prof: Marcelo Otero 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 01 
 
1) Dados os vetores 
a
 =(–1,1,2) e 
b
 =( 2,0,4), determine o vetor 
v
 , tal que: 
 
  
2
va
bav2
3
v2
)a




 
  
2
av
4
b
bav2v
3
2
)b
 

 
1) RESP: 







5
6
,3,
5
27
v)a
 







5
12
,3,
5
24
v)b
 
 2) Dadas as coordenadas, x=4, y=–12, de um vetor 
v
 do 3, calcular sua terceira coordenada z, de maneira que 

v
 = 13. RESP: z= 3 
 3) Sejam os pontos M(1,2,2) e P(0,1,2), determine um vetor 
v
 paralelo ao vetor ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e tal que 
.3v 
 
 RESP: 







6
4
,
6
1
,
6
1
v 
 
 4) Achar um vetor 
x
 de módulo igual a 4 e de mesmo sentido que o vetor 
v
 =6
i
 –2
j
 –3k . 
RESP: 







7
12
,
7
8
,
7
24
x

 
 5) Sejam 
k2-ji2b e k3j2ia


. Determine um versor dos vetores abaixo: 
 a)
a
 + 
b
 B) 2
a
 –3
b
 c) 5
a
 +4
b
 
 RESP: a) 
43
1
u 

(3,3,–5) b) 
)0,1,4(
17
1
u 

 c) 
894
1
u

(13,14,–23) 
 6) Dados os vetores 
a
 =(1,–1,0), 
b
 =(3,–1,1), 
c
 =(2,2,1) e 
d
 =(4,–3,1). Determinar o vetor 
v
 =(x,y,z), tal que : 
 (
v
 +
a
 )  
b
 e (
v
 +
c
 ) 
d
 . RESP: 
v
 =( –10,4,–3) 
 7) Sendo 
u
 = ( 2,3,1) e v = ( 1,4, 5) . Calcular: 
 a) 
u
  v b) ( u – v )
2 c)(
u
 + v )
2 d) (3
u
 – 2v )
2 e) (2
u
 -3v )( u +2v )
 
 RESP: a) 19 b)18 c)94 d)66 e) –205 f)–28 
8) Verifique se ⃗ , e ⃗⃗ são LI ou LD. 
 a) ⃗ , ⃗⃗ b) ⃗ , 
 
 
 
 
 
 
 RESP: a) LI b) LD 
9) Verifique se F= ( ⃗⃗ ⃗ , ⃗⃗ ⃗, ⃗⃗⃗⃗ ) é base, sendo E= ( , , ⃗ ) e ⃗⃗ ⃗ = ⃗ + + ⃗ , ⃗⃗ ⃗ = + , ⃗⃗ ⃗ = ⃗ 
 RESP: Não 
10) São dadas as coordenadas de ⃗ e em relação a uma base ortonormal fixada. Calcule medida angular entre ⃗ 
e . 
 a) ⃗ = (1,0,1) , (-2,10,2) b) ⃗ = (
√ 
 
 
 
 
 , 
√ 
 
 
 
 
 √ 
 RESP: a) 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 11) Obtenha um vetor ⃗ ortogonal a = (4,-1,5) e a ⃗⃗ = (1,-2,3) tal que ⃗ . (1,1,1)= -1 . RESP: (1,-1,-1) 
 
 12) Decomponha o vetor 
v
 =(–1,2,–3) em dois vetores 
a
 e 
b
 , tais que 
a
 w e b w , com w =(2,1,–1). 
 RESP: 







2
1
,
2
1
,1a
 e 







2
5
,
2
3
, 2b
 
 13) Dados dois vetores 
a
 =(3,–1,5) e 
b
 =(1,2,–3), achar um vetor 
x
 , sabendo-se que ele é perpendicular ao eixo 
OZ , e que verifica as seguintes relações: 
x
 
a
 =9, e x  b =–4. RESP: x =(2,–3,0) 
 
 14) Dados 
u
 =(2,–3,–6) e v =3 i –4
j
 –4k , determine: 
 a) a projeção algébrica de 
v
 sobre 
u
 ( norma do vetor projeção de v sobre u ); 
 b) 0 vetor projeção de 
v
 sobre 
u
 . RESP: a)6 b)
 6,3,2
7
6

 
 15) Decomponha ⃗ = (1,0,3) como soma dos vetores e ⃗⃗ tais que , (1,1,1) e (-1,1,2) sejam LD e ⃗⃗ seja 
ortogonal aos dois últimos. RESP: ⃗ =(1/2,3/2,2) + (1/2,-3/2,1) 
 16) Dados os vetores 
u
 =( –1,3,2), v =(1,5,–2) e w =(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos vetores: 
 a) 
u
  v b) v w c) v (u w ) 
 d) (
v
 
u
 )w e)( u + v )(u +w ) f) ( u –w )w 
 RESP: a)(–16,0,8) b)(11,13,38) c)(64,–12,2) d)(24,72,48) e)(24,0,64) 
 f)(–3,–13,18) 
 17)Determinar o vetor 
x
 , paralelo ao vetor ao vetor 
w
 =(2,–3,0) e tal que 
x
  
u
 =v , onde u =(1,–1,0) e v =(0,0,2). 
RESP: 
x
 =(4.–6,0) 
18)Determinar 
v
, tal que 
v
 seja ortogonal ao eixo dos y e que 
wvu 
,sendo 
)1,1,1(u 
e 
)1,1,2(w 
. 
RESP: 
v
=(1,0,1) 
19) Dados os vetores 
1v

=(0,1,1), 
2v

=(2,0,0) e 
3v

=(0,2,3).Determine um vetor 
v
 , tal que 
v
 // 
3v

 e 
v
 
1v

=
2v

. RESP: 
v
 =(0,4,6) 
20)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores 
1v

=(–1,–1,0) e
2v

=(0,–1–1). 
 RESP: 
 1,1,1
3
1

 
21) Ache 
u
 tal que 
u
 =
33
e 
u
 é ortogonal a v =(2,3,1) e a w =(2,4,6). Dos u encontrados, qual forma 
ângulo agudo com o vetor (1,0,0). RESP:  3,3,3u  
22)São dados os vetores 
1v
 = (1,1,1), 
2v
 =(–1,2,3) e 
3v

=(26,6,8). Decompor o vetor 
3v

 em dois vetores 
x
 e 
y

 
ortogonais entre si, sendo 
x
 simultaneamente ortogonal a 
1v
 e a 
2v
 . 
RESP: 
x
 =(1,–4,3) e 
y
 =(25,10,5) 
 23) Resolva os sistemas abaixo: 
 a)






2)kj2i4(x
0)kj3i2(x

 






2)ki2(v
k8i8)kj2i(v
)b 
 
 RESP: a)(4,6,-2) b)(2,4,–2) 
 24) Dados os vetores 
u
 =(1,1,1) e v =(2,3,4), calcular: 
 a) A área do paralelogramo determinado por 
u
 e v b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo 
vetor 
u
 . 
 25)Dados os vetores 
u
 =(2,1,1) e v =(1,1,), calcular o valor de  para que a área do paralelogramo 
determinado por 
u
 e v seja igual a 
62
 u.a.(unidades de área).RESP: =3 
26) A área de um triângulo ABC é igual a 
6
 . Sabe-se que A(2,1,0), B(–1,2,1) e que o vértice C pertence ao eixo 
OY. Calcule as coordenadas de C. 
 RESP: (0,3,0) ou 






0,
5
1
,0
 
27) Qual é o valor de x para que os vetores 
a
 =(3,–x,–2), 
b
 =(3,2,x) e 
c
 =(1,–3,1) sejam coplanares. 
RESP: x=14 ou x=–2 
28) Determinar o valor de x de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores 
u
 = 2 i –
j
 +k e v =i –
j
 e w =x i +
j
 –3k , seja unitário. RESP: x=–5 ou x= –3 
29) Sendo 
u
 =(1,1,0), v =(2,1,3) e w =(0,2,–1). Calcular a área do triângulo ABC e o volume do tetraedro ABCD, 
onde B=A+
u
 . C=A+v e D=A+ w . 
 RESP: S=
ua
2
19 ,V=
uv
6
5
 
30) Determine sobre o eixo OX um ponto P, tal que, o volume do tetraedro PABC seja o dobro do volume do 
tetraedro POBC. Dados: O (0,0,0) ,A(1,0,0) , B(0,1,0) e C(0,0,1). 
 RESP: (–1,0,0) ou (1/3,0,0)