versao 14 BGJU

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\[ 
(x - 1)(x - 2) = 0 
\] 
 
Assim, temos os pontos críticos: 
 
\[ 
x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 
\] 
\[ 
x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 
\] 
 
Assim, os pontos críticos são \( x = 1 \) e \( x = 2 \). Entretanto, como a questão pede por 
um valor específico dentre as opções, a única que está listada é \( x = 2 \). 
 
Logo, a resposta correta é \( x = 2 \). 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = 3x^3 - 12x^2 + 9x - 1 \). Determine o número de 
raízes reais dessa função. 
 
**Alternativas:** 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
**Resposta:** c) 2 
 
**Explicação:** 
Para encontrar o número de raízes reais da função \( f(x) \), podemos utilizar o teorema de 
Bolzano, que afirma que se uma função continua muda de sinal em um intervalo, então 
existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. 
 
1. **Derivada da função:** Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função para 
identificar os pontos críticos. 
 \[ 
 f'(x) = 9x^2 - 24x + 9 
 \] 
 
2. **Analisando a derivada:** Para encontrar os pontos críticos, devemos resolver \( f'(x) = 
0 \): 
 \[ 
 9x^2 - 24x + 9 = 0 
 \] 
 Dividindo toda a equação por 9: 
 \[ 
 x^2 - \frac{24}{9}x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - \frac{8}{3}x + 1 = 0 
 \] 
 
 Aplicando a fórmula de Bhaskara \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): 
 \[ 
 x = \frac{\frac{8}{3} \pm \sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^2 - 4 \cdot 1}}{2} 
 \] 
 Calculando o discriminante: 
 \[ 
 \left(\frac{8}{3}\right)^2 - 4 = \frac{64}{9} - \frac{36}{9} = \frac{28}{9} 
 \] 
 
 Como o discriminante é positivo, a equação tem duas raízes reais. Assim, \( f(x) \) tem 
dois pontos críticos. 
 
3. **Analisando a variação da função:** Agora, devemos encontrar o valor de \( f(x) \) nos 
pontos críticos e em alguns valores adicionais para determinar o sinal da função e verificar 
onde ela muda de sinal. 
 
4. **Testando valores:** Vamos avaliar \( f(x) \) em alguns valores: 
 
 - \( f(0) = -1 \) (negativo) 
 - \( f(1) = 3(1)^3 - 12(1)^2 + 9(1) - 1 = -1 \) (negativo) 
 - \( f(2) = 3(2)^3 - 12(2)^2 + 9(2) - 1 = 23 \) (positivo) 
 
 A função muda de negativo para positivo entre \( x = 1 \) e \( x = 2 \). Isso indica que 
existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. 
 
5. **Mais testes:** Testamos ainda \( f(3) \): 
 - \( f(3) = 3(3)^3 - 12(3)^2 + 9(3) - 1 = 41 \) (positivo) 
 - Testamos ainda \( f(4) \): 
 - \( f(4) = 3(4)^3 - 12(4)^2 + 9(4) - 1 = 77 \) (positivo) 
 
 Com isso, observamos que em \( x = 0 \) a função é negativa, e entre \( x = 1 \) e \( x = 2 \) 
existe uma raiz, e também temos uma mudança de sinal entre \( x = 2 \) e \( x = 0 \) e \( x = 
3 \) (positivo) e depois continuamos para valores maiores e a função ainda se mantinha 
positiva. Portanto, podemos concluir que a função tem duas raízes reais.