3ª Lista de Exercícios

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS E DA NATUREZA - A´REA 2
3a LISTA DE EXERCI´CIOS 2013.2
PROFo GILSON SIMO˜ES
1a Questa˜o: Seja V = R2 = {(x, y);x, y ∈ R}. Defina em V as seguintes operac¸o˜es:
(x, y) + (x′, y′) = (x+ x′, 0)
c(x, y) = (cx, 0); c ∈ R
Com essas operac¸o˜es, V e´ um espac¸o vetorial sobre R ?
2a Questa˜o: Seja D = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1}. Mostre que D na˜o e´ um subespac¸o do R2.
3a Questa˜o: Para cada um dos subconjuntos de R3 determine quais sa˜o subespac¸os de R3.
a) S = {(x, y, z) /x = 4y e z = 0}
b) S = {(x, y, z) /z = 2x− y}
c) S = {(x, y, z) /x = z2}
d) S = {(x, y, z) /y = x+ 2 e z = 0}
e) S = {(x, y, z) /x ∈ R}
f) S = {(x, y, 0) /x ∈ R}
g) S = {(x, y, z) /xy = 0}
h) S = {(x, y, z) /x = 0 e y = |z|}
i) S = {(x,−3x, 4x) /x ∈ R}
j) S = {(x, y, z) /x ≥ 0}
k) S = {(x, y, z) /x+ y + z = 0}
l) S = {(4x, 2x,−x) /x ∈ R}
4a Questa˜o: Mostre que os seguintes subconjuntos de P3(R) sa˜o subespac¸os de P3(R).
a) S = {a0 + a1x+ a2x2 + a3x3/ a0 + a1 − a2 + 2a3 = 0}
b) S = {a0 + a1x+ a2x2 + a3x3/ a0 + a1 = 0 e a2 − a3 = 0}
c) S = {a0 + a1x+ a2x2 + a3x3/ 2a0 + a1 − a3 = 0 e a2 = 0}
5a Questa˜o: Para cada um dos subconjuntos de M2×2(R) determine quais sa˜o subespac¸os de M2×2(R).
a) S =
{
A =
[
a b
c d
]
; c = a+ b e d = 0
}
b) S =
{
A =
[
a b
0 c
]
; a, b, c ∈ R
}
c) S =
{
A =
[
a b
b c
]
; a, b, c ∈ R
}
1
d) S =
{
A =
[
a a+ b
a− b b
]
; a, b ∈ R
}
e) S =
{
A =
[
a 1
a b
]
; a, b ∈ R
}
f) S =
{
A =
[
a b
c d
]
; det A = ad− bc 6= 0
}
6a Questa˜o: Sejam U e V subespac¸os de R4 definidos por:
U = {(x, y, z, t) ∈ R4; x+ 2y − z = 0 e t = 0},
V = [(−1, 2, 3, 0), (3, 1, 4, 0)].
a) Determine uma base para U e indique a dim U.
b) Determine uma base para U ∩ V e indique dim U ∩ V.
c) Determine uma base para U +W. Diga se U +W e´ soma direta.
7a Questa˜o: Sejam U e V subespac¸os de P3(R) definidos por;
U = {a0 + a1x+ a2x2 + a3x3; a1 = 2a2 + a0, a3 = 0},
V = {a0 + a1x+ a2x2 + a3x3; a2 = 5a3 + 3a1 e a0 = 11a3 + 8a1}.
a) Determine uma base para U e uma base para V e indique a dim U e dim V.
b) Determine uma base para para U + V e indique dim U + V.
c) Determine dim U ∩ V. Diga se U + V e´ soma direta.
8a Questa˜o Sejam U e V subespac¸os de M2×2(R) definidos por
U =
{[
a− b 2a
a+ b −b
]
; a, b ∈ R
}
V =
[[
0 1
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]]
.
a) Determine uma base para U e indique a dim U.
b) Determine o valor de k para que o vetor
[ −4 k
2 −3
]
pertenc¸a a U.
c) Determine uma base para U + V e indique dim U + V.
d) Determine dim U ∩ V. Diga se U + V e´ soma direta.
9a Questa˜o: Sejam U e V subespac¸os de M2×2(R) definidos por:
U =
{[
x y
z t
]
; x+ y − z + 2t = 0
}
,
[[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
0 −1
]]
.
2
a) Determine uma base para U e indique dim U.
b) Determine uma base para U ∩ V e indique dim U ∩ V.
c) Determine uma base para U + V. Diga se U + V e´ soma direta.
10a Questa˜o: Seja P2(R) o espac¸o vetorial dos polinoˆmios de grau ≤ 2.
a) Mostre que α = {1− x+ 2x2, x− x2, x2} e β = {2, 1− x, 1 + x2} sa˜o bases de P2(R).
b) Determine [I]αβ .
c) Seja P (x) ∈ P2(R) cujas coordenadas na base β sa˜o [p(x)]β =
 0−1
1
 . Determine [p(x)]α.
11a Questa˜o Seja M2×2(R) o conjunto das matrizes de ordem 2.
a) Mostre que β =
{[
2 3
−1 0
]
,
[
1 −1
0 −2
]
,
[ −3 −2
1 −1
]
,
[
3 −7
−2 5
]}
e´ uma base de M2×2(R).
b) Sabendo que [I]αβ =

1 0 2 0
1 1 3 1
−1 0 2 −1
0 2 1 1
 determine α.
c) Determine as coordenadas do vetor v =
[
2 1
−1 −1
]
na base α.
12a Questa˜o Seja V = R3.
a) Mostre que α = {(1, 1,−1), (2,−1, 0), (3, 2, 0)} e´ uma base do R3.
b) Sabendo que [I]αβ =
 1 1 00 −1 1
1 0 −1
 determine a base α.
c) Determine [v]β onde [v]α =
 −12
3
 e [v]α onde [v]β =
 −12
3
 .
3