Álgebra Linear 1ª Unid. - Lista de Exercícios 1

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS E DA NATUREZA - A´REA II
1a LISTA DE EXERCI´CIOS DE A´LGEBRA LINEAR 2013.2
PROFo GILSON SIMO˜ES
1a Questa˜o: Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas a` forma escada
e dando tambe´m seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for poss´ıvel, o grau de
liberdade.
a)
 3x + 5y = 12x + z = 3
5x + y − z = 0
b)
 x − y + 2z = 12x + 2z = 1
x − 3y + 4z = 2
c)

− 18x + 2y − 6z = 0−4x + 5z = 0
−3x + 6y − 13z = 0
− 78x + 2y − 83z = 0
d)

x + y + z + w = 0
x + y + z − w = 4
x + y − z + w = −4
x − y + z + w = 2
2a Questa˜o: Determine k, para que o sistema admita soluc¸a˜o. −4x + 3y = 25x − 4y = 0
2x − y = k
3a Questa˜o: Chamamos de sistema homogeˆneo de m equac¸o˜es e n ico´gnitas aquele sistema cujos termos
independentes, bi, sa˜o todos nulos.
a) Um sistema homogeˆneo admite pelo menos uma soluc¸a˜o(chamada de soluc¸a˜o trivial). Qual e´ e´la?
b) Encontre os valores de k ∈ R, tais que o sistema homogeˆneo 2x − 5y + 2z = 0x + y + z = 0
2x + kz = 0
tenha uma soluc¸a˜o distinta da soluc¸a˜o trivial.
4a Questa˜o: Dado o sistema de equac¸o˜es lineares 3x + 5y + 12z − w = −3x + y + 4z − w = −6
2y + 2z + w = 5
a) Discuta a soluc¸a˜o do sistema.
b) Acrescente a equac¸a˜o 2z+kw = 9 a este sistema, encontre um valor de k que torne o sistema incompat´ıvel.
5a Questa˜o: Considere o sistema de equac¸o˜es lineares 4x + 12y + 8z = a2x + 5y + 3z = b− 4y − 4z = c
Estabelecer a condic¸a˜o que deve ser satisfeita pelos termos independentes a, b e c, para que que o sistema
admita soluc¸a˜o.
1
6a Questa˜o: Para que nu´meros a, b, c o sistema 3 −1 22 1 1
1 −3 0
 .
 xy
z
 =
 ab
c

admite soluc¸a˜o?
7a Questa˜o: Considere a matriz abaixo, onde a e b sa˜o nu´meros reais, como a matriz ampliada de um
sistema de equac¸o˜es lineares  1 −2 3 −11 −3 −1 b
−2 5 a 1
 .
a) Determine para que valores de a e b o sistema na˜o possui soluc¸a˜o.
b) Resolva o sitema para a = 2 e b = 0. Determine a nulidade da matriz dos coeficientes(grau de liberdade
do sistema).
8a Questa˜o: Considere a matriz A abaixo, onde a e b sa˜o nu´meros reais.
1 1 −1 1
2 3 1 2
−1 −1 1 b
1 2 a 0
 .
a) Determine o posto da matriz A em func¸a˜o de a e b.
Considere agora o sistema de equac¸o˜es lineares em 3 varia´veis cuja matriz ampliada e´ A.
b) Para que valores de a e b o sistema admite soluc¸a˜o.
c) Resolva o sistema com a = 3 e b = −1.
9a Questa˜o O me´todo de Gauss para resoluc¸a˜o de sistemas e´ um dos mais adotados quando se faz o
uso do computador, devido ao menor nu´mero de operac¸o˜es que envolve. Ele consiste em se reduzir a matriz
ampliada do sistema por linha-equivaleˆncia a uma matriz que so´ e´ diferente da linha reduzida a` forma escada
na condic¸a˜o b) (Ver definic¸a˜o de Forma Escada no livro texto na pa´gina 37 ), que passa a ser: b′) Cada
coluna que conte´m o primeiro elemento na˜o nulo de alguma linha, tem todos os elementos abaixo desta linha
iquais a zero. As outras condic¸o˜es a), c) e d) sa˜o identicas. Uma vez reduzida a matriz ampliada a esta
forma, a soluc¸a˜o final do sistema e´ obtida por substituic¸a˜o. Por exemplo,{
2x + y = 5
x − 3y = 6[
2 1 5
1 −3 6
]
L1→L2→
[
1 −3 6
2 1 5
]
L2→L2−2L1→
[
1 −3 6
0 7 −7
]
L2→ 17L2→
[
1 −3 6
0 1 −1
]
a u´ltima matriz corresponde ao sistema:{
x − 3y = 6
y = −1 .
Por substituic¸a˜o, x− 3(−1) = 6, ou seja, x = 3.
Resolva pelo me´todo de Gauss os sistemas de equac¸o˜es lineares da 1a Questa˜o.
2