Trabalho Cálculo III - 2015 (1)

Prévia do material em texto

Trabalho de Cálculo III
Prof.ª Telma Pimenta 
Trabalho em grupo de no máximo 5 alunos. 
O trabalho deve ser entregue em papel A4, grampeado, constando na capa o nome dos integrantes do grupo e a turma. 
Como critério de correção será considerado a organização, a resolução efetiva de todos os cálculos, o desenvolvimento das questões e os desenhos, caso existam. 
Para que o aprendizado seja efetivo é necessário que todos os alunos façam todas as questões. Lembre-se que as questões do trabalho serão tomadas como exemplo para a confecção da prova. 
Trabalhe um pouco todo dia e não deixe para a última hora. 
O último dia para entrega consta no cronograma. 
Funções de Duas Variáveis: Máximos e Mínimos Relativos
Definição: Uma função de duas variáveis tem um máximo local em (a,b) se 
 quando (x,y) está próximo de (a,b). (Isso significa que 
 para todo ponto (x, y) em algum disco com centro (a,b).) O número f(a,b) é chamado valor máximo local. Se 
 quando (x,y), então f(a,b) é um valor mínimo local.
Se as inequações da definição acima valerem para todos os pontos (x, y) do domínio de f tem um máximo absoluto (ou mínimo absoluto) em (a, b).
	Teorema: Se uma função f tem um máximo local ou um mínimo local em (a, b) e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos, então 
 e 
Um ponto (a,b) é dito ponto crítico (ou ponto estacionário) de f se 
 e 
, ou se uma das derivadas parciais não existir. O teorema acima diz que se f tem um máximo ou mínimo local em (a, b), então (a, b) é um ponto crítico de f. Entretanto, como no cálculo de uma única variável, nem todos pontos críticos correspondem a um máximo ou mínimo. Num ponto crítico, a função pode ter um máximo local ou um mínimo local, ou ainda nenhum dos dois.
Teste da segunda derivada: Suponha que as segundas derivadas parciais de f sejam contínuas num disco com centro (a,b), e suponha que 
 e 
.[ou seja, (a,b) é um ponto crítico de f]. Seja 
Se D>0 e 
, então 
 é um mínimo local.
Se D>0 e 
, então 
 é um máximo local.
Se D<0, 
 não é nem mínimo local nem máximo local, o ponto (a,b) é chamado ponto de sela.
Obs.: Se D = 0, o teste não fornece informação: f pode ter um máximo local ou um mínimo local em (a,b), ou (a,b) pode ser um ponto de sela de f.
Para a determinação dos pontos críticos estacionários suaves de uma função de duas variáveis pode-se usar um procedimento semelhante ao conhecido para funções de uma variável:
Etapa 1: Determinar 
 e 
Etapa 2: Determinar os pontos críticos de f, resolvendo 
Etapa 3: Determinar 
, 
, 
 e 
 e verificar se 
. Caso 
, o procedimento não se aplica.
Etapa 4: Para cada ponto crítico (x0,y0) encontrado na Etapa 3, calcular D e concluir.
EXEMPLO 1: Determinar e classificar os pontos críticos estacionários de 
.
EXEMPLO 2: Determinar e classificar os pontos críticos estacionários de 
.
EXEMPLO 3: Determinar e classificar os pontos críticos estacionários de 
.
PROBLEMA 1
Considere que uma caixa retangular fechada tem um volume de 20 decímetros cúbicos. O material usado nos lados custa R$ 1,00 por dm2, o material usado no fundo custa R$ 2,00 por dm2 e o usado na parte superior custa R$ 3,00 por dm2. Determine as dimensões da caixa mais barata e o correspondente custo mínimo.
Resolução:
O custo da caixa é dado por:
C(x,y,z) = (2xz + 2yz) (1) + (xy) (2) + (xy) (3) ( C(x,y,z) = 5xy + 2xz + 2yz.
Sendo o volume de 20 dm3, então: V = 20 ( x y z = 20 ( z = 20/xy. 
Aplicando o valor de z na equação do custo C, temos:
C(x,y) = 5xy + 2x (20/xy) + 2y (20/xy) ( C(x,y) = 5xy + 40/x + 40/y.
Assim, calculando as derivadas parciais de 1ª ordem de C, encontramos:
Cx (x,y) = 5y – 40/x2 e Cy (x,y) = 5x – 40/y2 .
Para obter os pontos críticos de C, fazemos:
 ( ( ( ( x = 2 e y = 2
Assim, o único ponto critico da função de custo é (x,y) = (2,2).
Calculando as derivadas de 2ª ordem de C , para testar a natureza do ponto crítico (2,2), encontramos:
Cxx (x,y) = 80/x3 ; Cxy (x,y) = 5 ; Cyx (x,y) = 5 ; Cyy (x,y) = 80/y3 .
Logo, temos:
det(x,y) = ( det(2,2) = = 75, com Cxx > 0 .
Portanto, (2,2) é ponto de mínimo, z = 20/xy = 5 e C(2,2,5) = 60.
Assim sendo, a caixa mais barata tem base quadrada com 2 dm de lado, altura medindo 5 dm e custa R$ 60,00.
�
PROBLEMA 2 
Um fabricante produz dois tipos de liga A e B, nas quantidades de x e y toneladas, respectivamente. Se o custo total de produção, expresso em reais, é dado pela função C(x,y) = x2 + y2 – xy + 100x , e a renda total em reais é dada por R(x,y) = – x2 + xy + 100x + 2000y, determine o nível de produção que maximiza o lucro total L = R – C e o valor do lucro total máximo.
Resolução:
L(x,y) = R(x,y) – C(x,y) = (– x2 + xy + 100x + 2000y) – (x2 + y2 – xy + 100x) (
L(x,y) = –2x2 + 2xy – y2 + 2000y .
As derivadas parciais de 1ª e 2ª ordens de L são:
; ; ;
 ; ; ;
Obtendo os pontos críticos de L(x,y):
 ( ( (x,y) = (1000,2000)
Testando a natureza do ponto crítico (x,y) = (1000,2000), temos:
det(1000,2000) = 
Logo, (1000,2000) é ponto de máximo e L(1000,2000) = 2.000.000.
Portanto, o lucro máximo é de R$ 2 milhões, correspondendo a uma produção de 1.000 toneladas da liga A e 2.000 toneladas da liga B.
�
EXERCÍCIOS
Determine três números positivos cuja soma é 24, de modo que o produto deles seja o maior possível.
Sol.: 8,8,8
�
 Suponha que a fabricação de um produto requer x horas por máquina e y horas por pessoa e o custo de produção seja dado por :
f(x,y)= 
Determine o número de máquinas – hora e pessoas – hora necessárias para que o custo seja mínimo.
Resp.: 3 Máq/hora e 9 Pessoas/hora
�
 Uma injeção de x mg da droga A e y mg da droga B causa uma resposta de R unidades, e R= 
onde c é uma constante positiva. Determine a quantidade de droga que causará a resposta máxima:
Resp.:
mg de droga A e 
 mg de droga B
 
�
Determine os valores de máximo e mínimo locais e os pontos de sela de 
.
R.: Mínimos (-1,-1) e (1,1) 
�
Seja 
, determine seu(s) extremo(s).
Resp.: Mínimo (1,3) 
�
Determine os valores extremais de 
.
Resp.: Não possui máximo nem mínimo, sela (0,0).
�
Suponha que a fabricação de um produto requer x horas por máquina e y horas por pessoa e o custo de produção seja dado por 
. Determine:
o número de máquinas-hora e pessoas-hora necessárias para que o custo seja mínimo.
O valor do custo mínimo
 Resp: a) 3 máquinas e 9 pessoas b)R$473,00
�
Uma companhia manufatureira produz dois produtos que são vendidos em mercados separados. Os economistas da companhia analisam os dois mercados e determinam que as quantidades q1 e q2 demandadas pelos consumidores e os preços p1 e p2 de cada item são relacionados pelas equações em reais:
P1 = 600-0,3q1 e P2 = 500-0,2q2 e a função custo é dada por : 
C =16 + 1,2q1 + 1,5q2 + 0,2q1q2 
Se a companhia quiser maximizar seus lucros totais, quanto deveria produzir de cada produto? 
Qual seria o lucro máximo?
Resp: 	q1=699 aprox, q2 =897 aprox, Lucro = R$432.797,00 
�
Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12m2 de papelão; determine o volume máximo da caixa.
Resp: 4 m3
�
Sabendo que a função abaixo se refere ao custo de dois produtos x e y para uma empresa, encontre qual é o custo mínimo de cada um dos produtos x e y.
Resp: R$12,00 o produto x e R$1,00 o produto y.
Bom trabalho!!!!!!!!!!
� EMBED Equation.3 ���
_1170402427.unknown
_1274796387.unknown
_1381847608.unknown
_1381848016.unknown
_1472564227.unknown
_1398594363.unknown
_1381847934.unknown
_1381847282.unknown
_1170403641.unknown
_1170404081.unknown
_1238244643.unknown
_1170403667.unknown
_1170403172.unknown
_1170403618.unknown
_1170403061.unknown
_1117375763.unknown
_1117383073.unknown
_1170401827.unknown_1170402399.unknown
_1170401496.unknown
_1117383252.unknown
_1117375913.unknown
_1117382982.unknown
_1117375837.unknown
_1117375562.unknown
_1117375597.unknown
_1117375692.unknown
_1117375704.unknown
_1117375588.unknown
_1117375528.unknown