Matrizes

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Matrizes - Fundamentos Matemáticos 
1 
 
Ministério da Educação 
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica 
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso do Sul 
Campus de Campo Grande 
 
1. Matrizes 
 Em algumas situações, é necessário formar um grupo ordenado de números dispostos em linhas e 
colunas numa tabela. Em Matemática essas tabelas são denominadas matrizes. Com o desenvolvimento da 
computação e o aumento na necessidade de se armazenar muita informação, as matrizes adquiriram uma 
grande importância. Para termos um exemplo da utilização de matrizes, basta olharmos para a tela do 
computador. A tela é uma grande matriz e cada valor guardado nas linhas e colunas da matriz representa 
um ponto colorido mostrado na tela, denominado pixel. Além da tela do computador, as imagens que você 
visualiza na internet e as fotos que você tira com sua máquina digital podem ser representadas por meio de 
matrizes. 
A imagem do Gato Félix (herói do desenho homônimo de 1920) pode ser representada por uma 
matriz 35 × 35 cujos elementos são os números 0 e 1, que especificam a cor do pixel. O número 0 indica a 
cor preta e o número 1, indica a cor branca. Imagens digitais que usam apenas duas cores (em geral, preta 
e branca) são denominadas imagens binárias (ou imagens booleanas). 
 
Fonte: http://www.uff.br/cdme/matrix/matrix-html/matrix-br.html 
 Se a resolução da tela do seu computador estiver configurada para 800 x 600, isso quer dizer que 
são utilizados 800 pixels na horizontal e 600 pixels na vertical. A imagem apresentada na tela utiliza 
portanto 800 x 600 = 480.000 pixels. Se a resolução escolhida for 1024 x 768, a definição da imagem será 
melhor pois contaremos agora com 786.432 pixels. 
 Outro exemplo de aplicação de matrizes é a relação de notas dos alunos de uma turma em 
determinadas disciplinas 
 Matemática Inglês Química Biologia 
André 8,0 7,2 7,8 10,0 
Felipe 7,4 6,5 8,0 6,8 
Lucia 3,8 9,0 6,7 8,7 
Marcos 7,2 8,0 5,6 9,2 
Paula 8,9 4,9 7,8 9,0 
 
 
Matrizes - Fundamentos Matemáticos 
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As notas de um determinado aluno estão dispostas em linhas enquanto as notas dos alunos de uma 
determinada disciplina estão dispostas em colunas. 
 
Definição: Considerando m e n dois números inteiros maiores do que um, denomina-se matriz m por n, 
toda tabela M formada por números reais distribuídos em m linas e n colunas. Dizemos que M é uma matriz 
to tipo mxn ou de ordem mxn. 
 
Exemplos: 
�2 −13 2 � é uma matriz de ordem 2x2 (dois por dois) 
�−1 0 12 −3 5� é uma matriz de ordem 2x3 (dois por três) 
Se m=1, então a matriz é expressa por uma única linha e desse modo é denominada matriz linha, como a 
matriz 
0 −1 2�, que é uma matriz do tipo 1x3. 
Se n=1, a matriz é expressa por uma única coluna, sendo denominada matriz coluna, como é o caso da 
matriz �√2−3�� � que é uma matriz 3x1. 
 Os números que aparecem em uma matriz são chamados de elementos (ou termos) da matriz. 
Considerando a matriz �−1 0 12 −3 5� podemos observar que 
-1 é o elemento que está na primeira linha e primeira coluna, o qual indicamos por a11=-1 (lêia-se a um um). 
0 é o elemento que está na primeira linha e segunda coluna, indicado então por a12=0. (Lêia-se a um dois) 
2 é o elemento que está na segunda linha e primeira coluna, indicado por a21=2. 
5 é o elemento que está na segunda linha e terceira coluna, indicado por a23=5. 
 Dessa forma, em uma matriz A de m linhas e n colunas, indicamos um elemento da linha i e coluna j 
pelo elemento aij. A forma genérica da matriz A é escrita da seguinte maneira: 
 
















=
mnmm
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
A
K
MOMM
K
K
K
21
33231
22221
11211
 
 Para simplificar a notação, poderemos indicar a matriz A com m linhas e n colunas de várias formas, 
entre elas: 
Amxn, A=(aij)mxn, ou então A=(aij) com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤n. 
 
1.1 Matrizes especiais 
 Em alguns casos, algumas matrizes são mais úteis e possuem uma denominação especial. Já 
mencionamos a matriz linha e a matriz coluna. Vejamos outras matrizes especiais: 
 
Matrizes - Fundamentos Matemáticos 
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a) Matriz quadrada de ordem n. É toda matriz onde m = n, ou seja, do tipo nxn em que o número de linhas 
é igual ao número de colunas. 
 Em uma matriz quadrada, os elementos que tem os dois índices iguais são chamados de diagonal 
principal ma matriz quadrada, ou seja, são os elementos a11, a22, ..., ann. 
 Já a diagonal secundária de uma matriz quadrada é formada pelos elementos cujas somas dos 
índices é igual a n+1, ou seja, são os elementos a1n, a2, n-1, a3, n-2 ... an1. 
 
Exemplos: 
Considere a matriz A=� 3 6−7 4�. A é uma matriz quadrada de ordem 2. A diagonal principal é formada pelos 
elementos 3 e 4. A diagonal secundária é formada pelos elementos -7 e 6. 
 
Considere a matriz B=�0 1 23 4 56 7 8�. B é uma matriz quadrada de ordem 3. A diagonal principal é formada 
pelos elementos 0, 4 e 8. A diagonal secundária é formada pelos elementos 6, 4 e 2. 
 A matriz M=












15141312
111098
7654
3210
 é uma matriz quadrada de ordem 4. A diagonal principal é formada pelos 
elementos 0, 5, 10 e 15. A diagonal secundária é formada pelos elementos 12, 9, 6 e 3. 
 
b) Matriz triangular superior é toda matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são 
iguais a zero. Alguns exemplos de matrizes triangulares superiores: 
�1 0 03 −1 00 2 4� �7 02 4� 












− 7521
0308
0051
0002
 
c) Matriz triangular inferior é toda matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são 
iguais a zero. Alguns exemplos de matrizes triangulares inferiores: 
�1 2 60 1 00 0 −4� �3 10 4� 











 −
7000
4300
5050
4312
 
d) Matriz diagonal é toda matriz quadrada em que os elementos que não pertencem à diagonal principal 
são iguais a zero. 
�1 0 00 1 00 0 −4� �3 00 4� 












7000
0300
0050
0002
 
 
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e) Matriz identidade é uma matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal 
são iguais a um e os demais elementos são iguais a zero. Essa matriz é indicada por In. 
�� = �1� � = �1 00 1� �! = �1 0 00 1 00 0 1� 
















=
10000
01000
00100
00010
00001
5
I 
De modo geral a matriz identidade de ordem n pode ser escrita como sendo a matriz de elementos aij onde 
"#$ = %1, '"(" ) = *0, '"(" ) ≠ *,. 
Observe que a matriz identidade é uma matriz quadrada, triangular superior e inferior e também uma matriz 
diagonal. 
 
f) Matriz nula é qualquer matriz do tipo mxn onde todos os elementos são iguais a zero. Representamos 
por 0mxn e caso a matriz nula seja quadrada de ordem n, sua representação é dada por 0n. 
0 -! = �0 0 00 0 0� 0! = �0 0 00 0 00 0 0� 0!-� = �
000� 
1.2 Igualdade de matrizes 
 Dadas duas matrizes A=(aij)mxn e B=(bij)mxn, dizemos que essas matrizes são iguais se aij = bij para 
todo i e todo j, ou seja, para serem iguais duas matrizes devem ser do mesmo tipo e todos os elementos 
correspondentes devem ser iguais. 
Exemplos e contra exemplos: 
. = �1 24 5� e / = �1 24 5�. A = B pois ambas tem mesma ordem e a11= b11, a12=b12, a21=b21, a22= b22. 
 
. = �1 24 5� e 0 = �1 24 −5�. A ≠ C pois, embora ambas tenham a mesma ordem e a11= c11, a12=c12, a21=c21, 
ocorre que a22 ≠≠≠≠ b22. 
 
. = � 2 46 7−1 3� e / = �2 4 67 −1 3�. A ≠ B pois são matrizes de tipos diferentes.Se considerarmos as matrizes . = � 3 1 5−2 2 34 4 9� e / = 6
7 � 5−2 4 3−5 4 89 em que condições teremos A = B? 
 
Se considerarmos as matrizes . = � 3 1 5−2 4 34 4 9� e / = 6
3 � 5−2 4 −3−5 4 −29 em que condições teremos A = B? 
 
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1.3 Exercícios 
1) Indicar explicitamente os elementos da matriz A=(aij)3x3 tal que aij = i – j. 
2) Construir as seguintes matrizes: 
a) A=(aij)2x3 tal que aij = i
2 + j2 
b) M=(aij)3x3 tal que aij = 3i + 2j - 5 
c) X=(aij)4x2 tal que aij = 2i
2 - j 
d) A=(aij)4x4 tal que aij = :0, ;< ) = *1, ;< ) ≠ *, 
e) Y=(aij)2x4 tal que aij = | i – j | 
f) A=(aij)2x2 tal que aij = (-2)
i .(-1)j 
3) Determinar x e y de modo que se tenha �=> ?@? A � = B> + D =@? @ + AE. 
4) Determinar x, y, z e t de modo que se tenha B1 21 24 5 F E = �1 1 33 5F F�. 
5) Sabendo que �" + 8 8 + G28 2" − 3H� = �9 −16 18�, determine a, b, c e d. 
6) Seja A=(aij)2x2 tal que aij = i+j. Determine x, y, z e t para que se tenha � 1 + 2 1 + 331 − F F + 3� = .. 
7) Determine m e n de modo que se tenha �I + J I0 J � = � . 
8) Determine a, b e c para que se tenha �" + 8 − 1 0" − 3G 828 0� = 0!- . 
Vídeos para estudo 
1) Matrizes: introdução 
http://www.youtube.com/watch?v=Y68qZtQ2H6o&list=UUPsFqRodwOk0esir1I2qaqQ&index=43&feature=plc
p 
2) Matrizes especiais 
http://www.youtube.com/watch?v=RvyB33dxnus&list=UUPsFqRodwOk0esir1I2qaqQ&index=96&feature=plc
p 
3) Igualdade de Matrizes 
http://www.youtube.com/watch?v=NiixqHPUFEk 
4) Matriz identidade 
http://www.youtube.com/watch?v=y2uM34QC6cc&list=UUPsFqRodwOk0esir1I2qaqQ&index=14&feature=pl
cp 
 
Fonte: 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. 1ª edição. São Paulo: Ática, 2005. 
IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar, volume 4. Atual Editora. 
 
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Gabarito dos Exercícios 
1)L = �M −D −=D M −D= D M � 
2) a) A=�= N DMN O D?� b) M= �M = A? N PQ O DM� 
c) X=












3031
1617
67
01
 d) A=












0111
1011
1101
1110
 
e) Y= 





2101
3210
 f) A=� 2 −2−4 4 � 
3) x=1, y =0 
4) x=0, y=3, z=4, t=1. 
5) a=6, b=3, c=-4, d=-2 
6) x=2, y=0, z=1, t=3 
7) m=0, n=1 
8) a=1, b=0, c=1/3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.4 Adição de matrizes 
 Dadas duas matrizes A=(aij)mxn e B=(bij)mxn, definimos soma A+B como sendo a matriz C=(cij)mxn onde 
cij=aij+bij , para todo i e para todo j. Dessa forma, a soma de duas matrizes é obtida somando-se os elementos 
correspondentes em A e em B. Note que para somarmos duas matrizes é necessário portanto, que ambas tenham 
a mesma dimensão (mxn) e o resultado da adição mantém a mesma dimensão inicial (mxn). 
Exemplos 
� 6 −3 4−1 5 9� + �−3 5 −80 3 −6� = R6 + �−3� −3 + 5 4 + �−8�−1 + 0 5 + 3 9 + �−6�S = � 8 3 � 
�7 3 −2� + B4 12 −5E = � + + + � = � � 
�−405 � + �
4−13 � = 
 
 Sejam A, B e C matrizes quaisquer do tipo mxn. A adição de matrizes possui as seguintes propriedades: 
i) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) 
ii) Comutativa: A + B = B + A 
iii) Elemento Neutro: A + 0mxn = A. (A matriz nula é o elemento neutro da adição de matrizes) 
iv) Simétrico: A + A’ = 0mxn. Essa matriz A’ é também chamada oposta de A. Se A=(aij)mxn, então a sua oposta, 
indicada por –A, é a matriz dada por –A= (-aij)mxn. 
Exemplos: 
. = � 7 −14 �!√5 −4� ⇒ - A = 
. = 6 5 �− �� −49⇒ - A = 
 Utilizando a oposta de uma matriz podemos definir a diferença entre duas matrizes. Dadas duas matrizes 
A e B de mesma ordem, definimos a diferença A – B como sendo a soma de A com a oposta de B. 
A – B = A + (-B) 
�7 −32 4 � − �5 −49 3 � = �7 −32 4 � + �−5 4−9 −3� = � � 
� 3−15 � − T
−2−4− 16U = �
3−15 � + T
2416U = 
1.5 Exercícios 
9) Sendo . = �5 64 2� e / = �0 −15 4 �, calcule A + B, A - B e B – A. 
10) Dadas as matrizes . = �1 35 97 11�, / = �
2 84 106 12� e 0 = �
0 1−1 4−5 7�, calcule A+B+C, A-B+C, A-B-C e –A+B-C. 
11) Calcule A+B sendo A=(aij)3x3 e B=(bij)3x3 onde aij = i
2 + j2 e bij = 2ij. 
 
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12) Determine a, b, c e d de modo que �" 11 2� + �2 80 −1� = �3 2G H�. 
13) Dadas as matrizes L = �D == ?�, V = �M NP Q� e W = �−D PN −=� determine X tal que X+A=B-C. (Há dois modos 
de se resolver essa questão) 
14) Resolva a equação matricial X – A – B = C sabendo que . = �1 07 2�, / = �1 52 4� e 0 = �−1 −23 5 �. 
15) Determine X de modo que X + �147� = �
572� + �
1−1−2�. 
16) Uma escola de idiomas possui duas unidades. Nas tabelas abaixo são apresentados os números de alunos 
matriculados nessa escola em cada uma dessas unidades. 
Unidade 2 
Turno 
Idioma 
Inglês Francês Espanhol 
Matutino 15 11 10 
Vespertino 9 7 7 
Noturno 17 4 13 
 
a) Com base nessas informações, associe à unidade 1 uma matriz A que indique o número de alunos 
matriculados. Faça o mesmo para a unidade 2 representando essa matriz por B. 
b) Quantos alunos matriculados a escola possui por turno e idioma nas duas unidades? 
c) Qual a diferença entre os alunos por turno e idioma entre a unidade 1 e a unidade 2? 
d) Considerando as duas unidades, quantos alunos de inglês estão matriculados? E de Francês? E de Espanhol? 
e) Considerando as duas unidades, quantos alunos estão matriculados no turno matutino? E no vespertino? E no 
noturno? 
17) Em geral, os gerentes de bancos são levados a cumprir metas, sejam em relação à quantidade de abertura de 
novas contas ou à venda de produtos e serviços. Na venda de um desses produtos, chamado título de 
capitalização, o gerente oferece a seus clientes duas modalidades (M1 e M2). Para organizar e verificar a 
quantidade de títulos vendidos durante certo mês, esse gerente construiu as matrizes A, B, C e D, as quais 
compreendem três tipos de clientes, durante as quatro semanas desse mês. Em cada uma dessas matrizes, as 
colunas indicam a quantidade, respectivamente, de clientes do tipo C1, C2 e C2, e as linhas, a de modalidades M1 
e M2. 
. = �10 25 4030 15 15� , / = �32 18 1210 20 25� , 0 = �25 30 1516 28 36� , Y = �34 35 3819 26 32� 
a) Determine uma matriz 2x3 que represente o total de vendas das modalidades de título para cada tipo de cliente 
no mês indicado. 
b) O que cada linha da matriz que você escreveu representa? E o que cada coluna representa? 
c) Para qual tipo de cliente o gerente vendeu a maior quantidade de títulos da modalidade M1? E da modalidade 
M2? 
 
1.6 Produto de um número por uma matriz 
 Dado um número real α e uma matriz A=(aij)mxn define-se produto ααααA como sendo a matriz B=(bij)mxn onde 
bij=αααα.aij, para todo i e para todo j. Ao multiplicar uma matriz A por um número real α, multiplicados todos os 
elementos dessa matriz por esse número real. É comum denominar esse número real α de escalar. 
 
 
Unidade 1 
Turno 
Idioma 
Inglês Francês Espanhol 
Matutino 21 18 15 
Vespertino 15 9 8 
Noturno 24 4 18 
 
Matrizes - Fundamentos Matemáticos 
9 
 
Exemplos: 
3. � 1 −35 −2−1 0 � = �
3.1 3. �−3�3.5 3. �−2�3. �−1� 3.0 � = �
3 −915 −6−3 0 � 
12 . � 0 3 6−4 5 −1√2 7 −2� = 
 
 Sejam A e B matrizes quaisquer do tipo mxn e α e β dois números reais quaisquer. As seguintes 
propriedades são válidas para o produto de um número por uma matriz: 
i) Associativa: α . (β . A) = (α . β) . A 
ii) Distributiva em relação à soma de matrizes: α . (A + B) = α . A + α . B 
iii) Distributiva em relação à soma de escalares: (α + β) . A = α . A + β . A 
iv) Elemento Neutro: 1 . A = A. 
 
1.7 Exercícios 
18) Sendo. = �1 15 7� e / = �0 69 3�, calcule 2., �! / e D= �L + V�. 
19) Considerando . = �1 72 6� , / = �2 14 3� e 0 = �0 22 0�, determine X em cada uma das equações a seguir: 
a) 2X + . = 3/ + 0 
b) Z + L = D= �V − W� 
c) 3X + . = / − X 
d) 
� �X − . − /� = �! �X − 0� 
20) Resolva o sistema [Z + \ = ?LZ − \ = =V,, sabendo que L = �= MM A� e V = �D N? M�. 
21) Determine X e Y tais que [X + ] = .X − ] = /,, onde . = �147� e / = �
215�. 
22) Determine X e Y tais que [2X + 3] = . + /3X + 4] = . − /,, onde . = �1 3 9� e / = �2 5 0�. 
23) A primeira linha da matriz abaixo reprsenta quantos quilogramas de farinha são utilizados por uma padaria 
para fazer certas receitas, e a 2ª linha, o número respectivo de ovos utilizados em cada uma delas. Escreva a 
matriz que representa a quantidade necessária de farinha e de ovos para preparar 150 receitas de cada tipo. 
�1,5 0,9 23 5 7� 
 
Vídeos para estudo 
1) Soma e subtração de matrizes 
http://www.youtube.com/watch?v=C5hvrcXFcYg&feature=relmfu 
 
Matrizes - Fundamentos Matemáticos 
10 
 
2) Multiplicação de um número real por uma matriz 
http://www.youtube.com/watch?v=7tfdPhleeMQ&feature=plcp 
 
Bibliografia consultada: 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. 1ª edição. São Paulo: Ática, 2005. 
IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar, volume 4. Atual Editora. 
RIBEIRO, Jacson. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, volume 2. Scipione. São Paulo, 2011. 
 
 
Gabarito Seção 1.5 
 
9) . + / = �5 59 6�, . − / = � 5 7−1 −2� e / − . =�−5 −71 2 � 
10) . + / + 0 = �3 128 238 30�, . − / + 0 = �
−1 −40 3−4 6 �, . − / − 0 = �−1 −62 −56 −8� −. + / − 0 = �
1 40 −34 −6� 
11) . + / = � 4 9 169 16 2516 25 36� 
12) a=b=c=d=1. 
13) X = �0 −40 5 � 
14) X = � 1 312 11� 
15) X = � 52−7� 
16) a) . = �21 18 1515 9 824 4 18� / = �
15 11 109 7 717 4 13� 
b) . + / = �36 29 2524 16 1541 8 31� 
c) . − / = �6 7 56 2 17 0 5� 
d) Inglês 101, Francês 53 e Espanhol 71. 
e) Matutino 90, Vespertino 55 e Noturno 80. 
17) a) �101 108 10575 89 108� c) C2, C3 
 
Gabarito Seção 1.7 
 
18) 2. = � 2 210 14�, �! / = �0 23 1�, � �. + /� = ^� _ 7 5` 
19) a) X = 6� −16 ! 9, b) X = 6
0 − �� −1 − a 9 ,c) X =
6�� − ! � − !�9, d) X = � 9 2014 27� 
20) X = �4 53 6� e ] = � 2 −5−3 6 � 
21) X = T! � 6U e ] = T
− � ! 1 U 
22) X = 
−15 −38 −9� e ] = 
11 28 9� 
23) �225 135 300450 750 1050� 
 
 
 
 
 
 
Matrizes - Fundamentos Matemáticos 
11 
 
1.8 Produto de matrizes 
 Dadas duas matrizes A=(aij)mxn e B=(bjk)nxp, chama-se produto AB a matriz C=(cik)mxp, onde 
G#b = "#� . 8�b + "# . 8 b + "#!. 8!b + ⋯ + "#d . 8db = e "#$ . 8$bd$f� 
para todo 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ p. Em outras palavras, o elemento cik é calculado multiplicando-se ordenadamente os 
elementos da linha i da matriz A, pelos elementos da coluna j da matriz B, e somando-se os produtos obtidos. 
 Observe que a quantidade de elementos da linha i da matriz A, é dado pela quantidade de colunas de A. O 
número de elementos da coluna k da matriz B é dado pela quantidade de linhas de B. Assim, uma condição 
necessária para que possamos fazer o produto AB das matrizes é que o número de colunas de A tem que ser o 
mesmo que o número de linhas de B. A matriz resultante AB é uma matriz que possui o número de linhas de A e o 
número de colunas de B. 
 
Exemplos 
a) . = � 1 2 3−1 5 −4� e / = �−35−1�. Calcule AB e BA se possível. 
 
 
 
 
 
 
b) . = �−1 3−2 −5� e / = �−2 13 6�. Calcule AB e BA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matrizes - Fundamentos Matemáticos 
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Da forma como é definido o produto de matrizes, as seguintes propriedades são válidas: 
i) Se A = (aij)mxn, então A.In = A e Im . A = A. 
ii) (AB)C = A(BC) para quaisquer matrizes onde A = (aij)mxn, B = (bjk)nxp e C = (ckl)pxr. 
iii) Distributiva à direita em relação à adição: (A + B)C = AC + BC, quaisquer que sejam as matrizes A = (aij)mxn, 
B = (bij)mxn e C = (cjk)nxp. 
iv) Distributiva à esquerda em relação à adição: C(A + B) = CA + CA, quaisquer que sejam as matrizes A = (aij)mxn, 
B = (bij)mxn e C = (cki)pxm. 
v) (kA)B = A(kB) = k(AB) para qualquer número real k e as matrizes A=(aij)mxn e B=(bjk)nxp. 
 
Observações importantes: 
• O produto de duas matrizes não é necessariamente comutativo. O fato de podermos calcular AB não quer 
dizer que o produto BA seja o mesmo e, em vários casos, esse produto nem é possível de se calcular. 
Por exemplo, se A é do tipo mxn e B é do tipo nxp, o produto AB existe e sua dimensão é mxp. O produto 
BA não existe pois p é diferente de m. 
 
• Há casos onde se é possível calcular AB e BA, mas essas matrizes possuem dimensões diferentes. Se A 
é do tipo mxn e B é to dipo nxm, o produto AB tem dimensão mxm e o produto BA tem dimensão nxn. 
 
• Muitas vezes, mesmo as duas matrizes sendo quadradas de mesma ordem o produto não é comutativo. 
Por exemplo, se . = �4 56 0� e / = �1 02 3� temos 
 
 
AB = BA = 
 
 
 
• Quando for possível calcularmos AB e BA e, além disso, tivermos AB=BA, dizemos que as matrizes A e B 
comutam. Uma condição necessária para que elas comutem é que sejam quadradas e de mesma ordem. 
 �3 03 1� . � 2 0−3 4�= 
 � 2 0−3 4�. �3 03 1�= 
 �" 8G H� . � H −8−G " �= 
 � H −8−G " � . �" 8G H�= 
 
• Outro fato importante é que se o produto AB for igual a matriz nula, isso não implica obrigatoriamente que 
A ou B sejam iguais a matriz nula. Veja o exemplo a seguir 
 �0 00 1� . �1 00 0� = 
 
 
Matrizes - Fundamentos Matemáticos 
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1.9 Exercícios 
24) Sendo . = �1 −10 2 �, qual das matrizes abaixo comuta com A? 
/ = �23� 0 = �1 3 24 5 1� Y = �0 01 0� g = �5 20 3� 
25) Determinar x e y de modo que as matrizes . = �1 21 0� e / = B0 11 2E comutem. 
26) Obter todas as matrizes que comutam com L = �D −D? M �. 
27) Calcular para cada matriz a seguir, todas as matrizes que comutam com A. 
. = �2 11 0�, . = �0 11 1� . = �1 0 01 1 00 1 1� 
28) Provar que se A e B são matrizes comutáveis, então (A + B).(A - B) = A2 – B2. 
 
1.10 Matriz inversa de uma matriz dada 
 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é uma matriz inversível (ou que admite inversa) 
se existir uma matriz B tal que AB = BA = In. Se A não é inversível, A é denominada matriz singular. Se B é a 
inversa de A, utilizamos a notação B = A-1. A-1 é denominada inversa de A. 
Exemplos: 
a) . = �1 32 7� é inversível e .h� = � 7 −3−2 1 � 
 
 
 
 
b) A matriz . = �1 2 70 3 10 5 2� é inversível e .h� = �
1 31 −190 2 −10 −5 3 � 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matrizes - Fundamentos Matemáticos 
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1.10.1 Matriz inversa por meio de sistemas lineares 
 Como determinar a inversa de uma matriz. Antes de verificarmos se uma matriz admite inversa ou não 
(método que será estudado em uma seção mais à frente), utilizaremos o método de sistemas lineares para a 
determinação da inversa de uma matriz. Vejamos como esse método funciona: 
Exemplo: Verificar se a matriz . = �5 82 3� admite inversa. 
 Supondo que a matriz X é a inversa de A, X é uma matriz quadrada de ordem 2 tal que X = �" 8G H�. Pela 
definição temos que AX=I2, ou seja: 
�5 82 3� . �" 8G H� = �1 00 1� ⇒ �5" + 8G 58 + 8H2" + 3G 28 + 3H� = �1 00 1�. 
Pela igualdade de matrizes temos dois sistemas 
I: [5" + 8G = 12" + 3G = 0,, que resulta em a = -3 e c = 2. 
II: [58 + 8H = 028 + 3H = 1,, que resulta em b = 8 e d = 5. 
Portanto X = �−3 82 5�. 
 
Para praticar esse método, determine a inversa das matrizes a seguir (se possível). 
a) . = �1 24 8� 
b) . = �1 1 12 3 14 9 1� 
c) . = �5 64 5� 
d) . = �2 51 3� 
e) . = �1 00 2� 
f) . = �1 −11 1 � 
g) . = �1 1 010 10 1 1� 
h) . = �1 0 11 2 31 2 4� 
i) . = �1 9 53 1 26 4 4� 
 
 
 
Matrizes - Fundamentos Matemáticos 
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Gabarito 
24) E 
25) x=1/2 e y=-1/2 
26) / = � " 8−38 " + 8� 
27) "� �" 88 " − 28� 8� �" 88 " + 8� G� �" 0 08 " 0G 8 "�