derivadas

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50 Derivada de Func¸o˜es
Suma´rio
2 Derivada de Func¸o˜es de Varia´veis reais 53
2.1 O Problema da Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2 Derivada de uma Func¸a˜o de Varia´veis Reais . . . . . . . . . . 54
2.3 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4 Alguns Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5 Propriedades das Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.6 Ca´lculo de Derivadas Usando as Propriedades . . . . . . . . . 67
2.7 Determinac¸a˜o da Tangente Usando Derivada . . . . . . . . . . 73
Apeˆndice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Me´todo de Descartes para a Tangente . . . . . . . . . . . . . . 76
Apeˆndice B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Me´todo de Fermat para a Tangente . . . . . . . . . . . . . . . 79
Apeˆndice C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Me´todo de Barrow para a Tangente . . . . . . . . . . . . . . . 82
51
52 Derivada de Func¸o˜es
Cap´ıtulo 2
Derivada de Func¸o˜es de
Varia´veis reais
2.1 O Problema da Tangente
Muito embora os gregos na˜o possu´ıssem um conceito preciso de aˆngulos e
que para eles a tangente era uma reta que encontrava uma dada curva em
um ponto. Estabaleceram, com demonstrac¸o˜es por reductio ad absurdum a
construc¸a˜o da tangente a algumas curvas conhecidas como: o c´ırculo, el´ıpse,
para´bola e hipe´rbole. No se´culo XVII com os me´todos de Rene´ Descartes
e Pierre Fermat o problema do trac¸ado da tangente a uma curva voltou ao
interesse dos matema´ticos com forc¸a total.
O
B
A
t
Figura 2.1: Demonstrac¸a˜o da tangente ao c´ırculo
O seguinte argumento, que demonstra a tangente a um c´ırculo, e´ devido
53
54 Derivada de Func¸o˜es
a Euclides.
ARGUMENTO: Baseado na Figura 2.1, seja t a reta que no ponto A do
c´ırculo faz aˆngulo de ∠OAB = pi/2 com o raio OA. Usaremos duas te´cnicas
de demonstrac¸a˜o. A primeira e´ conhecida como estudo de casos e consiste em
analizar todas as possibilidades de um caso. Em seguida, elimina-se alguns
deles usando a te´cnica reductio ad absurdum. As poss´ıbilidades sa˜o: a reta t
toca o c´ırculo no ponto A e no ponto B, B 6= A ou a reta t na˜o toca o c´ırculo
apenas no ponto A. Definindo, por reductio ad absurdum que:
Hipo´tese Nula: a reta t toca o c´ırculo en outro ponto B.
Como os raios OA ≡ OA sa˜o congruentes, o triaˆngulo ∆OAB e´ iso´celes e
portanto os aˆngulos ∠OAB ≡ ∠OBA sa˜o congruentes. Da´ı, ∠OAB = pi/2 e
∠OBA = pi/2. Como ∠AOB > 0→ ∠AOB 6= 0 e para o triaˆngulo ∆OAB,
∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = pi → ∠AOB = 0. Da´ı,
∠AOB = 0 ∧ ∠AOB 6= 0. Que e´ absurdum logo a Hipo´tese Nula e´ falsa e
vale a segunda possibilidde i.e.
reta t na˜o toca o c´ırculo apenas no ponto A, de onde concluimos que
t e´ tangente ao c´ırculo no ponto A. ¤
Nos apeˆndices vemos alguns me´todos de determinac¸a˜o da tangente a uma
curva dada. Em particular os me´todos de Rene´ Descartes, Isac Barrow, e de
Pierre de Fermat.
2.2 Derivada de uma Func¸a˜o de Varia´veis Re-
ais
Definic¸a˜o 2.1 Sejam f : D ⊂ R 7→ R uma func¸a˜o de valores reais e a ∈ D.
Definimos a derivada de f(x) em x = a, denotada f ′(a), por:
f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
De modo ana´logo podemos definir a derivada a` direita e a derivada a`
esquerda. A saber:
Definic¸a˜o 2.2 Sejam f : D ⊂ R 7→ R uma func¸a˜o de valores reais e a ∈ D.
Definimos a derivada a` dirita de f(x) em x = a, denotada f ′+(a), por:
f ′+(a) = lim
h→0+
f(a+ h)− f(a+ 0)
h
e tambe´m,
Generalidades 55
ab
P(x,f(x))
Q(x+h,f(x+h))
h
x x+h
A(x+h,f(x))
Figura 2.2: Derivada: Interpretac¸a˜o Geome´trica
Definic¸a˜o 2.3 Sejam f : D ⊂ R 7→ R uma func¸a˜o de valores reais e a ∈ D.
Definimos a derivada a` esquerda de f(x) em x = a, denotada f ′−(a), por:
f ′−(a) = lim
h→0−
f(a+ h)− f(a− 0)
h
Hoje temos uma definic¸a˜o precisa de tangente. Uma definic¸a˜o dinaˆmica,
apoiada no conceito de limite. Baseado na Figura 2.2 temos que:
tan(a) = lim
Q→P
tan(b)
Isto e´. A a reta tangente a uma curva em um ponto P e´ o limite das retas
secantes a curva que passam pelos ponto P e Q, quando o ponto Q tende ao
ponto P .
OBS 2.1 Seja f : D ⊂ R 7→ R uma func¸a˜o de valores reais deriva´vel. Po-
demos, fixado x = a, definir a func¸a˜o:
r(a, h) =
f(a+ h)− f(a)
h
− f ′(a).
Como lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
= f ′(a), temos que:
lim
h→0
r(a, h) = 0. Da´ı, podemos, alternativamente, definir a derivada da
func¸a˜o f(x) no ponto x = a da seguinte forma: Dizemos que f ′(a) ∈ R
e´ a derivada da func¸a˜o f(x) no ponto x = a se, somente se existe uma
56 Derivada de Func¸o˜es
func¸a˜o cont´ınua r(a, h) tal que lim
h→0
r(a, h) = 0 e f(a + h) − f(a) = [f ′(a) +
r(a, h)].h, ∀h ∈ R.
Esta definic¸a˜o equivale dizer que para h suficientemente pequeno podemos
aproximar f(a+ h) pela reta f ′(a).h+ f(a).
OBS 2.2 Alternativamente podemos definir a derivada em termos da raza˜o
incremental ∆x = x − a e ∆y = f(a +∆x) − f(a) i.e. f ′(a) = lim
∆x→0
∆y
∆x
=
lim
∆x→0
f(a+∆x)− f(a)
∆x
2.3 Alguns Exemplos
Vamos diretamente a` pra´tica, determinando, isto e´, calculando a derivada de
algumas func¸o˜es.
Exemplo 2.3.1 Seja f : R 7→ R dada por f(x) = sin(x). Determinar a
derivada de f(x) em x = a.
SOLUC¸A˜O: Fixado a, seja g : R− 0 7→ R definida por:
g(x) =
sin(a+∆x)− sin(a)
∆x
Usando a fo´rmula da diferenc¸a de senos teremos:
g(a,∆x) =
2 sin
(
a+∆x− a
2
)
cos
(
a+∆x+ a
2
)
∆x
=
2 sin
(
∆x
2
)
∆x
cos
(
2a+∆x
2
)
=
sin
(
∆x
2
)
∆x
2
cos
(
2a+∆x
2
)
Generalidades 57
Passando o limite ∆x→ 0 temos:
f ′(a) = lim
∆x→0
g(a,∆x)
= lim
∆x→0

sin
(
∆x
2
)
∆x
2
cos
(
2a+∆x
2
)
= lim
∆x→0

sin
(
∆x
2
)
∆x
2
 lim∆x→0 cos
(
2a+∆x
2
)
Como lim
∆x→0

sin
(
∆x
2
)
∆x
2
 = 1 e lim∆x→0 cos
(
2a+∆x
2
)
= cos(a) temos:
f ′(a) = cos(a). ¤
DESAFIO 2.1 Determinar a derivada das demais func¸o˜es trigonome´tricas
cos(x), tan(x), cot(x), sec(x) e csc(x).
Exemplo 2.3.2 Sejam n ∈ N e f : R 7→ R dada por f(x) = xn. Determinar
a derivada de f(x) em x = a.
SOLUC¸A˜O: Sa seja g : R− 0 7→ R definida por:
g(a,∆x) =
(a+∆x)n − an
∆x
Desenvlvendo o binoˆmio de Newton temos:
(a+∆x)n =
n∑
k=0
(Cnk a
k(∆x)n−k)
=
n−2∑
k=0
(Cnk a
k(∆x)n−k) + Cnn−1a
n−1∆x+ Cnna
n
Como Cnn−1 = n e C
n
n = 1 temos:
(a+∆x)n =
n−2∑
k=0
(Cnk a
k(∆x)n−k) + nan−1∆x+ an
Substituindo na definic¸a˜o de g(a,∆x) temos:
58 Derivada de Func¸o˜es
g(a,∆x) =
n−2∑
k=0
(Cnk a
k(∆x)n−k) + nan−1∆x+ an − an
∆x
=
n−2∑
k=0
(Cnk a
k(∆x)n−k) + nan−1∆x
∆x
=
n−2∑
k=0
(Cnk a
k(∆x)n−k)
∆x
+
nan−1∆x
∆x
=
n−2∑
k=0
(Cnk a
k(∆x)n−k)
∆x
+ nan−1
=
Cn0 (∆x)
n + Cn1 a(∆x)
n−1 + · · ·+ Cnn−2an−2(∆x)2
∆x
+ nan−1
= Cn0 (∆x)
n−1 + Cn1 a(∆x)
n−2 + · · ·+ Cnn−2an−2∆x+ nan−1
Passando o limite ∆x→ 0 temos:
f ′(a) = lim
∆x→0
g(a,∆x)
= lim
∆x→0
{
Cn0 (∆x)
n−1 + Cn1 a(∆x)
n−2 + · · ·+ Cnn−2an−2∆x+ nan−1
)
= nan−1
Da´ı, temos:
f ′(a) = nan−1. ¤
DESAFIO 2.2 Determinar a derivada da func¸a˜o f : R+ 7→ R dada por
f(x) = n
√
x.
2.4 Alguns Teoremas
Veremos agora alguns teoremas referentes a`s derivadas. O primeiro diz que
se uma func¸ao e´ deriva´vel em um ponto de seu domı´nio enta˜o a func¸a˜o
e´ cont´ınua neste ponto. O segundo e´ mais conhecido como “A Regra da
Cadeia” e diz respeito a derivac¸a˜o da composta de duas func¸o˜es deriva´veis.
Ma˜os a obra.
Generalidades 59
Teorema 2.1 Seja f : D ⊂ R 7→ R uma func¸a˜o de varia´veis reais tal que
f(x) e´ deriva´vel em x = a enta˜o f(x) e´ cont´ınuaem x = a.
PROVA: Podemos escrever:
f(x)− f(a) = f(x)− f(a)
x− a (x− a).
Passsando o limite x→ a temos:
lim
x→a
{f(x)− f(a)} = lim
x→a
{
f(x)− f(a)
x− a (x− a)
}
= lim
x→a
{
f(x)− f(a)
x− a
}
lim
x→a
(x− a)
Como f(x) e´ deriva´vel, da definic¸a˜o, lim
x→a
{
f(x)− f(a)
x− a
}
= f ′(a) e como
lim
x→a
(x− a) = 0 temos:
lim
x→a
{f(x)− f(a)} = 0
lim
x→a
f(x)− lim
x→a
f(a) = 0
lim
x→a
f(x)− f(a) = 0
lim
x→a
f(x) = f(a)
Portanto lim
x→a
f(x) = f(a) e f(x) e´ cont´ınua no ponto x = a. ¤
Agora vamos a` “REGRA DA CADEIA”.
Teorema 2.2 Sejam f : D1 ⊂ R 7→ R e g : D2 ⊂ R 7→ R duas func¸a˜o
de varia´veis reais tais que img(g) ⊂ D1, a ∈ D1 e b = g(a). Se f ′(b) e
g′(a) existem enta˜o a composta (f ◦ g) : D2 7→ R e´ deriva´vel em x = a e
(f ◦ g)′(a) = f ′(g(a)).g′(a)
PROVA: Como f(x) e´ deriva´vel em y = b e g(x) deriva´vel em x = a temos:
f(b+ k)− f(b) = [f ′(b) + r(b, k)].k e lim
k→0
r(b, k) = 0
g(a+ h)− g(a) = [g′(a) + s(a, h)].h e lim
h→0
s(a, h) = 0
(2.1)
Fazendo em particular:
k = g(a+ h)− g(a)→ k = g(a+ h)− b→ g(a+ h) = k + b (2.2)
Tomando a func¸a˜o composta f ◦ g temos:
(f ◦ g)(a+ h) = f(g(a+ h)) (2.3)
De 2.2 e 2.3 temos:
(f ◦ g)(a+ h) = f(b+ k) (2.4)
60 Derivada de Func¸o˜es
Por outro lado:
(f ◦ g)(a) = f(g(a)) = g(b) (2.5)
De 2.1.1, 2.4 e 2.5 temos:
(f ◦ g)(a+ h)− (f ◦ g)(a) = [f ′(b) + r(b, k)].k (2.6)
De 2.2 e 2.6 temos:
(f ◦ g)(a+ h)− (f ◦ g)(a) = [f ′(b) + r(b, k)].(g(a+ h)− g(a)) (2.7)
De 2.1.2 e 2.7 temos:
(f ◦ g)(a+ h)− (f ◦ g)(a) = [f ′(b) + r(b, k)].[g′(a) + s(a, h)].h (2.8)
Fazendo o produto dos colchetes no lado direito de 2.8 temos:
(f ◦ g)(a+ h)− (f ◦ g)(a) = [f ′(b).g′(a) + r(b, k).g′(a)+
+f ′(b).s(a, h) + r(b, k).s(a, h)].h
(2.9)
Definindo
σ(a, h) = r(b, k).g′(a) + f ′(b).s(a, h) + r(b, k).s(a, h) (2.10)
A equac¸a˜o 2.9 passa a forma:
(f ◦ g)(a+ h)− (f ◦ g)(a) = [f ′(b).g′(a) + σ(a, h)].h (2.11)
Como k = g(a+ h)− g(a) e b = g(a) podemos reescrever 2.10 como:
σ(a, h) = r(g(a), g(a+ h)− g(a)).g′(a)+
+f ′(g(a)).s(a, h) + r(g(a), g(a+ h)− g(a)).s(a, h) (2.12)
Passando o limite h→ 0 em σ(a, h) temos:
lim
h→0
σ(a, h) = g′(a). lim
h→0
r(g(a), g(a+ h)− g(a))+
+f ′(g(a)). lim
h→0
s(a, h)+
+ lim
h→0
r(g(a), g(a+ h)− g(a)). lim
h→0
s(a, h)
(2.13)
Como b = g(a) e g(x) e´ cont´ınua em x = a e k = g(a + h) − g(a) vem que
h→ 0⇒ k → 0. Da´ı, a equac¸a˜o 2.13 passa a forma:
lim
h→0
σ(a, h) = g′(a). lim
k→0
r(b, k) + f ′(g(a)). lim
h→0
s(a, h)+
+ lim
k→0
r(b, k). lim
h→0
s(a, h)
(2.14)
Generalidades 61
Como lim
k→0
r(b, k) = 0 e lim
h→0
s(a, h) = 0 de 2.14 temos:
lim
h→0
σ(a, h) = 0 (2.15)
Dividindo 2.11 por h e passando o limite h→ 0 temos:
(f ◦ g)(a+ h)− (f ◦ g)(a)
h
= f ′(b).g′(a) + σ(a, h) (2.16)
Passando o limite h→ 0 temos:
lim
h→0
(f ◦ g)(a+ h)− (f ◦ g)(a)
h
= lim
h→0
(f ′(b).g′(a) + σ(a, h))
= f ′(b).g′(a) + lim
h→0
σ(a, h))
(2.17)
De 2.15 e 2.17 temos:
lim
h→0
(f ◦ g)(a+ h)− (f ◦ g)(a)
h
= f ′(b).g′(a) (2.18)
Da definic¸a˜o de derivada e como b = g(a), finalmente temos:
(f ◦ g)′(a) = f ′(g(a)).g′(a). ¤ (2.19)
2.5 Propriedades das Derivadas
Veremos, agora, algumas das propriedades das derivadas. Elas sera˜o, jun-
tamente com a regra da cadeia, importantes na determinac¸a˜o da derivada
de func¸o˜es. A utilizac¸a˜o destas propriedades permite a derivac¸a˜o de func¸o˜es
independente da complexidade de sua forma.
Propriedade 2.5.0.1 Sejam f, g : D ⊂ R 7→ R duas func¸o˜es de valores
reais. Se f(x) e g(x) sa˜o deriva´veis em x = a enta˜o (f+g)′(a) = f ′(a)+g′(a)
PROVA:Da definimos a func¸a˜o ϕ(a, h) =
(f + g)(a+ h)− (f + g)(a)
h
. Da´ı,
temos:
ϕ(a, h) =
(f + g)(a+ h)− (f + g)(a)
h
=
f(a+ h) + g(a+ h)− f(a)− g(a)
h
=
f(a+ h)− f(a)
h
+
g(a+ h)− g(a)
h
Passando o limite h→ 0, usando a definic¸a˜o de derivada, temos:
62 Derivada de Func¸o˜es
(f + g)′(a) = lim
h→0
ϕ(a, h)
= lim
h→0
{
f(a+ h)− f(a)
h
+
g(a+ h)− g(a)
h
}
= lim
h→0
{
f(a+ h)− f(a)
h
}
+ lim
h→0
{
g(a+ h)− g(a)
h
}
Como, lim
h→0
{
f(a+ h)− f(a)
h
}
= f ′(a) e lim
h→0
{
g(a+ h)− g(a)
h
}
= g′(a)
temos:
(f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a). ¤
Propriedade 2.5.0.2 Sejam f, g : D ⊂ R 7→ R duas func¸o˜es de valores
reais. Se f(x) e g(x) sa˜o deriva´veis em x = a enta˜o (f−g)′(a) = f ′(a)−g′(a)
PROVA: Da definimos a func¸a˜o ϕ(a, h) =
(f − g)(a+ h)− (f − g)(a)
h
.
Da´ı, temos:
ϕ(a, h) =
(f − g)(a+ h)− (f − g)(a)
h
=
f(a+ h)− g(a+ h)− f(a) + g(a)
h
=
f(a+ h)− f(a)
h
− g(a+ h)− g(a)
h
Passando o limite h→ 0, usando a definic¸a˜o de derivada, temos:
(f − g)′(a) = lim
h→0
ϕ(a, h)
= lim
h→0
{
f(a+ h)− f(a)
h
− g(a+ h)− g(a)
h
}
= lim
h→0
{
f(a+ h)− f(a)
h
}
− lim
h→0
{
g(a+ h)− g(a)
h
}
Como, lim
h→0
{
f(a+ h)− f(a)
h
}
= f ′(a) e lim
h→0
{
g(a+ h)− g(a)
h
}
= g′(a)
temos:
(f − g)′(a) = f ′(a)− g′(a). ¤
Propriedade 2.5.0.3 Sejam f, g : D ⊂ R 7→ R duas func¸o˜es de valores
reais. Se f(x) e g(x) sa˜o deriva´veis em x = a enta˜o (f.g)′(a) = f ′(a)g(a) +
f(a)g′(a)
Generalidades 63
PROVA: Da definimos a func¸a˜o ϕ(a, h) =
(f.g)(a+ h)− (f.g)(a)
h
. Da´ı,
temos:
ϕ(a, h) =
f(a+ h).g(a+ h)− f(a).g(a)
h
=
f(a+ h).g(a+ h)− f(a).g(a+ h) + f(a).g(a+ h)− f(a).g(a)
h
=
f(a+ h)− f(a)
h
.g(a+ h) + f(a).
g(a+ h)− g(a)
h
Passando o limite h→ 0, usando a definic¸a˜o de derivada, temos:
(f + g)′(a) = lim
h→0
ϕ(a, h)
= lim
h→0
{
f(a+ h)− f(a)
h
.g(a+ h) + f(a).
g(a+ h)− g(a)
h
}
= lim
h→0
{
f(a+ h)− f(a)
h
}
. lim
h→0
{g(a+ h}+
lim
h→0
{f(a)} . lim
h→0
{
g(a+ h)− g(a)
h
}
Como, lim
h→0
{
f(a+ h)− f(a)
h
}
= f ′(a) e lim
h→0
{
g(a+ h)− g(a)
h
}
= g′(a), da
continuidade de g(x), lim
h→0
g(a + h) = g(a) e tambe´m que, lim
h→0
f(a) = f(a)
temos:
(f.g)′(a) = f ′(a).g(a) + f(a).g′(a). ¤
Propriedade 2.5.0.4 Seja f : D ⊂ R 7→ R uma func¸a˜o de valores reais. Se
f(x) e´ deriva´vel em x = a enta˜o
(
1
f
)′
(a) = − f
′(a)
f 2(a)
, se f(a) 6= 0.
PROVA: Da definimos a func¸a˜o ϕ(a, h) =
(
1
f
)
(a+ h)−
(
1
f
)
(a)
h
. Da´ı,
temos:
ϕ(a, h) =
(
1
f
)
(a+ h)−
(
1
f
)
(a)
h
=
1
f(a+ h)
− 1
f(a)
h
=
f(a)− f(a+ h)
f(a+ h).f(a)
h
= −f(a+ h)− f(a)
h
1
f(a+ h).f(a)
64 Derivada de Func¸o˜es
Passando o limite h→ 0, usando a definic¸a˜o de derivada, temos:
(f + g)′(a) = lim
h→0
ϕ(a, h)
= lim
h→0
{
−f(a+ h)− f(a)
h
1
f(a+ h).f(a)
}
= − lim
h→0
{
f(a+ h)− f(a)
h
}
. lim
h→0
{
1
f(a+ h).f(a)
}
Como, lim
h→0
{
f(a+ h)− f(a)
h
}
= f ′(a) e da continuidade de f(x) lim
h→0
f(a+
h) = f(a) temos:
(
1
f
)′
(a) = − f
′(a)
f 2(a)
. ¤
Propriedade 2.5.0.5 Sejam f, g : D ⊂ R 7→ R duas func¸o˜es de valo-
res reais. Se f(x) e g(x) sa˜o deriva´veis em x = a enta˜o
(
f
g
)′
(a) =
f ′(a).g(a)− f(a).g′(a)
g2(a)
, se f(a) 6= 0.
Generalidades 65
PROVA: Da definimos a func¸a˜o ϕ(a, h) =
(
f
g
)
(a+ h)−
(
f
g
)
(a)
h
. Da´ı,
temos:
ϕ(a, h) =
(
f
g
)
(a+ h)−
(
f
g
)
(a)
h
=
f(a+ h)
g(a+ h)
− f(a)
g(a)
h
=
f(a+ h).g(a)− f(a).g(a+ h)
g(a+ h).g(a)
h
=
f(a+ h).g(a)− f(a).g(a) + f(a).g(a)− f(a).g(a+ h)
g(a+ h).g(a)
h
=
(f(a+ h)− f(a)).g(a)− f(a).(g(a+ h)− g(a))
h
g(a+ h).g(a)
=
f(a+ h)− f(a)
h
.g(a)− f(a).g(a+ h)− g(a)
h
g(a+ h).g(a)
=
(
f(a+ h)− f(a)
h
.g(a)− f(a).g(a+ h)− g(a)
h
)
.
1
g(a+ h).g(a)
Passandoo limite h→ 0, usando a definic¸a˜o de derivada, temos:
(
f
g
)′
(a) = lim
h→0
ϕ(a, h)
= lim
h→0
{(
f(a+ h)− f(a)
h
.g(a)− f(a).g(a+ h)− g(a)
h
)
.
.
1
g(a+ h).g(a)
}
=
(
lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
.g(a)− f(a). lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
)
.
. lim
h→0
1
g(a+ h).g(a)
66 Derivada de Func¸o˜es
Como, lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
= f ′(a) e lim
h→0
g(a+ h)− g(a)
h
= g′(a), da conti-
nuidade de g(x), lim
h→0
g(a+ h) = g(a) temos:
(
f
g
)′
(a) =
f ′(a).g(a)− f(a).g′(a)
g2(a)
. ¤
Propriedade 2.5.0.6 Seja f : D ⊂ R 7→ R uma func¸a˜o de valores reais
invers´ıvel. Se f(x) e´ deriva´vel em x = a e f−1 cont´ınua em b = f(a) enta˜o
(f−1)′(b) =
1
f ′(f−1(b))
, se f ′(f−1(b)) 6= 0.
PROVA: Como f(x) e´ deriva´vel x = a e´ cont´ınua em x = a e portanto se
y = f(x) temos x→ a equaivale a y → b. Da´ı, podemos escrever:
f−1(y)− f−1(b)
y − b =
x− a
y − b
=
1
y − b
x− a
=
1
f(x)− f(a)
x− a
Passando o limite y → b e levando em conta que y → b equaivale a x → a
temos:
lim
y→b
f−1(y)− f−1(b)
y − b = limy→b
1
f(x)− f(a)
x− a
= lim
x→a
1
f(x)− f(a)
x− a
=
1
lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a
Como, da definic¸a˜o, lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = f
′(a) e como f ′(a) = f ′(f−1(b))
temos:
lim
y→b
f−1(y)− f−1(b)
y − b =
1
f ′(a)
=
1
f ′(f−1(b))
Generalidades 67
Como da definic¸a˜o lim
y→b
f−1(y)− f−1(b)
y − b = (f
−1)′(b) finalmente temos:
(f−1)′(b) =
1
f ′(f−1(b))
. ¤
2.6 Ca´lculo de Derivadas Usando as Propri-
edades
Voceˆ esta´ cansado de calcular a derivada de uma func¸a˜o usando a definic¸a˜o.
Voceˆ se desespera com os limites que tem que determinar para calcular uma
derivada. O ca´lculo de derivadas lhe deixa cansado. SEUS PROBLEMAS
ACABARAM. Chegou o CA´LCULO DE DERIVADAS USANDO
AS PROPRIEDADES. Fa´cil de usar. Voceˆ pode fazeˆ-lo em qualquer
lugar. Agora voceˆ vai determinar derivada no cinema na praia,. Em qualquer
lugar. Ate´ na avaliac¸a˜o.
Para calcular a derivada de uma func¸a˜o f(x) usando as propriedades e´ fa´cil
e descreveremos na forma de passos.
• identificar todas as operac¸o˜es necessa´rias para determinac¸a˜o do valor
de f(x)
• somas e subtrac¸o˜es teˆm o menor grau de prioridade. Prioridade 1
• produtos e diviso˜es tem prioridade 2
• poteˆncias e radiciac¸a˜o tem prioridade 3
• composic¸a˜o de func¸o˜es tem prioridade varia´vel
• deriva-se uma func¸a˜o aplicando as propriedades na ordem inversa das
operac¸o˜es necessa´rias para determinac¸a˜o do valor de f(x)
Vamos ver alguns exemplos. Pois, e´ vendo que se aprende
Exemplo 2.6.1 Determinar a derivada da func¸a˜o f(x) = x2 + sin(1/x).
SOLUC¸A˜O: observando a func¸a˜o vemos que a ordem das operac¸o˜es para
determinac¸a˜o de f(x) dado um valor de x e´:
• determinar x2 poteˆncia
• determinar 1/x
• determinar a composta sin(1/x)
68 Derivada de Func¸o˜es
• determinar a soma f(x) = x2 + sin(1/x)
Portanto a derivada de f(x) sera´ dada por:
f ′(x) = (x2 + sin(1/x))′
= (x2)′ + (sin(1/x))′
= 2x2−1 + sin′(1/x).(1/x)′
= 2x+ cos(1/x).((−1)x−1−1)
= 2x− (1/x). 1
x2
. ¤
Exemplo 2.6.2 Determinar a derivada da func¸a˜o f(x) = x2. cos(x+ x2).
SOLUC¸A˜O: Observando a func¸a˜o vemos que a ordem das operac¸o˜es para
determinac¸a˜o de f(x) dado um valor de x e´:
• determinar x2 poteˆncia
• somar x+ x2
• determinar a composta sin(x+ x2)
• determinar o produto f(x) = x2. cos(x+ x2)
Portanto a derivada de f(x) sera´ dada por:
f ′(x) = (x2. cos(x+ x2))′
= (x2)′. cos(x+ x2) + x2.(cos(x+ x2))′
= 2x2−1. cos(x+ x2) + x2. cos′(x+ x2).(x+ x2)′
= 2x. cos(x+ x2) + x2.(− sin(x+ x2)).(x′ + (x2)′)
= 2x. cos(x+ x2) + x2.(− sin(x+ x2)).(1 + 2x2−1)
= 2x. cos(x+ x2)− x2. sin(x+ x2).(1 + 2x). ¤
Vejamos agora alguns exemplos mais elaborados.
Exemplo 2.6.3 Determinar a derivada da func¸a˜o f(x) =
1 + cos(x+ sin(x2))
1 + x2
.
SOLUC¸A˜O:Observando a func¸a˜o vemos que a ordem das operac¸o˜es para
determinac¸a˜o de f(x) dado um valor de x e´:
• determinar x2 poteˆncia
• somar 1 + x2 e reservar
• determinar a composta sin(x2)
• determinar a soma x+ sin(x2)
Generalidades 69
• determinar a composta cos(x+ sin(x2))
• determinar a soma 1 + cos(x+ sin(x2))
• determinar a divisa˜o 1 + cos(x+ sin(x
2))
1 + x2
Como a u´ltima operac¸a˜o e´ a divisa˜o a propriedade da derivada da divisa˜o
sera´ a primeira a ser utilizada. Da´ı,
f ′(x) =
(
1 + cos(x+ sin(x2))
1 + x2
)′
=
(1 + x2).(1 + cos(x+ sin(x2)))′ − (1 + cos(x+ sin(x2))).(1 + x2)′
(1 + x2)2
A u´ltima operac¸a˜o no ca´lculo de 1 + cos(x + sin(x2)) e de 1 + x2 e´ a soma.
Da´ı, a propriedade da derivada da soma sera´ utilizada.
f ′(x) =
1
(1 + x2)2
.((1 + x2).(1′ + (cos(x+ sin(x2)))′)−
−(1 + cos(x+ sin(x2))).(1′ + (x2)′))
=
1
(1 + x2)2
.((1 + x2).(0 + (cos(x+ sin(x2)))′)−
−(1 + cos(x+ sin(x2))).(0 + 2x))
Para derivar (cos(x + sin(x2)))′ usaremos a derivada da func¸a˜o composta
(regra da cadeia). Da´ı,
f ′(x) =
1
(1 + x2)2
.((1 + x2). cos′(x+ sin(x2)).(x+ sin(x2))′−
−2x(1 + cos(x+ sin(x2))
=
1
(1 + x2)2
.((1 + x2).(− sin(x+ sin(x2)).(x+ sin(x2))′−
−2x(1 + cos(x+ sin(x2))
A u´ltima operac¸a˜o no ca´lculo de x + sin(x2) e´ a soma. Da´ı, a propriedade
da derivada da soma sera´ utilizada.
f ′(x) =
1
(1 + x2)2
.((1 + x2).(− sin(x+ sin(x2)).(x′ + (sin(x2))′)−
−2x(1 + cos(x+ sin(x2))
=
1
(1 + x2)2
.((1 + x2).(− sin(x+ sin(x2)).(1 + (sin(x2))′)−
−2x(1 + cos(x+ sin(x2))
70 Derivada de Func¸o˜es
Para derivar (sin(x2))′ usaremos a derivada da func¸a˜o composta.
f ′(x) =
1
(1 + x2)2
.((1 + x2).(− sin(x+ sin(x2)).(1 + sin′(x2).(x2)′)−
−2x(1 + cos(x+ sin(x2))
=
1
(1 + x2)2
.((1 + x2).(− sin(x+ sin(x2)).(1 + sin′(x2).(2x))−
−2x(1 + cos(x+ sin(x2))
=
1
(1 + x2)2
.(−2x(1 + x2). sin(x+ sin(x2).(1 + sin′(x2))−
−2x(1 + cos(x+ sin(x2))
Finalmente, colocando −2x em evideˆncia, podemos escrever
f ′(x) = − 2x
(1 + x2)2
.((1 + x2). sin(x+ sin(x2).(1 + sin′(x2))+
+(1 + cos(x+ sin(x2)). ¤
Exemplo 2.6.4 Determinar a derivada da func¸a˜o f(x) =
x8. cos(1 + x8)
sin(1 + x2)
.
SOLUC¸A˜O:Observando a func¸a˜o vemos que a ordem das operac¸o˜es para
determinac¸a˜o de f(x) dado um valor de x e´:
• determinar x2 e x8 poteˆncias
• somar 1 + x2 e 1 + x8 reservar
• determinar a composta sin(1 + x2)reservar
• determinar a composta cos(1 + x8)
• determinar o produto x8. cos(1 + x8)
• determinar a divisa˜o x
8. cos(1 + x8)
sin(1 + x2)
Como a u´ltima operac¸a˜o e´ a divisa˜o a propriedade da derivada da divisa˜o
sera´ a primeira a ser utilizada. Da´ı,
f ′(x) =
(
x8. cos(1 + x8)
sin(1 + x2)
)′
=
sin(1 + x2).(x8. cos(1 + x8))′ − x8. cos(1 + x8).(sin(1 + x2))′
sin2(1 + x2)
Generalidades 71
A u´ltima operac¸a˜o no ca´lculo de x8. cos(1 + x8) e´ o produto. Da´ı, a proprie-
dade da derivada do produto sera´ utilizada.
f ′(x) =
1
sin2(1 + x2)
.(sin(1 + x2).((x8)′. cos(1 + x8) + x8.(cos(1 + x8))′)−
−x8. cos(1 + x8).(sin(1 + x2))′)
=
1
sin2(1 + x2)
.(sin(1 + x2).(8x7. cos(1 + x8) + x8.(cos(1 + x8))′)−
−x8. cos(1 + x8).(sin(1 + x2))′)
Para derivar (cos(1 + x8))′ e (sin(1 + x2))′ usaremos a derivada da func¸a˜o
composta (regra da cadeia). Da´ı,
f ′(x) =
1
sin2(1 + x2)
.(sin(1 + x2).(8x7. cos(1 + x8) + x8. cos′(1 + x8).
.(1 + x8)′)− x8. cos(1 + x8). sin′(1 + x2).(1 + x2)′)
=
1
sin2(1 + x2)
.(sin(1 + x2).(8x7. cos(1 + x8) + x8.(− sin(1 + x8)).
.(1 + x8)′)− x8. cos(1 + x8). cos(1 + x2).(1 + x2)′)
A u´ltima operac¸a˜o no ca´lculo de 1+x8 e 1+x2 e´ a soma. Da´ı, a propriedade
da derivada da soma sera´ utilizada.
f ′(x) =
1
sin2(1 + x2)
.(sin(1 + x2).(8x7. cos(1 + x8) + x8.(− sin(1 + x8)).
.(1′ + (x8)′))− x8. cos(1 + x8). cos(1 + x2).(1′ + (x2)′))
=
1
sin2(1 + x2)
.(sin(1+ x2).(8x7. cos(1 + x8) + x8.(− sin(1 + x8)).
.(0 + 8x7))− x8. cos(1 + x8). cos(1 + x2).(0 + 2x))
=
1
sin2(1 + x2)
.(sin(1 + x2).(8x7. cos(1 + x8) + x8.(− sin(1 + x8)).
.8x7)− x8. cos(1 + x8). cos(1 + x2).2x)
=
1
sin2(1 + x2)
.(sin(1 + x2).(8x7. cos(1 + x8)− 8x15. sin(1 + x8)−
−2x10. cos(1 + x8). cos(1 + x2))
Finalmente, colocando 2x7 em evideˆncia, podemos escrever
f ′(x) =
2x7
sin2(1 + x2)
.(sin(1 + x2).(4 cos(1 + x8)− 4x8. sin(1 + x8)−
−x3. cos(1 + x8). cos(1 + x2)). ¤
Vamos, a seguir, a alguns exemplos dada determinac¸a˜o da derivada de
func¸o˜es inversas usando propriedades da derivada.
72 Derivada de Func¸o˜es
Exemplo 2.6.5 Determinar a derivada da func¸a˜o f(x) = arcsin(x) = sin−1(x).
SOLUC¸A˜O: Definindo a func¸a˜o g(x) = sin(x) temos que f(x) = g−1(x).
Da´ı, usando a propriedade da derivada da func¸a˜o inversa temos:
f ′(x) = (g−1)′(x) =
1
g′(g−1(x))
(2.20)
Por outro lado temos:
g′(x) = (sin(x))′
= cos(x)
=
√
1− sin2(x)
(2.21)
Usando 2.21 temos
g′(g−1(x)) =
√
1− sin2(g−1(x))
=
√
1− sin2(sin−1(x))
=
√
1− x2
(2.22)
De 2.20 e 2.22 finalmente temos
f ′(x) =
1√
1− x2 . ¤
Exemplo 2.6.6 Determinar a derivada da func¸a˜o f(x) = sec−1(x).
SOLUC¸A˜O: Definindo a func¸a˜o g(x) = sec(x) temos que f(x) = g−1(x).
Da´ı, usando a propriedade da derivada da func¸a˜o inversa temos:
f ′(x) = (g−1)′(x) =
1
g′(g−1(x))
(2.23)
Por outro lado temos:
g′(x) = (sec(x))′
= tan(x). sec(x)
= sec(x).
sin(x)
cos(x)
= sec(x).
√
1− cos2(x)
cos(x)
= sec(x).
√
1− cos2(x)
cos2(x)
= sec(x).
√
1
cos2(x)
− cos
2(x)
cos2(x)
= sec(x).
√
1
cos2(x)
− 1
= sec(x).
√
sec2(x)− 1
(2.24)
Generalidades 73
Usando 2.24 temos
g′(g−1(x)) = sec(g−1(x)).
√
sec2(g−1(x))− 1
= sec(sec−1(x)).
√
sec2(sec−1(x))− 1
= x.
√
x2 − 1
(2.25)
De 2.23 e 2.25 finalmente temos
f ′(x) =
1
x.
√
x2 − 1 . ¤
Exemplo 2.6.7 Determinar a derivada da func¸a˜o f(x) = n
√
x.
SOLUC¸A˜O: Definindo a func¸a˜o g(x) = xn temos que f(x) = g−1(x). Da´ı,
usando a propriedade da derivada da func¸a˜o inversa temos:
f ′(x) = (g−1)′(x) =
1
g′(g−1(x))
(2.26)
Por outro lado temos:
g′(x) = (xn)′
= nxn−1
(2.27)
Usando 2.21 temos
g′(g−1(x)) = n(g−1(x))n−1
= n( n
√
x)n−1
(2.28)
De 2.27 e 2.28 finalmente temos
f ′(x) =
1
n( n
√
x)n−1
2.7 Determinac¸a˜o da Tangente Usando Deri-
vada
A determinac¸a˜o da tangente a uma curva pode ser feita usando-se diversos
me´todos (ver os apeˆndices) pore´m os me´todos descritos nos apeˆndices apre-
sentam limitac¸o˜es. Por exemplo na˜o e´ poss´ıvel, utilizando os me´todos de
tangente de Descartes, de Barrow ou de Fermat, determinar a tangente da
func¸a˜o f(x) = sin(x). De modo geral de nenhuma func¸a˜o trigonome´trica.
PROBLEMA: Determinar a reta tangente aa` curva descrita pela func¸a˜o
f(x) no ponto P (x0, f(x0)). Utilizando a derivada. Na interpretac¸a˜o geome´-
trica da derivada isto esta´ estabelecido. O coeficiente angular da reta tan-
gente e´ dada pela derivada da func¸a˜o no ponto onde a tangente toca a curva.
74 Derivada de Func¸o˜es
Isto e´:
y = f ′(x0)x+ b (2.29)
Onde b e´ o coeficiente linear da reta tangente.
Como a reta tangente passa no ponto P (x0, f(x0)) temos:
f(x0) = f
′(x0)x0 + b (2.30)
Subtraindo as equac¸o˜es 2.29 e 2.30 temos:
y = f ′(x0)(x− x0) + f(x0) (2.31)
Como uma reta perpendicular (normal) a` uma reta dada tem como coeficiente
angular o inverso negativo do coeficiente angular da reta dada, temos que a
reta normal a` curva descrita por f(x) no ponto P (x0, f(x0)) e´ dada por:
y = − 1
f ′(x0)
(x− x0) + f(x0) (2.32)
Exemplo 2.7.1 Determinar a reta tangente a` curva descrita pela func¸a˜o
f(x) = x+
1
x
nos pontos P (1, 2) e Q(2, 5/2).
SOLUC¸A˜O: Derivando f(x) temos:
f ′(x) = (x+
1
x
)′
= (x)′ + (
1
x
)′
= 1− 1
x2
(2.33)
bf a) No ponto P (1, 2) usando 2.33 temos:
f ′(1) = 1− 1
12
= 0 (2.34)
E a equac¸a˜o da reta tangente em P (1, 2) sera´ dada por:
y = f ′(x0)(x− x0) + f(x0)
= 0.(x− 1) + 2
= 2
(2.35)
bf b) No ponto Q(2, 5/2) usando 2.33 temos:
f ′(2) = 1− 1
22
= 3/4 (2.36)
Generalidades 75
Q
P
y
5
4
3
2
1
0
x
43210
Figura 2.3: Gra´fico da func¸a˜o f(x) = x+
1
x
.
E a equac¸a˜o da reta tangente em Q(2,
5
2
) sera´ dada por:
y = f ′(x0)(x− x0) + f(x0)
=
3
4
.(x− 2) + 5
2
=
3
4
.x− 3
4
.2 +
5
2
=
3
4
.x+ 1. ¤
(2.37)
76 Derivada de Func¸o˜es
Apeˆndice A
Me´todo de Descartes para a Tangente
RENE` DESCARTES estabeleceu um me´todo geome´trico para determina-
c¸a˜o da tangente a um curva. Seja AC uma curva e CF a sua tangente no
ponto C. De C tracemos o segmento de reta que encontra FA no ponto P .
Fc¸amos CP = s, raio do c´ırculo de centro em P e que passa no ponto C da
curva.
y
x v-x
E
F A M P
C
s
Figura 2.4: Me´todo da tangente de Descartes
Trac¸emos o segmento CM perpendicular a FA. Fac¸amos PA = v e como
AM = x temos PM = v − x. Como CM = y e o triangulo ∆CMP e´
retangulo temos:
CP
2
= CM
2
+MP
2
s2 = y2 + (v − x)2
Generalidades 77
que e´ a equac¸a˜o do c´ırculo de centro em P e que passa no ponto C. Da´ı
podemos expressar y em func¸a˜o de x ou x em func¸a˜o de y. A saber:
y =
√
sr − (v − x)2
x = v +
√
s2 − y2
Podemos agora determinar a intersecc¸a˜o do c´ırculo com a curva usando as
equac¸o˜es y em func¸a˜o de x ou x em func¸a˜o de y para eliminar uma das
varia´veis, resultando uma equac¸a˜o em apenas uma das varia´veis. Se o raio
CP do c´ırculo for perpendicular a` tangente no ponto C, os triangulos ∆FCM
e DeltaCMP sa˜o semelhantes. Da´ı,
CM
FM
=
MP
CM
y
FM
=
v − x
y
A subtangente FM sera´ dada por:
FM =
y2
v − x
Se CP na˜o for perpendicular a` tangente, o c´ırculo tocara´ a curv em dois
pontos distintos.
A forma de uma equac¸a˜o com duas raizes iguais e´:
(x− e)2p(x)
onde p(x) e´ um polinoˆmio.
Para ilustrar o me´todo, aplicaremos a` determinac¸a˜o da tangente a` para´bola
y2 = kx, k > 0.
Usando y =
√
sr − (v − x)2 para eliminar y temos:
s2 − (v − x)2 = kx
s2 − (v2 − 2vx+ x2) = kx
x2 + (k − 2v)x+ (v2 − s2) = 0
Comparando com a forma da equac¸a˜o de segundo grau na varia´vel x com um
ra´ız real
(x− e)2 = 0 =⇒ x2 − 2ex+ e2 = 0, x = e
temos:
−2e = k − 2v ⇒ v − e = v − x = k/2
78 Derivada de Func¸o˜es
Da´ı, para a subtangente FM temos:
FM =
y2
v − x
=
y2
k/2
=
kx
k/2
= 2x
No me´todo de Descartes a tangente foi definida como a reta perpendicular
a` reta normal no ponto c da curva, que representava um avanc¸o em relac¸a˜o
ao conceito de tngente dos gregos. Por outro lado, seu me´todo e´ de ex-
trema dificuldade quanto a` aplicabilidade, a na˜o ser em casos simples como
o apresentado.
Generalidades 79
Apeˆndice B
Me´todo de Fermat para a Tangente
PIERRE DE FERMAT Desenvolveu um me´todo para a determinac¸a˜o
da tangente a` uma curva ada por y = f(x) a plicando o seu processo de
valores vizinhos. Se C(x, f(x)) e´ um ponto da curva y = f(x) em que se
deseja determinar a tangente, enta˜o um ponto E vizinho, de coordenadas
(x+ e, f(x+ e)) estara´ ta˜o perto da reta tangente que podemos pensar nele
como estando aproximadamente tambe´m sa reta tangente.
y
x e
E
F A B D
C
G
Figura 2.5: Me´todo da tangente de Fermat
Portanto, como os triangulos ∆FBC e ∆FDG sa˜o semelhantes e temos:
CB
FB
=
GD
FD
80 Derivada de Func¸o˜es
Usando propriedade das proporc¸o˜es temos:
CB
FB
=
GD − CB
FD − FB
Como CB = y = f(x), GD ∼ f(x+ e) e FD = c+ e temos:
y
FB
∼ f(x+ e)− y
c+ e− c
∼ f(x+ e)− f(x)
e
E temos:
y
FB
∼ f(x+ e)− f(x)
e
Multiplicandao em cruz, cancelando os termos semelhantes,dividindo tudo
por e e finalmente pondo e = 0, determina-se a subtangente c. O processo de
Fermat e´ conceitualmente equivalente a lim
e→0
f(x+ e)− f(x)
e
. O u´nico erro
no procedimento de Fermat foi ter considerado a distaˆncia entre G e C igual
a zero no lugar de tendendo a zero.
Para exemplificar, aplicaremos o me´todo na determinac¸a˜o da tangente a`
curva y2 = kx, k > 0 de outra forma y =
√
kx. Aplicando o me´dodo de
Fermat temos:
y
FB
∼ f(x+ e)− f(x)
e
∼
√
k(x+ e)−√kx
e
∼
√
k(x+ e)−√kx
e
.
√
k(x+ e) +
√
kx√
k(x+ e) +
√
kx
∼ k(x+ e)− kx
e.(
√
k(x+ e) +
√
kx)
∼ ke
e.(
√
k(x+ e) +
√
kx)
∼ k√
k(x+ e) +
√
kx
Fazendo e = 0 temos:
y
FB
=
k
2
√
kx
→ FB = 2y
√
kx
k
Generalidades 81
Como y =
√
kx temos:
FB =
2
√
kx.
√
kx
k
=
2kx
k
= 2x
Ome´todo de Fermat e´ praticamente o me´todo da derivada para determinac¸a˜o
da tangente a` uma curva. Afazer e = 0 no lugar de e → 0 o me´todo perde
em alcance, na˜o podendo ser aplicado na determinac¸a˜o da tangente a` curva
f(x) = sin(x) ja´ que na˜o se pode simplificar
sin(x+ e)− sin(x)
e
. E´ onde o
processo de limite e´ imdispensa´vel.
82 Derivada de Func¸o˜es
Apeˆndice C
Me´todo de Barrow para a Tangente
ISAC BARROW Desenvolveu um me´todo para a determinac¸a˜o da tan-
gente a` uma curva dada por f(x, y) = 0. Se C(x, f(x)) e´ um ponto da curva
f(x, y) = 0 em que se deseja determinar a tangente, enta˜o um ponto E vi-
zinho, de coordenadas (x + e, f(x + e)) estara´ ta˜o perto da reta tangente
que podemos pensar nele como estando aproximadamente tambe´m sa reta
tangente.
a
H
y
x e
E
F A B D
C
G
Figura 2.6: Me´todo da tangente de Barrow
Portanto, se a subtangente no ponto C e´ TB = c e e como os triangulos
∆FBC e ∆CHG sa˜o semelhantes e temos:
CB
FB
=
GH
CH
Generalidades 83
Fazendo GH = e e CH = a e como CB = y temos:
y
FB
=
a
e
Logo para determinar a subtangente FB basta deteminar a relac¸a˜o
a
e
. Para
isto usaremos o fato de que como o ponto E esta´ ta˜o pro´ximo de C que o
ponto da tangente G esta´ tambe´m muito de E e como as coordenadas de G
sa˜o G(x+ e, y + a) podemos considerar:
f(x+ e, y + a) ∼ 0
Procedemos enta˜o eliminando os termos comuns, eliminamos poteˆncias de a
e poteˆncias de e levando em conta que a e e sa˜o muito pequenos. Finalmente
tiramos a raza˜o
a
e
.
Para exemplificar, aplicaremos o me´todo na determinac¸a˜o da tangente a`
curva y2 = kx, k > 0 que reescrevemos como f(x, y) = y2 − kx = 0. Apli-
cando o me´dodo de Barrow temos:
f(x+ e, y + a) ∼ 0
(y + a)2 − k(x+ e) ∼ 0
y2 + 2ya+ a2 − kx− ke ∼ 0
y2 − kx+ a2 + 2ya− ke ∼ 0
Eliminando os termos comuns y2 − kx = 0 e a poteˆncia a2 temos:
2ya− ke ∼ 0
Dada a proximidade dos pontos E, C e G podemos considerar a igualdade:
2ya− ke = 0
De onde tiramos:
a
e
=
k
2y
Para a subtangente teremos:
y
FB
=
a
e
=
k
2y
Da´ı,
FB =
2y2
k
=
2kx
k
= 2x
O me´todo de Barrow sofre do mesmo defeito que o me´todo de Fermat.